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2009年9月

2009年9月30日 (水)

比と割合(Sapix Daily Supportより)

Aの畑の広さはBの畑の広さの5/8倍で、Aの畑の豆の収穫高はBの畑の豆の収穫高の3/5倍です。Bの畑の1aあたりの収穫高が27.5kgであるとすると、Aの畑の1aあたりの収穫高は何kgですか?

「なんかもうひとつよくわからないんだ、この問題」

「図にしてみた?」

「したよ」

      A  B

広さ    5  8

収穫高  3  5

「何か数字並べただけっていう感じだね。こんな風に描いてみたら」

Hi1

「広さはA:B=5:8で同じじゃないか」

「数字は同じだけどイメージが頭に入って、考えやすくなるでしょ?」

「そうかな・・・」

「収穫高も同じようにして・・・」

Hi2

「ここまではわかるんだけど、次の3/5対5/8の意味がよくわからない」

「畑には作物がよく取れる畑と、そうでもない畑があるでしょ?」

「あるだろうね」

「その収穫高の違いを比で表したわけ」

Hi3

「水色と緑色は同じ大きさなんだ」

「そう、その畑全体から取れる豆の量を、畑の広さで割って、同じ大きさの畑から取れる豆の量を比べてるわけだね」

「通分すると、A:B=24:25だから、緑の畑の方がちょっといい畑ってこと?」

「そのB畑が1aあたり27.5kg取れるんだから・・・」

「A畑はその24/25だから26.4kg」

「どう、考えやすくなった?」

「畑の違いがわかった感じ」

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2009年9月29日 (火)

正方形とおうぎ形(Weekly Sapixより)

Mon1

一辺の長さが10cmの正方形の内部に、半径5cmまたは10cmの円やおうぎ形をかいたものです。

(1)Aの面積に等しいものはア~カのうちどれですか?

(2)Bの面積に等しいものはア~カのうちどれですか?

「クイズに出そうな問題だね?」

「わかった!」

「正方形を4分割してみると同じ形が4つあるね」

「それと同じ大きい形はその4倍の面積だから同じだ」

「実際の試験問題は形が変わって出てきそう」

「そうだろうなぁー」

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2009年9月28日 (月)

和と差の考え方(Sapix Daily Supportより)

Img

リンゴを子どもに配ることにしました。20個ずつ配ると18個足りません。そこで、全員に同じ個数ずつ配れるだけ配ったら、10個余りました。リンゴの個数は何個ですか?すべての場合を答えなさい。

「この、すべての場合、っていうのがいやなんだよな」

「そんなこと言っててもしょうがないでしょ」

「どうやって考えたらいいのか・・・」

「とにかく図にしてみること。イメージわくし、ヒントがみつかるから」

Zu

「この□がわからないもんなぁー」

「上の20個ずつの ( の数と、下の黒い□ずつの ( の数が同じ数になるのはわかる?」

「人数?」

「そう、では1人のリンゴの差は?」

「20個-□個」

「じゃあ、人数分の差は?」

「人数分の差?」

「18個+10個が人数分の差になってるでしょ」

「そうか、1人分の差で割れば人数が出る」

「そう」

「でも、やっぱり□がわからないと・・・」

「人数は10人より多いよね」

「どうしてそんなことがわかる?」

「だって10人以下だったら余った10個配れるじゃないの」

「そうか・・・」

(18個+10個)÷(20個-□個)=人数

28個÷人数=20個-□個

「だから28を割ることのできる10より大きい数をみつければいい」

「14と28?」

「そう、人数は2通り考えられるわけ」

14人・・・20個×14人-18個=262個

28人・・・20個×28人-18個=542個

「で、□は?」

「14人なら18個で、28人なら19個でしょ」

「だけど、どうして2通りも答えがでるんだろう?」

「どうしって、って・・・???」

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2009年9月27日 (日)

正五角形の中の三角形つづき(麻布中学 受験算数問題 2006年)

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Mon8

「昨日のつづき」

「(2)はA×2-B×1で表されるところまでだった」

「(3)も黄色部分と水色部分をAとBで表しなさい、っていう問題」

Mon5

「等積変形・・・・」

「それでもできそうだね、キャラをクリックしてみて」

「黄色はDと同じになるからA×2+B×1」

「水色はCと同じになるね」

「だからA×1+B×1」

「(4)は青線で囲まれた部分をAとBで表して、それが正五角形の何倍になるか、っていう問題」

Mon6

「今まで出してきた部分を使えばよさそうだな」

「どうやって分ける?」

「こうかな・・・」

Mon7

「赤は?」

「黄色の2倍だから、全部で黄色が6個ある」

(A×2+B×1)×6=A×12+B×6

「それに正五角形は?」

「Aが5個とBが5個に(2)だから」

A×5+B×5+A×2-B×1=A×7+B×4

「それに水色2つ」

(A×1+B×1)×2=A×2+B×2

「全部たすと・・・」

A×12+B×6+A×7+B×4+A×2+B×2

=A×21+B×12

「正五角形の何倍?」

「3倍!」

A×21+B×12=(A×7+B×4)×3

「これで1問終わり」

「長・・・」

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2009年9月26日 (土)

正五角形の中の三角形(麻布中学 受験算数問題 2006年)

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図1のように、正五角形を2つの頂点を通る直線で折り、折り目をつけます。これをくり返し行うと、図2のような折り目がつきます。下の問いに答えなさい。

Mon0

(1)

図2の中にはどのような三角形がありますか。A、B、C以外にあれば斜線を引いて表しなさい。移動したり、裏返したりして重なるものは同じと考えます。

     A         B          C

Mon1

「どんな三角形?」

「これと、これ」

Mon2

「そこからまた問題」

各三角形は図2の中に、それぞれ何個ありますか?

