どう解く？中学受験算数

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2009年8月31日 (月) 学問・資格, 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数 | 固定リンク | 0 | コメント (0) | トラックバック (0)

立方体の切断（慶應義塾中等部　受験算数問題　2000年）

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Pic_0353

１辺６ｃｍの立方体がある。Ａは頂点の１つで、Ｂ，Ｃは辺の真ん中の点である。このＡ，Ｂ，Ｃを通る面で、この立方体を切断したとき、次の問に答えなさい。

（１）切断面はどのような形か答えなさい。

（２）切断によってできた２つの立体の表面積の差を求めなさい。

「（１）は五角形！」

「切断面はわかってきたみたいだね」

Kirimeta

「（２）は、切断面の形は同じだから、それ以外の形の比較だ」

「展開図に切り取り線が描けるかどうか」

「うーん、描けない」

「こんな形」

Kiritenkai

「青と黄色を比較すればいいわけだな」

「同じ部分を取り除くと残りは３６＋９で４５ｃ㎡だ」

「立方体の切断問題はよくでるね」

「展開図も・・・」

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2009年8月30日 (日) 学問・資格, 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数 | 固定リンク | 0 | コメント (0) | トラックバック (0)

くだものを取り出す場合の数（早稲田実業中学　受験算数問題　2009年）

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Kudamono

みかん３個、りんご３個、メロン１個、柿２個の果物があります。

この中から３個の果物を取る取り方は何通りあるか答えなさい。

同じ種類の果物を選んでもよいものとします。

「地道に数えていくしかないのかなぁ・・・」

「問題はその数え方」

「好きな順？」

「それでもいいけど、まず同じ種類のくだものだけで３個選ぶと・・・？」

みかん３個かりんご３個の２通り

「２個が同じ種類で、あと1つは違う種類のくだものを選ぶ場合は？」

みかん２個と、りんご、またはメロン、または柿の３通りと、

りんご２個と、みかん、またはメロン、または柿の３通りと、

柿２個と、みかん、またはりんご、またはメロンの３通りの

全部で９通り

「すべて違う種類のもので３個を選ぶ場合は？」

３個選ぶと残った１種類がみかん、りんご、メロン、柿の４通りあるので、選び方も４通り

「２＋９＋４で１５通りか」

「みかんだけに注目するやり方もある」

「えっ？どうやって？」

「みかんを３つ取り出す場合と、２つ取り出す場合と、１つ取り出す場合と、一つも取り出さない場合に分ける方法」

Baai1

「１＋３＋５＋６で１５通りだ」

「場合の数はけっこう地道な方がいいみたい」

「地道にやってるうちに間違えそう」

「・・・・・・」

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「こんな風に図で考えてみたら」（クリックを）

2009年8月29日 (土) 学問・資格, 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数 | 固定リンク | 0 | コメント (1) | トラックバック (0)

計算の工夫（中学受験　算数問題）

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（洛南高校附属中学　受験算数問題　2009年）

１７３×９９＋２９７×９＝

「できるだけすっきり計算してみて」

１７３×９９＋２９７×９

＝１７３×１１×９＋２９７×９

＝（１７３×１１＋２９７）×９

「すっきり度３！」

１７３×９９＋２９７×９

＝１７３×（１００－１）＋２９７×（１０－１）

＝１７３００＋２９７０－１７３－２９７

「すっきり度６！」

１７３×９９＋２９７×９

＝１７３×９９＋２７×１１×９

＝１７３×９９＋２７×９９

＝（１７３＋２７）×９９

＝２００×９９

＝２００×（１００－１）

＝２００００－２００

＝１９８００

「すっきり度１０！」

「２９７は９９でも割れるから・・・

１７３×９９＋２９７×９

＝１７３×９９＋９９×３×９

これでもいいよね」

「じゃあ次」

（高槻中学　受験算数問題　2003年）

２００３×２００４－２００１×２００２＝

「８０１０」

「どう計算した？」

「ふつうに・・・」

「工夫するの！」

「でも、これって工夫しなくてもそんなに時間かからないよ」

「そんな手があったのか」

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2009年8月28日 (金) 学問・資格, 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数 | 固定リンク | 0 | コメント (2) | トラックバック (0)

図形の規則性（早稲田中学　受験算数問題　２００９年）

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Ki1_2

同じ大きさの正方形をしきつめて長方形を作り、図の直線PQが何個の正方形を通るかを考えます。図１の場合は４個の正方形を通り、図２の場合は２個の正方形を通ります。

①縦に３個、横に４個の正方形をしきつめて図３のような長方形を作った場合、何個の正方形を通りますか？

②縦に１２個、横に１６個の正方形をしきつめて図３のような長方形を作った場合、何個の正方形を通りますか？

③縦に１２個、横に１７個の正方形をしきつめて図３のような長方形を作った場合、何個の正方形を通りますか？

「何で図３に描いてみないの？描いてみなきゃわからないでしょうに」

「だって、①②③とも図３を使うからごちゃごちゃになると思って」

「消しゴムあるでしょ」

「それに図２みたく線の交点を通るかどうかがわからない」

Ki34_3

「PQは長方形の中心を通るから、赤丸の交点より上を通るし青丸の交点より下を通るでしょ。だから６つの正方形を通る」

「そんな風にやるの？規則性は？」

「だんだん規則性が見えてくるの！」

「②も同じようにやるの？」

「①の図形をしきつめればいいわけでしょ」

Ki16

「緑が①の図形と考えれば、①の４倍で２４個か」

「そう、ここで規則性」

「？？？」

Ki341_2

「正方形が横４つなら境目は赤の３本。縦が３つなら境目は青の２本。PQはその境目を通過するごとに新しい正方形に入るから、新しく通る正方形は３＋２で、それにスタートした正方形１をたして６個というわけ」

