中学受験算数   アニメーション教材

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2009年10月

2009年10月31日 (土)

速さの差(Sunday Sapixより)

難度レベルB

Zu1

一本道を一郎君と次郎君がAから、三郎君はBからCに向かって3人同時に出発すると、一郎君は12分後、次郎君は14分後に三郎君に追いつきます。一郎君がAから、次郎君はBからCに向かって2人同時に出発すると一郎君は何分で次郎君に追いつきますか?

「解答の意味がよくわからない」

「図にしてみた?」

「こんな感じだろ?」

Zu2

「解答にはABを12と14の最小公倍数、84mとして考えるって書いてあるね」

「なんでいきなり84mなんだよ」

「最小公倍数だからでしょ」

「なんで最小公倍数にするんだよ」

「計算しやすいからでしょ」

「よくわからない」

「12分で一郎君と三郎君の差が84m」

「84mにすればね」

「14分で次郎君と三郎君の差が84m」

「84mだからね」

一郎君の速さ×12分-三郎君の速さ×12分=84m

次郎君の速さ×14分-三郎君の速さ×14分=84m

(一郎君の速さ-三郎君の速さ)×12分=84m

(次郎君の速さ-三郎君の速さ)×14分=84m

(一郎君の速さ-三郎君の速さ)=7m/1分

(次郎君の速さ-三郎君の速さ)=6m/1分

一郎君の速さ-次郎君の速さ=1m

「だから84mの差をなくすには84m÷1mで84分」

「84mにしなくてもできるんじゃないの?」

「やってみたら」

「42mなら・・・」

「どう?」

「できた!」

「84mにしたほうが計算しやすいでしょ?」

「でもなんで84mなんだろう・・・」

割合と比、速さの問題なども解法アニメーションが豊富です!

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2009年10月30日 (金)

電車と時刻表(雙葉中学 受験算数問題 2009年)

難度レベルB

図のようにA、B、Cの3つの駅があり、1台の電車がA→B→C→B→A→B→C・・・・と往復しています。AとBの間は8分、BとCの間は9分かかり、A駅では10分、B駅では3分、C駅では10分停車します。ある日この電車が7時にA駅を出発した後、次のB駅で故障のため35分停車しました。おくれを取りもどすため、その後の停車時間をC駅では5分、B駅では3分、A駅では6分とすると、時刻表どおりにもどるのは何時何分ですか。そのとき電車は何駅を出発しますか。

「ややこしい問題だけど・・・」

「問題を整理して、順番に考えていくしかないでしょ」

Zu2

「故障後もB駅の停車時間は同じ」

「短くなったのはA駅とC駅だね」

「電車は故障の後、35-3の32分遅れでB駅を出発した」

「その32分を取りもどすには?」

「Cに着いてからAまで行って、またCにもどってくるまでに9分取りもどす」

Zu3_2 

「1往復で9分ていうことだから」

「32÷9で3往復してあとまだ5分たりない」

「そのとき電車はどこにいる?」

「C駅から3往復した後だからC駅」

「C駅でまた5分取りもどすわけだから、C駅を出発するときにちょうど時刻表にもどることになる」

Zu4

「電車が走った時間は8分×7+9分×7で119分」

「停車時間の合計は?」

「A駅が6分×3で18分、B駅の35分+3分×6で53分、C駅が5分×4で20分、合計91分」

「7時からは?」

「210分だから10時30分

「時刻表通りに電車が停車していても、停車時間は91分だね」

Aに3回×10分+Bに7回×3分+Cに4回×10分=91分

「ほんとだ、なんでだろう?」

「時刻表通りになったからでしょ」

「???」

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2009年10月29日 (木)

補助線の工夫(駒場東邦中学 受験算数問題 2009年)

難度レベルA

Zu1_4

図は、たて6cm、横10cmの長方形です。斜線(灰色)部分の面積を求めなさい。

「辺が3cmと4cmの直角三角形が2つ見えてくるな」

「同じ直角三角形だね」

Zu2_2

「AもBも6c㎡」

「もう一組同じ直角三角形があるね」

Zu3_2

「CとDで7×2÷2で7c㎡」

「点線で囲まれた図形は?」

「向かい合う辺と角度が同じだから、平行四辺形だ!」

「平行四辺形内の灰色部分の面積は?」

「左の教材みたいに4つに分けてみると・・・、平行四辺形の1/2」

Zu4_2

「答えの面積は?」

「6×10-(6×2+7×2)の半分で17c㎡、

灰色部分は17+6×2=29c㎡

「別な解き方もあるみたいだけど・・・」

Zu5_2

「一つの方法で解ければいいや」

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2009年10月28日 (水)

四角柱の容器(2009年 中学受験 算数問題)

難度Aレベル

Mo1_3

図1の四角柱の形をした容器に水が入っています。そこに、図2の四角柱の形をした棒をまっすぐ底がつくまで入れます。棒を1本入れたとき、棒の一部は水面から出ていて、水面の高さは1cm高くなりました。