「Aは5個で・・・」

「まず、A、B、Cを数えてみようか・・・」

「DもEも5個!」

「Dはもっと多いでしょ?」

Mon3

「内側の正五角形の頂点5つを一つずつ使った三角形か・・・」

「黄色部分」

「10個だ」

「そしてまた問題」

(2)

面積について考えます。たとえば、Cの面積はA1個の面積とB1個の面積を加えたものなので、A×1+B×1と表します。Bの面積は、C1個の面積からA1個の面積を引いたものなので、C×1-A×1と表します。同じように、A2個の面積とB3個の面積を加えたものは、A×2+B×3と表します。

Mon4

青の五角形の面積をA、Bの面積を用いて表しなさい。

「△ABDと△BCDの面積は同じだから、そこからB2個引けばいい」

「式は?」

「A×2+B×1-B×2」

「それって正解かな?」

「だって、そうじゃないか」

「A×2-B×1じゃない?」

「同じじゃないか」

「まあいいか、じゃあ次の問題」

「えっ?まだ続くの?」

「あと小問2題」

「また明日」

つづく

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2009年9月25日 (金)

げた箱の入れ方(四谷大塚 第1回合不合判定テストより)

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12足のくつが入るげた箱があります。このげた箱には番号がついていて、A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、Lの12人のくつが1足ずつ中に入っています。いま、次のようなことがわかっています。

Aのげた箱のまわりには8足のくつが入っていて、その中にFのくつはありません。

Bのげた箱のまわりには3足のくつが入っていて、それらはI、J、Lのくつです。

Dのくつが入っているげた箱のななめ上は、A、Lのくつです。

Eのくつは、左はしの列(1番~3番)に入っています。

E、G、Iのげた箱のまわりにはそれぞれ5足のくつが入っています。

1つのげた箱にはくつが1足だけ入っているものとして、次の問いに答えなさい。

(1)Fのくつは何番のげた箱に入っていますか?

(2)3番のげた箱にくつを入れている人はだれですか?考えられる人をすべて答えなさい。

「よく最後の問題までたどりついたね」

「こうゆうパズルっぽい問題はやってておもしろい」

「どう考えたの?」

「まず、エからEは1~3番で、オから端っこじゃないから2番に決定!」

Kai1

「そうだね」

「Aはアから5か8だけど、8番だとウからDを6番にするとLとEが重なっちゃうからダメ。で5番にA」

「なるほど」

「だからDは9番で、Lは11番」

Kai2

「次は?」

「イからBは角で、まわりにLが入っているけどDはない。だから12じゃなくて10番」

「IとJは?」

「オからIは辺だから7で、Jは8になる」

Kai3_2

「Fは?」

「アから12番!」

Kai4

「(2)は?」

「オからGだけ4か6で3番じゃない。残るのはC、H、K!」

「よくできました」

「こうゆう好きな問題ばかりだといいのに」

「この問題の前の2題、やった跡がないね」

「ムズそうなんで、とばした」

「・・・・・・」

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2009年9月24日 (木)

回転図形の比較(本郷中学 受験算数問題 2008年)

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Mon

1辺が1cmの6つの正方形を並べてできた図形があります。

直線ABを軸にして1回転させてできる立体をア、直線ACを軸にして1回転させてできる立体をイとします。アの体積はイの体積の何倍ですか?(ただし、円周率は3.14とします)

「ABを軸にすると、まん中の正方形は重なるのかな?」

「そんな感じだね」

「ACを軸にした場合がよくわからない」

「どんな立体になるか見てみようか」

「左2つはくりぬかれてる」

「そこに注意して、高さ1cmの円柱を組み合わせていくの」

「3.14は最後にかける?」

「というか、高さ×3.14の部分は共通だから考えなくてもいいのでは?」

「そうなら簡単そうだ」

「まずアの1段目は?」

「2×2」

「2段目は?」

「重なるから1×1」

「3段目は?」

「2×2」

2×2+1×1+2×2=9

「イの一番右は?」

「1×1」

「右から2番目は?」

「2×2」

「3番目は?」

「くりぬかれた部分を引くと3×3-1×1」

「4番目は?」

「3×3-2×2」

1×1+2×2+3×3-1×1+3×3-2×2=18

「比べると?」

「2倍だ!」

「問題よく読んで!」

「そうか!、アはイの何倍か、だから1/2倍だ」

「最後まで慎重に!」

「でもこの問題、3.14使わないのに、何で円周率は3.14とします、なんて書いてあるんだろう?」

「使わないわけじゃなくて、省略できるの」

「それと、イの立体、凹のところに凸の部分がスポって入るから、3×3×2でもいいんだ」

「3.14のことより、そっちの方を早く考え付くように」

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2009年9月23日 (水)