「じゃあ、縦と横の境目をたして、１たせばいいの？」

Ki21_2

「２×２のような場合は縦と横の境目が重なってしまう。でも１かける１なら境目が０だから０＋０＋１でこの規則が成り立つね。２×２はその２倍で２個」

「重なるか重ならないかの違いは？」

「縦と横の数が１以外の共通の約数をもつと重なるし、約数をもたないと重ならない」

「２×２は２が共通の約数だ」

「では③はどう？」

「もたないから１６＋１１＋１で２８個だ」

Ki17

「縦と横の交点ではビミョーに重ならないよね」

「別の規則性発見したんだけど・・・」

「どんな？」

Ki3416_2

「縦３と横４をたすと７だから、縦１、横６個にする。これも６個になるよ」

「えっ？じゃあ③の縦１２個、横１７個の場合は？」

「たすと２９だから、縦１個、横２８個で２８個！」

「？？？？？？」

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「直方体を展開するイメージはこう」（クリックを）

2009年8月27日 (木) 学問・資格, 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数 | 固定リンク | 0 | コメント (0) | トラックバック (0)

直方体に描かれた図形の面積　（栄光学園中学　受験算数問題　2008年）

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Mon1

図のような１辺の長さが３ｃｍ、４ｃｍ、５ｃｍの直方体があります。

ＡＢ＝４ｃｍ、ＡＦ＝３ｃｍ、ＡＤ＝５ｃｍです。

この直方体に、頂点Ａを中心に、半径３ｃｍの円を３面に、半径５ｃｍの円を２面に描いたとき、図のようになり、ＢＩ＝３ｃｍ、ＦＨ＝４ｃｍでした。

このとき、色の付いた部分の面積を求めなさい。円周率は３．１４とします。

「直方体だとわかりにくい」

「展開してこんな風に図形が描けるかどうか」

Mon3_2

「AIとAHの線なんてないよ」

「補助線、補助線！

△ＡＢＩと△ＡＦＨは同じ形の直角三角形だから、角ＨＡＦ＋角ＩＡＢ＝９０度で、角ＨＡＩも９０度になることがわかるかな？」

「うん」

「ここで図形を移動して考えてみると・・・」

Mon5_2

「ここまで見えたらもうわかる」

青色部分の面積＝扇形ＡＨＩ－半径３ｃｍの９０度の扇形

＋（長方形ＡＢＥＦの面積×２－半径３ｃｍの半円）

＝５×５×３．１４×９０/３６０－３×３×３．１４×９０/３６０

＋３×４×２－３×３×３．１４×１８０/３６０

＝４×３．１４＋２４－４．５×３．１４

＝３６．５６－１４．１３＝２２．４３ｃ㎡

「こんな動きが頭の中で描けたらなぁー」

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2009年8月26日 (水) 学問・資格, 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数 | 固定リンク | 0 | コメント (2) | トラックバック (0)

補助線と面積（芝中学　受験算数問題　２００９年）

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「解けそうで解けなかった」

Zu1_2

１辺が６ｃｍの正方形の各辺を３等分した点を図１、図２のように結びました。

（１）図１の黄色部分の面積は何ｃ㎡ですか？

（２）図２の青色部分の面積は何ｃ㎡ですか？

「図１だけど、どこに補助線引いたの？」

「ここ」

Zu0

「一見よさそうだけど、これだと高さがわからないから、等積変形が使いにくいのでは？」

「いろいろやってて時間がかかっちゃった」

「ここがいいのでは？」

Zu2

「そうか、アとイが同じでイとウも同じか」

「そう、だから黄色は底辺４ｃｍ高さ２ｃｍの直角三角形の面積の１/３」

「４/３だから１と１/３ｃ㎡」

「図２はこの面積を使う」

「えっ？、じゃあ（１）ができないと、できないじゃないか」

「ふつうそういうもんじゃない？」

Zu4

「これも、こんなところに補助線か」

「緑と青の三角形は、例の砂時計形の相似」

「底辺が３：１だから高さも３：１、△緑の高さは２ｃｍ÷４×１で１/２ｃｍ」

「面積は２ｃｍ×１/２ｃｍ÷２で１/２ｃ㎡」

「そうか、これを（１）の△アから引けば△赤が出るのか」

４/３－１/２＝５/６ｃ㎡

Zu3

「あとは、全体の正方形から４つの緑直角三角形と、４つの△赤を引けばいい」

「△緑と△赤の合計が１９と１/３ｃ㎡だからこれを３６ｃ㎡から引いて、答えは１６と２/３ｃ㎡」

「こういった問題がすんなりできればね・・・」

「しばらくお待ちください・・・」

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「図形を実際に動かしてみて、イメージを頭に入れておいて」（クリックを）

2009年8月25日 (火) 学問・資格, 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数 | 固定リンク | 0 | コメント (0) | トラックバック (0)

図形の移動と重なり（サマーサピックスより）

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「昨日の解答」

３、４、７、８→４＝７×４－８×３

　　　　　　　　　１０＝（３－７/４）×８

「１０が難しいね。じゃあ今日の問題」

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

Toizu

図のような２つの図形A、Bがあります。Aが図の位置から毎秒１ｃｍの速さで右に直線上を動きます。
（１）Aが動き始めてから２７秒後の２つの図形の重なった部分の面積を求めなさい。
（２）２つの図形の重なった部分が最大になるのはAが動き始めてから何秒後ですか？
（３）２つの図形の重なった部分の面積が７４ｃ㎡になるのはAが動き始めてから何秒後と何秒後ですか？