(1)はじめの水面の高さを求めなさい。

(2)棒を何本入れると、入れた棒すべてが完全に水の中に入りますか。もっとも少ない本数を答えなさい。

「5分くらいで解いてみて」

「どこの中学?」

「解いてから」

「1cm高くなった分は、水面より下の棒の体積と同じで10×12×1で120立方cmと同じになる」

「棒の底面積で割ると・・・」

120÷(3×4)=10cm

「1cm引くと・・・」

10cm-1cm=9cm

「1cm高くなった水の分が、元の水面の高さの棒の体積と同じ、と考えてもいいね」

10×12-3×4=108c㎡

108c㎡×1cm=108立方cm

108÷(3×4)=9cm

「9cmがわかれば水の体積がでる」

10×12×9=1080立方cm

「水面の高さが20cmになるときの水の底面積は?」

「54c㎡だからこれを棒の底面積で割って・・・」

「ほら、そこで間違う!」

「えっ、なんで?」

「棒は水じゃないところ」

「そうか、120-54で66c㎡だ」

66÷(3×4)=5.5

「だから?」

「6本!」

「立教新座中学の問題」

立体図形、水そうの問題もアニメーションで!

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2009年10月27日 (火)

正五角形の方陣算(Sapix スタンダードテストより)

Ho1

図のように、ご石を、黒石の正五角形、白石の正五角形、黒石の正五角形、・・・と内側から順にならべていきます。

(1)いちばん外側に50個のご石がならんだとき、この正五角形の一辺には何個のご石がならんでいますか?

(2)いちばん外側の正五角形の一辺に15個のご石がならんだとき、黒、白あわせて、ご石は全部で何個ならんでいますか?

(3)最後の黒石が87個あまりました。あと8個黒石があれば、外側にもう一つ正五角形になるようにならべることができます。このとき、白石は全部で何個ならんでいますか?

「50÷5で10個、って答えると違うんだよね」

「わかってきているのかな?」

Ho2

「この赤□の合計が50個になる。だから一辺は50÷5+1で11個」

「(2)の15個をどう考えるか」

赤□にあたるのは14個」

「内側から何番目の正五角形かな?」

「いちばん内側の赤□は1、2番目が2だから、そのまま14番目だ」

赤□が1~14個あるね」

「ガウス算!」

(1+14)×14÷2=105個

105個×5辺分=525個

「(3)も同じようだけど、ちょっと注意が必要だね」

「87+8の95個でできる正五角形の赤□は19個」

「だから一つ内側の白石は?」

「18番目で赤□も18個」

「白石の正五角形は何個?」

「2、4、6、8、10、12、14、16、18の9個だから、一つおきのガウス算」

(2+18)×9÷2=90個

90個×5辺分=450個

「よくできました」

「ご石系はゲーム系だから、おもしろい」

規則性、方陣算の問題もアニメーションで!

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2009年10月26日 (月)

平行四辺形の垂線(早稲田中学 受験算数問題 2007年)

Heiko1

図のような平行四辺形の紙があります。

(1)点Cから辺ABに引いた垂線の長さは何cmですか?

(2)点Aが点Bに、点Dが点Cにそれぞれ重なるように丸めると、ある円柱の側面ができます。この円柱の体積は何立方cmですか?ただし、円周率は3.14とします。

「気がつけば、すぐわかるんだけどね」

「気がつかない」

「じゃあこうしたら?」

Heiko2

「そうか、△ABCの辺ABを底辺にしたときの高さだ!」

「△ABCは?」

「平行四辺形の半分」

15.7×8÷2=10×高さ÷2

高さ(垂線の長さ)=15.7×8÷10=12.56cm

「(2)はこの長さ使うね」

「この円柱、斜めみたいだけど・・・」

「でも高さと底面積がわかれば体積がでるでしょ」

「ピサの斜塔?」

「ちょっと違うね。底面と上面が平行な斜めの円柱」

「垂線が高さになるのか」

「底面積は?」

「円周が10cm、だから半径は10÷3.14÷2で1.5923・・・」

「そこで3.14を計算しないの」

「5/3.14cm」

「そのまま計算すると?」

5/3.14×5/3.14×3.14×12.56

=25×4=100立方cm

「うわっ、100になる」

「12.56って3.14の4倍でしょ」

「そうだった」

平面図形、立体図形の問題もアニメーションで!

