比と割合（Sapix Daily Supportより）

Aの畑の広さはBの畑の広さの５/８倍で、Aの畑の豆の収穫高はBの畑の豆の収穫高の３/５倍です。Bの畑の１aあたりの収穫高が２７．５ｋｇであるとすると、Aの畑の１aあたりの収穫高は何ｋｇですか？

「なんかもうひとつよくわからないんだ、この問題」

「図にしてみた？」

「したよ」

　　　　　　A　　B

広さ　　　　５　　８

収穫高　　３　　５

「何か数字並べただけっていう感じだね。こんな風に描いてみたら」

「広さはA：B＝５：８で同じじゃないか」

「数字は同じだけどイメージが頭に入って、考えやすくなるでしょ？」

「そうかな・・・」

「収穫高も同じようにして・・・」

「ここまではわかるんだけど、次の３/５対５/８の意味がよくわからない」

「畑には作物がよく取れる畑と、そうでもない畑があるでしょ？」

「あるだろうね」

「その収穫高の違いを比で表したわけ」

「水色と緑色は同じ大きさなんだ」

「そう、その畑全体から取れる豆の量を、畑の広さで割って、同じ大きさの畑から取れる豆の量を比べてるわけだね」

「通分すると、A：B＝２４：２５だから、緑の畑の方がちょっといい畑ってこと？」

「そのB畑が１aあたり２７．５ｋｇ取れるんだから・・・」

「A畑はその２４/２５だから２６．４ｋｇ」

「どう、考えやすくなった？」

「畑の違いがわかった感じ」

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正方形とおうぎ形（Weekly Sapixより）

一辺の長さが１０cmの正方形の内部に、半径５ｃｍまたは１０ｃｍの円やおうぎ形をかいたものです。

（１）Aの面積に等しいものはア～カのうちどれですか？

（２）Bの面積に等しいものはア～カのうちどれですか？

「クイズに出そうな問題だね？」

「わかった！」

「正方形を４分割してみると同じ形が４つあるね」

「それと同じ大きい形はその４倍の面積だから同じだ」

「実際の試験問題は形が変わって出てきそう」

「そうだろうなぁー」

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和と差の考え方（Sapix Daily Supportより）

リンゴを子どもに配ることにしました。２０個ずつ配ると１８個足りません。そこで、全員に同じ個数ずつ配れるだけ配ったら、１０個余りました。リンゴの個数は何個ですか？すべての場合を答えなさい。

「この、すべての場合、っていうのがいやなんだよな」

「そんなこと言っててもしょうがないでしょ」

「どうやって考えたらいいのか・・・」

「とにかく図にしてみること。イメージわくし、ヒントがみつかるから」

「この□がわからないもんなぁー」

「上の２０個ずつの　(　の数と、下の黒い□ずつの　(　の数が同じ数になるのはわかる？」

「人数？」

「そう、では１人のリンゴの差は？」

「２０個－□個」

「じゃあ、人数分の差は？」

「人数分の差？」

「１８個＋１０個が人数分の差になってるでしょ」

「そうか、１人分の差で割れば人数が出る」

「そう」

「でも、やっぱり□がわからないと・・・」

「人数は１０人より多いよね」

「どうしてそんなことがわかる？」

「だって１０人以下だったら余った１０個配れるじゃないの」

「そうか・・・」

（１８個＋１０個）÷（２０個－□個）＝人数

２８個÷人数＝２０個－□個

「だから２８を割ることのできる１０より大きい数をみつければいい」

「１４と２８？」

「そう、人数は２通り考えられるわけ」

１４人・・・２０個×１４人－１８個＝２６２個

２８人・・・２０個×２８人－１８個＝５４２個

「で、□は？」

「１４人なら１８個で、２８人なら１９個でしょ」

「だけど、どうして２通りも答えがでるんだろう？」

「どうしって、って・・・？？？」

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正五角形の中の三角形つづき（麻布中学 受験算数問題 ２００６年）

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「昨日のつづき」

「（２）はA×２－B×１で表されるところまでだった」

「（３）も黄色部分と水色部分をAとBで表しなさい、っていう問題」

「等積変形・・・・」

「それでもできそうだね、キャラをクリックしてみて」

「黄色はDと同じになるからA×２＋B×１」

「水色はCと同じになるね」

「だからA×１＋B×１」

「（４）は青線で囲まれた部分をAとBで表して、それが正五角形の何倍になるか、っていう問題」

「今まで出してきた部分を使えばよさそうだな」

「どうやって分ける？」

「こうかな・・・」

「赤は？」

「黄色の２倍だから、全部で黄色が６個ある」

（A×２＋B×１）×６＝A×１２＋B×６

「それに正五角形は？」

「Aが５個とBが５個に（２）だから」

A×５＋B×５＋A×２－B×１＝A×７＋B×４

「それに水色２つ」

（A×１＋B×１）×２＝A×２＋B×２

「全部たすと・・・」

A×１２＋B×６＋A×７＋B×４＋A×２＋B×２

＝A×２１＋B×１２

「正五角形の何倍？」

「３倍！」

A×２１＋B×１２＝（A×７＋B×４）×３

「これで１問終わり」

「長・・・」

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正五角形の中の三角形（麻布中学 受験算数問題 ２００６年）