「AとBがぶつかるのは何秒後？」

「２５－６で１９秒後」

Z19

「じゃあ２５秒後は？」

Z25

「こうなる」

「２７秒はその２秒後だから・・・」

「２ｃｍ重なった。だから・・・」

１３×８－（７×６＋５×６）＝３２ｃ㎡

「このあと面積が増えていって、最大になるのは・・・」

「３１秒後だ。この後面積は減っていく」

「７４ｃ㎡になるのは・・・」

「この間をどうやって計算するのかな？」

「１秒間で７ｃ㎡増えたわけだから、１秒を７等分して、７４ｃ㎡は３/７のところにあたる、って考えれば？」

３０秒＋（３１秒－３０秒）×３/７＝３０と３/７秒

「２回目は５秒間で５ｃ㎡減ったっていうこと。これって、ちゃんと同じ面積だけ減っていくのかな？」

「確かに、１秒間で１ｃ㎡減っているね」

「どうしてわかる？」

「描くか、頭の中でイメージしてみるか・・・」

「それがムズイの」

３１秒＋（３６秒－３１秒）×４/５＝３５秒

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2009年8月24日 (月) 学問・資格, 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数 | 固定リンク | 0 | コメント (0) | トラックバック (0)

１～１０になる？（開成中学　受験算数問題　２００４年）

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「友達から問題出されたんだけど・・・」

「どんな？」

「３、４、７、８の数字を１回ずつ使って、たしても、ひいても、かけても、わってもいいから、１から１０までの数字を作れ、っていう問題」

「たとえば１なら（８－７）×（４－３）」

「そう」

「で、全部できたの？」

「４と１０がまだできない」

「どれどれ」

・・・・・・

？？？？？？

「むずかしいね」

「だろ」

「答えは？」

「明日、きいてくる」

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2009年8月23日 (日) 学問・資格, 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数 | 固定リンク | 0 | コメント (0) | トラックバック (1)

赤玉と白玉を取り出す問題（SAPIX　サマーサポートより）

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Box004s

袋の中に赤玉が７０個、白玉が５０個入っています。いま、この袋の中から赤玉３個と白玉３個を取り出すことをA、この袋の中から赤玉を１個取り出し、袋の中へ白玉を１個入れることをBとします。

（１）Aだけをくりかえして何回やれば、袋の中の赤玉と白玉の個数の比が２：１になりますか？

「赤白、両方とも３個ずつ減っていくんだから・・・」

「赤と白の差は２０のまま変わらない」

Tama1

「２：１の１にあたる分が２０のときだから、赤は４０個」

「そう、７０から４０まで３０個少なくなった」

「３０÷３で１０回だ」

（２）Bだけをくりかえして何回やれば、袋の中の赤玉と白玉の個数の比が１：５になりますか？

「Bの場合で変わらないものは？」

「全体の個数」

「そう、１：５になっても赤と白の合計は１２０個」

Tama2

「１にあたるのが２０個だ」

「赤玉が７０個から２０個になったわけ」

「５０回だ」

（３）A、Bをそれぞれ何回やると、袋の中の赤玉が２個、白玉が１０個になりますか？

「１２０個が１２個に減っている。A１回で６個減るから１２０－１２の１０８個を６で割ると１８回」

Tama3

「それがよくわからない」

「なんで？Aが１８回だと赤玉は７０個－１８回×３個で１６個になるはず。ところが実際は２個だから１６－２でBを１４回やったことになるでしょ」

「だってAを１８回やったら５４個だから、白玉なくなっちゃうよ！」

「計算上そう考えるの」

「じゃあ白玉は何個？」

「－４個」

「何？それ？」

「AとBを交互にやったから白玉はなくならなかったって考えれば？」

「なんかおかしい」

（４）A、B合わせて１２回やって、袋の中の赤玉と白玉を等しくするには、１２回のうちAを何回やればいいですか？

「差を減らすのはBだけだから、Bで２０の差を０にすればいいね」

Tama4

「B１回で差が２つ減る」

「そう、だから２０割る２でBは１０回」

「Aは２回だ」

「そう、この問題はAとBの変わらないところに注目するの」

「でも（３）はあやしい」

「まだ言ってる・・・」

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「こんな感じで展開してみる」（クリックを）

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立方体の切り口線　（駒場東邦中学　受験算数問題　2008年）

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Pic_0309

立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨがあり、ＡＢ，ＡＤの真ん中に点Ｐ，Ｑをとります。この立方体を、３点Ｐ，Ｑ，Ｇを通る平面で切ったとき、切り口の線を展開図に書き込みなさい。

なお、ＰＱの線はすでに描いてあるとおりです。

「５角形になると思うんだけど・・・」

「そう、こうなる」

Zu5

「展開するとわからなくなる」

「各頂点がどこへ移動していくかを考えて、順番に展開していく」

「Gがどこへ行くかだな」

「展開図で PとGやQとGを結ぶとき、直線でいいのかな？」

Zu6_2

「切り口の線のある面を展開して、となりの面といっしょにまっすぐにのばしてみると、切り口は直線になってるでしょ？」

「ほんとだ」

Zu7

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「そう、２通り考えられるところが全部で３回あるわけ」（クリックを）

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論証と推理（SAPIX　スタンダードテストより）

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Zu1_4

父、母、兄、妹の４人で川をわたりたいのですが、７０ｋｇより重いものをのせると沈んでしまうボートが１そうあるだけでした。父６５ｋｇ、母５０ｋｇ、兄３５ｋｇ、妹２５ｋｇです。また、４人ともボートをこぐことができます。

（１）もっとも少なくて、ボートは何回川をわたることになりますか？

（２）わたる順番は何通り考えられますか？

Zu1_5

「よし、すぐ解いてやる！」

・・・・・・５分経過

・・・・・・１０分経過

・・・・・・１５分経過

・・・・・・２０分経過

「まだできないの？」

「１１回かな・・・」

「ちがうね。解答はこう」（クリックを）

「そうか、子どもたちがたくさんのるのか・・・危なくない？」

「いいの、そんなこと。わたる順番は？」

「兄でも妹でもいいところが２回、父でも母でもいいところが１回」

「だから２×２×２で８通りか・・・」

「この問題と似たようなパズル、やったことない？」

「ない」

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2009年8月19日 (水) 学問・資格, 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数 | 固定リンク | 0 | コメント (0) | トラックバック (0)