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2009年10月24日 (土)

三角すいの側面の道の数(四谷大塚 第2回合不合判定テストより)

「最後の問題だけど、時間がなくなっちゃって・・・」

Mon1

すべての面が1辺3cmの正三角形である三角すいがあります。この三角すいの側面には、各辺を3等分する点を結んだ直線が引かれています。いま、図の頂点Aを出発し、三角すいの辺上および側面にある道を進み、はじめて頂点Oに着くまでの道のりを考えます。ただし、同じ点は何度通ってもかまいませんが、一度通った道は再び通ることはできません。たとえば、A→P→S→T→U→S→Oと進むことはできますが、A→P→S→T→Q→P→S→Oと進むことはできません。

(1)通った道のりが5cmになるような進み方は、全部で何通りありますか?

(2)通った道のりが8cmになるような進み方は、全部で何通りありますか?

「AからOまで最短距離は?」

「3cm」

「5cmということは、2cm回り道してることになるね」

「下はないから横に2cm」

「Aですぐ横は3cmだからだめ、AからPに行ってから横へ」

「P→QかP→Rの2通り」

「AからSまで行った場合は?」

「2cmだとS→T→UかS→U→Tの2通り」

「合計で?」

「4通り!」

「(2)は下に行く場合もありそうだね」

「タテの道3cmを引くと、回り道は5cm分」

「横だけで5cm回り道するには?」

「1cmと2cmと3cmの道を組み合わせて・・・」

①3cm+2cm

②3cm+1cm×2

③2cm×2+1cm

④2cm+1cm×3

「まず①の3cm+2cmの場合は・・・」

「A→B→Q って行った場合は2通り、A→C→Rって行った場合も2通りだから全部で4通り」

「②の3cm+1cm×2の場合は?」

「A→B→Tの場合がTで分かれるから2通り、A→C→Uの場合もUで分かれるから2通り、で、4通り」

「③と④は?」

「同じように考えて、やっぱり4通りずつ」

横だけの場合・・・4×4=16通り

「下に行く場合は?」

「Sまで行ってTかUに分かれて下に下がる。同じ道は通れないから、あとは一本道、で、2通り」

16+2=18通り

「順序だてて考えていけばできそうだけど・・・」

「最後の問題なんだから、そんな時間ないよ!」

「規則性」、「場合の数」の問題も目で見てわかる・・・

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2009年10月23日 (金)

かたむけた容器と水(四谷大塚 第2回合不合判定テストより)

「これ、わからなくて手をつけなかった」

「みんな難しかったみたい。特に(2)は一番正答率が低かった問題」

Mon1

1辺の長さが12cmの立方体から、3辺の長さが6cm、6cm、12cmの直方体を取りのぞいた形の容器に水が入っています。図1はこの容器の頂点Pを固定してかたむけたところです。図2は頂点Pを固定したまま、さらにこの容器をかたむけて水をいくらかこぼしたところです。

(1)図1のXの長さは何cmですか?

Mon2_2

(2)こぼした水の体積は何立方cmですか?

「(1)だけど、辺を延長して容器を元の立方体にした場合の水の形で考えるんだって」

Mon3

「解答にはまずACの長さを出すって書いてある」

「ABとBPが6cmで等しいから、8cmはACの長さと10cmの平均になってる」

(AC+10cm)÷2=8cm

「で、ACが6cmになるのか」

「だから、Xは9cm+6cm-10cmで5cm」

「それ、ぜんぜんわからない」

「そうだね、この式、けっこう謎だよね」

「意味不明・・・」

「これ、かぐや姫の竹じゃないの?」

Mon4

「下と同じ形の立体を、ひっくり返して上にのせるやつ」

「そう、9cmの上に6cmがのっかるから高さは15cm」

「15cmから10cm引いて、10cmのところに5cmがのる」

「だからXは5cmになるわけか」

「これ気がつかないと、(2)も解けそうにないね」

「DEを出すって解答にはあるけど・・・」

「6cmと5cmの平均だから・・・」

「5.5cm」

「これで水の体積が求められるわけ」

「上に重ねた全体の半分から、つけたしたところも上に重ねて半分にして引くんだ」

12×12×(9+6)÷2-6×6×(5.5+8)÷2

=837立方cm

「図2の水の形がわからない」

「これも立体をつけ足して考えるみたい」

Mon5

「三角すい?」

「そう、これは立方体の中の三角すいだね」

Monsanko

「大きい三角すいと緑の三角すいは相似で、体積比は1×1×1:2×2×2で1:8」

「大きい三角すいから緑の三角すいを引いたのが図2の水の体積だね」

6×6÷2×6×1/3×(8-1)=252立方cm

「こぼれた水は837-252で585立方cm」

「さすがに難しいね」

「いろんな問題が重ねて入っている感じ」

立方体の切り口をアニメーションで!

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2009年10月22日 (木)

円すいの側面(四谷大塚 合不合判定テストより)

Zu1

図は、母線の長さが24cm、底面の円の半径が4cmの円すいです。点Aを出発し側面を2周してもとにもどるときの最短距離を考えます。1周したとき、OAと交わる点をPとすると、OPの長さは何cmですか?

