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何mはなれているかな?(今年 2018年 早稲田大学高等学院中学部)

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2000mはなれたA地点とB地点の間を太郎さんと次郎さんが走ります。

2人は A地点に着いたときも、B地点に着いたときも

休みを入れて反対方向に走ることをくり返します。

太郎さんは分 速250mで走り、休みの時間を60秒とします。

次郎さんは分速200mで走り、休みの時間を90秒とします。

いま、2つの地点の中間地点から太郎さんがA地点へ、

次郎さんがB地点へ向かって同時に走り始めました。

9221

このとき、次の問い に答えなさい。

(1)

太郎さんが初めてB地点から出発するとき、

次郎さんと何m はなれているかを求めなさい。

(2)

2人が同じ方向に向かって走っているときに、

初めて800mはなれるのは走り始めてから何分後ですか。

(3)

太郎さんがA地点、B地点を経て出発地点を通過した後、

コースの途中で向きを変えて次郎さんと同時にB地点に到着したい。

このとき、太郎さんはA地点から何mはなれた地点で

向きを変えればよいかを求めなさい。

720

Paper
 

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解法のヒント

図で表すと考えやすくなります。

(1)

9251

太郎がB地点を出発するまでの時間は、

図からわかるように、

3000÷250+2=14より

14分後です。

5802_2

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解法例

9252

そのとき次郎は図のように

14-(1000÷200+1.5)=7.5 より、

B地点から7.5分後のところにいます。

きょりはB地点から、

200×7.5=1500mです。

(2)

9253

図のように次郎がA地点に着いたとき、16.5分後なので、

太郎は、250×(16.5-14)=625m より、

A地点から、2000-625=1375mで、

800m以上の差がついています。

太郎がA地点を出発するときは23分後なので、

そのとき次郎は、A地点から5分後の

200×5=1000mの中間地点にいます。

そこから、1000-800=200m差が縮まる時間は、

200÷(250-200)=4分後なので、

23+4=27分後になります。

(3)

9254

図のように、太郎が中間地点まで来るのに、18分

このとき次郎は、A地点を出発しようとしています。

B地点まで10分で到着するので、

太郎の中間地点から折り返し点までのきょりを△mとすると、

(1000+2×△)÷250=10 なので、

2×△=1500

△=750 より、

A地点から、

1000-750=250mの地点で折り返せばいいわけです。

6082

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682

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底面が動く水槽問題(今年 2018年 慶應義塾湘南藤沢中等部)

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底面を水平のまま動かせる水そうがあります。

図のように最初の底面の位置は深さ60cmのAの ところにあります。

ここに水を一定の量ずつ入れ始めると同時に

毎分2cmの速さで底面を上げていったところ、

3分後の水面の高さは Aから8cm になりました。

(1) 水は毎分何しℓずつ入りますか。

(2) 水そうがいっぱいになるのは、水を入れ始めてから 何分後ですか。

(3) 水を入れ始めてから口分後に、底面の上がる速さを1/3にして、

  水を入れる量を2倍にした ところ、

  水を入れ始めてから 24分後に水そうがいっぱいになりました。

  口に入る数を求めなさい。

11171

Paper

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解法のヒント

底面は毎分2cmで上がりますから、

3分では、2×3=6cm上がります。

水は底面が動いても動かなくても、

底面上の水面の高さは毎分一定の量で増えていきます。

11173

3分後水面の高さはAから8cmの高さになったので、

底面から水面までは、8-6=2cm

Pce022s

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解法例

(1)

40×25×2=2000立方cm=2ℓ

1分間に、2÷3=2/3ℓ

(2)

水は1分間に底面から、

2/3ℓ÷(40cm×25cm)=2/3cm上昇します。

△分で60cmになるとすると、

2×△+2/3×△=60

8/3×△=60

△=22.5分

(3)

□分間は、水面は1分間に

2+2/3=8/3cm上がります。

□分後~24分の間は、

2×1/3+2×2/3=2/3+4/3=6/3cm上がります。

下のようにの面積図にしてみると、

11172

1分間に8/3cmのままなら24分間で64cmなので、

白い部分の面積は4ということになり、

PQ=8/3-6/3=2/3 より、

QRの長さは、

4÷2/3=6となるので、

□=24-6=18分です。

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切られる立方体はいくつ?(筑波大学附属中学 2017年)

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同じ大きさの立方体を、

図のように64個積み重ねて大きな立方体をつくり、

その立方体を3つの頂点A、B、Cを通る平面で切ります。

その平面で切られる立方体の個数はいくつですか。


5281

Paper
 

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解法のヒント

一番上の段の途中では、

図のように7個の立方体が切断されることがわかります。

Bandicam_20170528_093945823

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解法例

2段目では5個

Bandicam_20170528_094009324

3段目では3個

Bandicam_20170528_094022416

一番下の段では、1個

Bandicam_20170528_094035434

合計、7+5+3+1=16個 です。

6082

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もっ とも高い得点は?(今年 2018年 吉祥女子中学)

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1から5までの数字が表に書かれたカードが3枚ずつ、合計15枚あります。

これらのカードを裏にしておき、1枚ずつ順に表にしていくゲームをし ます。

同じ数字が書かれたカードが3枚とも表になったらこのゲームは終了 とし、

その時点で表になっているカードの数字の合計を得点とします。

たとえば、表にしたカードの数字が順に4➡44 の場合は

4+4+4=12(点)

5 の 場合は

5+5+1+5=16(点)

2 の場合は

3+2+2+5+2=14(点) となります。

このとき、次の問いに答えなさい。

(1)考えられる得点のうちでもっとも高い得点は何点ですか。

(2)8枚めくった時点でゲームが終了したとき、

   考えられる得点のうちでもっ とも高い得点は何点ですか。

(3)ゲームが終了したとき、表になっているカードに書かれた数字は

   4種類で、得点は30点でした。

   このとき、最後にめくったカードに書かれた数字として

   考えられるものをすべて答えなさい。

Toy3013s  

60814

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解法例はこちら!

6084

(1)

5+51=35点

(2)

5+5+5+4+4+3+3+2=31点

(3)

最後のカードが5の場合、

30-5×3=15なので、

4×2+3+2×2=15より、5は可能。

最後のカードが4の場合、

30-4×3=18なので、

5×2+3×2+2=18より、4も可能。

最後のカードが3の場合、

30-3×3=21なので、

5と4と2と1から3種類選んで21にするのは不可能。

最後のカードが2の場合、

30-2×3=24なので、

5×2+4×2+3×2=24より、2は可能。

最後のカードが1の場合、

30-1×3=27なので、

5と4と3と2から3種類選んで27にするのは不可能。

よって、5、4、2

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