カードを規則的に取り除く問題、昨日のつづき（開成中学　受験算数問題　2009年　）

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「昨日の続きで、今日は問題」

「トランプできるようになった」

１，２，３、・・・ｎの数が１つずつ書かれたｎ枚のカードを時計回りに数の小さい順に円形に並べます。次の規則にしたがって、カードを１枚ずつ取り除いていくとき、最後に残るカードがどれであるかを考えます。
・まず、１の書かれたカードを取り除く。

・あるカードを取り除いたら、次に、そのカードから時計回りに数えて２枚目のカードを取り除く。

・これをカードが１枚だけ残るまで繰り返す。

たとえば、ｎ＝１３のときは図１のようにカードが取り除かれ、最後に１０の書かれたカードが残ります。

Zu1

（×印は取り除いたカードを表します）

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）ｎ＝８のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

（２）ｎ＝１６のとき、１周目にカードを取り除いた時点で、図２のように８枚のカードが残り、次に２の書かれたカードから取り除くことになります。もし必要ならばこのことを用いて、ｎ＝１６のとき最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。また、ｎ＝３２とｎ＝６４のとき、最後に残るカードに書かれた数をそれぞれ答えなさい。

Zu2

（３）ｎ＝３５のとき、１周目に１，３，５の書かれたカードを取り除いた時点で、残るカードが３２枚で、次には７の書かれたカードを取り除くことになります。もし必要ならばこのことを用いて、ｎ＝３５のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

（４）ｎ＝１００のとき、１周目に３６枚のカードを取り除いた時点で残るカードは６４枚です。もし必要ならばこのことを用いて、ｎ＝１００のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

（５）ｎ＝2009のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

「（１）ｎ＝８の図を描いてみると、図３のようになるね」

Zu3

「８になる」

「（２）ｎ＝１６のとき、図２のように８枚の偶数のカードが残る。これは図４の８の場合と同じ。（１）では８の位置のカードが残ったので、この場合も８の位置・・・」

Zu4_4

「１６だ」

「ｎ＝３２のときは、まず１周目に奇数のカードが取り除かれる。すると残ったカードは２，４，６，８、・・・３２。これは、１，２，３、・・・１６まで並んでいるのと同じ。だからｎ＝１６のときの最後が１６だったので、この１６に相当するのは３２。

次にｎ＝６４のときも同じように１周目に奇数がすべて取り除かれ２，４，６、・・・６４の３２枚の偶数のカードが残る。これはｎ＝３２のときと同じだから・・・」

「６４だ」

「（３）ｎ＝３５の場合も　１，３，５を取り除くと３２枚残る。
３２枚になったところで、図５のようにｎ＝３２と見なすことができるね」

Zu5

「次に取り除くカードは７？」

「そう、７をスタートの１と考えて、ｎ＝３２って考えると、３２のカードの場所にあるカードが最後に残ることになるわけ」

「６か・・・」

「（４）ｎ＝１００のとき、３６枚取り除くと６４枚になるって問題にヒントがでてるね」

「６４枚のカードで考えればいいってこと？」

「そう、ｎ＝６４のとき、最後に残るのは６４だったね。

だから、ｎ＝１００のとき、残りカードが６４枚になったときのスタートの数字と、その前の数字を調べてみると・・・

３６枚目に取り除くのは、３６ｘ２－１＝７１　のカードで、次に取り除くのは７３のカードになる」

「こんがらがってきた」

「図６を見て」

Zu6

「７２だ」

「（１）、（２）から、ｎの数を２倍、２倍としていくと、最後に残るカードも２倍、２倍となることがわかる？」

「わからない」

「そうなってるでしょ」

「そう言われてみると・・・」

「（４）でｎ＝１００のとき、最後に残る数は７２ということがわかったから、これを２倍、２倍、・・・としてみて2009に近づけてみる」

「地道な方法だな」

ｎ＝200　のときは　７２ｘ２

ｎ＝400　のときは、７２ｘ２ｘ２

ｎ＝800　のときは、７２ｘ２ｘ２ｘ２

ｎ＝1600　のときは、７２ｘ２ｘ２ｘ２ｘ２　＝７２ｘ１６＝１１５２

「だから、ｎ＝2009のとき、１周目に409枚のカードを取り除くと残るカードは1600枚になるね。これを利用する・・・」

「どう利用するの？」

Zu7

「409枚目に取り除くカードは、409ｘ２-１＝817　で、次に取り除くカードは819になるでしょ？」

「図を見ればそうだけど・・・」

「で、（５）の答えは８１９＋７２ｘ１６＝８１８＋１１５２＝１９７０」

「ｎ＝２００９にしたのは今年の入試問題だからだな」

「そうでしょうね」

「何で答えが１９７０なんだろう？この年なんかあったのかな？」

「単に算数の問題でしょ」

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「こんな風に！」（クリックしてアニメーションをみる）

2009年8月18日 (火) 学問・資格, 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数 | 固定リンク | 0 | コメント (0) | トラックバック (0)