「変なふうに考えちゃって・・・」

「どんな?」

「Aから出発して1周したらAにもどってきちゃうじゃないか、って」

1周したとき、OAと交わる点をPとすると、って問題に書いてあるじゃないの」

「Pで1周したことになるのか、よくわからなくなって・・・」

「らせん状に上がっていく感じ。1周した展開図はこれ」

「最初の図を見ると、2つの円があるように見えたから・・・」

「この円すいを展開すると中心角は何度?」

「360゜×4/24で60゜」

「そのおうぎ形を2つ並べてみる」

「何で?」

「2周だから」

「そうか」

Zu2

「Aから出発してPまで最短は直線になる、で、またAまで直線でもどってくる」

「△OAPは正三角形の半分だから、OPは24cmの半分で12cm」

「そういうこと」

円すいがころがるアニメーションなどご参考に!

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2009年10月20日 (火)

通過算(四谷大塚 第2回 合不合判定テストより)

長さ120mの上り電車と下り電車が、それぞれある鉄橋の両はしに同時にさしかかりました。その16秒後に、鉄橋のちょうどまん中で先頭がすれちがい、その20秒後にどちらの電車も鉄橋を渡り終えました。この鉄橋の長さは何mですか?

「なんだかこんがらがってきて・・・」

「図を描いてみないからわからなくなるの!」

「まん中だから、両方の電車は同じ速さか」

「そういうこともわかるし・・・」

「20秒後に渡り終えたんだから、36秒後」

「何で、すれ違ってから渡り終えるまでの方が時間がかかったかわかる?」

「同じ16秒だと、まだ渡り終えていないから・・・」

「そうでしょ、図にしてみればわかるはず」

「20秒と16秒の差は電車の長さの時間か・・・」

「そうでしょ」

「120m÷4秒で秒速30mが電車の速さ」

「鉄橋の長さは?」

「30mに16+20秒をかけて・・・」

「また間違う、電車の先頭だけを考えてみて!」

「30m×16秒×2か、・・・960mだ」

「図を描いて落ち着いて考えること!」

「電車や鉄橋、うまく書けない」

「こんなんでいいの、描けるでしょ?」

Zu1

「書けそう」

通過算の解法もイメージアニメーションで!

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2009年10月19日 (月)

周期の規則性(Sapixスタンダードテストより)

「こうゆうの、地道に考えていくしかないのかなぁ」

あるコンビニエンスストアでは、1本120円のジュースの空きかんを3本持っていくと、1本120円のジュースを1本おまけしてくれるサービスを行っています。たとえば最初に4本買ったとすると、そのうちの3本で1本おまけがもらえるので、全部で5本のジュースが飲めることになります。

(1)最初に8本買うと、最大で何本飲めますか?

(2)5000円のお金で、このジュースは最大で何本飲めますか?

「少ない本数なら地道に数えてもいいけどね」

「8本ならなんとか数えられるけど・・・」

「最初に8本飲むんじゃなくて、3本飲むことにして5本残す、って考えてみたら?」

「3本飲んで1本おまけをもらう」

「その1本に5本の中から2本を加える」

「3本になる」

「また1本おまけをもらう」

「また2本加えるの?」

「そう」

「数えやすくなった」

11本

「(2)も同じように考えるわけ。まず、何本買えるか?」

「5000円÷120円で41本買えて80円余る」

「最初は3本、残りは?」

「38本」

「2本ずつ並べると?」

「19」

Zu2

「おまけの本数は?」

「19+1で20本」

「全部で?」

「41+20で61本」

「そんなふうに数えてみたらいいね」

「規則的だ!」

イメージアニメーションで理解する規則性の問題も豊富です!

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2009年10月17日 (土)

時間、道のり、距離(Sapix 10月マンスリーテストより)

Ha1

AB間の道のりはBC間の道のりの3/5です。花子さんが自転車に乗って、AからCまで行くのに、AB間は時速12kmで、BC間は時速15kmで走ったところ、全部で1時間24分かかりました。AB間の道のりは何kmですか?

「できなかった」

「AB間とBC間の道のりの比は3:5でしょ」

Ha2

「それはわかる」

「AB間とBC間の速さの比は12kmと15kmだから4:5」

Ha3

「それもわかる」

「ならAB間にかかった時間とBC間にかかった時間の比は3/4:5/5で3:4でしょ」

「それがわかんない」

はじきの法則、知ってるでしょ?」

Ha4

「時間は距離÷速さ、速さは距離÷時間、距離は速さ×時間」

「道のりの比を速さの比で割って時間の比を求めたんじゃないの」

「それがわからない」

「どうして?」

「何で比を比で割れるんだよ」

「だって、分数の割り算てみんなそうでしょうに」

「・・・・・・」

「AB間は84分の3/7かかったわけだから・・・」

「36分」

「時速12kmだから」

「12×36/60で7.2km」

「そう」

「比を比で割るのが、なんかわからないなぁー」

「まあ、無理もないけど・・・」

比もアニメーション教材で理解できる!