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図１のように、正五角形を２つの頂点を通る直線で折り、折り目をつけます。これをくり返し行うと、図２のような折り目がつきます。下の問いに答えなさい。

(1)

図２の中にはどのような三角形がありますか。A、B、C以外にあれば斜線を引いて表しなさい。移動したり、裏返したりして重なるものは同じと考えます。

　　　　　A　　　　　　　　　B　　　　　　　　　　C

「どんな三角形？」

「これと、これ」

「そこからまた問題」

各三角形は図２の中に、それぞれ何個ありますか？

「Aは５個で・・・」

「まず、A、B、Cを数えてみようか・・・」

「DもEも５個！」

「Dはもっと多いでしょ？」

「内側の正五角形の頂点５つを一つずつ使った三角形か・・・」

「黄色部分」

「１０個だ」

「そしてまた問題」

(2)

面積について考えます。たとえば、Cの面積はA１個の面積とB１個の面積を加えたものなので、A×１＋B×１と表します。Bの面積は、C１個の面積からA１個の面積を引いたものなので、C×１－A×１と表します。同じように、A２個の面積とB３個の面積を加えたものは、A×２＋B×３と表します。

青の五角形の面積をA、Bの面積を用いて表しなさい。

「△ABDと△BCDの面積は同じだから、そこからB２個引けばいい」

「式は？」

「A×２＋B×１－B×２」

「それって正解かな？」

「だって、そうじゃないか」

「A×２－B×１じゃない？」

「同じじゃないか」

「まあいいか、じゃあ次の問題」

「えっ？まだ続くの？」

「あと小問２題」

「また明日」

つづく

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げた箱の入れ方（四谷大塚 第１回合不合判定テストより）

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１２足のくつが入るげた箱があります。このげた箱には番号がついていて、A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、Lの１２人のくつが１足ずつ中に入っています。いま、次のようなことがわかっています。

アAのげた箱のまわりには８足のくつが入っていて、その中にFのくつはありません。

イBのげた箱のまわりには３足のくつが入っていて、それらはI、J、Lのくつです。

ウDのくつが入っているげた箱のななめ上は、A、Lのくつです。

エEのくつは、左はしの列（１番～３番）に入っています。

オE、G、Iのげた箱のまわりにはそれぞれ５足のくつが入っています。

１つのげた箱にはくつが１足だけ入っているものとして、次の問いに答えなさい。

（１）Fのくつは何番のげた箱に入っていますか？

（２）３番のげた箱にくつを入れている人はだれですか？考えられる人をすべて答えなさい。

「よく最後の問題までたどりついたね」

「こうゆうパズルっぽい問題はやってておもしろい」

「どう考えたの？」

「まず、エからEは１～３番で、オから端っこじゃないから２番に決定！」

「そうだね」

「Aはアから５か８だけど、８番だとウからDを６番にするとLとEが重なっちゃうからダメ。で５番にA」

「なるほど」

「だからDは９番で、Lは１１番」

「次は？」

「イからBは角で、まわりにLが入っているけどDはない。だから１２じゃなくて１０番」

「IとJは？」

「オからIは辺だから７で、Jは８になる」

「Fは？」

「アから１２番！」

「（２）は？」

「オからGだけ４か６で３番じゃない。残るのはC、H、K！」

「よくできました」

「こうゆう好きな問題ばかりだといいのに」

「この問題の前の２題、やった跡がないね」

「ムズそうなんで、とばした」

「・・・・・・」

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回転図形の比較（本郷中学 受験算数問題 ２００８年）

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１辺が１ｃｍの６つの正方形を並べてできた図形があります。

直線ABを軸にして１回転させてできる立体をア、直線ACを軸にして１回転させてできる立体をイとします。アの体積はイの体積の何倍ですか？（ただし、円周率は３．１４とします）

「ABを軸にすると、まん中の正方形は重なるのかな？」

「そんな感じだね」

「ACを軸にした場合がよくわからない」

「どんな立体になるか見てみようか」

「左２つはくりぬかれてる」

「そこに注意して、高さ１ｃｍの円柱を組み合わせていくの」

「３．１４は最後にかける？」

「というか、高さ×３．１４の部分は共通だから考えなくてもいいのでは？」

「そうなら簡単そうだ」

「まずアの１段目は？」

「２×２」

「２段目は？」

「重なるから１×１」

「３段目は？」

「２×２」

２×２＋１×１＋２×２＝９

「イの一番右は？」

「１×１」

「右から２番目は？」

「２×２」

「３番目は？」

「くりぬかれた部分を引くと３×３－１×１」

「４番目は？」

「３×３－２×２」

１×１＋２×２＋３×３－１×１＋３×３－２×２＝１８

「比べると？」

「２倍だ！」

「問題よく読んで！」

「そうか！、アはイの何倍か、だから１/２倍だ」

「最後まで慎重に！」

「でもこの問題、３．１４使わないのに、何で円周率は３．１４とします、なんて書いてあるんだろう？」

「使わないわけじゃなくて、省略できるの」

「それと、イの立体、凹のところに凸の部分がスポって入るから、３×３×２でもいいんだ」

「３．１４のことより、そっちの方を早く考え付くように」

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給水と排水（９月 四谷大塚合不合判定テストより）

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（図１）のように、仕切りによって２つの部分ア、イに分けられている直方体の形をした容器があります。この容器には、給水管が１本付いていて、アの部分に一定の割合で水を入れます。また、イの部分の底面には排水栓があり、栓を開けると一定の割合で排水します。いま、アの部分に水を入れ始め、しばらくしてから排水も始めました。（図２）のグラフは、アの部分に水を入れ始めてからの時間とアの部分の水の深さの関係を表したものです。仕切りの厚さは考えないものとします。

