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2009年8月 9日 (日)

食塩水の割合とてんびん図(SAPIXサマーサポートより)

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「この模範解答の意味がよくわからない」

「どんな問題?」

2種類の食塩水A、Bがあります。A、Bを混ぜあわせるとき、A:B=2:3にすると12%の食塩水、A:B=3:2にすると10%の食塩水ができます。食塩水A、Bの濃度はそれぞれ何%になりますか?。

Ten1

「食塩水の量を決めて考えるとわかりやすい、って書いてあるね」

「Aを200g、Bを300gとかにするってこと?」

「そう、合計500gの食塩水が12%だから、食塩は60gになるわけ」

「Aが300g、Bが200gのときは10%だから50gか」

Ten2_4

  「ここからA、Bを計算する、って解答には書いてあるね」

(これって連立方程式?)

「消去算だろ?Bをそろえて消すには・・・」

上の式を2倍⇒A×400+B×600=120

下の式を3倍⇒A×900+B×600=150

A×500=30

「Aは0.06だから6%、0.06をAに入れて計算するとBは0.16で16%になる」

「塾ではもっとかんたんな方法で習ったけど、よくわからなかった」

「どんな?」

Ten3

「こんなてんびん図を描いて・・・」

Ten4

「③-②の①が2%にあたるから、2%ずつに区切ると・・・」

Ten5

「Aが6%でBが16%になるって」

「えっ、てんびん図ってこんな風に使うの?」

「そうらしい」

「・・・・・・」

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コメント

こんにちは
食塩水の混合の問題でスマートな解法として逆比を使うものが主流のようですが、教えられた小学生が意味を理解しているのかちょっと疑問です。理解しているのではなく、単に解法として覚えているだけであればその先の応用に活用できてこないのではないかと思います。
私は頭が硬く逆比がしっくりこないのですが、仮平均のような考え方が好きです。
本題の場合、水溶液A:Bの比率を5:0の場合から4:1,3:2,2:3,1:4,5:0と6つのケースを考えれば
A:B=5:0はもちろん純粋A水溶液
A:B=0:5は純粋B水溶液
そこで
A:Bが5:0, 4:1, 3:2, 2:3, 1:4, 0:5
と変化するにつれて水溶液の濃度はAのものからBのものへAとBの濃度の差の1/5だけ増えて(AよりもBのほうが濃い場合)いきます。
このように考えていけば今回の問題では
2:3が12%
3:2が10%
ですので1/5ずつ比率が変わるたびに2%濃度が変わることが分かります。
従って
5:0, 4:1, 3:2, 2:3, 1:4, 0:5
16% 14% (12%)(10%) 8% 6%
となります。

これは数学的には単に比例定数が一定のy=ax+bの一次関数ですが、逆比というのは反比例です。
小学生の世界観ではやはり正比例の方がしっくりくるのではないかと思うのですがいかがでしょう。(それに天秤の場合、両端でつりあうことは不可能ですよね?お子さんの突っ込みどころですね。)
もちろん、食塩水の問題はここでの模範解答を理解することが基本中の基本とは思います。

なるほど、そうゆうことなんですかですか。食塩水の問題を面積図やてんびん図で解く方法にはどうもなじめなくて、息子に質問されてもうまく答えられません。コメントを読ませていただいて、イメージがつかめました。AもBも5つのスライスにカットして、Bが5つから4つになって一つAが入った場合、その一つのスライスの濃度の差を塩の量と考えて、その分を5つのスライスみんなで負担して平均化すると全体の濃度は1/5薄まる、といった感じで説明できそうです。ただ、まだ、模範解答の基本を理解させることが先ですけどね。いつもアドバイスありがとうございます。またよろしくお願いします。

はじめまして、
天秤算は平均の問題と考えられます。

この問題ですが12%の食塩水と10%の食塩水を同量ずつ混ぜると11%の食塩水ができます。
この食塩水はAとBの食塩水を(2+3):(3+2)=5:5=1:1に混ぜた食塩水になります。

AとBを2:3に混ぜた食塩水は11%食塩水とBを4:1に混ぜたものと同じ濃さ。

4:1ですから5個の容器に同量ずつの食塩水が入っている図を考えます。
11%食塩水が4つ、Bの食塩水がひとつです。

1%薄い食塩水4つとB1つ混ぜるわけだからBが4%濃いとちょうどいい。
(Bから4つの11%食塩水に食塩1%ずつ移して代わりに水1%ずつBへ移すイメージ)
12+4=16でBは16%

検算してみましょう 12%より1%薄い食塩水4つと4%濃いB1つの平均は
{(12-1)x4+(12+4)}÷5=12
で合ってます。

AとBを3:2に混ぜた食塩水はAと11%食塩水を1:4に混ぜたものと同じ濃さだから。10%食塩水より4%薄いAは6%。

検算してみると
{(10-4)+(10+1)x4}÷5=10
10%になり合ってます。


数ある解法の内で私がやっているやり方は私が理解しやすいから、この解き方をあなたの子供にも教えるべき。という考えの教えてるつもり人が大半を占めている現状で、逆にここの管理人さんは子供と問題をちゃんと向き合わせてる。

分かってない人は数ある解法の内の1つを覚えさせるだけ、大半の塾では3つ4つを教えるだけだが、あなたは子供と問題を向き合わせて中心を理解させようとしてる。円周を攻めていては中心にたどり着くことは難しいが中心を攻めれば容易い。

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