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2009年8月

価格と比(SAPIX 8月マンスリーテストより)

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「こうゆう問題いちばん苦手。やっぱりできなかった」

ある商品を定価の30%引きで36個売ったときの利益と、25%引きで24個売ったときの利益は同じです。この商品1個の原価が480円のとき、この商品1個の定価は何円ですか?

「図にしてみた?」

「したよ」

Teika1

「定価を1丸としたわけだ。ここまではいいね」

「ここからがわからない」

「1個当たりの利益の比を考えてみる」

「利益の比?」

Teika2

「36個の利益と24個の利益が同じだから、1個当たりの利益は売った数の少ない24個の方が多くて、比は3:2になるでしょ」

「36:24の逆比?」

「そう」

Teika3

「3四角-2四角の1四角が、0.3丸-0.25丸の0.05丸と同じになるわけ」

「2四角は0.1丸になるから、定価で売ったとしたら利益は0.4丸になるのか」

Teika4

「原価は0.6丸で480円」

「定価の1丸は800円だ」

「丸の比と四角の比を比較してから、価格に当てはめる」

「世界が3つもある。ドラクエの世界だ!」

「・・・・・・」

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立方体の切断(慶應義塾中等部 受験算数問題 2000年)

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Pic_0353

1辺6cmの立方体がある。Aは頂点の1つで、B,Cは辺の真ん中の点である。このA,B,Cを通る面で、この立方体を切断したとき、次の問に答えなさい。

(1)切断面はどのような形か答えなさい。

(2)切断によってできた2つの立体の表面積の差を求めなさい。

「(1)は五角形!」

「切断面はわかってきたみたいだね」

Kirimeta

「(2)は、切断面の形は同じだから、それ以外の形の比較だ」

「展開図に切り取り線が描けるかどうか」

「うーん、描けない」

「こんな形」

Kiritenkai

「青と黄色を比較すればいいわけだな」

「アニメーションを見るとよくわかるよ」(クリックを)

「同じ部分を取り除くと残りは36+9で45c㎡だ」

「立方体の切断問題はよくでるね」

「展開図も・・・」

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くだものを取り出す場合の数(早稲田実業中学 受験算数問題 2009年)

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Kudamono

みかん3個、りんご3個、メロン1個、柿2個の果物があります。

この中から3個の果物を取る取り方は何通りあるか答えなさい。

同じ種類の果物を選んでもよいものとします。

「地道に数えていくしかないのかなぁ・・・」

「問題はその数え方」

「好きな順?」

「それでもいいけど、まず同じ種類のくだものだけで3個選ぶと・・・?」

みかん3個かりんご3個の2通り

「2個が同じ種類で、あと1つは違う種類のくだものを選ぶ場合は?」

みかん2個と、りんご、またはメロン、または柿の3通りと、

りんご2個と、みかん、またはメロン、または柿の3通りと、

柿2個と、みかん、またはりんご、またはメロンの3通りの

全部で9通り

「すべて違う種類のもので3個を選ぶ場合は?」

3個選ぶと残った1種類がみかん、りんご、メロン、柿の4通りあるので、選び方も4通り

「2+9+4で15通りか」

「みかんだけに注目するやり方もある」

「えっ?どうやって?」

「みかんを3つ取り出す場合と、2つ取り出す場合と、1つ取り出す場合と、一つも取り出さない場合に分ける方法」

Baai1

「1+3+5+6で15通りだ」

「場合の数はけっこう地道な方がいいみたい」

「地道にやってるうちに間違えそう」

「・・・・・・」

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計算の工夫(中学受験 算数問題)

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(洛南高校附属中学 受験算数問題 2009年)

173×99+297×9=

「できるだけすっきり計算してみて」

173×99+297×9

=173×11×9+297×9

=(173×11+297)×9

「すっきり度3!」

173×99+297×9

=173×(100-1)+297×(10-1)

=17300+2970-173-297

「すっきり度6!」

173×99+297×9

=173×99+27×11×9

=173×99+27×99

=(173+27)×99

=200×99

=200×(100-1)

=20000-200

=19800

「すっきり度10!」

「297は99でも割れるから・・・

173×99+297×9

=173×99+99×3×9

これでもいいよね」

「じゃあ次」

(高槻中学 受験算数問題 2003年)

2003×2004-2001×2002

「8010」

「どう計算した?」

「ふつうに・・・」

「工夫するの!」

「でも、これって工夫しなくてもそんなに時間かからないよ」

「こんな風に図で考えてみたら」(クリックを)

「そんな手があったのか」

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図形の規則性(早稲田中学 受験算数問題 2009年)

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Ki1_2

同じ大きさの正方形をしきつめて長方形を作り、図の直線PQが何個の正方形を通るかを考えます。図1の場合は4個の正方形を通り、図2の場合は2個の正方形を通ります。

①縦に3個、横に4個の正方形をしきつめて図3のような長方形を作った場合、何個の正方形を通りますか?

②縦に12個、横に16個の正方形をしきつめて図3のような長方形を作った場合、何個の正方形を通りますか?

③縦に12個、横に17個の正方形をしきつめて図3のような長方形を作った場合、何個の正方形を通りますか?