（１）排水を始めたのは、給水管から水を入れ始めてから何分後ですか？

（２）容器が満水になったところで、給水管を閉めました。排水栓から水が出なくなるのは、給水管から水を入れ始めてから何分後ですか？

「計算しているうちに時間がなくなった」

「３９分～８１分まではグラフが直線だから、排水を始めたのは１５分～３９分の間だね」

「それはわかる」

「順番に考えてみるよ。まず給水管から１分間にどれだけ水が入る？」

「１５分で１０ｃｍだから・・・」

４０×１８×１０÷１５＝４８０立方ｃｍ

「次に３９分～８１分までの水の増え方を計算してみる」

「なんで？」

「排水栓を開いたのは３９分より前と考えられるから、排水栓を開いた後の黄色部分の水の増え方を考えるわけ」

４０×（１８＋２４）×（１８－１０）÷（８１－３９）＝３２０立方ｃｍ

「排水栓を開いた後は１分間に３２０立方ｃｍ増えている」

「排水前の増える量から排水後の増える量を引くと？」

４８０－３２０＝１６０立方ｃｍ

「排水栓から１分間に排水する水の量だ」

「イの緑部分の水の量は？」

４０×２４×１０＝９６００立方ｃｍ

「９６００立方ｃｍ」

「もし最初から排水栓が開いていたら、３９－１５の２４分間でどのくらい水がたまっているかな？」

「３２０かけて・・・」

２４×３２０＝７６８０立方ｃｍ

「９６００－７６８０で１９２０立方ｃｍ足りないね」

「そうか！つるかめ算だ。差の１６０で割るのか・・・」

１９２０÷１６０＝１２分

１２分＋１５分＝２７分後

「（２）の排水される水はどの部分？」

「黄色と緑」

「そう、全体から青部分を引けばいいね」

４０×（１８＋２４）×１８－４０×１８×１０＝２３０４０立方ｃｍ

「これを１６０で割ればいい」

２３０４０÷１６０＝１４４分

「答え１４４分て書かないように！」

「えっ？何で・・・、そうか、最初からでした」

８１＋１４４＝２２５分後

「できた！と思って、すぐ書くと間違えやすい」

「でもこれ（２）の方がやさしくない？」

「差の１６０立方ｃｍが出せればね」

「そうか、時間がかかるか・・・」

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長方形の折り返し（９月四谷大塚合不合判定テストより）

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長方形ABCDを対角線ACで折り返したところ、三角形CDFの各辺の長さが１２ｃｍ、９ｃｍ、１５ｃｍになりました。

（１）BCの長さは何ｃｍですか。

（２）三角形ABEの面積は何ｃ㎡ですか。

「やさしそうなんだけど、できなかった」

「前、やったことない？」

「ありそうなんだけど・・・」

「どこが同じ角度になる？」

「えーと・・・」

「赤○は全部同じ角度だから、△黄は二等辺三角形でしょ」

「そうか、AFも１５ｃｍか・・・」

BC=AF＋FD=１５ｃｍ＋９ｃｍ＝２４ｃｍ

「（２）はどこが相似になるかの問題」

「角度が見えればわかるな、△AGEと△EGCだ」

「そう、辺は何対何？」

「ECも２４ｃｍだから・・・、AE：EC=１２：２４で１：２になる」

「面積比は？」

「１×１：２×２で１：４」

「△AGEの面積は？」

「△ACEの面積が１２ｃｍ×２４ｃｍ÷２だからその１/４」

「そうやって間違えるからなかなか点が伸びないの」

「えっ？・・・・・・、そうか１/５だった」

１２ｃｍ×２４ｃｍ÷２×１/５＝２８．８ｃ㎡

「△ABEはそのまた２倍！わかってる？」

「そうだった、やってるうちに忘れてた」

２８．８×２＝５７．６ｃ㎡

「やっと、答えがでた」

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折り紙問題も目で見てわかるアニメーション教材で！

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速さと周期算（麻布中学 受験算数問題 ２００９年）

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円形の池の周りに等間隔にA君、B君、C君がいます。３人は同じ速さでそれぞれ図の矢印の方向に同時に走り出しました。３人のうち２人が出会ったとき、その２人は反対向きに同じ速さで走ります。３人の速さは毎分２００ｍです。

（１）A君が２回目にB君と出会うまでに、走り始めてから１５分かかりました。池の１周の長さは何ｍですか？

（２）３人が同時にはじめの位置にもどるまで、走り始めてから何分かかりますか？

また、その間に３人のうち２人が出会うのは合計何回ですか？

「みんな１/３ずつ離れてるから、最初にA君とB君が出会うのはその半分で１/６のところだ」

「そうだね」

「A君はもどって１/６進むと今度は１/３進んできたC君と出会う。そして向きを変えて・・・、こんがらがってきた」

「グラフにしてみようか」

   