給水と排水(9月 四谷大塚合不合判定テストより)

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(図1)のように、仕切りによって2つの部分ア、イに分けられている直方体の形をした容器があります。この容器には、給水管が1本付いていて、アの部分に一定の割合で水を入れます。また、イの部分の底面には排水栓があり、栓を開けると一定の割合で排水します。いま、アの部分に水を入れ始め、しばらくしてから排水も始めました。(図2)のグラフは、アの部分に水を入れ始めてからの時間とアの部分の水の深さの関係を表したものです。仕切りの厚さは考えないものとします。

(1)排水を始めたのは、給水管から水を入れ始めてから何分後ですか?

(2)容器が満水になったところで、給水管を閉めました。排水栓から水が出なくなるのは、給水管から水を入れ始めてから何分後ですか?

「計算しているうちに時間がなくなった」

「39分~81分まではグラフが直線だから、排水を始めたのは15分~39分の間だね」

「それはわかる」

「順番に考えてみるよ。まず給水管から1分間にどれだけ水が入る?」

「15分で10cmだから・・・」

40×18×10÷15=480立方cm

「次に39分~81分までの水の増え方を計算してみる」

「なんで?」

「排水栓を開いたのは39分より前と考えられるから、排水栓を開いた後の黄色部分の水の増え方を考えるわけ」

Mon2

40×(18+24)×(18-10)÷(81-39)=320立方cm

「排水栓を開いた後は1分間に320立方cm増えている」

「排水前の増える量から排水後の増える量を引くと?」

480-320=160立方cm

「排水栓から1分間に排水する水の量だ」

「イの緑部分の水の量は?」

40×24×10=9600立方cm

「9600立方cm」

「もし最初から排水栓が開いていたら、39-15の24分間でどのくらい水がたまっているかな?」

「320かけて・・・」

24×320=7680立方cm

「9600-7680で1920立方cm足りないね」

「そうか!つるかめ算だ。差の160で割るのか・・・」

1920÷160=12分

12分+15分=27分後

「(2)の排水される水はどの部分?」

「黄色と緑」

「そう、全体から青部分を引けばいいね」

40×(18+24)×18-40×18×10=23040立方cm

「これを160で割ればいい」

23040÷160=144分

「答え144分て書かないように!」

「えっ?何で・・・、そうか、最初からでした」

81+144=225分後

「できた!と思って、すぐ書くと間違えやすい」

「でもこれ(2)の方がやさしくない?」

「差の160立方cmが出せればね」

「そうか、時間がかかるか・・・」

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2009年9月22日 (火)

長方形の折り返し(9月四谷大塚合不合判定テストより)

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Mon1

長方形ABCDを対角線ACで折り返したところ、三角形CDFの各辺の長さが12cm、9cm、15cmになりました。

(1)BCの長さは何cmですか。

(2)三角形ABEの面積は何c㎡ですか。

「やさしそうなんだけど、できなかった」

「前、やったことない?」

「ありそうなんだけど・・・」

「どこが同じ角度になる?」

「えーと・・・」

Mon2

「赤○は全部同じ角度だから、△黄は二等辺三角形でしょ」

「そうか、AFも15cmか・・・」

BC=AF+FD=15cm+9cm=24cm

「(2)はどこが相似になるかの問題」

「角度が見えればわかるな、△AGEと△EGCだ」

「そう、辺は何対何?」

Mon3

「ECも24cmだから・・・、AE:EC=12:24で1:2になる」

「面積比は?」

「1×1:2×2で1:4」

「△AGEの面積は?」

「△ACEの面積が12cm×24cm÷2だからその1/4」

「そうやって間違えるからなかなか点が伸びないの」

「えっ?・・・・・・、そうか1/5だった」

12cm×24cm÷2×1/5=28.8c㎡

「△ABEはそのまた2倍!わかってる?」

「そうだった、やってるうちに忘れてた」

28.8×2=57.6c㎡

「やっと、答えがでた」

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2009年9月21日 (月)

速さと周期算(麻布中学 受験算数問題 2009年)

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Ike

円形の池の周りに等間隔にA君、B君、C君がいます。3人は同じ速さでそれぞれ図の矢印の方向に同時に走り出しました。3人のうち2人が出会ったとき、その2人は反対向きに同じ速さで走ります。3人の速さは毎分200mです。

(1)A君が2回目にB君と出会うまでに、走り始めてから15分かかりました。池の1周の長さは何mですか?

(2)3人が同時にはじめの位置にもどるまで、走り始めてから何分かかりますか?

また、その間に3人のうち2人が出会うのは合計何回ですか?

