直方体に描かれた図形の面積 (栄光学園中学 受験算数問題 2008年)
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図のような1辺の長さが3cm、4cm、5cmの直方体があります。
AB=4cm、AF=3cm、AD=5cmです。
この直方体に、頂点Aを中心に、半径3cmの円を3面に、半径5cmの円を2面に描いたとき、図のようになり、BI=3cm、FH=4cmでした。
このとき、色の付いた部分の面積を求めなさい。円周率は3.14とします。
「直方体だとわかりにくい」
「展開してこんな風に図形が描けるかどうか」
「AIとAHの線なんてないよ」
「補助線、補助線!
△ABIと△AFHは同じ形の直角三角形だから、角HAF+角IAB=90度で、角HAIも90度になることがわかるかな?」
「うん」
「ここで図形を移動して考えてみると・・・」
「ここまで見えたらもうわかる」
青色部分の面積=扇形AHI-半径3cmの90度の扇形
+(長方形ABEFの面積×2-半径3cmの半円 )
=5×5×3.14×90/360-3×3×3.14×90/360
+3×4×2-3×3×3.14×180/360
=4×3.14+24-4.5×3.14
=36.56-14.13=22.43c㎡
「こんな動きが頭の中で描けたらなぁー」
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こんにちは!
最初の図形で∠IAH=90度の理解がポイントですね。
図形の移動をしなくても求める面積は
扇型IAH+△IBA+△HAF+四角形ABEF-扇型FAF
でも計算できそうです。
△IBA、△HAFいずれも4x3x1/2なので足して12。
3:4:5の直角三角形も三角定規の次に重要な直角三角形と思います。
三平方の定理は習っていないわけですが.....
投稿: | 2009年8月26日 (水) 18時52分
いつも適切なアドバイス、ありがとうございます。確かに、立体に描かれた図を平面図形としてとらえ、△IBAと△HAFが合同なことを見つけ、∠IAH=90゜であることがわかるまで3段階もステップ踏んでいるわけですから、図形移動まで考えなくてもよさそうですね。そのほうが計算のまとまりがよさそうです。それにしても、最近の受験算数問題は複雑になってきているようです。またよろしくお願いします。
投稿: 管理人 | 2009年8月27日 (木) 08時27分