直方体に描かれた図形の面積 （栄光学園中学 受験算数問題 2008年）
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図のような１辺の長さが３ｃｍ、４ｃｍ、５ｃｍの直方体があります。
ＡＢ＝４ｃｍ、ＡＦ＝３ｃｍ、ＡＤ＝５ｃｍです。
この直方体に、頂点Ａを中心に、半径３ｃｍの円を３面に、半径５ｃｍの円を２面に描いたとき、図のようになり、ＢＩ＝３ｃｍ、ＦＨ＝４ｃｍでした。
このとき、色の付いた部分の面積を求めなさい。円周率は３．１４とします。
「直方体だとわかりにくい」
「展開してこんな風に図形が描けるかどうか」
「AIとAHの線なんてないよ」
「補助線、補助線！
△ＡＢＩと△ＡＦＨは同じ形の直角三角形だから、角ＨＡＦ＋角ＩＡＢ＝９０度で、角ＨＡＩも９０度になることがわかるかな？」
「うん」
「ここで図形を移動して考えてみると・・・」
「ここまで見えたらもうわかる」
青色部分の面積＝扇形ＡＨＩ－半径３ｃｍの９０度の扇形
＋（長方形ＡＢＥＦの面積×２－半径３ｃｍの半円 ）
＝５×５×３．１４×９０/３６０－３×３×３．１４×９０/３６０
＋３×４×２－３×３×３．１４×１８０/３６０
＝４×３．１４＋２４－４．５×３．１４
＝３６．５６－１４．１３＝２２．４３ｃ㎡
「こんな動きが頭の中で描けたらなぁー」
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コメント
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こんにちは！
最初の図形で∠IAH=90度の理解がポイントですね。
図形の移動をしなくても求める面積は
扇型IAH＋△IBA+△HAF+四角形ABEF-扇型FAF
でも計算できそうです。
△IBA、△HAFいずれも4x3x1/2なので足して１２。
3:4:5の直角三角形も三角定規の次に重要な直角三角形と思います。
三平方の定理は習っていないわけですが.....
投稿: | 2009年8月26日 (水) 18時52分
いつも適切なアドバイス、ありがとうございます。確かに、立体に描かれた図を平面図形としてとらえ、△IBAと△HAFが合同なことを見つけ、∠IAH=90゜であることがわかるまで３段階もステップ踏んでいるわけですから、図形移動まで考えなくてもよさそうですね。そのほうが計算のまとまりがよさそうです。それにしても、最近の受験算数問題は複雑になってきているようです。またよろしくお願いします。
投稿: 管理人 | 2009年8月27日 (木) 08時27分