「みんな1/3ずつ離れてるから、最初にA君とB君が出会うのはその半分で1/6のところだ」

「そうだね」

「A君はもどって1/6進むと今度は1/3進んできたC君と出会う。そして向きを変えて・・・、こんがらがってきた」

「グラフにしてみようか」

Ike2_3   

「A君とB君が最初に会ったのが1/6周したところで緑○、次にA君とC君が出会ったところが青○・・・、2つあるよ」

「上と下の線は同じ線と考えるの」

「じゃあ、B君とC君はそこから1/3周して出会う。これが赤○」

「A君も1/3周走っている」

「そこから1/6周でA君とB君は出会うわけだ。2回目の緑○」

「A君は全部で何周している?」

1/6+1/6+1/3+1/6

「5/6周だ!」

「それが15分」

「分速200mだから、3000m!」

「それが5/6周にあたるわけ」

「1周は3600mか」

「イメージで見てみようね」

「最後の18分は?」

「太線のところ」

15分÷5/6=18分

「そうか3人が1周分走る時間だ」

「3人の位置はどうなっているかな?」

「おお、1/3ずつずれてる」

「だからもとにもどるのは?」

「3周分の18分×3で54分!」

「1周で何個○がある?」

「青○は同じものだから・・・、4個だ」

4回×3周分=12回

「正解!」

「上の図だけど・・・、C君、池の中にいるみたいだね」

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2009年9月19日 (土)

カードをきる規則性(ウィークリーサピックスより)

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22枚のカードが重ねてあります。これを同じ枚数ずつ上下2組に分け、上から、上組の1枚目、下組の1枚目、上組の2枚目、下組の2枚目・・・、というように交互に重ねていきます。これを「カードをきる」ということにします。

Toramp2

(1)22枚のカードがすべてはじめの位置にもどるのは何回カードをきったときですか?

(2)22枚のカードを8回きったとき、はじめの位置にもどっているカードは、はじめに上から何枚目にあったカードか、すべてあげなさい。

「問題の意味がよくわからない」

「トランプをきるのと同じ。上下二つに分けて、互い違いに重ねるわけ」

「うーん」

「何回きっても変わらないカードが2枚だけある。わかる?」

「一番上と一番下かな・・・」

「そう、じゃあ一番最初上から2番目のカードは?」

「えーと、3番目」

「そう、それを全部書き出してみる」

「地道だなぁー」

Toramp

「上から2番目のカードは1回きると3番目に行って、次は5番目、その次が9番目になって、次が17番目、次が12番目、そしてもう一回きると2番目になってもとにもどる」

「ほんとかな?手品みたいだ」

「つまり6回きるともとにもどるわけ」

2→3→5→9→17→12→2

「これ全部のカードでやるわけ?」

「この6つのカードはみんな6回でもとにもどるから、それ以外のカードをグループ分けしていくの」

4→7→13→4

「これは3回だ」

6→11→21→20→18→14→6

「このグループも6回」

8→15→8

「たった2回」

10→19→16→10

「これは3回」

1→1

22→22

「1回のものも含めて考えると、1と2と3と6の最小公倍数の6回で全部もとにもどる」

「そうか、8回ならあと2回だから、1と22と8と15だ」

「そう」

「これほんとに全部書かないとわからなそう」

「規則性は地道力も味方になるね」

「大きく書きすぎるとはみ出すし、小さいとわからなくなるし・・・」

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2009年9月18日 (金)

円周上をまわる2点の速度と比 (四天王寺中学 受験算数問題 2007年)

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Pic_0438

円周上を点A,Bが移動します。円周を4等分する点あ、い、う、え、があり、点Aは地点「い」で1秒、地点「う」で2秒、地点「え」で3秒、地点「あ」で4秒止まり、各地点間の移動には2秒かかります。点Bは、どこにも止まることなく一定の速さで動きます。はじめに点A,Bともに地点「あ」を出発し、点Aは左回りに、点Bは右回りに動き出し、点Aがちょうど1周して地点「あ」に着いたときに点Bと出会いました。

(1)点Aと点Bが初めて出会うのは、地点「あ」を出発してから何秒後ですか?

(2)点Aと点Bの速さの比は何対何ですか?

(3)3回目に点Aと点Bが出会うのは、地点「あ」を出発してから何秒後になりますか?

「(1)はまん中あたりだから、じゃないのかな?」

「ちゃんと計算してみて」

「Aは1周するのに2×4+1+2+3で14秒だからBも14秒」

「Bはまん中のでは、7秒だね」

「Aはまで2+1+2で5秒で着く、で、2秒止まっているから7秒、ほら、やっぱりだ!」

「なんだか当たったっていう感じ!」

「(2)はAの方が速いから・・・」

「どのくらい?」

「Aは動いた8秒で1周する」

「Bは14秒だね」

「速さは逆比だから14:8=7:4」

「(3)は?」

「またあたりじゃないの?」

「こんどはそう単純ではないの!クリックキャラを押してみて」

のあいだあたりだな」

「ちょうど出合ったところでキャラをクリックすると止まるよ」

「えーと、まず・・・」

Aは18秒で「あ」を出発

「い」に20秒で到着、

21秒で「い」を出発

23秒で「う」に到着、

25秒で「う」を出発。

Bは1周14秒だから

21秒で「う」に到着、

24.5秒で「い」に到着

「21秒でAはを出発し、Bはを出発しているね」

「3回目の出会いはAがを出発して、に着くまでにおこるな」

「AとBの速さの比が7:4だから、点Aは地点「い」→「う」を2秒、点Bは地点「う」→「い」を3.5秒で移動するので、2点が出会うのは・・・」

点Aで計算すると、

21+2×{7/(7+4)}=22と3/11秒後

点Bで計算しても、

21+3.5×{4/(7+4)}=22と3/11秒後

「22秒はわかるけど、3/11秒って割り切れないじゃないか。どこで出合ったんだろう?」

「すれちがっているんだから、出会ったことは間違いないでしょ」

「ぴったりこない・・・」

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2009年9月17日 (木)

200段のピラミッドのレンガの数(第29回高校生クイズ全国大会1回戦問題より)

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1段目は1×1個、2段目は2×2個のレンガを使い、200段のピラミッドを作るとき、使われているレンガの数は全部で何個?