「何で図3に描いてみないの?描いてみなきゃわからないでしょうに」

「だって、①②③とも図3を使うからごちゃごちゃになると思って」

「消しゴムあるでしょ」

「それに図2みたく線の交点を通るかどうかがわからない」

Ki34_3

「PQは長方形の中心を通るから、赤丸の交点より上を通るし青丸の交点より下を通るでしょ。だから6つの正方形を通る」

「そんな風にやるの?規則性は?」

「だんだん規則性が見えてくるの!」

「②も同じようにやるの?」

「①の図形をしきつめればいいわけでしょ」

Ki16

「緑が①の図形と考えれば、①の4倍で24個か」

「そう、ここで規則性」

「???」

Ki341_2

「正方形が横4つなら境目は赤の3本。縦が3つなら境目は青の2本。PQはその境目を通過するごとに新しい正方形に入るから、新しく通る正方形は3+2で、それにスタートした正方形1をたして6個というわけ」

「じゃあ、縦と横の境目をたして、1たせばいいの?」

Ki21_2

「2×2のような場合は縦と横の境目が重なってしまう。でも1かける1なら境目が0だから0+0+1でこの規則が成り立つね。2×2はその2倍で2個」

「重なるか重ならないかの違いは?」

「縦と横の数が1以外の共通の約数をもつと重なるし、約数をもたないと重ならない」

「2×2は2が共通の約数だ」

「では③はどう?」

「もたないから16+11+1で28個だ」

Ki17

「縦と横の交点ではビミョーに重ならないよね」

「別の規則性発見したんだけど・・・」

「どんな?」

Ki3416_2

「縦3と横4をたすと7だから、縦1、横6個にする。これも6個になるよ」

「えっ?じゃあ③の縦12個、横17個の場合は?」

「たすと29だから、縦1個、横28個で28個!」

「??????」

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直方体に描かれた図形の面積 (栄光学園中学 受験算数問題 2008年)

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Mon1

図のような1辺の長さが3cm、4cm、5cmの直方体があります。

AB=4cm、AF=3cm、AD=5cmです。

この直方体に、頂点Aを中心に、半径3cmの円を3面に、半径5cmの円を2面に描いたとき、図のようになり、BI=3cm、FH=4cmでした。

このとき、色の付いた部分の面積を求めなさい。円周率は3.14とします。

「直方体だとわかりにくい」

「展開してこんな風に図形が描けるかどうか」

Mon3_2 

「AIとAHの線なんてないよ」

「補助線、補助線!

△ABIと△AFHは同じ形の直角三角形だから、角HAF+角IAB=90度で、角HAIも90度になることがわかるかな?」

「うん」

「ここで図形を移動して考えてみると・・・」

Mon5_2

「ここまで見えたらもうわかる」

青色部分の面積=扇形AHI-半径3cmの90度の扇形

+(長方形ABEFの面積×2-半径3cmの半円 )

=5×5×3.14×90/360-3×3×3.14×90/360

+3×4×2-3×3×3.14×180/360

=4×3.14+24-4.5×3.14

=36.56-14.13=22.43c㎡

「直方体を展開するイメージはこう」(クリックを) 

「こんな動きが頭の中で描けたらなぁー」

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立体図形や面積問題は目で見てわかるアニメーション教材が豊富です!

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補助線と面積(芝中学 受験算数問題 2009年)

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「解けそうで解けなかった」

Zu1_2 

1辺が6cmの正方形の各辺を3等分した点を図1、図2のように結びました。

(1)図1の黄色部分の面積は何c㎡ですか?

(2)図2の青色部分の面積は何c㎡ですか?

「図1だけど、どこに補助線引いたの?」

「ここ」

Zu0

「一見よさそうだけど、これだと高さがわからないから、等積変形が使いにくいのでは?」

「いろいろやってて時間がかかっちゃった」

「ここがいいのでは?」

Zu2

「そうか、アとイが同じでイとウも同じか」

「そう、だから黄色は底辺4cm高さ2cmの直角三角形の面積の1/3」

「4/3だから1と1/3c㎡」

「図2はこの面積を使う」

「えっ?、じゃあ(1)ができないと、できないじゃないか」

「ふつうそういうもんじゃない?」

Zu4

「これも、こんなところに補助線か」

「緑と青の三角形は、例の砂時計形の相似」

「底辺が3:1だから高さも3:1、△緑の高さは2cm÷4×1で1/2cm」

「面積は2cm×1/2cm÷2で1/2c㎡」

「そうか、これを(1)の△アから引けば△赤が出るのか」

4/3-1/2=5/6c㎡

Zu3

「あとは、全体の正方形から4つの緑直角三角形と、4つの△赤を引けばいい」

「△緑と△赤の合計が19と1/3c㎡だからこれを36c㎡から引いて、答えは16と2/3c㎡」

「こういった問題がすんなりできればね・・・」

「しばらくお待ちください・・・」

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平面図形の面積問題は目で見てわかるアニメーション教材が豊富です!

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図形の移動と重なり(サマーサピックスより)

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「昨日の解答」

3、4、7、8→4=7×4-8×3

         10=(3-7/4)×8

「10が難しいね。じゃあ今日の問題」

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

Toizu

図のような2つの図形A、Bがあります。Aが図の位置から毎秒1cmの速さで右に直線上を動きます。
(1)Aが動き始めてから27秒後の2つの図形の重なった部分の面積を求めなさい。
(2)2つの図形の重なった部分が最大になるのはAが動き始めてから何秒後ですか?
(3)2つの図形の重なった部分の面積が74c㎡になるのはAが動き始めてから何秒後と何秒後ですか?