カードを規則的に取り除く問題（開成中学　受験算数問題　2009年　）

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「ちょっとトランプゲームやってみようか？」

「算数じゃなくて？」

T13

「１から１３までのカードを裏にして重ねる。

一番上のカードをめくると１が出る。

その１のカードを取り除いたら、一番上になっているカードを一番下におくる。

そして一番上のカードをめくると２が出る。

こんな風に一枚めくっては一枚下におくり、１から１３まで順番に全部出していくようにトランプ１３枚を並べられるかな？」

「意味がわかんない」

「このゲームと似た問題が、今年ある中学で出題されてるよ」

１，２，３、・・・ｎの数が１つずつ書かれたｎ枚のカードを時計回りに数の小さい順に円形に並べます。

次の規則にしたがって、カードを１枚ずつ取り除いていくとき、最後に残るカードがどれであるかを考えます。

・まず、１の書かれたカードを取り除く。

・あるカードを取り除いたら、次に、そのカードから時計回りに数えて２枚目のカードを取り除く。

・これをカードが１枚だけ残るまで繰り返す。

「ほんとに似てるね」

「問題は（１）～（５）まであるんだけど、まず例題を考えてみようね」

ｎ＝１３のとき、最後に残るカードは？

「トランプの枚数と同じだ」

Zu1

「取り除いていくからだんだん少なくなって、４周目では１０が残る」

「トランプの方がわかりやすいな・・・」

「じゃあ、トランプで見てみて」（クリックしてアニメーションをみる）

「最後が１０番目だから、１から１３まで順番に出すときは１０番目に１３が来るわけか」

「そう、それでは問題！」

「ちょっと待って、トランプ並べられるようになってから」

「ったく・・・、じゃあ明日！」

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2009年8月17日 (月) 学問・資格, 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数 | 固定リンク | 0 | コメント (1) | トラックバック (0)

割合と比、仕事算（SAPIX　スタンダードテストより）

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Ind002s

畑からキャベツを収穫し、兄が３時間箱づめしたあと、弟が２時間箱づめすると、すべて終えることができます。また、兄が２時間箱づめしたあと、弟が４時間箱づめしてもすべて終えることができます。

（１）兄が１時間でする仕事を、弟は何時間かかりますか？

（２）兄と弟がそれぞれ１時間でする仕事の量の比を、最も簡単な整数の比で表しなさい。

（３）兄１人で箱づめすると、全部で何時間かかりますか？

（４）兄と弟が最初からいっしょに箱づめすると、全部で何時間何分かかりますか？

「兄が１時間でする仕事、弟は6時間じゃないの？」

「ぜんぜん違うけど、何でそう考えたの？」

「兄の減った仕事量の１/３と、弟の増えた２倍の仕事量は同じだから、１/３：２＝１：６になる。で、６時間」

「ビミョーにずれてるね。１/３は最初の３時間分の仕事量の１/３でしょ？」

「えっ？？」

Sigoto1

「兄の１時間分の仕事量を①、弟の１時間分を①とすると二つの式は等しくなる」

「それは、わかる」

Sigoto2

「両方から同じ仕事量を取ってみると・・・」

「そうか、兄１時間分は弟の２時間分か」

「そう、だから仕事量は兄が２倍で兄：弟＝２：１」

Sigoto3

「全部兄にすると４時間だ」

「逆に全部弟の仕事量として考えて、二人の仕事量で割ると・・・」

Sigoto4

「８÷３＝２と２/３で、２時間４０分」

「何の１/３か、何の２倍かよく考えてから計算するの」

「ねえ、仕事の量って何？」

「この場合は１時間でどれだけキャベツを箱につめられるかってこと」

「スピードってことだ」

「まーねー・・・？・・・」

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2009年8月16日 (日) 学問・資格, 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数 | 固定リンク | 0 | コメント (0) | トラックバック (0)

数列の規則性（SAPIX　標準テストより）

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Mspe0106cs_2

Suretu_4

ある規則にしたがって数がならんでいます。

はじめから数えて１００番目の数はいくつですか？

「できたけど、解答とやり方が違ってる」

「解答では差を並べた数列を作ってるね」

Suretu2

「差が３ずつ増えていくんだろ」

「そう、そしてそれを９９個並べる」

Suretu3

「差の３が９８個あるから、それに２をたせばいいのか」

３×９８＋２＝２９６

「これが２番目の数列の９９番目の数」

「そうか、あとはガウス算」

（２＋２９６）×９９個÷２＝１４７５１

「最初の１を忘れないで」

「答え１４７５２、こっちの方が簡単だった」

「簡単だったって、どうやったの？」

Suretu4

「①番目は１×１、②番目は２×２、③番目は３×３、④番目は４×４・・・に同じだ、と思ったら、微妙にちがう。それに・・・」

Suretu5

「５番目からはどんどん離れていっちゃう。ダメかなと思ったけど・・・」

Suretu6

「その差をだしてみたら、増え方に規則性があった・・・」

Suretu7

「最初だけ１少なくなるけど、あとは１ずつ増えていく。１００番目では９７増えるわけ。で１～９７を全部たして、最初の１を引いたら４７５２になった」

１００×１００＋４７５２＝１４７５２

「ずいぶんと回りくどいね」

「だから時間がかかった」

「試験ではちょっとね・・・」

「そう思う」

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2009年8月15日 (土) 学問・資格, 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数 | 固定リンク | 0 | コメント (0) | トラックバック (0)

立方体の展開図　（清風南海中学　受験算数問題　2009年）

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Mon1

Mon2

図のような立方体があり、面に「ア」「イ」「ウ」と書かれています。

この立方体を展開したとき、「ア」の文字は図のようになりました。

このとき、残りの「イ」と「ウ」の文字はどこにどのような向きで現れるか書き込みなさい。

「文字がくるくる回っちゃうよ」

「立方体から展開図になる途中のイメージがつかめるといいんだけどね」

Mon3

「これからだと、立方体も展開図もイメージできそう」

「左上の立方体展開図教材１１番目の途中のカット」

イメージ解答はコチラ

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「このイメージをしっかり頭に入れておいて」（クリック）

2009年8月14日 (金) 学問・資格, 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数 | 固定リンク | 0 | コメント (0) | トラックバック (0)

