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色が塗られるのは何列目?(今年 2019年 渋谷教育学園幕張中学)

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図1のように、正方形のます目にななめに直線がひかれており、

そこに、あるきまりにしたがって色をぬっていきます。

小さな正方形の1辺の長さは1cmです。

図1

1233

 

このとき、次の各問いに答えなさい。

(1)4段目にはじめて色がぬられるのは何列目ですか。

(2)はじめて図2のように色がぬられるのは何列目ですか。

図2

1234

 (3)2019列目で色がぬられている部分の面積はあわせて何㎠ですか。

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解法例

6085

(1)

3列目で1段上がり、2段に、

3×3=9列目でさらに1段上がり、3段に、

次に1段上がり4段になるのは、

3×3×3=27列目

(2)

1234_2

4段目は、27×1=27

3段目は、9×2=18

1段目は、1×1=1

合計、27+18+1=46列目

(3)

1段目1個→1列目

2段目1個→3列目

3段目1個→9列目

4段目1個→27列目

5段目1個→81列目

6段目1個→243列目

7段目1個→729列目

8段目1個→2187列目

・・・・・

2019列目は

7段目×2+6段目×2+4段目×2+3段目×2+2段目×1

=729×2+243×2+27×2+9×2+3

=2019

1235

4.5㎠

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682

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△EDFと△EBDの面積は?(今年 2019年 東大寺学園中学)

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下の図において、三角形AEF、三角形FDC、三角形AFCの面積は

それぞれ4㎠、5㎠、6㎠です。

(1)三角形 EDFの面積を求めなさい。

(2)三角形 EBDの面積を求めなさい。

1231

108

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解法例

109

1231_2

(1)△ADC:△FDC=(6+5):5=11:5

AF:FD=6:5

△AED:△AEF=11:6 なので、

△AEF:△EDF=6:5 より、

△EDF=4×5/6=10/3㎠

3と1/3㎠

(2)△ADCと△EDCは共通な底辺DCなので、

高さの比は、△ADC:△EDC=11:(5+10/3)=11:25/3

△ABDと△EBDは共通の底辺BDなので、

面積比は、△ABD:△EBD=11:25/3

△EBDの面積を□㎠とすると、

(22/3+□):□=11:25/3

11×□=25/3×(22/3+□)

11×□-25/3×□=550/9

8/3×□=550/9

24×□=550

□=275/12㎠

22と11/12㎠

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色部分の面積の和は?(今年 2019年 灘中学 1日目)

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下の図のような点Oを中心とする円について、

色部分の面積の和は何㎠ですか?

1211_26082_2

 

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解法例

6085_2

PJを対象軸として、弧DFをABに移動すると、

IH=HG=CJ=JE=1cmなので、

弧ABCは円周の半部であることがわかります。

したがって、ACは直径になり、中心Oを通ります。

1212_4

求める面積は、半円から△黄を引いて求めますが、

OH=BH=HF=5cm なので、

円の半径を□cmとすると、

□×□÷2=5×5=25

□×□=50

DI=AG=12-5-5=2cm

CE=2cm

△黄=△ABG+台形BCEG-△ACE なので、

△黄=6×2÷2+(6+2)×12÷2-2×14÷2

=6+48-14

=40㎠

求める面積=50×3.14÷2-40=38.5㎠

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△AEF の面積は何㎠?(今年 2019年 大阪星光学院中学)

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下の図のような1辺の長さが15cm の正方形 ABCD があり、

Eは辺BCを3等分した点のうちBに近い方の点です。

△AEFの周の長さが最も短くなるように点Fを辺 CD 上にとるとき、

△AEF の面積は何㎠ですか。

1201

580

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解法例

6085_2

DCを鏡と考えると、

Aを出発した光はEの対称点Gに向かい、

Fで反射し、Eに最短距離で届きます。

∠AFD=∠GFC=∠EFC

1202

△黄と△緑は相似で相似比は、15:10=3:2

したがって、DF=15×3/5=9cm

FC=15×2/5=6cm

△AEFの面積は、

(15+10)×15÷2-(9×15÷2+6×15÷2)

=187.5-97.5

=90㎠

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