「AとBがぶつかるのは何秒後?」

「25-6で19秒後」

Z19

「じゃあ25秒後は?」

Z25

「こうなる」

「27秒はその2秒後だから・・・」

Z2

「2cm重なった。だから・・・」

13×8-(7×6+5×6)=32c㎡

「このあと面積が増えていって、最大になるのは・・・」

Z3

「31秒後だ。この後面積は減っていく」

「74c㎡になるのは・・・」

Z4

「この間をどうやって計算するのかな?」

「1秒間で7c㎡増えたわけだから、1秒を7等分して、74c㎡は3/7のところにあたる、って考えれば?」

30秒+(31秒-30秒)×3/7=30と3/7秒

Z5

「2回目は5秒間で5c㎡減ったっていうこと。これって、ちゃんと同じ面積だけ減っていくのかな?」

「確かに、1秒間で1c㎡減っているね」

「どうしてわかる?」

「描くか、頭の中でイメージしてみるか・・・」

「それがムズイの」

31秒+(36秒-31秒)×4/5=35秒

「図形を実際に動かしてみて、イメージを頭に入れておいて」(クリックを)

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図形の移動問題は目で見てわかるアニメーション教材が豊富です!

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1~10になる?(開成中学 受験算数問題 2004年)

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「友達から問題出されたんだけど・・・」

「どんな?」

「3、4、7、8の数字を1回ずつ使って、たしても、ひいても、かけても、わってもいいから、1から10までの数字を作れ、っていう問題」

たとえば1なら(8-7)×(4-3)」

「そう」

「で、全部できたの?」

「4と10がまだできない」

「どれどれ」

・・・・・・

・・・・・・

??????

「むずかしいね」

「だろ」

「答えは?」

「明日、きいてくる」

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赤玉と白玉を取り出す問題(SAPIX サマーサポートより)

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Box004s

袋の中に赤玉が70個、白玉が50個入っています。いま、この袋の中から赤玉3個と白玉3個を取り出すことをA、この袋の中から赤玉を1個取り出し、袋の中へ白玉を1個入れることをBとします。

(1)Aだけをくりかえして何回やれば、袋の中の赤玉と白玉の個数の比が2:1になりますか?

「赤白、両方とも3個ずつ減っていくんだから・・・」

「赤と白の差は20のまま変わらない」

Tama1

「2:1の1にあたる分が20のときだから、赤は40個」

「そう、70から40まで30個少なくなった」

「30÷3で10回だ」

(2)Bだけをくりかえして何回やれば、袋の中の赤玉と白玉の個数の比が1:5になりますか?

「Bの場合で変わらないものは?」

「全体の個数」

「そう、1:5になっても赤と白の合計は120個」

Tama2

「1にあたるのが20個だ」

「赤玉が70個から20個になったわけ」

「50回だ」

(3)A、Bをそれぞれ何回やると、袋の中の赤玉が2個、白玉が10個になりますか?

「120個が12個に減っている。A1回で6個減るから120-12の108個を6で割ると18回」

Tama3

「それがよくわからない」

「なんで?Aが18回だと赤玉は70個-18回×3個で16個になるはず。ところが実際は2個だから16-2でBを14回やったことになるでしょ」

「だってAを18回やったら54個だから、白玉なくなっちゃうよ!」

「計算上そう考えるの」

「じゃあ白玉は何個?」

「-4個」

「何?それ?」

「AとBを交互にやったから白玉はなくならなかったって考えれば?」

「なんかおかしい」

(4)A、B合わせて12回やって、袋の中の赤玉と白玉を等しくするには、12回のうちAを何回やればいいですか?

「差を減らすのはBだけだから、Bで20の差を0にすればいいね」

Tama4

「B1回で差が2つ減る」

「そう、だから20割る2でBは10回」

「Aは2回だ」

「そう、この問題はAとBの変わらないところに注目するの」

「でも(3)はあやしい」

「まだ言ってる・・・」

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立方体の切り口線 (駒場東邦中学 受験算数問題 2008年)

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Pic_0309

立方体ABCD-EFGHがあり、AB,ADの真ん中に点P,Qをとります。この立方体を、3点P,Q,Gを通る平面で切ったとき、切り口の線を展開図に書き込みなさい。

なお、PQの線はすでに描いてあるとおりです。

「5角形になると思うんだけど・・・」

「そう、こうなる」

Zu5

「展開するとわからなくなる」

「各頂点がどこへ移動していくかを考えて、順番に展開していく」

「Gがどこへ行くかだな」

「こんな感じで展開してみる」(クリックを) 

「展開図で PとGやQとGを結ぶとき、直線でいいのかな?」

Zu6_2

「切り口の線のある面を展開して、となりの面といっしょにまっすぐにのばしてみると、切り口は直線になってるでしょ?」

「ほんとだ」

Zu7

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論証と推理(SAPIX スタンダードテストより)

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Zu1_4

父、母、兄、妹の4人で川をわたりたいのですが、70kgより重いものをのせると沈んでしまうボートが1そうあるだけでした。父65kg、母50kg、兄35kg、妹25kgです。また、4人ともボートをこぐことができます。

(1)もっとも少なくて、ボートは何回川をわたることになりますか?

(2)わたる順番は何通り考えられますか?

Zu1_5

「よし、すぐ解いてやる!」

・・・・・・5分経過

・・・・・・10分経過

・・・・・・15分経過

・・・・・・20分経過

「まだできないの?」

「11回かな・・・」

「ちがうね。解答はこう」(クリックを)

「そうか、子どもたちがたくさんのるのか・・・危なくない?」

「いいの、そんなこと。わたる順番は?」

「兄でも妹でもいいところが2回、父でも母でもいいところが1回」

「そう、2通り考えられるところが全部で3回あるわけ」(クリックを)

「だから2×2×2で8通りか・・・」

「この問題と似たようなパズル、やったことない?」

「ない」

 

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カードを規則的に取り除く問題、昨日のつづき(開成中学 受験算数問題 2009年 )