図形の移動（サマーサピックスより）

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Taitoru

「前やったことがあるけど、どこを動かすんだったっけ？」

「しっかり忘れてるわけだ」

Mondazu

Oを中心に長方形を６０゜回転したときにできる影の部分の面積は？（円周率を３．１４として、小数第２位を四捨五入）

「全体から長方形の面積を引けばいいわけだから・・・」

「そうだけど、全体の面積は？」

「・・・・・・？」

「そうだった、中心角６０゜のおうぎ形の面積と等しくなるんだ」

「忘れてきた三角形をもとにもどしてあげるイメージでもいいかな」（クリック）

「こっちの方がいい」

「どっちでもいいけど、イメージちゃんとつかむの！」

「もうだいじょうぶ！答えは・・・

５ｃｍ×５ｃｍ×３．１４×６０/３６０＝１３．０８ｃ㎡」

「いいえ、１３．１ｃ㎡です」

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2009年8月13日 (木) 学問・資格, 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数 | 固定リンク | 0 | コメント (2) | トラックバック (0)

走る速さの比（SAPIX　夏期算数より）

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Zu_3

「また図にするのが大変な問題」

「一つずつ順番に描いていけば」

駅前からはじまる１本の道があります。A、B２人は駅から、Cは駅より何ｋｍか先の地点から、３人が同時に出発して同じ方向に走り出しました。駅から７ｋｍ先の地点でBとCが並びました。駅から１２ｋｍ先の地点でAとCが並びました。また、駅から２１ｋｍ先の地点にBが来たとき、Cは駅から１７ｋｍ先の地点にいました。このとき、Aは駅から何ｋｍ先の地点にいましたか。ただし、３人はそれぞれ一定の速さで走りました。

「でも２１ｋｍっていったら、ハーフマラソンの距離だよね。なんで駅なんだろう？」

「またよけいなこと考えてる。とにかく駅から１本の道が続いているの」

「どこまでかな？」

「どこでもいいでしょ」

Eki1

「おお、一つの図にした方が比較しやすいな。

Cは追いつかれるから一番おそい。Bが一番速そうだ」

「まずBとCを比較してみる」

Eki2

「二人が並んでから後の走った距離の比較だね」

B：C＝（２１－７）：（１７－７）＝１４：１０＝７：５

「二人が並んだとき、Bは７ｋｍ進んでいたからCは５ｋｍ走ったことになるので、Cは最初、駅から２ｋｍのところから出発したわけ」

Eki3

「だからA：Cは１２：１０で６：５か」

A：B：C＝６：７：５

「④のときBは２１ｋｍだから

Aは２１ｋｍ×６/７で１８ｋｍになる」

「いつもだけど・・・、うまく図が描けるといいんだけどな」

「よけいなこと考えないことがポイントかも・・・」

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2009年8月12日 (水) 学問・資格, 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数 | 固定リンク | 0 | コメント (0) | トラックバック (0)

電車と音の速さ（SAPIX　ディリーチェックより）

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Den1

図のように東西にのびる線路を、西へ時速４８ｋｍで進む電車Aと、東へ時速６０ｋｍで進む電車Bがあります。電車Aが地点（あ）を、電車Bが地点（い）を通過するとき、地点（あ）と（い）の間で事故を知らせるサイレンが鳴りました。電車Bの運転手は、電車Aの運転手より３秒おくれてサイレンの音を聞き、そのときの電車Aと電車Bの間の距離は５１４０ｍでした。

（１）電車A、Bの運転手は、実際にサイレンが鳴ってから、それぞれ何秒後にサイレンの音が聞こえましたか？

（２）地点（あ）と（い）の間の距離は何ｍですか？

ただし、音は毎秒３４０ｍの速さで空気中を伝わるものとします。

「図を描くのがムズくて時間がなくなっちゃった」

「どう描いたの？」

「まず、こう」

Den2_2

「そう、ここでサイレンが鳴ったわけね」

「Aが聞こえたのが次の図」

Den3

「そう、Bにはまだサイレンの音がとどいていないわけね」

「次の図がわからない」

「この３秒後にBが聞こえたのだから、こう描けば？」

Den4

「ここでなんでA電車は進むんだよ？」

「えっ？　だって音がBにとどく３秒間にAは進んでいるでしょう？」

「だって、事故を知らせるサイレンが聞こえたんだよ。普通、電車止めるんじゃない？」

「それって、算数の問題じゃないでしょ。そんなこと考えているから、時間ばっかりかかるの」

「まあ、急には止まれないとは思うけど・・・」

Den5

「３秒間にAが進んだ距離は緑部分、（４８０００/３６００）つまり４０/３ｍ×３秒で４０ｍ」

「音は赤部分、３４０ｍ×３秒で１０２０ｍ、この二つの距離を５１４０ｍから引くと４０８０ｍになるわけか」

Den6

「それで、音は東西に同じだけ進んだわけだから、２で割って２０４０ｍ、それを３４０ｍで割ると６秒になる、６秒後にAにとどいたわけ。Bは３秒たして９秒ね」

「これを図に書き込めればわかりやすいんだけど・・・」

Den7

「実際にサイレンが鳴ってから、A、Bとも９秒間進んでいることになるわけ、だから（あ）と（い）の間は・・・」

５１４０ｍ－（４０/３ｍ＋５０/３ｍ）×９秒＝４８７０ｍ

「音が速すぎるから図がおかしくなっちゃうんだ」

「そんなのしょうがないでしょうに・・・」

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2009年8月11日 (火) 学問・資格, 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数 | 固定リンク | 0 | コメント (0) | トラックバック (0)

速さの比較（SAPIXサマーサポートより）

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Yama

A君がオートバイに乗って山に向かっています。山に向かってクラクションをならすと１６秒後にこだまが聞こえてきました。それから１１秒後に再びならすと、今度は１３秒後にこだまが聞こえてきました。音の速さを毎秒３４０ｍとすると、オートバイは山に向かって時速何ｋｍで走っていますか？

