図形の規則性（早稲田中学 受験算数問題 ２００９年）

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同じ大きさの正方形をしきつめて長方形を作り、図の直線PQが何個の正方形を通るかを考えます。図１の場合は４個の正方形を通り、図２の場合は２個の正方形を通ります。

①縦に３個、横に４個の正方形をしきつめて図３のような長方形を作った場合、何個の正方形を通りますか？

②縦に１２個、横に１６個の正方形をしきつめて図３のような長方形を作った場合、何個の正方形を通りますか？

③縦に１２個、横に１７個の正方形をしきつめて図３のような長方形を作った場合、何個の正方形を通りますか？

「何で図３に描いてみないの？描いてみなきゃわからないでしょうに」

「だって、①②③とも図３を使うからごちゃごちゃになると思って」

「消しゴムあるでしょ」

「それに図２みたく線の交点を通るかどうかがわからない」

「PQは長方形の中心を通るから、赤丸の交点より上を通るし青丸の交点より下を通るでしょ。だから６つの正方形を通る」

「そんな風にやるの？規則性は？」

「だんだん規則性が見えてくるの！」

「②も同じようにやるの？」

「①の図形をしきつめればいいわけでしょ」

「緑が①の図形と考えれば、①の４倍で２４個か」

「そう、ここで規則性」

「？？？」

「正方形が横４つなら境目は赤の３本。縦が３つなら境目は青の２本。PQはその境目を通過するごとに新しい正方形に入るから、新しく通る正方形は３＋２で、それにスタートした正方形１をたして６個というわけ」

「じゃあ、縦と横の境目をたして、１たせばいいの？」

「２×２のような場合は縦と横の境目が重なってしまう。でも１かける１なら境目が０だから０＋０＋１でこの規則が成り立つね。２×２はその２倍で２個」

「重なるか重ならないかの違いは？」

「縦と横の数が１以外の共通の約数をもつと重なるし、約数をもたないと重ならない」

「２×２は２が共通の約数だ」

「では③はどう？」

「もたないから１６＋１１＋１で２８個だ」

「縦と横の交点ではビミョーに重ならないよね」

「別の規則性発見したんだけど・・・」

「どんな？」

「縦３と横４をたすと７だから、縦１、横６個にする。これも６個になるよ」

「えっ？じゃあ③の縦１２個、横１７個の場合は？」

「たすと２９だから、縦１個、横２８個で２８個！」

「？？？？？？」

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