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「昨日の続きで、今日は問題」

「トランプできるようになった」

1,2,3、・・・ n の数が1つずつ書かれた n 枚のカードを時計回りに数の小さい順に円形に並べます。次の規則にしたがって、カードを1枚ずつ取り除いていくとき、最後に残るカードがどれであるかを考えます。
・ まず、1の書かれたカードを取り除く。

・ あるカードを取り除いたら、次に、そのカードから時計回りに数えて2枚目のカードを取り除く。

・これをカードが1枚だけ残るまで繰り返す。

たとえば、n=13のときは図1のようにカードが取り除かれ、最後に10の書かれたカードが残ります。

Zu1

(×印は取り除いたカードを表します)

このとき、次の問いに答えなさい。

(1)n=8のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

(2)n=16のとき、1周目にカードを取り除いた時点で、図2のように8枚のカードが残り、次に2の書かれたカードから取り除くことになります。もし必要ならばこのことを用いて、n=16のとき最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。また、n=32 とn=64のとき、最後に残るカードに書かれた数をそれぞれ答えなさい。

Zu2

(3)n=35のとき、1周目に1,3,5の書かれたカードを取り除いた時点で、残るカードが32枚で、次には7の書かれたカードを取り除くことになります。もし必要ならばこのことを用いて、n=35のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

(4)n=100のとき、1周目に36枚のカードを取り除いた時点で残るカードは64枚です。もし必要ならばこのことを用いて、n=100のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

(5)n=2009のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

(1)n=8の図を描いてみると、図3のようになるね」

Zu3

「8になる」

「(2)n=16のとき、図2のように8枚の偶数のカードが残る。これは図4の8の場合と同じ。(1)では8の位置のカードが残ったので、この場合も8の位置・・・」

Zu4_4

「16だ」

「n=32のときは、まず1周目に奇数のカードが取り除かれる。すると残ったカードは2,4,6,8、・・・32。これは、1,2,3、・・・16まで並んでいるのと同じ。だからn=16のときの最後が16だったので、この16に相当するのは32。

次にn=64のときも同じように1周目に奇数がすべて取り除かれ 2,4,6、・・・64の32枚の偶数のカードが残る。これはn=32のときと同じだから・・・」

「64だ」

「(3)n=35の場合も 1,3,5を取り除くと32枚残る。
32枚になったところで、図5のようにn=32と見なすことができるね」

Zu5

「次に取り除くカードは7?」

「そう、7をスタートの1と考えて、n=32って考えると、32のカードの場所にあるカードが最後に残ることになるわけ」

「6か・・・」

「(4)n=100のとき、36枚取り除くと64枚になるって問題にヒントがでてるね」

「64枚のカードで考えればいいってこと?」

「そう、n=64のとき、最後に残るのは64だったね。

だから、n=100のとき、残りカードが64枚になったときのスタートの数字と、その前の数字を調べてみると・・・

36枚目に取り除くのは、36x2-1=71 のカードで、次に取り除くのは73のカードになる」

「こんがらがってきた」

「図6を見て」

Zu6

「72だ」

「(1)、(2)から、n の数を2倍、2倍としていくと、最後に残るカードも2倍、2倍となることがわかる?」

「わからない」

「そうなってるでしょ」

「そう言われてみると・・・」

「(4)でn=100のとき、最後に残る数は72ということがわかったから、これを2倍、2倍、・・・としてみて2009に近づけてみる」

「地道な方法だな」

n=200 のときは 72x2

n=400 のときは、72x2x2

n=800 のときは、72x2x2x2

n=1600 のときは、72x2x2x2x2 =72x16=1152

「だから、n=2009のとき、1周目に409枚のカードを取り除くと残るカードは1600枚になるね。これを利用する・・・」

「どう利用するの?」

Zu7

「409枚目に取り除くカードは、409x2-1=817 で、次に取り除くカードは819になるでしょ?」

「図を見ればそうだけど・・・」

「で、(5)の答えは819+72x16=818+1152=1970」

「n=2009にしたのは今年の入試問題だからだな」

「そうでしょうね」

「何で答えが1970なんだろう?この年なんかあったのかな?」

「単に算数の問題でしょ」

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カードを規則的に取り除く問題(開成中学 受験算数問題 2009年 )

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「ちょっとトランプゲームやってみようか?」

「算数じゃなくて?」

T13

「1から13までのカードを裏にして重ねる。

一番上のカードをめくると1が出る。

その1のカードを取り除いたら、一番上になっているカードを一番下におくる。

そして一番上のカードをめくると2が出る。

こんな風に一枚めくっては一枚下におくり、1から13まで順番に全部出していくようにトランプ13枚を並べられるかな?」

「意味がわかんない」

「こんな風に!」(クリックしてアニメーションをみる)

「このゲームと似た問題が、今年ある中学で出題されてるよ」

1,2,3、・・・ n の数が1つずつ書かれた n 枚のカードを時計回りに数の小さい順に円形に並べます。

次の規則にしたがって、カードを1枚ずつ取り除いていくとき、最後に残るカードがどれであるかを考えます。

・ まず、1の書かれたカードを取り除く。

・ あるカードを取り除いたら、次に、そのカードから時計回りに数えて2枚目のカードを取り除く。

・これをカードが1枚だけ残るまで繰り返す。

「ほんとに似てるね」

「問題は(1)~(5)まであるんだけど、まず例題を考えてみようね」

n=13のとき、最後に残るカードは?

