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円の周りを回る円(早稲田中学 受験算数問題 2009年)

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Pic_0394

半径3cmの小円と、半径12cmの大円があり、小円の中には矢印が描かれています。小円が大円のまわりをすべることなく、時計と反対まわりに1周まわったとき、矢印が左を向くのは何回ですか?

「円周が4倍だから4回って答えると、きっと違うんだよね」

「疑うようになってきたね」

Doen

「同じ円だと1周すると2回転・・・」

「知ってるじゃない」

「知ってるけど、不思議に思ってる。同じ円周なのに何で2回転なのか・・・」

「実際にころがしてみようか」

「やっぱり1回多くて5回だ」

「法則があるみたい」

小円が大円の外側を1周するときは

大円の半径÷小円の半径+1

「この+1がよくわからないのだ」

「法則覚えといたら?」

「すっきりしない」

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コメント

そうですよね。
私も10円玉の回りを10円玉が一周するときに10円玉が「見た目」2周するのを知ってビックリしました。
やはり先入観はいけないと思いました。

今回、この問題をみて、考え方としては
①直線上であれば4周
②円周上を一周するのでプラス1
というのはどうでしょうか?
たとえば大きい円の上を小さい円上の同一点を大きい円に接触させてすべらるのをイメージします。小さい円上の矢印は常に大きい円の放射線上を示し、大きい円上を一周することによって1回転します。これは直線状を回転させずに滑らせたのと同じ動作ですが、円周上ですので外部からみると1回転しているように見えます。
ここで、小さい円を滑らさずに動かした場合はこの1回転にその経路長分の回転が加わる。

観察している座標と動作している座標が異なるためにこのように違和感を感じるのかなと思っています。

おっしゃるとおり、座標が違うんですよね。この前も、理科で月の公転と自転の時間が同じだから月は地球から同じ面しか見えないことを理解させるのに苦労しました。同じ面ばかり見えることは回転感覚とは違和感がありますからね。
円の外側を円が回る場合は1回転プラスするって教えたら、内側を回る場合は何で1回転マイナスするんだってつっこまれ、考えこんでしまいました。これって観察座標の回転と動作座標の回転が逆周りだからですかね?
また、ご意見お待ちしております。

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