解答

下図の・・・・・・部分にかかった時間を求めます。

音　　　　　　　１６－１３＝３秒

オートバイ　（１６＋１１）＋（１１＋１３）＝５１秒

３４０ｍ×３秒÷５１秒＝２０ｍ

だから時速７２ｋｍになります。

Yama1

「なんで１１秒を２回たすんだよ？オートバイ、同じ道を止まらないで走っているんだろ？」

「これは、こだまとオートバイの時間を比較したからでしょ？」

「だってオートバイは最初にクラクションならしてから、二度目のこだまを聞くまで４０秒しかかかってないじゃないか」

「ちょっとこの図を見てごらん」

Yama2

「同じに見えるけど・・・」

「こだまの１６秒から１３秒を引くと青い線の部分が残るでしょ。これが３秒で・・・・・・線部分。オートバイの時間にしてみると１１秒を２回たすことになるわけ」

「重なっているところがよくわからない。もどっているような感じがして・・・」

「こだまの進む３秒間の距離を、オートバイなら何秒かかるかってことでしょ？」

「図を見ればそうなんだろうけど・・・、だいたいオートバイの音でこだまなんか聞こえるのかな？」

「問題がちがうでしょ」

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2009年8月10日 (月) 学問・資格, 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数 | 固定リンク | 0 | コメント (0) | トラックバック (0)

食塩水の割合とてんびん図（SAPIXサマーサポートより）

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「この模範解答の意味がよくわからない」

「どんな問題？」

２種類の食塩水A、Bがあります。A、Bを混ぜあわせるとき、A：B＝２：３にすると１２％の食塩水、A：B＝３：２にすると１０％の食塩水ができます。食塩水A、Bの濃度はそれぞれ何％になりますか？。

Ten1

「食塩水の量を決めて考えるとわかりやすい、って書いてあるね」

「Aを２００ｇ、Bを３００ｇとかにするってこと？」

「そう、合計５００ｇの食塩水が１２％だから、食塩は６０ｇになるわけ」

「Aが３００ｇ、Bが２００ｇのときは１０％だから５０ｇか」

Ten2_4

「ここからA、Bを計算する、って解答には書いてあるね」

（これって連立方程式？）

「消去算だろ？Bをそろえて消すには・・・」

上の式を２倍⇒A×４００＋B×６００＝１２０

下の式を３倍⇒A×９００＋B×６００＝１５０

A×５００＝３０

「Aは０．０６だから６％、０．０６をAに入れて計算するとBは０．１６で１６％になる」

「塾ではもっとかんたんな方法で習ったけど、よくわからなかった」

「どんな？」

Ten3

「こんなてんびん図を描いて・・・」

Ten4

「③－②の①が２％にあたるから、２％ずつに区切ると・・・」

Ten5

「Aが６％でBが１６％になるって」

「えっ、てんびん図ってこんな風に使うの？」

「そうらしい」

「・・・・・・」

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2009年8月 9日 (日) 学問・資格, 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数 | 固定リンク | 0 | コメント (4) | トラックバック (0)

ころがるサイコロ（筑波大附属中学　受験算数問題　２００９年）

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Saikoro

マス目の上にサイコロが置かれています。マス目の大きさとサイコロの面の大きさは等しいものとします。図のような位置にサイコロを置き、緑のマス目まで矢印のようにサイコロをすべることなく転がしました。このとき緑のマス目と接しているのは、サイコロの何の目ですか？

ただし、サイコロの「１」の裏は「６」、「２」の裏は「５」、「３」の裏は「４」の面とします。

Sai1

「本当にころがしてみないとわからない」

「頭の中でころがすの」

「だと、こんな感じになる」

Sai3

「じゃあ、実際にころがしてみて」

サイコロをころがす（クリックを）

「３だ」

「試験では順番に考えていかないと・・・、

最初のサイコロをこんな風に描いてみたら？」

Sai2

「これなら順番に書いていけそうだな」

「間違えないようにね」

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「等積移動を動画イメージで見てみて」（クリックを）

2009年8月 8日 (土) 学問・資格, 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数 | 固定リンク | 0 | コメント (2) | トラックバック (0)

正六角形の面積比　（麻布中学　受験算数問題　２００９年）

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Seiro1

正六角形ABCDEFの辺ABを２等分し、辺CDを４等分します。

このとき、図の四角形ＢＣＮＭと六角形ＡＭＮＤＥＦの面積比を

最も簡単な整数比で答えなさい。

「また、正六角形の中の正三角形を使う問題だ、きっと」

「わかってきたね、で、どうする？」

「わからない」

「まず、四角形ＢＣＮＭを二つの三角形に分ける」

Seiro2

「で、正三角形はいつでてくるの？」

「ここで」

Seiro3

「なんだか、正三角形の中に入りそうもないけど・・・」

「ここで△青を等積移動する」

Seiro4

「おお、正三角形の１/２になった」

「△黄も等積移動」

「えっ、どこへ？」

Seiro5

「ここ」

「正三角形の中に入ってこない」

「正三角形の中にある別の三角形を利用するわけ」

「どれ？」

Seiro6

「△緑が正三角形の１/４でしょ」

「△黄は△緑の高さが１．５倍だから

面積は３/２倍になるわけか」

「そう、だから△黄は正三角形の１/４×３/２で

３/８になる」

「１/２と３/８をたして四角形ＢＣＮＭは

正三角形の７/８だ」

「正三角形を１とした場合ね・・・」

「正六角形は６だから、六角形ＡＭＮＤＥＦは

６－７/８で、５と１/８になるから、

７/８：４１/８で７：４１」

「まず三角形を２つに分けることに気がつかない。そして△青の等積移動はわかっても、△黄の等積移動と△緑との面積比にも気がつかないでしょう」

「人事みたいに言わないで、もっとひらめくように練習しなさい」

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こちらが動画イメージです（クリックしてみてください）

2009年8月 6日 (木) 学問・資格, 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数 | 固定リンク | 0 | コメント (0) | トラックバック (0)