「トランプの枚数と同じだ」

Zu1

「取り除いていくからだんだん少なくなって、4周目では10が残る」

「トランプの方がわかりやすいな・・・」

「じゃあ、トランプで見てみて」(クリックしてアニメーションをみる)

「最後が10番目だから、1から13まで順番に出すときは10番目に13が来るわけか」

「そう、それでは問題!」

「ちょっと待って、トランプ並べられるようになってから」

「ったく・・・、じゃあ明日!」

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割合と比、仕事算(SAPIX スタンダードテストより)

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Ind002s

畑からキャベツを収穫し、兄が3時間箱づめしたあと、弟が2時間箱づめすると、すべて終えることができます。また、兄が2時間箱づめしたあと、弟が4時間箱づめしてもすべて終えることができます。

(1)兄が1時間でする仕事を、弟は何時間かかりますか?

(2)兄と弟がそれぞれ1時間でする仕事の量の比を、最も簡単な整数の比で表しなさい。

(3)兄1人で箱づめすると、全部で何時間かかりますか?

(4)兄と弟が最初からいっしょに箱づめすると、全部で何時間何分かかりますか?

「兄が1時間でする仕事、弟は6時間じゃないの?」

「ぜんぜん違うけど、何でそう考えたの?」

「兄の減った仕事量の1/3と、弟の増えた2倍の仕事量は同じだから、1/3:2=1:6になる。で、6時間」

「ビミョーにずれてるね。1/3は最初の3時間分の仕事量の1/3でしょ?」

「えっ??」

Sigoto1

「兄の1時間分の仕事量を弟の1時間分を①とすると二つの式は等しくなる」

「それは、わかる」

Sigoto2

「両方から同じ仕事量を取ってみると・・・」

「そうか、兄1時間分は弟の2時間分か」

「そう、だから仕事量は兄が2倍で兄:弟=2:1」

Sigoto3 

「全部兄にすると4時間だ」

「逆に全部弟の仕事量として考えて、二人の仕事量で割ると・・・」

Sigoto4

「8÷3=2と2/3で、2時間40分」

「何の1/3か、何の2倍かよく考えてから計算するの」

「ねえ、仕事の量って何?」

「この場合は1時間でどれだけキャベツを箱につめられるかってこと」

「スピードってことだ」

「まーねー・・・?・・・」

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数列の規則性(SAPIX 標準テストより)

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Mspe0106cs_2

Suretu_4 

ある規則にしたがって数がならんでいます。

はじめから数えて100番目の数はいくつですか?

「できたけど、解答とやり方が違ってる」

「解答では差を並べた数列を作ってるね」

Suretu2

「差が3ずつ増えていくんだろ」

「そう、そしてそれを99個並べる」

Suretu3

「差の3が98個あるから、それに2をたせばいいのか」

3×98+2=296

「これが2番目の数列の99番目の数」

「そうか、あとはガウス算」

(2+296)×99個÷2=14751

「最初の1を忘れないで」

「答え14752、こっちの方が簡単だった」

「簡単だったって、どうやったの?」

Suretu4

「①番目は1×1、②番目は2×2、③番目は3×3、④番目は4×4・・・に同じだ、と思ったら、微妙にちがう。それに・・・」

Suretu5

「5番目からはどんどん離れていっちゃう。ダメかなと思ったけど・・・」

Suretu6

「その差をだしてみたら、増え方に規則性があった・・・」

Suretu7

「最初だけ1少なくなるけど、あとは1ずつ増えていく。100番目では97増えるわけ。で1~97を全部たして、最初の1を引いたら4752になった」

100×100+4752=14752

「ずいぶんと回りくどいね」

「だから時間がかかった」

「試験ではちょっとね・・・」

「そう思う」

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立方体の展開図 (清風南海中学 受験算数問題 2009年)

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Mon1

Mon2

図のような立方体があり、面に「ア」「イ」「ウ」と書かれています。

この立方体を展開したとき、「ア」の文字は図のようになりました。

このとき、残りの「イ」と「ウ」の文字はどこにどのような向きで現れるか書き込みなさい。

「文字がくるくる回っちゃうよ」

「立方体から展開図になる途中のイメージがつかめるといいんだけどね」

Mon3

「これからだと、立方体も展開図もイメージできそう」

「左上の立方体展開図教材11番目の途中のカット」

イメージ解答はコチラ

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図形の移動(サマーサピックスより)

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Taitoru

「前やったことがあるけど、どこを動かすんだったっけ?」

「しっかり忘れてるわけだ」

Mondazu

Oを中心に長方形を60゜回転したときにできる影の部分の面積は?(円周率を3.14として、小数第2位を四捨五入)

「全体から長方形の面積を引けばいいわけだから・・・」

「そうだけど、全体の面積は?」

「・・・・・・?」

「このイメージをしっかり頭に入れておいて」(クリック) 

「そうだった、中心角60゜のおうぎ形の面積と等しくなるんだ」

「忘れてきた三角形をもとにもどしてあげるイメージでもいいかな」(クリック)

「こっちの方がいい」

「どっちでもいいけど、イメージちゃんとつかむの!」

「もうだいじょうぶ!答えは・・・

5cm×5cm×3.14×60/360=13.08c㎡」

「いいえ、13.1c㎡です」

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走る速さの比(SAPIX 夏期算数より)

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Zu_3

「また図にするのが大変な問題」

「一つずつ順番に描いていけば」

駅前からはじまる1本の道があります。A、B2人は駅から、Cは駅より何kmか先の地点から、3人が同時に出発して同じ方向に走り出しました。駅から7km先の地点でBとCが並びました。駅から12km先の地点でAとCが並びました。また、駅から21km先の地点にBが来たとき、Cは駅から17km先の地点にいました。このとき、Aは駅から何km先の地点にいましたか。ただし、3人はそれぞれ一定の速さで走りました。

