速さの差（Sunday Sapixより）

難度レベルB

一本道を一郎君と次郎君がAから、三郎君はBからCに向かって３人同時に出発すると、一郎君は１２分後、次郎君は１４分後に三郎君に追いつきます。一郎君がAから、次郎君はBからCに向かって２人同時に出発すると一郎君は何分で次郎君に追いつきますか？

「解答の意味がよくわからない」

「図にしてみた？」

「こんな感じだろ？」

「解答にはABを１２と１４の最小公倍数、８４ｍとして考えるって書いてあるね」

「なんでいきなり８４ｍなんだよ」

「最小公倍数だからでしょ」

「なんで最小公倍数にするんだよ」

「計算しやすいからでしょ」

「よくわからない」

「１２分で一郎君と三郎君の差が８４ｍ」

「８４ｍにすればね」

「１４分で次郎君と三郎君の差が８４ｍ」

「８４ｍだからね」

一郎君の速さ×１２分－三郎君の速さ×１２分＝８４ｍ

次郎君の速さ×１４分－三郎君の速さ×１４分＝８４ｍ

↓

（一郎君の速さ－三郎君の速さ）×１２分＝８４ｍ

（次郎君の速さ－三郎君の速さ）×１４分＝８４ｍ

↓

（一郎君の速さ－三郎君の速さ）＝７ｍ/１分

（次郎君の速さ－三郎君の速さ）＝６ｍ/１分

↓

一郎君の速さ－次郎君の速さ＝１ｍ

「だから８４ｍの差をなくすには８４ｍ÷１ｍで８４分」

「８４ｍにしなくてもできるんじゃないの？」

「やってみたら」

「４２ｍなら・・・」

「どう？」

「できた！」

「８４ｍにしたほうが計算しやすいでしょ？」

「でもなんで８４ｍなんだろう・・・」

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電車と時刻表（雙葉中学 受験算数問題 ２００９年）

難度レベルB

図のようにA、B、Cの３つの駅があり、１台の電車がA→B→C→B→A→B→C・・・・と往復しています。AとBの間は８分、BとCの間は９分かかり、A駅では１０分、B駅では３分、C駅では１０分停車します。ある日この電車が７時にA駅を出発した後、次のB駅で故障のため３５分停車しました。おくれを取りもどすため、その後の停車時間をC駅では５分、B駅では３分、A駅では６分とすると、時刻表どおりにもどるのは何時何分ですか。そのとき電車は何駅を出発しますか。

「ややこしい問題だけど・・・」

「問題を整理して、順番に考えていくしかないでしょ」

「故障後もB駅の停車時間は同じ」

「短くなったのはA駅とC駅だね」

「電車は故障の後、３５－３の３２分遅れでB駅を出発した」

「その３２分を取りもどすには？」

「Cに着いてからAまで行って、またCにもどってくるまでに９分取りもどす」

 

「１往復で９分ていうことだから」

「３２÷９で３往復してあとまだ５分たりない」

「そのとき電車はどこにいる？」

「C駅から３往復した後だからC駅」

「C駅でまた５分取りもどすわけだから、C駅を出発するときにちょうど時刻表にもどることになる」

「電車が走った時間は８分×７＋９分×７で１１９分」

「停車時間の合計は？」

「A駅が６分×３で１８分、B駅の３５分＋３分×６で５３分、C駅が５分×４で２０分、合計９１分」

「７時からは？」

「２１０分だから１０時３０分」

「時刻表通りに電車が停車していても、停車時間は９１分だね」

Aに３回×１０分＋Bに７回×３分＋Cに４回×１０分＝９１分

「ほんとだ、なんでだろう？」

「時刻表通りになったからでしょ」

「？？？」

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補助線の工夫（駒場東邦中学 受験算数問題 ２００９年）

難度レベルA

図は、たて６ｃｍ、横１０ｃｍの長方形です。斜線（灰色）部分の面積を求めなさい。

「辺が３ｃｍと４ｃｍの直角三角形が２つ見えてくるな」

「同じ直角三角形だね」

「AもBも６ｃ㎡」

「もう一組同じ直角三角形があるね」

「CとDで７×２÷２で７ｃ㎡」

「点線で囲まれた図形は？」

「向かい合う辺と角度が同じだから、平行四辺形だ！」

「平行四辺形内の灰色部分の面積は？」

「左の教材みたいに４つに分けてみると・・・、平行四辺形の１/２」

「答えの面積は？」

「６×１０－（６×２＋７×２）の半分で１７ｃ㎡、

灰色部分は１７＋６×２＝２９ｃ㎡」

｢別な解き方もあるみたいだけど・・・」

「一つの方法で解ければいいや」

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四角柱の容器（２００９年 中学受験 算数問題）

難度Aレベル

図１の四角柱の形をした容器に水が入っています。そこに、図２の四角柱の形をした棒をまっすぐ底がつくまで入れます。棒を１本入れたとき、棒の一部は水面から出ていて、水面の高さは１ｃｍ高くなりました。