「A君とB君が最初に会ったのが１/６周したところで緑○、次にA君とC君が出会ったところが青○・・・、２つあるよ」

「上と下の線は同じ線と考えるの」

「じゃあ、B君とC君はそこから１/３周して出会う。これが赤○」

「A君も１/３周走っている」

「そこから１/６周でA君とB君は出会うわけだ。２回目の緑○」

「A君は全部で何周している？」

１/６＋１/６＋１/３＋１/６

「５/６周だ！」

「それが１５分」

「分速２００ｍだから、３０００ｍ！」

「それが５/６周にあたるわけ」

「１周は３６００ｍか」

「イメージで見てみようね」

「最後の１８分は？」

「太線のところ」

１５分÷５/６＝１８分

「そうか３人が１周分走る時間だ」

「３人の位置はどうなっているかな？」

「おお、１/３ずつずれてる」

「だからもとにもどるのは？」

「３周分の１８分×３で５４分！」

「１周で何個○がある？」

「青○は同じものだから・・・、４個だ」

４回×３周分＝１２回

「正解！」

「上の図だけど・・・、C君、池の中にいるみたいだね」

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カードをきる規則性（ウィークリーサピックスより）

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２２枚のカードが重ねてあります。これを同じ枚数ずつ上下２組に分け、上から、上組の１枚目、下組の１枚目、上組の２枚目、下組の２枚目・・・、というように交互に重ねていきます。これを「カードをきる」ということにします。

（１）２２枚のカードがすべてはじめの位置にもどるのは何回カードをきったときですか？

（２）２２枚のカードを８回きったとき、はじめの位置にもどっているカードは、はじめに上から何枚目にあったカードか、すべてあげなさい。

「問題の意味がよくわからない」

「トランプをきるのと同じ。上下二つに分けて、互い違いに重ねるわけ」

「うーん」

「何回きっても変わらないカードが２枚だけある。わかる？」

「一番上と一番下かな・・・」

「そう、じゃあ一番最初上から２番目のカードは？」

「えーと、３番目」

「そう、それを全部書き出してみる」

「地道だなぁー」

「上から２番目のカードは１回きると３番目に行って、次は５番目、その次が９番目になって、次が１７番目、次が１２番目、そしてもう一回きると２番目になってもとにもどる」

「ほんとかな？手品みたいだ」

「つまり６回きるともとにもどるわけ」

２→３→５→９→１７→１２→２

「これ全部のカードでやるわけ？」

「この６つのカードはみんな６回でもとにもどるから、それ以外のカードをグループ分けしていくの」

４→７→１３→４

「これは３回だ」

６→１１→２１→２０→１８→１４→６

「このグループも６回」

８→１５→８

「たった２回」

１０→１９→１６→１０

「これは３回」

１→１

２２→２２

「１回のものも含めて考えると、１と２と３と６の最小公倍数の６回で全部もとにもどる」

「そうか、８回ならあと２回だから、１と２２と８と１５だ」

「そう」

「これほんとに全部書かないとわからなそう」

「規則性は地道力も味方になるね」

「大きく書きすぎるとはみ出すし、小さいとわからなくなるし・・・」

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円周上をまわる２点の速度と比 （四天王寺中学 受験算数問題 2007年）

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円周上を点Ａ，Ｂが移動します。円周を４等分する点あ、い、う、え、があり、点Ａは地点「い」で１秒、地点「う」で２秒、地点「え」で３秒、地点「あ」で４秒止まり、各地点間の移動には２秒かかります。点Ｂは、どこにも止まることなく一定の速さで動きます。はじめに点Ａ，Ｂともに地点「あ」を出発し、点Ａは左回りに、点Ｂは右回りに動き出し、点Ａがちょうど１周して地点「あ」に着いたときに点Ｂと出会いました。

（１）点Ａと点Ｂが初めて出会うのは、地点「あ」を出発してから何秒後ですか？

（２）点Ａと点Ｂの速さの比は何対何ですか？

（３）３回目に点Ａと点Ｂが出会うのは、地点「あ」を出発してから何秒後になりますか？

「（１）はまん中あたりだから、うじゃないのかな？」

「ちゃんと計算してみて」

「Aは１周するのに２×４＋１＋２＋３で１４秒だからBも１４秒」

「Bはまん中のうでは、７秒だね」

「Aはうまで２＋１＋２で５秒で着く、で、２秒止まっているから７秒、ほら、やっぱりうだ！」

「なんだか当たったっていう感じ！」

「（２）はAの方が速いから・・・」

「どのくらい？」

「Aは動いた８秒で１周する」

「Bは１４秒だね」

「速さは逆比だから１４：８＝７：４」

「（３）は？」

「またうあたりじゃないの？」

「こんどはそう単純ではないの！クリックキャラを押してみて」

「いとうのあいだあたりだな」

「ちょうど出合ったところでキャラをクリックすると止まるよ」

「えーと、まず・・・」

Ａは１８秒で「あ」を出発

「い」に２０秒で到着、

２１秒で「い」を出発

２３秒で「う」に到着、

２５秒で「う」を出発。

Ｂは１周１４秒だから

２１秒で「う」に到着、

２４．５秒で「い」に到着

「２１秒でAはいを出発し、Bはうを出発しているね」

「３回目の出会いはAがいを出発して、うに着くまでにおこるな」

「AとBの速さの比が７：４だから、点Ａは地点「い」→「う」を２秒、点Ｂは地点「う」→「い」を３．５秒で移動するので、２点が出会うのは・・・」

点Ａで計算すると、

２１＋２×｛７/（７＋４）｝＝２２と３/１１秒後

点Ｂで計算しても、

２１＋３．５×｛４/（７＋４）｝＝２２と３/１１秒後

「２２秒はわかるけど、３/１１秒って割り切れないじゃないか。どこで出合ったんだろう？」

「すれちがっているんだから、出会ったことは間違いないでしょ」

「ぴったりこない・・・」

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点の移動問題も目で見てわかるアニメーション教材が豊富です！

