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2009年8月26日 (水)

直方体に描かれた図形の面積 (栄光学園中学 受験算数問題 2008年)

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Mon1

図のような1辺の長さが3cm、4cm、5cmの直方体があります。

AB=4cm、AF=3cm、AD=5cmです。

この直方体に、頂点Aを中心に、半径3cmの円を3面に、半径5cmの円を2面に描いたとき、図のようになり、BI=3cm、FH=4cmでした。

このとき、色の付いた部分の面積を求めなさい。円周率は3.14とします。

「直方体だとわかりにくい」

「展開してこんな風に図形が描けるかどうか」

Mon3_2 

「AIとAHの線なんてないよ」

「補助線、補助線!

△ABIと△AFHは同じ形の直角三角形だから、角HAF+角IAB=90度で、角HAIも90度になることがわかるかな?」

「うん」

「ここで図形を移動して考えてみると・・・」

Mon5_2

「ここまで見えたらもうわかる」

青色部分の面積=扇形AHI-半径3cmの90度の扇形

+(長方形ABEFの面積×2-半径3cmの半円 )

=5×5×3.14×90/360-3×3×3.14×90/360

+3×4×2-3×3×3.14×180/360

=4×3.14+24-4.5×3.14

=36.56-14.13=22.43c㎡

「直方体を展開するイメージはこう」(クリックを) 

「こんな動きが頭の中で描けたらなぁー」

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コメント

こんにちは!
最初の図形で∠IAH=90度の理解がポイントですね。
図形の移動をしなくても求める面積は
扇型IAH+△IBA+△HAF+四角形ABEF-扇型FAF
でも計算できそうです。
△IBA、△HAFいずれも4x3x1/2なので足して12。
3:4:5の直角三角形も三角定規の次に重要な直角三角形と思います。
三平方の定理は習っていないわけですが.....

いつも適切なアドバイス、ありがとうございます。確かに、立体に描かれた図を平面図形としてとらえ、△IBAと△HAFが合同なことを見つけ、∠IAH=90゜であることがわかるまで3段階もステップ踏んでいるわけですから、図形移動まで考えなくてもよさそうですね。そのほうが計算のまとまりがよさそうです。それにしても、最近の受験算数問題は複雑になってきているようです。またよろしくお願いします。

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