（１）はじめの水面の高さを求めなさい。

（２）棒を何本入れると、入れた棒すべてが完全に水の中に入りますか。もっとも少ない本数を答えなさい。

「５分くらいで解いてみて」

「どこの中学？」

「解いてから」

「１ｃｍ高くなった分は、水面より下の棒の体積と同じで１０×１２×１で１２０立方ｃｍと同じになる」

「棒の底面積で割ると・・・」

１２０÷（３×４）＝１０ｃｍ

「１ｃｍ引くと・・・」

１０ｃｍ－１ｃｍ＝９ｃｍ

「１ｃｍ高くなった水の分が、元の水面の高さの棒の体積と同じ、と考えてもいいね」

１０×１２－３×４＝１０８ｃ㎡

１０８ｃ㎡×１ｃｍ＝１０８立方ｃｍ

１０８÷（３×４）＝９ｃｍ

「９ｃｍがわかれば水の体積がでる」

１０×１２×９＝１０８０立方ｃｍ

「水面の高さが２０ｃｍになるときの水の底面積は？」

「５４ｃ㎡だからこれを棒の底面積で割って・・・」

「ほら、そこで間違う！」

「えっ、なんで？」

「棒は水じゃないところ」

「そうか、１２０－５４で６６ｃ㎡だ」

６６÷（３×４）＝５．５

「だから？」

「６本！」

「立教新座中学の問題」

立体図形、水そうの問題もアニメーションで！

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正五角形の方陣算（Sapix スタンダードテストより）

図のように、ご石を、黒石の正五角形、白石の正五角形、黒石の正五角形、・・・と内側から順にならべていきます。

（１）いちばん外側に５０個のご石がならんだとき、この正五角形の一辺には何個のご石がならんでいますか？

（２）いちばん外側の正五角形の一辺に１５個のご石がならんだとき、黒、白あわせて、ご石は全部で何個ならんでいますか？

（３）最後の黒石が８７個あまりました。あと８個黒石があれば、外側にもう一つ正五角形になるようにならべることができます。このとき、白石は全部で何個ならんでいますか？

「５０÷５で１０個、って答えると違うんだよね」

「わかってきているのかな？」

「この赤□の合計が５０個になる。だから一辺は５０÷５＋１で１１個」

「（２）の１５個をどう考えるか」

「赤□にあたるのは１４個」

「内側から何番目の正五角形かな？」

「いちばん内側の赤□は１、２番目が２だから、そのまま１４番目だ」

「赤□が１～１４個あるね」

「ガウス算！」

（１＋１４）×１４÷２＝１０５個

１０５個×５辺分＝５２５個

「（３）も同じようだけど、ちょっと注意が必要だね」

「８７＋８の９５個でできる正五角形の赤□は１９個」

「だから一つ内側の白石は？」

「１８番目で赤□も１８個」

「白石の正五角形は何個？」

「２、４、６、８、１０、１２、１４、１６、１８の９個だから、一つおきのガウス算」

（２＋１８）×９÷２＝９０個

９０個×５辺分＝４５０個

「よくできました」

「ご石系はゲーム系だから、おもしろい」

規則性、方陣算の問題もアニメーションで！

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平行四辺形の垂線（早稲田中学 受験算数問題 2007年）

図のような平行四辺形の紙があります。

（１）点Cから辺ABに引いた垂線の長さは何ｃｍですか？

（２）点Aが点Bに、点Dが点Cにそれぞれ重なるように丸めると、ある円柱の側面ができます。この円柱の体積は何立方ｃｍですか？ただし、円周率は３．１４とします。

「気がつけば、すぐわかるんだけどね」

「気がつかない」

「じゃあこうしたら？」

「そうか、△ABCの辺ABを底辺にしたときの高さだ！」

「△ABCは？」

「平行四辺形の半分」

１５．７×８÷２＝１０×高さ÷２

高さ（垂線の長さ）＝１５．７×8÷１０＝１２．５６ｃｍ

「（２）はこの長さ使うね」

「この円柱、斜めみたいだけど・・・」

「でも高さと底面積がわかれば体積がでるでしょ」

「ピサの斜塔？」

「ちょっと違うね。底面と上面が平行な斜めの円柱」

「垂線が高さになるのか」

「底面積は？」

「円周が１０ｃｍ、だから半径は１０÷３．１４÷２で１．５９２３・・・」

「そこで３．１４を計算しないの」

「５/３．１４ｃｍ」

「そのまま計算すると？」

５/３．１４×５/３．１４×３．１４×１２．５６

＝２５×４＝１００立方ｃｍ

「うわっ、１００になる」

「１２．５６って３．１４の４倍でしょ」

「そうだった」

平面図形、立体図形の問題もアニメーションで！

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三角すいの側面の道の数（四谷大塚 第２回合不合判定テストより）