Ripo3dan1

「一番上が1、次が4、次が9・・・最後が40000、これ全部たすんだ」

「もちろん規則性がある」

「ガウス算使うみたいだけど・・・」

「使うけど、ちょっと工夫しないと。たとえば5段の場合、

段を一箇所にそろえて横に倒してみると・・・」

Ripo3dan2 Ripo3dan3

「この数は?」

Heimen

「左のピラミッドを横から見たときのレンガの数と

倒したピラミッドを上から見たときのレンガの数」

「両方とも同じ個数だ」

「数字の位置を動かしたピラミッドを3通り作って重ねると、それぞれの位置の和がどれも等しくなる」

0805_0803

「えっ?意味わかんない」

「こんな風に重ねていくの」

Ripo3dan4

「まだよくわからない」

「アニメーションを見てごらん」

「おお、なるほど・・・」

「全部同じ個数になったでしょ」

Ripo3dan6

「これでガウス算が使えそう」

1+2+3+・・・・・+200

+)

200+199+198+・・・・・・+1

201×200÷2=20100

「これが200×2+1段」

401段×20100個=8060100個

「同じ個数のピラミッドを3つ重ねたから・・・」

8060100個÷3=268万6700個

「早くできた高校生は式を知ってたわけ」

「どんな式?」

段数×(段数+1)×(段数×2+1)×1/6

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2009年9月16日 (水)

展開図からの分割と面積 (開成中学 受験算数問題 2006年)

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Pic_0412

図1のような厚紙があります。6つの正方形は一辺の長さが6cmです。また点Pから点Aまでの長さは2cmです。点線のところで厚紙を折り、図2のように立方体を作りました。このとき、くっつく辺は全てのりづけしました。次に、この立方体を、P,B,Cを通る平面で切り、2つに分けました。ところが、その後にのりづけしたところが全てはがれてしまいました。

(1)厚紙は何個の部分に分かれましたか。

(2)何個かに分かれた部分のうち、最も面積の大きいものの面積を求めなさい。

「うーん、4つかな・・・」

「見てみようか?」

「やっぱり4つだ」

「一番大きい面積は ?」

Pic_0413

「黄色か青だ」

「台形と三角形の組み合わせみたいだね」

「黄色は・・・」

(14+12)×6÷2=78c㎡

「青は?」

(8+12)×6÷2+4×4÷2+6×6÷2=86c㎡

「だから青の86c㎡だ」

「ちょっとまって、EDの長さが4cmって、どうして?」

「見ればなんとなく・・・」

「そうゆう問題じゃないでしょ」

「えーと・・・」

「△BCFと△DPEが相似でしょ?」

「???」

Soji1

「こんなイメージ」

「シルエットみたい」

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2009年9月15日 (火)

直角三角形はいくつできる?(Daily Sapixより)

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Zu1

1目もりが1cmの方眼に2点A、Bと、もう1つの点を選んで、その3点を頂点とする三角形をつくる場合、1つの角度が90゜になる三角形はいくつできますか?

「点Aでは直角になりそうだけど、点Bでは直角にならない」

「点Aを通る線を引いてみたら?」

Zu11

「△黄と△緑は1:2の相似だから、角○+角△は直角になるな」

「点線が●を通るところを頂点にすればいいね」

Zu2

「3つできる」

次はABを直径とする円を考える

「解答にはそう書いてあるね」

Zu3

「なんでピンク○のとこが直角になるんだ?」

「円の直径と円周上の点でできる三角形はみんな直角三角形になるって習わなかった?」

「習ってない」

「じゃあ、こんな問題やったことない?」

「?」

Zu4

「同じ弧の上で、円の中心のところでできる角は円周上でできる角の2倍になるっていうの」

「やったような気がする」

「だったら直径は中心で180゜だから、円周上では半分の90゜って考えられるでしょう?」

「考えつかない」

「とにかく円が通る●は4つ」

3+4=7つ

「AとBの中心から桂馬飛びすればいいんだ」

「将棋??」

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2009年9月14日 (月)

立体の色ぬり(芝中学 受験算数問題 2007年)

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Mon_2

底面、上面が大きさの異なる正方形で、側面が4つの等しい台形からなる立体があります。この立体に赤、青、黄色の3色の色をぬるとき、同じ色を2回ずつ使ってぬる方法は何通りですか?