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２００段のピラミッドのレンガの数（第２９回高校生クイズ全国大会１回戦問題より）

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１段目は１×１個、２段目は２×２個のレンガを使い、２００段のピラミッドを作るとき、使われているレンガの数は全部で何個？

「一番上が１、次が４、次が９・・・最後が４００００、これ全部たすんだ」

「もちろん規則性がある」

「ガウス算使うみたいだけど・・・」

「使うけど、ちょっと工夫しないと。たとえば５段の場合、

段を一箇所にそろえて横に倒してみると・・・」

「この数は？」

「左のピラミッドを横から見たときのレンガの数と

倒したピラミッドを上から見たときのレンガの数」

「両方とも同じ個数だ」

「数字の位置を動かしたピラミッドを3通り作って重ねると、それぞれの位置の和がどれも等しくなる」

「えっ？意味わかんない」

「こんな風に重ねていくの」

「まだよくわからない」

「アニメーションを見てごらん」

「おお、なるほど・・・」

「全部同じ個数になったでしょ」

「これでガウス算が使えそう」

１＋２＋３＋・・・・・＋２００

＋）

２００＋１９９＋１９８＋・・・・・・＋１

２０１×２００÷２＝２０１００

「これが２００×２＋１段」

４０１段×２０１００個＝８０６０１００個

「同じ個数のピラミッドを３つ重ねたから・・・」

８０６０１００個÷３＝２６８万６７００個

「早くできた高校生は式を知ってたわけ」

「どんな式？」

段数×（段数＋１）×（段数×２＋１）×１/６

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立方体の問題は目で見てわかるアニメーション教材が豊富です！

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展開図からの分割と面積 （開成中学 受験算数問題 2006年）

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図１のような厚紙があります。６つの正方形は一辺の長さが６ｃｍです。また点Ｐから点Ａまでの長さは２ｃｍです。点線のところで厚紙を折り、図２のように立方体を作りました。このとき、くっつく辺は全てのりづけしました。次に、この立方体を、Ｐ，Ｂ，Ｃを通る平面で切り、２つに分けました。ところが、その後にのりづけしたところが全てはがれてしまいました。

（１）厚紙は何個の部分に分かれましたか。

（２）何個かに分かれた部分のうち、最も面積の大きいものの面積を求めなさい。

「うーん、４つかな・・・」

「見てみようか？」

「やっぱり４つだ」

「一番大きい面積は ？」

「黄色か青だ」

「台形と三角形の組み合わせみたいだね」

「黄色は・・・」

（１４＋１２）×６÷２＝７８ｃ㎡

「青は？」

（８＋１２）×６÷２＋４×４÷２＋６×６÷２＝８６ｃ㎡

「だから青の８６ｃ㎡だ」

「ちょっとまって、EDの長さが４ｃｍって、どうして？」

「見ればなんとなく・・・」

「そうゆう問題じゃないでしょ」

「えーと・・・」

「△ＢＣＦと△ＤＰＥが相似でしょ？」

「？？？」

「こんなイメージ」

「シルエットみたい」

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直角三角形はいくつできる？（Daily Sapixより）

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１目もりが１ｃｍの方眼に２点A、Bと、もう１つの点を選んで、その３点を頂点とする三角形をつくる場合、１つの角度が９０゜になる三角形はいくつできますか？

「点Aでは直角になりそうだけど、点Bでは直角にならない」

「点Aを通る線を引いてみたら？」

「△黄と△緑は１：２の相似だから、角○＋角△は直角になるな」

「点線が●を通るところを頂点にすればいいね」

「３つできる」

次はABを直径とする円を考える

「解答にはそう書いてあるね」

「なんでピンク○のとこが直角になるんだ？」

「円の直径と円周上の点でできる三角形はみんな直角三角形になるって習わなかった？」

「習ってない」

「じゃあ、こんな問題やったことない？」

「？」

「同じ弧の上で、円の中心のところでできる角は円周上でできる角の２倍になるっていうの」

「やったような気がする」

「だったら直径は中心で１８０゜だから、円周上では半分の９０゜って考えられるでしょう？」

「考えつかない」

「とにかく円が通る●は４つ」

３＋４＝７つ

「AとBの中心から桂馬飛びすればいいんだ」

「将棋？？」

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立体の色ぬり（芝中学 受験算数問題 2007年）

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底面、上面が大きさの異なる正方形で、側面が４つの等しい台形からなる立体があります。この立体に赤、青、黄色の３色の色をぬるとき、同じ色を２回ずつ使ってぬる方法は何通りですか？