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2009年10月16日 (金)

流水算と旅人算(Sapix 10月マンスリーテストより)

「(1)までしかできなくて・・・」

川の上流に甲地が、下流に乙地があります。船Aが甲地を、船Bが乙地を同時に出発しました。船Aと船Bは出発してから20分後にはじめてすれちがい、その10分後に船Aが乙地に着きました。船Aの静水上を進む速さは分速60m、船Bの静水上を進む速さは分速75mです。

(1)甲地から乙地までの距離は何mですか?

(2)この川の流れの速さは分速何mですか?

(3)船Aと船Bは甲地、乙地に着くとすぐに折り返して、それぞれが出発した地点に向かいました。船Aと船Bが2度目にすれちがうのは、甲地から何mのところですか?

「まず図にしてみようね」

Zu1

「イメージしやすくなった」

「川の流れの速さを

Nagare

で表してみると、20分後にはじめてすれちがったときは・・・」

「Aの速さは 60m+川の速さ、Bの速さは75m-川の速さ」

「向かい合って近づく旅人算だから、速さはA+B」

(60m+川の速さ)+(75m-川の速さ)=135m

「川の速さがなくなっちゃう」

「つまり静水上と同じ」

「20分だから135m×20分で2700m」

「(2)はその10分後に注目」

「10分後だからAは甲から乙まで30分で行ったわけだ」

「2700mをね」

「分速90m」

「静水上が60mなんだから?」

Nagare

「この川の流れの速さは、90-60で分速30mだ」

「(3)だけど、Bが甲地に着くのは出発してから何分後かな?」

「えーと、75mから川の流れを引いて45mだから、2700を45mで割って60分」

「そのときAはもう乙を折り返してきているね」

「折り返してから30分たってる」

「どのくらい進んでいる?」

「これも60mから30m引いて30m×30分だから900m」

「AとBの距離は?」

「2700-900で1800m」

「あとはまた向かい合う旅人算」

Nagare

「これは考えなくていいから・・・」

1800÷(60+75)=13と1/3分

「Bの下りの速さは?」

「75+30で105m、13と1/3分だから甲地から1400m」

「そうだね」

「これ流水算と旅人算が混ざってる」

「試験の大問はこうなってくるでしょ」

Ha

流水算や旅人算もアニメーションで理解!

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2009年10月15日 (木)

三角形の相似と面積(Sapix 10月マンスリーテストより)

「気がつけば、そんなに難しくない問題だと思うけど・・・」

「気がつかなかった」

So1

図は1辺15cmの正方形を6個組み合わせた図形です。黄色部分は何c㎡ですか?

「三角形の相似をみつけるわけでしょ?」

「見つからなかった」

「三角形の相似はほとんどピラミッド型か砂時計型なんだから」

So4

「この問題、ピラミッドが逆になってた」

So2

「そんなこといくらだってあるでしょうに」

「もうわかった。△水色:△緑=3:2だからABは30cm×2/3で20cm」

「こんどは砂時計型」

So3

「△黄:△赤=20:30=2:3だから△黄の高さは30cm×2/5で12cm」

20cm×12cm÷2=120c㎡

「こんどはピラミッドがさかさまになってても、ちゃんと見つけられるように」

「砂時計が横になってたら見つけられるかな?」

「・・・・・・」

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2009年10月14日 (水)

回転体の表面積(Sapix 10月マンスリーテストより)

「(2)の形がよくイメージできなかった」

Kai1

三角形ABCは辺ABと辺ACの長さが等しい二等辺三角形です。

(1)三角形ABCを、直線アを軸として1回転させたときにできる立体の表面積は何c㎡ですか?

(2)三角形ABCを、直線イを軸として1回転させたときにできる立体の表面積は何c㎡ですか?

「(1)はできた?」

「(1)は普通の円すいだから・・・」

6×6×3.14+10×10×3.14×6/10

=301.44c㎡

「(2)の形は?」

「まん中がへこむ円錐台のようだけど・・・」

「見てみようか」

「やっぱりそうだ」

「問題はへこんだ部分の形」

「円すいだろ」

「そうだけど、この図を見て」

Ka2

「ADがへこんだところ」

「それってAEと同じ長さでしょ」

∠AED=90゜-∠C

∠ADE=90-∠B

「二等辺三角形になるのか」

「だから、へこんだ部分を上にひっぱり出せば?」

「円すいになる」

「母線はECだから相似の割合で10×9/6」

「15cm」

9×9×3.14+15×15×3.14×9/15

=678.24c㎡

「体積を求める場合はへこんだ部分をを引くけど・・・」

「できる立体がはっきりしないのに、ひっぱり出すところまではちょっとな・・・」

「イメージ練習!」

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2009年10月13日 (火)

この分数はいくつ?(SAPIX 10月マンスリーテストより)

「どう考えたらいいのかわからなかった」

ある分数の分子と分母にそれぞれ5を加えて約分すると2/3になり、分子と分母からそれぞれ7を引いて約分すると5/9になります。この分数は何分の何ですか?