ただし、立体を回転させたとき同じになるぬり方は、同じものとします。

「全部で6面あるから、2面ずつぬるってことかな?」

「そう、まず底面と上面が同じ色の場合はどうなるかな?」

「側面はこれと・・・」

Do2_2

「これの2通り」

「上下が同じ色になるのは3通りだから・・・」

2×3=6通り

「次は上下が違う場合」

「これと・・・」

Betu4

「この2つで3通り、上下がひっくり返って倍の6通り」

「上下の色の組み合わせは3通りだから・・・」

6×3=18通り

6通り+18通り=24通り

「やっぱりこうやって、一つ一つ調べていかなきゃだめなのかなぁ?」

「小学生はね」

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Do_2

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2009年9月13日 (日)

□にあてはまる数(SAPIX 第1回 比較合判テストより)

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「計算問題で一つできなかった」

Keisan

3つの□には同じ整数が入ります。

「順番に逆算していけばいいのでは?」

{□×□-180÷(□-1)}=19

「ここまではできたんだけど、この先が・・・」

「ちょっとまって・・・」

□×□×(□-1)-180=19×(□-1)

□×□×□-□×□-19×□-161=0

(これって3次方程式???)

「簡単にはできないね」

「同じ数をかけたものから何か引いたら19だったわけだから、□は4じゃなくてもっと大きい」

「そうだね」

「□を5にしてみたら25-45でだめ」

「6は?」

「36-36でやっぱりだめだった」

「7なら19になるね」

「6でやめた」

「もったいなかったね、次だったのに」

「このままずーっと、一つずつ計算していかなきゃならない気がして・・・、時間が足りなくなると思った」

「そうか、それも正解かもね」

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2009年9月11日 (金)

展開図からの組み立て(巣鴨中学 受験算数問題 2003年)

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Mondai1

図1は、ある立体の展開図で、たて5cm、よこ6cmの長方形4個、等しい辺の長さが5cmの二等辺三角形4個で作られています。

(1)この立体の頂点の数と辺の数はいくつですか?

(2)この立体の体積を求めなさい。

必要ならば図2の直角三角形を用いなさい。

「想像つかないなぁ・・・」

「頭の中でよーく考えてから、クリックしてみて」

「こんな風になるんだ・・・」

「この形は何?」

「三角柱を2つ重ねた形みたいだな」

「じゃあ、頂点と辺の数は?」

頂点の数は、8個、

辺は、14本

「体積は?」

「図2の直角三角形2つ分が底辺の面積で、高さが6cmだから・・・」

底面積は、6×4÷2=12c㎡

立体の体積は、12×6×2=144立方cm

「頭の中で組み立てるのは大変だけど、練習、練習!」

Ri

「このぐらいがやっとだ・・・」

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2009年9月 9日 (水)

平面図形の角度(女子学院中学 受験算数問題 2009年)

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Kaku1

四角形ABCDは正方形で、EFはBCとADが重なるように折ったときの折り目です。GBはAとEF上の点Hが重なるように折ったときの折り目です。図の角①と②の大きさを求めなさい。

「これって、直角以外何もわかってないじゃないか」

「ヒントは学校で使う三角定規!」

「えっ?」

「角度の問題は三角定規の形がかくれていることが多いの」

「△AEHがそれっぽいけど、角度がわからない」

「EFで折ってみたら?」

「おお、△緑と△黄は同じ三角形だ」

「斜辺が重なるでしょ」

「でも、まだあの三角定規の形かどうかわからない・・・」

「GBで折るとAとHが重なるって問題に書いてあるでしょ」

「ということは、ABとBHが重なる・・・、

そうか△ABHは辺が全部正方形の一辺と同じで、

正三角形になるのか」

①=90゜-60゜=30゜

「△AHDは何三角形?」

Kaku2

「二等辺三角形!」

∠ADH=(180゜-30゜)÷2=75゜

②=75゜

「三角定規あまり使ってないでしょ」

「クルクルまわすとか・・・」

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2009年9月 8日 (火)

円の周りを回る円(早稲田中学 受験算数問題 2009年)

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Pic_0394

半径3cmの小円と、半径12cmの大円があり、小円の中には矢印が描かれています。小円が大円のまわりをすべることなく、時計と反対まわりに1周まわったとき、矢印が左を向くのは何回ですか?

「円周が4倍だから4回って答えると、きっと違うんだよね」

「疑うようになってきたね」

Doen

「同じ円だと1周すると2回転・・・」

「知ってるじゃない」

「知ってるけど、不思議に思ってる。同じ円周なのに何で2回転なのか・・・」

「実際にころがしてみようか」

「やっぱり1回多くて5回だ」

「法則があるみたい」

小円が大円の外側を1周するときは

大円の半径÷小円の半径+1

「この+1がよくわからないのだ」

「法則覚えといたら?」

「すっきりしない」

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2009年9月 7日 (月)

立方体の切断回数(横浜共立学園中学 受験算数問題 2008年)

