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2009年8月18日 (火)

カードを規則的に取り除く問題、昨日のつづき(開成中学 受験算数問題 2009年 )

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「昨日の続きで、今日は問題」

「トランプできるようになった」

1,2,3、・・・ n の数が1つずつ書かれた n 枚のカードを時計回りに数の小さい順に円形に並べます。次の規則にしたがって、カードを1枚ずつ取り除いていくとき、最後に残るカードがどれであるかを考えます。
・ まず、1の書かれたカードを取り除く。

・ あるカードを取り除いたら、次に、そのカードから時計回りに数えて2枚目のカードを取り除く。

・これをカードが1枚だけ残るまで繰り返す。

たとえば、n=13のときは図1のようにカードが取り除かれ、最後に10の書かれたカードが残ります。

Zu1

(×印は取り除いたカードを表します)

このとき、次の問いに答えなさい。

(1)n=8のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

(2)n=16のとき、1周目にカードを取り除いた時点で、図2のように8枚のカードが残り、次に2の書かれたカードから取り除くことになります。もし必要ならばこのことを用いて、n=16のとき最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。また、n=32 とn=64のとき、最後に残るカードに書かれた数をそれぞれ答えなさい。

Zu2

(3)n=35のとき、1周目に1,3,5の書かれたカードを取り除いた時点で、残るカードが32枚で、次には7の書かれたカードを取り除くことになります。もし必要ならばこのことを用いて、n=35のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

(4)n=100のとき、1周目に36枚のカードを取り除いた時点で残るカードは64枚です。もし必要ならばこのことを用いて、n=100のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

(5)n=2009のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

(1)n=8の図を描いてみると、図3のようになるね」

Zu3

「8になる」

「(2)n=16のとき、図2のように8枚の偶数のカードが残る。これは図4の8の場合と同じ。(1)では8の位置のカードが残ったので、この場合も8の位置・・・」

Zu4_4

「16だ」

「n=32のときは、まず1周目に奇数のカードが取り除かれる。すると残ったカードは2,4,6,8、・・・32。これは、1,2,3、・・・16まで並んでいるのと同じ。だからn=16のときの最後が16だったので、この16に相当するのは32。

次にn=64のときも同じように1周目に奇数がすべて取り除かれ 2,4,6、・・・64の32枚の偶数のカードが残る。これはn=32のときと同じだから・・・」

「64だ」

「(3)n=35の場合も 1,3,5を取り除くと32枚残る。
32枚になったところで、図5のようにn=32と見なすことができるね」

Zu5

「次に取り除くカードは7?」

「そう、7をスタートの1と考えて、n=32って考えると、32のカードの場所にあるカードが最後に残ることになるわけ」

「6か・・・」

「(4)n=100のとき、36枚取り除くと64枚になるって問題にヒントがでてるね」

「64枚のカードで考えればいいってこと?」

「そう、n=64のとき、最後に残るのは64だったね。

だから、n=100のとき、残りカードが64枚になったときのスタートの数字と、その前の数字を調べてみると・・・

36枚目に取り除くのは、36x2-1=71 のカードで、次に取り除くのは73のカードになる」

「こんがらがってきた」

「図6を見て」

Zu6

「72だ」

「(1)、(2)から、n の数を2倍、2倍としていくと、最後に残るカードも2倍、2倍となることがわかる?」

「わからない」

「そうなってるでしょ」

「そう言われてみると・・・」

「(4)でn=100のとき、最後に残る数は72ということがわかったから、これを2倍、2倍、・・・としてみて2009に近づけてみる」

「地道な方法だな」

n=200 のときは 72x2

n=400 のときは、72x2x2

n=800 のときは、72x2x2x2

n=1600 のときは、72x2x2x2x2 =72x16=1152

「だから、n=2009のとき、1周目に409枚のカードを取り除くと残るカードは1600枚になるね。これを利用する・・・」

「どう利用するの?」

Zu7

「409枚目に取り除くカードは、409x2-1=817 で、次に取り除くカードは819になるでしょ?」

「図を見ればそうだけど・・・」

「で、(5)の答えは819+72x16=818+1152=1970」

「n=2009にしたのは今年の入試問題だからだな」

「そうでしょうね」

「何で答えが1970なんだろう?この年なんかあったのかな?」

「単に算数の問題でしょ」

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