「でも21kmっていったら、ハーフマラソンの距離だよね。なんで駅なんだろう?」

「またよけいなこと考えてる。とにかく駅から1本の道が続いているの」

「どこまでかな?」

「どこでもいいでしょ」

Eki1

「おお、一つの図にした方が比較しやすいな。

Cは追いつかれるから一番おそい。Bが一番速そうだ」

「まずBとCを比較してみる」

Eki2

「二人が並んでから後の走った距離の比較だね」

B:C=(21-7):(17-7)=14:10=7:5

「二人が並んだとき、Bは7km進んでいたからCは5km走ったことになるので、Cは最初、駅から2kmのところから出発したわけ」

Eki3

「だからA:Cは12:10で6:5か」

A:B:C=6:7:5

「④のときBは21kmだから

Aは21km×6/7で18kmになる」

「いつもだけど・・・、うまく図が描けるといいんだけどな」

「よけいなこと考えないことがポイントかも・・・」

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電車と音の速さ(SAPIX ディリーチェックより)

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Den1

図のように東西にのびる線路を、西へ時速48kmで進む電車Aと、東へ時速60kmで進む電車Bがあります。電車Aが地点(あ)を、電車Bが地点(い)を通過するとき、地点(あ)と(い)の間で事故を知らせるサイレンが鳴りました。電車Bの運転手は、電車Aの運転手より3秒おくれてサイレンの音を聞き、そのときの電車Aと電車Bの間の距離は5140mでした。

(1)電車A、Bの運転手は、実際にサイレンが鳴ってから、それぞれ何秒後にサイレンの音が聞こえましたか?

(2)地点(あ)と(い)の間の距離は何mですか?

ただし、音は毎秒340mの速さで空気中を伝わるものとします。

「図を描くのがムズくて時間がなくなっちゃった」

「どう描いたの?」

「まず、こう」

Den2_2

「そう、ここでサイレンが鳴ったわけね」

「Aが聞こえたのが次の図」

Den3

「そう、Bにはまだサイレンの音がとどいていないわけね」

「次の図がわからない」

「この3秒後にBが聞こえたのだから、こう描けば?」

Den4

「ここでなんでA電車は進むんだよ?」

「えっ? だって音がBにとどく3秒間にAは進んでいるでしょう?」

「だって、事故を知らせるサイレンが聞こえたんだよ。普通、電車止めるんじゃない?」

「それって、算数の問題じゃないでしょ。そんなこと考えているから、時間ばっかりかかるの」

「まあ、急には止まれないとは思うけど・・・」

Den5

「3秒間にAが進んだ距離は緑部分、(48000/3600)つまり40/3m×3秒で40m」

「音は赤部分、340m×3秒で1020m、この二つの距離を5140mから引くと4080mになるわけか」

Den6

「それで、音は東西に同じだけ進んだわけだから、2で割って2040m、それを340mで割ると6秒になる、6秒後にAにとどいたわけ。Bは3秒たして9秒ね」

「これを図に書き込めればわかりやすいんだけど・・・」

Den7

「実際にサイレンが鳴ってから、A、Bとも9秒間進んでいることになるわけ、だから(あ)と(い)の間は・・・」

5140m-(40/3m+50/3m)×9秒=4870m

「音が速すぎるから図がおかしくなっちゃうんだ」

「そんなのしょうがないでしょうに・・・」

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速さの比較(SAPIXサマーサポートより)

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Yama

A君がオートバイに乗って山に向かっています。山に向かってクラクションをならすと16秒後にこだまが聞こえてきました。それから11秒後に再びならすと、今度は13秒後にこだまが聞こえてきました。音の速さを毎秒340mとすると、オートバイは山に向かって時速何kmで走っていますか?

解答

下図・・・・・・部分にかかった時間を求めます。

音       16-13=3秒

オートバイ (16+11)+(11+13)=51秒

340m×3秒÷51秒=20m

だから時速72kmになります。

Yama1

「なんで11秒を2回たすんだよ?オートバイ、同じ道を止まらないで走っているんだろ?」

「これは、こだまとオートバイの時間を比較したからでしょ?」

「だってオートバイは最初にクラクションならしてから、二度目のこだまを聞くまで40秒しかかかってないじゃないか」

「ちょっとこの図を見てごらん」

Yama2

「同じに見えるけど・・・」

「こだまの16秒から13秒を引くと青い線の部分が残るでしょ。これが3秒で・・・・・・線部分。オートバイの時間にしてみると11秒を2回たすことになるわけ」

「重なっているところがよくわからない。もどっているような感じがして・・・」

「こだまの進む3秒間の距離を、オートバイなら何秒かかるかってことでしょ?」

「図を見ればそうなんだろうけど・・・、だいたいオートバイの音でこだまなんか聞こえるのかな?」

「問題がちがうでしょ」

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食塩水の割合とてんびん図(SAPIXサマーサポートより)

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「この模範解答の意味がよくわからない」

「どんな問題?」

2種類の食塩水A、Bがあります。A、Bを混ぜあわせるとき、A:B=2:3にすると12%の食塩水、A:B=3:2にすると10%の食塩水ができます。食塩水A、Bの濃度はそれぞれ何%になりますか?。

Ten1

「食塩水の量を決めて考えるとわかりやすい、って書いてあるね」

「Aを200g、Bを300gとかにするってこと?」

「そう、合計500gの食塩水が12%だから、食塩は60gになるわけ」

「Aが300g、Bが200gのときは10%だから50gか」

Ten2_4

  「ここからA、Bを計算する、って解答には書いてあるね」

(これって連立方程式?)