ただし、立体を回転させたとき同じになるぬり方は、同じものとします。

「全部で６面あるから、２面ずつぬるってことかな？」

「そう、まず底面と上面が同じ色の場合はどうなるかな？」

「側面はこれと・・・」

「これの２通り」

「上下が同じ色になるのは３通りだから・・・」

２×３＝６通り

「次は上下が違う場合」

「これと・・・」

「この２つで３通り、上下がひっくり返って倍の６通り」

「上下の色の組み合わせは３通りだから・・・」

６×３＝１８通り

６通り＋１８通り＝２４通り

「やっぱりこうやって、一つ一つ調べていかなきゃだめなのかなぁ？」

「小学生はね」

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□にあてはまる数（SAPIX 第１回 比較合判テストより）

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「計算問題で一つできなかった」

３つの□には同じ整数が入ります。

「順番に逆算していけばいいのでは？」

｛□×□－１８０÷（□－１）｝＝１９

「ここまではできたんだけど、この先が・・・」

「ちょっとまって・・・」

□×□×（□－１）－１８０＝１９×（□－１）

□×□×□－□×□－１９×□－１６１＝０

（これって３次方程式？？？）

「簡単にはできないね」

「同じ数をかけたものから何か引いたら１９だったわけだから、□は４じゃなくてもっと大きい」

「そうだね」

「□を５にしてみたら２５－４５でだめ」

「６は？」

「３６－３６でやっぱりだめだった」

「７なら１９になるね」

「６でやめた」

「もったいなかったね、次だったのに」

「このままずーっと、一つずつ計算していかなきゃならない気がして・・・、時間が足りなくなると思った」

「そうか、それも正解かもね」

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展開図からの組み立て（巣鴨中学 受験算数問題 2003年）

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図１は、ある立体の展開図で、たて５ｃｍ、よこ６ｃｍの長方形４個、等しい辺の長さが５ｃｍの二等辺三角形４個で作られています。

（１）この立体の頂点の数と辺の数はいくつですか？

（２）この立体の体積を求めなさい。

必要ならば図２の直角三角形を用いなさい。

「想像つかないなぁ・・・」

「頭の中でよーく考えてから、クリックしてみて」

「こんな風になるんだ・・・」

「この形は何？」

「三角柱を２つ重ねた形みたいだな」

「じゃあ、頂点と辺の数は？」

頂点の数は、８個、

辺は、１４本

「体積は？」

「図２の直角三角形２つ分が底辺の面積で、高さが６ｃｍだから・・・」

底面積は、６×４÷２＝１２ｃ㎡

立体の体積は、１２×６×２＝１４４立方ｃｍ

「頭の中で組み立てるのは大変だけど、練習、練習！」

「このぐらいがやっとだ・・・」

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平面図形の角度（女子学院中学 受験算数問題 2009年）

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四角形ＡＢＣＤは正方形で、ＥＦはＢＣとＡＤが重なるように折ったときの折り目です。ＧＢはＡとＥＦ上の点Ｈが重なるように折ったときの折り目です。図の角①と②の大きさを求めなさい。

「これって、直角以外何もわかってないじゃないか」

「ヒントは学校で使う三角定規！」

「えっ？」

「角度の問題は三角定規の形がかくれていることが多いの」

「△ＡＥＨがそれっぽいけど、角度がわからない」

「ＥＦで折ってみたら？」

「おお、△緑と△黄は同じ三角形だ」

「斜辺が重なるでしょ」

「でも、まだあの三角定規の形かどうかわからない・・・」

「ＧＢで折るとＡとＨが重なるって問題に書いてあるでしょ」

「ということは、ＡＢとＢＨが重なる・・・、

そうか△ＡＢＨは辺が全部正方形の一辺と同じで、

正三角形になるのか」

①＝９０゜－６０゜＝３０゜

「△ＡＨＤは何三角形？」

「二等辺三角形！」

∠ＡＤＨ＝（１８０゜－３０゜）÷２＝７５゜

②＝７５゜

「三角定規あまり使ってないでしょ」

「クルクルまわすとか・・・」

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円の周りを回る円（早稲田中学 受験算数問題 2009年）

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半径３ｃｍの小円と、半径１２ｃｍの大円があり、小円の中には矢印が描かれています。小円が大円のまわりをすべることなく、時計と反対まわりに１周まわったとき、矢印が左を向くのは何回ですか?

「円周が４倍だから４回って答えると、きっと違うんだよね」

「疑うようになってきたね」

「同じ円だと１周すると２回転・・・」

「知ってるじゃない」

「知ってるけど、不思議に思ってる。同じ円周なのに何で２回転なのか・・・」

「実際にころがしてみようか」

「やっぱり１回多くて５回だ」

「法則があるみたい」

小円が大円の外側を１周するときは

大円の半径÷小円の半径＋１

「この＋１がよくわからないのだ」

「法則覚えといたら？」

「すっきりしない」

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立方体の切断回数（横浜共立学園中学 受験算数問題 2008年）