「線分図書いてみた?」

「えっ、線分図使うの?」

「その方がわかりやすそう」

Sen1

「下の黒線が分母で、上の青線が分子と考えるわけか」

「両方に5をたして約分したら、2/3、つまり②:③になった」

「そうか、②:③ね、比にして考えるのか」

「次に、両方から7を引いて約分した5/9になったわけだから・・・」

「5□:9□」

Sen2

「ここで、この差に注目するの」

「差?・・・」

「そう、分母と分子の差」

Sen3

「おお、①=4□だ!」

「これがわかればできるでしょ」

「②は8□、8□-5□の3□が5+7になるんだ」

「1□は4だね」

分子=4×5□+7=27

分母=4×9□+7=43

27/43

「約分すると・・・、っていう意味をずーっと考えてた」

「分数の問題っていうより、比の問題みたい」

「線分図か・・・、ちょっと浮かばないなぁ」

「浮かぶようにして!」

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2009年10月11日 (日)

生徒数の比(ラ・サール中学 受験算数問題 2009年)

ある中学校の生徒の男子と女子の比は4:5で、この中学校に通学する手段として、自転車を使用する生徒と徒歩で通学する生徒の比は7:8です。自転車を使用して通学する男子生徒が90人で、徒歩で通学する女子生徒が126人のとき、この中学校の全校生徒数を答えなさい。なお、自転車、徒歩以外の手段で通学する生徒はいないものとします。

「どうやって考えたらいいのかわからない」

「問題文を整理できるかな」

「どうやって?」

「一つの表にまとめられる?」

「えーと・・・」

「わかっていない徒歩通学の男子生徒の数をA、自転車通学の女子生徒の数をBとしてみると、全校生徒の内訳は・・・」

Pic_0507

「見やすくなった」

「この表で同じになるものは?」

「・・・・・・」

「全校生徒の数」

「そうか、④と⑤をたした数と7□と8□をたした数が同じ全校生徒数だ」

「④+⑤=⑨と7□+8□=15□が同じ数だから、全部同じ比にできるでしょ」

「全体を最小公倍数の45にすると・・・」

④=20マル

⑤=25マル

7□=21マル

8□=24マル

「それをまた表にしてみて」

Pic_0508

「青囲みと赤囲みは?」

「比較してみると・・・」

90+A=20マル

126+A=24マル

「おお、Aは同じだから、24マル-20マルの④が126人-90人の36人になるんだ!」

「①は36÷④で9人だね」

「全体は45マルだから45×9で405人!」

「整理して考えると解きやすい」

「整理できない」

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2009年10月10日 (土)

面積比と角度(Sunday Sapixより)

Hi1

Oを中心として半径2cm、4cm、6cmの半円があります。

面積比がエ:オ:カ=1:9:10のとき角Aは何度ですか?

「半径4cmのおうぎ形の面積って、半径2cmのおうぎ形の2倍だよね?」

「まだそんなこと言ってんの?面積比なんだから・・・」

「4倍だった」

「6cmなら?」

「9倍」

「だから、角度が同じならエ:オ:カは・・・」

「1:4:9!」

「また、あわてて間違う」

1:(4-1):(9-4)=1:3:5

「それが1:9:10ということは・・・」

「角度が違うからでしょ」

(1×○):(3×□):(5×△)=1:9:10

「○=1、□=3、△=2だ」

「求めているのは○だから」

180゜×1/(1+3+2)=30゜

「オの角度が90゜で、カの角度は60゜」

「Aの角度だけでいいの!」

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2009年10月 9日 (金)

正方形とおうぎ形(市川中学 受験算数問題 2009年)

Soji1

正方形ABCDの中に、Aを中心とした円の一部と、BCのちょうどまん中の点Mを中心とした円の一部がかかれています。2つの円の交点のうち、B以外の点をPとします。

(1)角APMは直角となります。その理由を、図や記号、言葉など、あなたなりの表現方法を使って自由に説明しなさい。

(2)BPの長さが4cmのとき、正方形ABCDの面積を求めなさい。

「Mを動かさないで、△AMPをPがCに来るまでまわす」

「MPとMCは半径で等しいから重なるね」

「AもDに重なる」

「どうして?」

「だって、APとDCは大円の半径と同じだし、AMはDMと同じだから、AとDがずれたら同じ三角形じゃなくなっちゃう」

「そうね」

「だから角APMはCとぴったり重なるんで直角!」

「△ABMと△APMは3つの辺が等しくなるから、同じ三角形。で、角ABM=角APMだから直角、っていうのは?」

Soji2

「それでもいいか・・・」

「交点をQとすると、AMとBPは直角に交わるね」

「AMで折ると二つの三角形は重なるんだ」

Soji3

「相似になる三角形が3つできるでしょ」

「△ABQと△AMBが相似でBQ:AQ=MB:AB=1:2だからAQは2×2で4cm」

「MQ:BQ=MB:AB=1:2だから・・・」

「MQは2×1/2で1cm」

△ABMの面積=(4+1)×2÷2=5c㎡

正方形の面積=5×4=20c㎡

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2009年10月 8日 (木)