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Pic_0382

立方体を立方体の面と平行な面で切っていきます。

切ったあとも立方体は形を保ったままにします。

たとえば、2回、立方体を切ったとき、立方体は4個の部分に分けられます。

(1)立方体を3回切ると、表面積は元の立方体に比べて何倍になりますか。

(2)立方体を何回か切ったところ、表面積が18倍になりました。切った回数を求めなさい。

「これも規則性がある問題だね」

「1回切ると切り口の面が2つできる」

「そう、じゃあ実際に切ってみようか」

「おお、1回切るごとに面が2つ増えていく」

「それが規則性!」

「3回だと6面増えるから、元の立方体の6面と同じになる」

「だから2倍だね」

「18倍だと・・・」

「逆算するの」

(□×2)÷6=18

「□は54だ」

「最初の立方体の6面を忘れてる!」

(6+□×2)÷6=18

「51回でした」

「まだ、つめが甘い」

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2009年9月 6日 (日)

第29回高校生クイズ準決勝延長戦問題(東大寺学園高校 vs 開成高校 数学オリンピック問題より)

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「友達、みんな見てたって、高校生クイズ大会」

Sai

サイコロを6回ふったとき、何回目かに出た目の数の和が6になる確率を求めなさい。

「確率ってわかる?」

「6回に1回6が出るってこと?」

「つまり確率は・・・」

6

「そうか」

「じゃあ2回ふったら?」

「6×6の場合の数のうち・・・」

「樹形図の練習になるね」

(1、5)(2、4)(3、3)(4、2)(5、1)

「この5通りだ!」

「だから確率はこう」

66

「3回ふると6×6×6で・・・」

(1、1、4)(1、2、3)(1、3、2)(1、4、1)(2、1、3)(2、2、2)(2、3、1)(3、1、2)(3、2、1)(4、1、1)

「10通りだね」

「確率は・・・」

666

「4回は?」

(1、1、1、3)(1、1、2、2)(1、1、3、1)(1、2、1、2)(1、2、2、1)(1、3、1、1)(2、1、1、2)(2、1、2、1)(2、2、1、1)(3、1、1、1)

「これも10通りだ」

「6×6×6×6のうち10通りだから確率は・・・」

6666

「5回は6×6×6×6×6のうち・・・」

(1、1、1、1、2)

「2がどこで出るかっていうことだから・・・」

「5通り!」

「確率は・・・」

66666

「6回ふって6になるのは全部1が出たときだけ。こんなことめったにない」

(1、1、1、1、1、1)

666666

「これ全部たすの」

「通分するのか!ぎゃー」

Tubun

「計算できた?」

Kotae

「勝った東大寺学園てすごいね」

「これ算数オリンピックの問題だって」

「スポーツの方がいい!」

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Do_3

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2009年9月 5日 (土)

歯車と比(SAPIX 8月 マンスリーテストより)

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Zu1_2

図のような自転車があり、ペダルのついている直径25cmの歯車と、後のタイヤと合わさっている直径10cmの歯車が、チェーンでつながれています。この自転車のペダルを1秒間に1回転の割合でこぐと、自転車の走る速さは時速何kmになりますか?(円周率は3.14でとします)

「どうして間違ったのかな?」

「どうやって計算したの?」

「まず大きい歯車の円周を出す。

25cm×3.14=78.5cm

そして小さい歯車の円周も出す。

10cm×3.14=31.4cm

大きい歯車の円周割る小さい歯車の円周で・・・

78.5cm÷31.4cm=2.5」

「ちょっとまって!何でそんなに3.14を2回も使ったり、めんどうな割り算して2.5出すの?

ペダル1回転すれば25/10で後の歯車は2.5回まわるでしょ。だからくっついているタイヤも1秒間で2.5回まわるでしょうに」

「・・・・・・」

「そこで初めて3.14使えばいい

80cm×3.14×2.5回×3600秒

mだから1/100かけて、kmだから1/1000かける

80×3.14×2.5×3600×1/100×1/1000

=8×3.14×2.5×36×1/100

=20×3.14×36×1/100

=3.14×7.2

=22.608km

最後まで3.14は残しておくと計算しやすいね」

「なぜだか3.14すぐ計算したくなるんだ」

「○とか□とかにして最後に計算したらどうかな?」

「○や□だと計算じゃないみたいだ」

「じゃあ、π・・・」

「えっ?」

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2009年9月 4日 (金)

速さとグラフ、通過算(SAPIX 8月マンスリーテストより)

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ある鉄道路線に、図のような2つのトンネルA、Bがあり、その間は橋で結ばれている区間があります。トンネルBの長さはトンネルAの長さの0.6倍です。この区間を、長さ40mの電車が西から東に向かって通過しました。下のグラフは、この電車が通過する様子を観察し、電車がトンネルAに入り始めてからの時間と、電車が見えていた部分の長さとの関係を表したものです。

(1)グラフXは何秒ですか?

(2)トンネルAの長さは何mですか?