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立方体を立方体の面と平行な面で切っていきます。

切ったあとも立方体は形を保ったままにします。

たとえば、２回、立方体を切ったとき、立方体は４個の部分に分けられます。

（１）立方体を３回切ると、表面積は元の立方体に比べて何倍になりますか。

（２）立方体を何回か切ったところ、表面積が１８倍になりました。切った回数を求めなさい。

「これも規則性がある問題だね」

「１回切ると切り口の面が２つできる」

「そう、じゃあ実際に切ってみようか」

「おお、１回切るごとに面が２つ増えていく」

「それが規則性！」

「３回だと６面増えるから、元の立方体の６面と同じになる」

「だから２倍だね」

「１８倍だと・・・」

「逆算するの」

（□×２）÷６＝１８

「□は５４だ」

「最初の立方体の６面を忘れてる！」

（６＋□×２）÷６＝１８

「５１回でした」

「まだ、つめが甘い」

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第２９回高校生クイズ準決勝延長戦問題（東大寺学園高校 ｖｓ 開成高校 数学オリンピック問題より）

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「友達、みんな見てたって、高校生クイズ大会」

サイコロを６回ふったとき、何回目かに出た目の数の和が６になる確率を求めなさい。

「確率ってわかる？」

「６回に１回６が出るってこと？」

「つまり確率は・・・」

「そうか」

「じゃあ２回ふったら？」

「６×６の場合の数のうち・・・」

「樹形図の練習になるね」

（１、５）（２、４）（３、３）（４、２）（５、１）

「この５通りだ！」

「だから確率はこう」

「３回ふると６×６×６で・・・」

（１、１、４）（１、２、３）（１、３、２）（１、４、１）（２、１、３）（２、２、２）（２、３、１）（３、１、２）（３、２、１）（４、１、１）

「１０通りだね」

「確率は・・・」

「４回は？」

（１、１、１、３）（１、１、２、２）（１、１、３、１）（１、２、１、２）（１、２、２、１）（１、３、１、１）（２、１、１、２）（２、１、２、１）（２、２、１、１）（３、１、１、１）

「これも１０通りだ」

「６×６×６×６のうち１０通りだから確率は・・・」

「５回は６×６×６×６×６のうち・・・」

（１、１、１、１、２）

「２がどこで出るかっていうことだから・・・」

「５通り！」

「確率は・・・」

「６回ふって６になるのは全部１が出たときだけ。こんなことめったにない」

（１、１、１、１、１、１）

「これ全部たすの」

「通分するのか！ぎゃー」

「計算できた？」

「勝った東大寺学園てすごいね」

「これ算数オリンピックの問題だって」

「スポーツの方がいい！」

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歯車と比（ＳＡＰＩＸ ８月 マンスリーテストより）

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図のような自転車があり、ペダルのついている直径２５ｃｍの歯車と、後のタイヤと合わさっている直径１０ｃｍの歯車が、チェーンでつながれています。この自転車のペダルを１秒間に１回転の割合でこぐと、自転車の走る速さは時速何ｋｍになりますか？（円周率は３．１４でとします）

「どうして間違ったのかな？」

「どうやって計算したの？」

「まず大きい歯車の円周を出す。

２５ｃｍ×３．１４＝７８．５ｃｍ

そして小さい歯車の円周も出す。

１０ｃｍ×３．１４＝３１．４ｃｍ

大きい歯車の円周割る小さい歯車の円周で・・・

７８．５ｃｍ÷３１．４ｃｍ＝２．５」

「ちょっとまって！何でそんなに３．１４を２回も使ったり、めんどうな割り算して２．５出すの？

ペダル１回転すれば２５/１０で後の歯車は２．５回まわるでしょ。だからくっついているタイヤも１秒間で２．５回まわるでしょうに」

「・・・・・・」

「そこで初めて３．１４使えばいい

８０ｃｍ×３．１４×２．５回×３６００秒

ｍだから１/１００かけて、ｋｍだから１/１０００かける

８０×３．１４×２．５×３６００×１/１００×１/１０００

＝８×３．１４×２．５×３６×１/１００

＝２０×３．１４×３６×１/１００

＝３．１４×７．２

＝２２．６０８ｋｍ

最後まで３．１４は残しておくと計算しやすいね」

「なぜだか３．１４すぐ計算したくなるんだ」

「○とか□とかにして最後に計算したらどうかな？」

「○や□だと計算じゃないみたいだ」

「じゃあ、π・・・」

「えっ？」

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速さとグラフ、通過算（ＳＡＰＩＸ ８月マンスリーテストより）

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ある鉄道路線に、図のような２つのトンネルＡ、Ｂがあり、その間は橋で結ばれている区間があります。トンネルＢの長さはトンネルＡの長さの０．６倍です。この区間を、長さ４０ｍの電車が西から東に向かって通過しました。下のグラフは、この電車が通過する様子を観察し、電車がトンネルＡに入り始めてからの時間と、電車が見えていた部分の長さとの関係を表したものです。