点の移動、チェス(筑波大附属中学 受験算数問題 2009年)

チェスというゲームに「ルーク」 Ruku_3 という駒があります。ただし、「ルーク」は、盤上を縦・横の方向にしか動くことができません。次の①~⑥の中で、「ルーク」がすべてのマス目を1回ずつ通って、まで行くことのできるものをすべて選びなさい。 

Rei

Mon16

「一つ一つやってみるしかなさそうね」

「やってみる」

・・・・・・

「できたら解答をクリックしてみて」

「あれっ?」

「どうしたの?」

「道順が違う」

「できるのはいろいろ道順があるみたいだけど、できないのはどうやってもできないね」

「よし、もう一回!」

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2009年10月 7日 (水)

四角すいの展開図つづき(中学受験 算数問題)

「この前の問題、納得していないようなので・・・」

Mon11

図の水色の部分は、1辺8cmの正方形から底辺が8cm、高さが2cmの二等辺三角形4つを切り取ってできたものです。これを組み立ててできる四角すいの体積を求めなさい。

ただし、角すいの体積は、(底面積)×(高さ)÷3で求められます。

「高さがなぜ4cmになるかっていうやつだ」

「そう、4等分すると、1つの正方形はこうなるよね」

Zu2

「右の直角二等辺三角形が底面になる」

「ABとADは4cmだから、AEとAFで折るとBとDが重なるね」

「重なる」

「 このとき、重なったBDとEFでできる三角形は△ECFと3つの辺が同じになるから、同じ三角形になるね」

「直角二等辺三角形」

「この三角形をEFで折ると、重なったBとDはCにも重なる」

「重なった」

「∠ABEも∠ADFも90゜だからこの三角錐の高さはAB=AD=・・・」

「4cmか」

「Cに集まる辺はどれも90゜だからAはCの真上にくるでしょ」

「この同じ三角錐を4つ集めると、底辺が8c㎡で高さ4cmの四角錐になるわけだ」

8×4÷3=10と2/3立方cm

「ただ、逆に出題される場合もありそう」

「逆?」

「この三角錐は立方体の頂点と、その下の二辺の中点を通る面で切り取った立体でもあるから・・・」

Riposui 

「同じだね」

「この立体を展開するとどんな形になりますか?なんていう問題」

「正方形・・・」

「どちらからでも出題できそう」

「四角錐はと・・・」

「この三角錐を180゜回転させて、立方体のまん中に4つ集めてもできるね」

「角に4つ集めてもできる」

「そう」

「どんな形で出題されそうかな?」

「どんな形でもできるようにイメージで頭に入れておいたら」

「そうする」

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2009年10月 6日 (火)

直方体と水の入った容器(中学受験算数 練習プリントより)

Sui1

直方体の容器に水が図1のようにある深さまで入っています。この容器に底面のたてが9cm、横が8cmの直方体の棒を、底面が容器の底と平行になるように、容器の底面から22cmのところまで入れたところ、水面は容器の深さ7/9のところまできました。さらに、棒を容器の底面につくまで入れていくと、水が288立方cmこぼれました。最後に棒を引き抜くと、水面は容器の深さの3/5のところまできました。

(1)棒の底面積と容器の底面積の比を求めなさい。

(2)容器の深さは何cmですか?

(3)初めの状態では、容器に何cmの深さまで水が入っていましたか?

「どこから考えたらいいのかな・・・」

「図3と図4をよーく比べてみて」

Sui2

「そうか、引き抜いた棒の部分の体積と黄色部分が同じ体積だ」

「高さの比は?」

「1対2/5で5:2」

「だから底面積の比は?」

「逆比で2:5

「(2)で注目するところは?」

「図2かな?」

Sui3

「青い部分に注目!