Tuka1

「合っているはずなんだけど、間違ってた」

「じゃあ電車、動かしてみるよ」

「うん」

「まず、トンネルAの長さを電車が走るのに25秒かかった」

Tuka2

「入り始めが0で、出始めが25秒だから・・・」

「トンネルBなら25秒×0.6で15秒かかるわけ」

「XがBトンネルへの入り始めか・・・」

Tuka3_2

「Bトンネルを出始めるのが47.5秒」

Tuka4

「だから、47.5秒から15秒引いてXは32.5秒だ」

「では、グラフのななめ部分はなんでしょう?」

「電車の長さ40mを走った時間だから、37.5秒-32.5秒で5秒!」

「Aトンネルは25秒かかったんでしょ?」

「5倍かかったわけだから40m×5で200m!」

「試験でできるように!」

「通過算の神様になる!」

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2009年9月 3日 (木)

周期の規則性(SAPIX 8月マンスリーテストより)

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前向きにも後ろ向きにも秒速4mで走るおもちゃの車があります。この車は出発すると、まず、5秒間前向きに走り、次に2秒間後ろ向きに走り、再び5秒間前向きに走り、・・・と5秒間前向きに走っては2秒間後ろ向きに走ることをくり返しながら進んでいきます。この車を、図のA地点から、右の方向に前を向けて出発させ、直線ℓ上を走らせます。

(1)出発してから16秒後に、この車はA地点から何mの地点にいますか?

(2)この車が初めてB地点に来るのは、出発してから何秒後ですか?

(3)この車がC地点に来るのは、出発してから何秒後ですか。すべて答えなさい。

Mon1

「(1)はできたんだけど(2)が間違って、(3)はできなかった」

「まず車の動きを見てみようか」

「うん」

「この動きでわかるように、5秒+2秒の7秒間で、5秒×4m-2秒×4mの12m進んでいるね」

「14秒で倍の24m、あと2秒×4mたして32m」

「(2)は注意しなければいけないところがあるよ」

「60m÷12mで5倍だから7秒かけて35秒って書いたら間違った」

「ちゃんとひっかかってる。初めてB地点に来るとき!

Mon2

「そうか、もどる前にもう着いてるのか」

「3周期目の終わりでは36mだから20mたしても60mにとどかない」

「4周期目の48mから考えればいいのか」

「4周期目終わりが7秒×4で28秒。あと12mだから4mで割って3秒」

「28秒+3秒の31秒後だ」

「(3)は100mに着いたとき全部数えるわけ」

Mon3

「7周期目の終わりが84mで49秒。ここからだな・・・」

Mon32

「5秒後に104mまで来るからその1秒前で53秒がまず最初」

Mon33

「104mのところが54秒だから1秒4mもどって55秒が100m。これが2回目だ」

Mon34

「96mまでもどって56秒だから4m進んで57秒が3回目」

「もう、もどってこないかな?」

「96mから20m進んで116mまで行ってるから、8mもどっても108m。100mには来ない」

「それにしても秒速4mって、すごいおもちゃの車だよな」

「そう???」

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2009年9月 2日 (水)

計算の工夫2(SAPIX 8月マンスリーテストより)

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0.32×12-0.018×32+1.48×3.2=

「すぐ下に

3.2×1.2-0.18×3.2+1.48×3.2

って書いてあるから工夫したんだ」

「うん。0.32を10倍したから12を1/10にして、0.018を10倍したから32を1/10にする。それで全部3.2でそろえる」

「進化してる!でもその下に書いてある筆算は何?」

Hisan_2

「一つ一つ計算して、最後に引き算と足し算」

Ha

「工夫した意味ないじゃないの!」

「全部3.2だから計算しやすい」

「3.2でまとめるの!」

3.2×(1.2-0.18+1.48)

=3.2×2.5=8

「こっちの方が早いか」

「ぜんぜん早い。小数点が計算しにくかったら1000倍して1/1000かけてもいい」

1/1000×32×120-1/1000×32×18+1/1000×32×148

=1/1000×32×(120-18+148)

=1/1000×32×250

=1/4×32=8

「これもいいな」

「次の問題はもっとひどいね」

41472秒は1日の何割何分ですか?

「合ってたけど・・・」

Hisan3

648÷1350=0.48

「いったい何?これ?」

「地道に確実に・・・」

Hisan32_2

「864で割れば一発!

でもここまでは無理としても、せめてこのぐらいは・・・」

Hisan33

「そうか9で割って、12で割って、8で割って・・・」

「後の問題2題分くらいここで時間損してるよ」

「だから時間足りなくなるんだ」

「ここで合ってても、全体では結局-10点」

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2009年9月 1日 (火)

長方形の等積分割(SAPIX 8月マンスリーテストより)

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Toseki1

四角形ABCDは長方形です。黄色の部分の面積は何c㎡ですか?

「やり方はわかったんだけど、うまくいかなかった」

「左の面積移動教材にある長方形を分割する問題の応用でしょ」

「だから線を引いて分けてみたんだけど・・・」

Toseki2

「いいじゃない、どうしてできなかったの?」

「左上と右下は直角三角形二つに分けられたけど、右上と左下がうまくいかない。重なっちゃう」

「何言ってんの、それが答えでしょうに」

「えっ?」

Toseki3

「こうであれば長方形の半分だけど、重なっている部分がある」

Toseki4

「そう、赤い部分が重なっている」

「だから白い部分より1×3の3c㎡少ないんでしょ」

「そうか、(77-3)÷2か」

37c㎡

「重なっているところが逆にヒントになっているね」

「今度でてきたら間違わないぞ」

「姿かたちを変えてでてくるよ」

「・・・・・・」

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