「消去算だろ?Bをそろえて消すには・・・」

上の式を2倍⇒A×400+B×600=120

下の式を3倍⇒A×900+B×600=150

A×500=30

「Aは0.06だから6%、0.06をAに入れて計算するとBは0.16で16%になる」

「塾ではもっとかんたんな方法で習ったけど、よくわからなかった」

「どんな?」

Ten3

「こんなてんびん図を描いて・・・」

Ten4

「③-②の①が2%にあたるから、2%ずつに区切ると・・・」

Ten5

「Aが6%でBが16%になるって」

「えっ、てんびん図ってこんな風に使うの?」

「そうらしい」

「・・・・・・」

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ころがるサイコロ(筑波大附属中学 受験算数問題 2009年)

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Saikoro

マス目の上にサイコロが置かれています。マス目の大きさとサイコロの面の大きさは等しいものとします。図のような位置にサイコロを置き、緑のマス目まで矢印のようにサイコロをすべることなく転がしました。このとき緑のマス目と接しているのは、サイコロの何の目ですか?

ただし、サイコロの「1」の裏は「6」、「2」の裏は「5」、「3」の裏は「4」の面とします。

Sai1

「本当にころがしてみないとわからない」

「頭の中でころがすの」

「だと、こんな感じになる」

Sai3

「じゃあ、実際にころがしてみて」

サイコロをころがす(クリックを)

「3だ」

「試験では順番に考えていかないと・・・、

最初のサイコロをこんな風に描いてみたら?」

Sai2

「これなら順番に書いていけそうだな」

「間違えないようにね」

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正六角形の面積比 (麻布中学 受験算数問題 2009年)

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Seiro1

正六角形ABCDEFの辺ABを2等分し、辺CDを4等分します。

このとき、図の四角形BCNMと六角形AMNDEFの面積比を

最も簡単な整数比で答えなさい。

「また、正六角形の中の正三角形を使う問題だ、きっと」

「わかってきたね、で、どうする?」

「わからない」

「まず、四角形BCNMを二つの三角形に分ける」

Seiro2

「で、正三角形はいつでてくるの?」

「ここで」

Seiro3

「なんだか、正三角形の中に入りそうもないけど・・・」

「ここで△青を等積移動する」

Seiro4

「おお、正三角形の1/2になった」

「△黄も等積移動」

「えっ、どこへ?」

Seiro5

「ここ」

「正三角形の中に入ってこない」

「正三角形の中にある別の三角形を利用するわけ」

「どれ?」

Seiro6

「△緑が正三角形の1/4でしょ」

「△黄は△緑の高さが1.5倍だから

面積は3/2倍になるわけか」

「そう、だから△黄は正三角形の1/4×3/2で

3/8になる」

「1/2と3/8をたして四角形BCNMは

正三角形の7/8だ」

「正三角形を1とした場合ね・・・」

「正六角形は6だから、六角形AMNDEFは

6-7/8で、5と1/8になるから、

7/8:41/8で7:41」

「等積移動を動画イメージで見てみて」(クリックを) 

「まず三角形を2つに分けることに気がつかない。そして△青の等積移動はわかっても、△黄の等積移動と△緑との面積比にも気がつかないでしょう」

「人事みたいに言わないで、もっとひらめくように練習しなさい」

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球の反射と相似(SAPIX サマーサポートより)

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Ilm13_ab02008s

Tama1

上から見ると図のような水平に置かれた長方形の台があります。Aの位置から1つの球が出て、台のわくに当たると入ってきた角度と同じ角度ではね返ります。Aから出た球を、辺BC、辺CD、辺AD、辺AB、に各1回反射させて、赤い球に当てるためには、辺BC上のBから何cm離れたところに球を当てればよいですか?

「玉突き知ってる?」

「テレビでは見たことある」

「入ってきた角度と同じ角度ではね返るのは、光の反射と同じだから、辺に鏡を置いたとして考えるわけ」

「なんだか考えにくい」

「最初に当たる辺BCに鏡を置くと・・・」

Tama2

「次に当たる辺はCDだからCD'に鏡・・・」

Tama3

「次の辺がADだからA''D'に鏡を・・・」

Tama4

「最後が辺ABだからA''B''に鏡・・・」

Tama5

「つまりA''B''C''D''にある赤い球をAからねらえばいいわけ」

「ほんとに?」

Tama6

「その線と辺BCがぶつかる点に当てれば、はね返って、赤い球に当たることになる」

「おもしろそうだけど・・・」

Tama7

「底辺260cm、高さ250cmの直角三角形と、赤い直角三角形は相似だから90cm×260cm/250cm=93.6cm、Bから離れたところに当てればいいわけ」

「だいぶ強く球を出さないと、赤い球までとどかないな」

「そんなこと、考えなくてもいいの」

こちらが動画イメージです(クリックしてみてください)

表示されない場合はコチラ 

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速さとグラフ(SAPIX サマーサポートより)

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「問題の意味がわからない」

「どれ?」

Pq1

A町とB町の間をPとQが往復しています。PはA町を時速24kmの速さでB町の方向に出発し、QはPより遅い速さでPがA町を出発するのと同時にB町を出発しました。グラフはPとQが出発してからのPとQの距離と時間の関係を表したものです。

(1)A町とB町の距離は何kmですか?

(2)グラフの(ア)は何kmですか?

(3)グラフの(イ)は何分ですか?