棒が底までつくと、この青い部分が緑部分とこぼれた288立方cmになるの、わかる?」

「そうか」

青い部分の体積=9×8×22=1584立方cm

「288立方cm引くと?」

「1296立方cm、これが緑部分」

「この緑部分と棒の底面積比は?」

「5:2?」

「容器の5から棒の2を引かなきゃだめでしょ」

「3:2」

「だから緑の底面積は棒の底面積の3/2倍」

8×9×3/2=108c㎡

「体積÷底面積で高さがでる」

1296÷108=12cm

「これが2/9にあたるから、容器の深さは・・・」

12cm÷2/9=54cm

「(3)はどうやって・・・」

「まず、図4の深さは?」

「54cmの3/5で32.4cm」

「次にこぼれた288立方cmの容器に入れた場合の高さを計算するわけ」

「容器の底面積は棒の5/2倍だから・・・」

72×5/2=180c㎡

「こぼれた水をこの底面積で割ると」

288÷180=1.6cm

32.4+1.6=34cm

「ムズイ!」

「順番に出した答えをみんな使っていくね」

「最初が間違ったら全部ダメになる」

「だから慎重に」

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2009年10月 5日 (月)

長針と短針の角度(スタンダードテストより)

Cho1

図のような数字の書いていない時計で、長針と短針の間が130゜になっていて、長針は5分きざみの目盛りをさしています。この時計は何時何分をさしていますか?

「平成教育委員会に出てきそうな問題だね」

「9時10分くらいかな・・・」

「12が一番上にくるなんて書いてないでしょ」

「えっ、そんなんでわかるのかな」

「長針が目盛りをさしているから、15分とか30分とか5分の倍数になっている」

「短針は目盛りからずれている」

「これがヒント」

「そうか、どのくらいずれているかだ」

5×30゜-130゜=20゜

「短針は1分間にどれだけ進む?」

30゜÷60分=0.5゜

「20゜÷0.5゜で短針は40分ずれているんだ」

「40分の長針はどこをさしているかな」

「8」

「「短針は?」

「3と4の間」

「だから?」

「3時40分でした」

「正解!」

「そういえば、数字の書いてない時計ってたくさんあるよね」

「それとこれとはちょっと違うんじゃない?」

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2009年10月 3日 (土)

四角すいの展開図(灘中学 2006、ラ・サール中学 1994、同志社女子中学 2009、大妻中学 2005 類題)

「たくさんの中学で出題されている問題だね」

図の水色の部分は、1辺8cmの正方形から底辺が8cm、高さが2cmの二等辺三角形4つを切り取ってできたものです。これを組み立ててできる四角すいの体積を求めなさい。

ただし、角すいの体積は、(底面積)×(高さ)÷3で求められます。

「底面積は正方形の対角線を使うやつだ」

4×4÷2=8c㎡

「高さは?」

「・・・・・・」

「1/4ずつに分けてみるとこんな展開図」

「やっぱり高さが難しい」

Zu1

「では組み立ててみようか」

「底面の二等辺三角形の両辺は、立方体の横の面の同じところに来るな」

「頂点と辺のまん中を結ぶ線で、同じ長さだね」

「すると高さは立方体の一辺の長さ?」

「そうなるね」

「4cmか・・・」

8×4÷3=10と2/3立方cm

「目で見ないで想像つくかな?」

「これ、高さ、ほんとに4cm?」

「そうでしょ」

「不思議だ!」

「この図も参考にしてみて」

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2009年10月 2日 (金)

分数の大小(浦和明の星女子中学 2007年、筑波大学附属中学 2009年)

Pic_0480

「分母か分子を同じにするんだ」

「それをどうやるか」

「(1)は分子が7が4つある」

0.6、7/10、2/3、7/9、7/11、7/12

「残りは6でそろうね」

6/10、7/10、6/9、7/9、7/11、7/12

「6/10<7/10だし、6/9<7/9で

7/9>7/10>7/11>7/12だから・・・」

「できそうだね」

(1)の解答はコチラ(+searchをクリックで大きく)

「(2)は44/45だけが何か違う」

「どう違う?」

「そうか、他のはみんな分母から分子引くと3になる」

「だから44/45もそれに合わせればいい」

「分母と分子に3をかける・・・」

132/135、118/121、128/131、138/141

「ここからちょっとした技を使うの」

「その技っていうのキライなんだ」

「じゃあヒント、どれももうちょっとで1でしょ」

「そうだ、分子に3たせば・・・」

「たす分数の分子が3でそろうところがミソ!」

「おっ、わかりそうだ」

(2)の解答はコチラ(+searchをクリックで大きく)

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2009年10月 1日 (木)

道を通る場合の数(四谷大塚 合不合判定テストより)

「小問では一番正答率が低かった問題だね」

「そう、これできなかった」

Miti

3つの地点A、B、Cを結ぶ道があります。このとき、A地点からC地点まで行き、同じ道を通らないようにA地点までもどってくる道順は、全部で何通りありますか?

「2通りに分けて考えると数えやすいんだけどね」

「AとCを結ぶ道を通る場合と、通らない場合」

「このAとCを直接結ぶ道を行きに通るか、帰りに通るかで2倍、場合の数が増えるところが注意点」

「この赤い道を通らない場合は12通り、通る場合も12通り」

2通り×3通り×2通り×1通り=12通り

1通り×3通り×2通り×2通り(行きと帰り)=12通り

全部で24通り

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