球の反射と相似（SAPIX　サマーサポートより）

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Ilm13_ab02008s

Tama1

上から見ると図のような水平に置かれた長方形の台があります。Aの位置から１つの球が出て、台のわくに当たると入ってきた角度と同じ角度ではね返ります。Aから出た球を、辺BC、辺CD、辺AD、辺AB、に各１回反射させて、赤い球に当てるためには、辺BC上のBから何ｃｍ離れたところに球を当てればよいですか？

「玉突き知ってる？」

「テレビでは見たことある」

「入ってきた角度と同じ角度ではね返るのは、光の反射と同じだから、辺に鏡を置いたとして考えるわけ」

「なんだか考えにくい」

「最初に当たる辺BCに鏡を置くと・・・」

Tama2

「次に当たる辺はCDだからCD'に鏡・・・」

Tama3

「次の辺がADだからA''D'に鏡を・・・」

Tama4

「最後が辺ABだからA''B''に鏡・・・」

Tama5

「つまりA''B''C''D''にある赤い球をAからねらえばいいわけ」

「ほんとに？」

Tama6

「その線と辺BCがぶつかる点に当てれば、はね返って、赤い球に当たることになる」

「おもしろそうだけど・・・」

Tama7

「底辺２６０ｃｍ、高さ２５０ｃｍの直角三角形と、赤い直角三角形は相似だから９０ｃｍ×２６０ｃｍ/２５０ｃｍ＝９３．６ｃｍ、Bから離れたところに当てればいいわけ」

「だいぶ強く球を出さないと、赤い球までとどかないな」

「そんなこと、考えなくてもいいの」

表示されない場合はコチラ

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「全体のイメージを見てみて」（クリックを）

2009年8月 5日 (水) 学問・資格, 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数 | 固定リンク | 0 | コメント (0) | トラックバック (0)

速さとグラフ（SAPIX　サマーサポートより）

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「問題の意味がわからない」

「どれ？」

Pq1

A町とB町の間をPとQが往復しています。PはA町を時速２４ｋｍの速さでB町の方向に出発し、QはPより遅い速さでPがA町を出発するのと同時にB町を出発しました。グラフはPとQが出発してからのPとQの距離と時間の関係を表したものです。

（１）A町とB町の距離は何ｋｍですか？

（２）グラフの（ア）は何ｋｍですか？

（３）グラフの（イ）は何分ですか？

「まずグラフが折れ曲がっているところが何を意味しているのか、から考えるの」

「９０分でPとQがすれちがって、１５０分でPがB町に着く・・・」

「このイメージがわかれば解きやすいんだけど」

「時速２４ｋｍのPは１５０分でB町に着いたわけだから・・・」

「わかった、２４ｋｍの２．５時間分で６０ｋｍだ」

「じゃあ、（２）は？」

「ええと・・・」

Pq2_3

「最初にすれちがうまでが９０分。PとQの速さの和の旅人算でしょ？」

「６０ｋｍを１．５時間だから速さの和は時速４０ｋｍ」

「Pは時速２４ｋｍでしょ」

「Qは４０ｋｍ－２４ｋｍで１６ｋｍか」

「１５０分のときのPとQの距離はBとQの距離と同じ」

「時速１６ｋｍで１５０分か、ならば１６ｋｍ×２．５時間で４０ｋｍになる」

Pq5

「（イ）はPとQが２度目にすれちがうとき。このときPが動いた距離とQが動いた距離を見てみて」

「おお、AB間の３倍になってる」

「一本にのばすと１８０ｋｍの道」

「それをPとQが向かい合って速さの和４０ｋｍで近づいて、いつすれちがうかっていう旅人算だ」

「できるでしょ？」

「１８０ｋｍ÷４０ｋｍ＝４．５時間は２７０分」

「正解！」

「この速さって自転車だよね？」

「さぁー？？？」

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「これがすれちがったときのイメージ」（クリックを）

2009年8月 4日 (火) 学問・資格, 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数 | 固定リンク | 0 | コメント (0) | トラックバック (0)

速さと比のつづき（四谷大塚　合不合判定予備テストより）

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「昨日は（１）だったから今日は（２）」

A、B２つの地点があります。太郎君はA地点を、花子さんはB地点を同時に出発して、それぞれAB間を一定の速さで１往復しました。花子さんがはじめてAB間のちょうど真ん中のC地点に着いたとき、太郎君はB地点を折り返してから１０５０ｍ進んだところにいました。また、太郎君がA地点に着いたとき、花子さんはA地点まであと８４０ｍのところにいました。

（１）太郎君と花子さんの進む速さの比を求めなさい。

（２）花子さんは太郎君とすれちがった後、何ｍ進んだところで太郎君に追いこされましたか？

「（１）の速さの比５：２を使うんだよね」

「そう、速さの比は同じ時間なら進んだ道のりの比にもなるわけ」

「花子が２進む間に太郎は５進むってことだ」

「まず、イメージを見て」（クリックを）

Zu10

「花子の進んだ道のりを②とすると、太郎は②＋②＋①で⑤だから①は２１００ｍになる。AB間は②だから倍の４２００ｍ」

Zu11_2

Zu12

「４２００ｍを５：２に分けるわけだ」

「次が追いつかれるイメージ」（クリックを）

「すれちがってから、花子が追いこされるまでの道のりも５：２なわけだ」

「③にあたるのが１２００ｍ×２で２４００ｍ」

「それで花子の②が２４００ｍ÷３×２で１６００ｍになる」

「そういうこと」

「わかりやすく図が描ければなぁー」

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