（１）グラフＸは何秒ですか？

（２）トンネルＡの長さは何ｍですか？

「合っているはずなんだけど、間違ってた」

「じゃあ電車、動かしてみるよ」

「うん」

「まず、トンネルＡの長さを電車が走るのに２５秒かかった」

「入り始めが０で、出始めが２５秒だから・・・」

「トンネルＢなら２５秒×０．６で１５秒かかるわけ」

「ＸがＢトンネルへの入り始めか・・・」

「Ｂトンネルを出始めるのが４７．５秒」

「だから、４７．５秒から１５秒引いてＸは３２．５秒だ」

「では、グラフのななめ部分はなんでしょう？」

「電車の長さ４０ｍを走った時間だから、３７．５秒－３２．５秒で５秒！」

「Ａトンネルは２５秒かかったんでしょ？」

「５倍かかったわけだから４０ｍ×５で２００ｍ！」

「試験でできるように！」

「通過算の神様になる！」

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周期の規則性（SAPIX ８月マンスリーテストより）

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前向きにも後ろ向きにも秒速４ｍで走るおもちゃの車があります。この車は出発すると、まず、５秒間前向きに走り、次に２秒間後ろ向きに走り、再び５秒間前向きに走り、・・・と５秒間前向きに走っては２秒間後ろ向きに走ることをくり返しながら進んでいきます。この車を、図のA地点から、右の方向に前を向けて出発させ、直線ℓ上を走らせます。

（１）出発してから１６秒後に、この車はA地点から何ｍの地点にいますか？

（２）この車が初めてＢ地点に来るのは、出発してから何秒後ですか？

（３）この車がＣ地点に来るのは、出発してから何秒後ですか。すべて答えなさい。

「（１）はできたんだけど（２）が間違って、（３）はできなかった」

「まず車の動きを見てみようか」

「うん」

「この動きでわかるように、５秒＋２秒の７秒間で、５秒×４ｍ－２秒×４ｍの１２ｍ進んでいるね」

「１４秒で倍の２４ｍ、あと２秒×４ｍたして３２ｍ」

「（２）は注意しなければいけないところがあるよ」

「６０ｍ÷１２ｍで５倍だから７秒かけて３５秒って書いたら間違った」

「ちゃんとひっかかってる。初めてＢ地点に来るとき！」

「そうか、もどる前にもう着いてるのか」

「３周期目の終わりでは３６ｍだから２０ｍたしても６０ｍにとどかない」

「４周期目の４８ｍから考えればいいのか」

「４周期目終わりが７秒×４で２８秒。あと１２ｍだから４ｍで割って３秒」

「２８秒＋３秒の３１秒後だ」

「（３）は１００ｍに着いたとき全部数えるわけ」

「７周期目の終わりが８４ｍで４９秒。ここからだな・・・」

「５秒後に１０４ｍまで来るからその１秒前で５３秒がまず最初」

「１０４ｍのところが５４秒だから１秒４ｍもどって５５秒が１００ｍ。これが２回目だ」

「９６ｍまでもどって５６秒だから４ｍ進んで５７秒が３回目」

「もう、もどってこないかな？」

「９６ｍから２０ｍ進んで１１６ｍまで行ってるから、８ｍもどっても１０８ｍ。１００ｍには来ない」

「それにしても秒速４ｍって、すごいおもちゃの車だよな」

「そう？？？」

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計算の工夫２（SAPIX ８月マンスリーテストより）

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０．３２×１２－０．０１８×３２＋１．４８×３．２＝

「すぐ下に

３．２×１．２－０．１８×３．２＋１．４８×３．２

って書いてあるから工夫したんだ」

「うん。０．３２を１０倍したから１２を１/１０にして、０．０１８を１０倍したから３２を１/１０にする。それで全部３．２でそろえる」

「進化してる！でもその下に書いてある筆算は何？」

「一つ一つ計算して、最後に引き算と足し算」

「工夫した意味ないじゃないの！」

「全部３．２だから計算しやすい」

「３．２でまとめるの！」

３．２×（１．２－０．１８＋１．４８）

＝３．２×２．５＝８

「こっちの方が早いか」

「ぜんぜん早い。小数点が計算しにくかったら１０００倍して１/１０００かけてもいい」

１/１０００×３２×１２０－１/１０００×３２×１８＋１/１０００×３２×１４８

＝１/１０００×３２×（１２０－１８＋１４８）

＝１/１０００×３２×２５０

＝１/４×３２＝８

「これもいいな」

「次の問題はもっとひどいね」

４１４７２秒は１日の何割何分ですか？

「合ってたけど・・・」

６４８÷１３５０＝０．４８

「いったい何？これ？」

「地道に確実に・・・」

「８６４で割れば一発！

でもここまでは無理としても、せめてこのぐらいは・・・」

「そうか９で割って、１２で割って、８で割って・・・」

「後の問題２題分くらいここで時間損してるよ」

「だから時間足りなくなるんだ」

「ここで合ってても、全体では結局－１０点」

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長方形の等積分割（SAPIX ８月マンスリーテストより）

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四角形ABCDは長方形です。黄色の部分の面積は何ｃ㎡ですか？

「やり方はわかったんだけど、うまくいかなかった」

「左の面積移動教材にある長方形を分割する問題の応用でしょ」

「だから線を引いて分けてみたんだけど・・・」

「いいじゃない、どうしてできなかったの？」

「左上と右下は直角三角形二つに分けられたけど、右上と左下がうまくいかない。重なっちゃう」

「何言ってんの、それが答えでしょうに」

「えっ？」

「こうであれば長方形の半分だけど、重なっている部分がある」

「そう、赤い部分が重なっている」

「だから白い部分より１×３の３ｃ㎡少ないんでしょ」

「そうか、（７７－３）÷２か」

３７ｃ㎡

「重なっているところが逆にヒントになっているね」

「今度でてきたら間違わないぞ」

「姿かたちを変えてでてくるよ」

「・・・・・・」

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