「まずグラフが折れ曲がっているところが何を意味しているのか、から考えるの」

「90分でPとQがすれちがって、150分でPがB町に着く・・・」

「全体のイメージを見てみて」(クリックを)

「このイメージがわかれば解きやすいんだけど」

Pq3_2   

「時速24kmのPは150分でB町に着いたわけだから・・・」

「わかった、24kmの2.5時間分で60kmだ」

「じゃあ、(2)は?」

「ええと・・・」

Pq2_3 

「最初にすれちがうまでが90分。PとQの速さの和の旅人算でしょ?」

「60kmを1.5時間だから速さの和は時速40km」

「Pは時速24kmでしょ」

「Qは40km-24kmで16kmか」

「150分のときのPとQの距離はBとQの距離と同じ」

「時速16kmで150分か、ならば16km×2.5時間で40kmになる」

Pq5

「(イ)はPとQが2度目にすれちがうとき。このときPが動いた距離とQが動いた距離を見てみて」

「おお、AB間の3倍になってる」

「一本にのばすと180kmの道」

「それをPとQが向かい合って速さの和40kmで近づいて、いつすれちがうかっていう旅人算だ」

「できるでしょ?」

「180km÷40km=4.5時間は270分」

「正解!」

「この速さって自転車だよね?」

「さぁー???」

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速さと比のつづき(四谷大塚 合不合判定予備テストより)

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「昨日は(1)だったから今日は(2)」

A、B2つの地点があります。太郎君はA地点を、花子さんはB地点を同時に出発して、それぞれAB間を一定の速さで1往復しました。花子さんがはじめてAB間のちょうど真ん中のC地点に着いたとき、太郎君はB地点を折り返してから1050m進んだところにいました。また、太郎君がA地点に着いたとき、花子さんはA地点まであと840mのところにいました。

(1)太郎君と花子さんの進む速さの比を求めなさい。

(2)花子さんは太郎君とすれちがった後、何m進んだところで太郎君に追いこされましたか?

「(1)の速さの比5:2を使うんだよね」

「そう、速さの比は同じ時間なら進んだ道のりの比にもなるわけ」

「花子が2進む間に太郎は5進むってことだ」

「まず、イメージを見て」(クリックを) 

Zu10

「花子の進んだ道のりをとすると、太郎は②+②+①だからは2100mになる。AB間は②だから倍の4200m」

Zu11_2

「これがすれちがったときのイメージ」(クリックを)

Zu12 

「4200mを5:2に分けるわけだ」

「次が追いつかれるイメージ」(クリックを)

Zu13

「すれちがってから、花子が追いこされるまでの道のりも5:2なわけだ」

にあたるのが1200m×2で2400m」

「それで花子のが2400m÷3×2で1600mになる」

「そういうこと」

「わかりやすく図が描ければなぁー」

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速さの比(四谷大塚 合不合判定予備テストより)

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A、B2つの地点があります。太郎君はA地点を、花子さんはB地点を同時に出発して、それぞれAB間を一定の速さで1往復しました。花子さんがはじめてAB間のちょうど真ん中のC地点に着いたとき、太郎君はB地点を折り返してから1050m進んだところにいました。また、太郎君がA地点に着いたとき、花子さんはA地点まであと840mのところにいました。

太郎君と花子さんの進む速さの比を求めなさい。

「図を描いてみた?」

Zu1_9   

「こう描いて、次に・・・こう」

Zu2_4   

「これがここまでのイメージ」(クリックを) 

「次に太郎君がAにもどってくるまで、がこう」(クリックを) 

「そのときの図をいっしょにすると、わからなくなってくる」

Zu3

「花子さんがAに着いたとき、太郎君はどこにいると思う?」

「もう1往復したんだから、休んでるんだろ」

「まだ進んでいるとしたらよ!」

「だいぶ先」

「どのくらい?」

これがそのイメージ(クリックを)

Zu41

「どのくらいだろう?」

「花子さんがまん中からAに着いたわけだから、太郎君も最初の青+橙分進んでいることになる」

Zu42

「はみ出している長さは橙色分だから1050m×2で2100mか」

「太郎君の2100mのスタートは、花子さんがA地点の手前840mのとき」

「840mと2100mを比べればいいのか」

「そう、こんなイメージね」(クリックを)

Zu43

「花子の840mと太郎の2100mは時間が同じだから、太郎と花子の速さの比は2100:840で5:2になるわけか」

「そう」

「太郎ちょっと速すぎない?走ってたのかな?」

「どうでもいいでしょ。そんなこと」

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台形と面積比つづき(四谷大塚 合不合判定予備テストより)

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「今日はこの前の続きで、解けなかった、(2)」

四角形ABCDはADとBCが平行な台形です。
AE:EB=1:2、AD:BC=3:4、BF:FC=1:1のとき、
(1)EG:GCを求めなさい。

(2)四角形GHFCの面積は台形ABCDの面積の何分のいくつですか?

「EG:GCは1:2になったから、比率をまとめると・・・」

Menseki10

「四角形GHFCはここ」

Menseki11

「どこから考えたらいいか、わからない」

「まず緑の三角形の相似比は?」

Menseki12

「2:2だから1:1」

「そう、だからEH:HF=1:1」

Menseki13

「この比なんか関係あるの?」

「△青と△緑の比は?」

Menseki14

「1:2か」

「そう、だから△青は△EFCの1/3になる」

Menseki15

「△青と△赤は1:1だ」

「だから△青は△青+赤の1/2、△EFCの1/3×1/2で1/6になる」

Menseki16

「四角形GHFCは△EFCの5/6か」

「次に△赤は?」

Menseki17

「そうか、台形の3/4だ」

「4/7でしょ」

Menseki18

「△青は赤△ABCの2/3」

「そして△EFCは青△EBCの1/2」

Menseki19

「台形の4/7×2/3×1/2で4/21だから・・・」

Menseki20

「四角形GHFCは台形の4/21×5/6で10/63になるわけ」

「こんなの、やっぱり試験では解けそうにないよ」

「順番に比を記入していけばわかると思う」

「色がついているとなぁー」

「頭で色を想像してみたら?」

「白黒だ」

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