「最後の問題だけど、時間がなくなっちゃって・・・」

すべての面が１辺３ｃｍの正三角形である三角すいがあります。この三角すいの側面には、各辺を３等分する点を結んだ直線が引かれています。いま、図の頂点Aを出発し、三角すいの辺上および側面にある道を進み、はじめて頂点Oに着くまでの道のりを考えます。ただし、同じ点は何度通ってもかまいませんが、一度通った道は再び通ることはできません。たとえば、A→P→S→T→U→S→Oと進むことはできますが、A→P→S→T→Q→P→S→Oと進むことはできません。

（１）通った道のりが５ｃｍになるような進み方は、全部で何通りありますか？

（２）通った道のりが８ｃｍになるような進み方は、全部で何通りありますか？

「AからOまで最短距離は？」

「３ｃｍ」

「５ｃｍということは、２ｃｍ回り道してることになるね」

「下はないから横に２ｃｍ」

「Aですぐ横は３ｃｍだからだめ、AからPに行ってから横へ」

「P→QかP→Rの２通り」

「AからSまで行った場合は？」

「２ｃｍだとS→T→UかS→U→Tの２通り」

「合計で？」

「４通り！」

「（２）は下に行く場合もありそうだね」

「タテの道３ｃｍを引くと、回り道は５ｃｍ分」

「横だけで５ｃｍ回り道するには？」

「１ｃｍと２ｃｍと３ｃｍの道を組み合わせて・・・」

①３ｃｍ＋２ｃｍ

②３ｃｍ＋１ｃｍ×２

③２ｃｍ×２＋１ｃｍ

④２ｃｍ＋１ｃｍ×３

「まず①の３ｃｍ＋２ｃｍの場合は・・・」

「A→B→Q って行った場合は２通り、A→C→Rって行った場合も２通りだから全部で４通り」

「②の３ｃｍ＋１ｃｍ×２の場合は？」

「A→B→Tの場合がTで分かれるから２通り、A→C→Uの場合もUで分かれるから２通り、で、４通り」

「③と④は？」

「同じように考えて、やっぱり４通りずつ」

横だけの場合・・・４×４＝１６通り

「下に行く場合は？」

「Sまで行ってTかUに分かれて下に下がる。同じ道は通れないから、あとは一本道、で、２通り」

１６＋２＝１８通り

「順序だてて考えていけばできそうだけど・・・」

「最後の問題なんだから、そんな時間ないよ！」

「規則性」、「場合の数」の問題も目で見てわかる・・・

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かたむけた容器と水（四谷大塚 第２回合不合判定テストより）

「これ、わからなくて手をつけなかった」

「みんな難しかったみたい。特に（２）は一番正答率が低かった問題」

１辺の長さが１２ｃｍの立方体から、３辺の長さが６ｃｍ、６ｃｍ、１２ｃｍの直方体を取りのぞいた形の容器に水が入っています。図１はこの容器の頂点Pを固定してかたむけたところです。図２は頂点Pを固定したまま、さらにこの容器をかたむけて水をいくらかこぼしたところです。

（１）図１のXの長さは何ｃｍですか？

（２）こぼした水の体積は何立方ｃｍですか？

「（１）だけど、辺を延長して容器を元の立方体にした場合の水の形で考えるんだって」

「解答にはまずACの長さを出すって書いてある」

「ABとBPが６ｃｍで等しいから、８ｃｍはACの長さと１０ｃｍの平均になってる」

（AC＋１０ｃｍ）÷２＝８ｃｍ

「で、ACが６ｃｍになるのか」

「だから、Xは９ｃｍ＋６ｃｍ－１０ｃｍで５ｃｍ」

「それ、ぜんぜんわからない」

「そうだね、この式、けっこう謎だよね」

「意味不明・・・」

「これ、かぐや姫の竹じゃないの？」

「下と同じ形の立体を、ひっくり返して上にのせるやつ」

「そう、９ｃｍの上に６ｃｍがのっかるから高さは１５ｃｍ」

「１５ｃｍから１０ｃｍ引いて、１０ｃｍのところに５ｃｍがのる」

「だからXは５ｃｍになるわけか」

「これ気がつかないと、（２）も解けそうにないね」

「DEを出すって解答にはあるけど・・・」

「６ｃｍと５ｃｍの平均だから・・・」

「５．５ｃｍ」

「これで水の体積が求められるわけ」

「上に重ねた全体の半分から、つけたしたところも上に重ねて半分にして引くんだ」

１２×１２×（９＋６）÷２－６×６×（５．５＋８）÷２

＝８３７立方ｃｍ

「図２の水の形がわからない」

「これも立体をつけ足して考えるみたい」

「三角すい？」

「そう、これは立方体の中の三角すいだね」

「大きい三角すいと緑の三角すいは相似で、体積比は１×１×１：２×２×２で１：８」

「大きい三角すいから緑の三角すいを引いたのが図２の水の体積だね」

６×６÷２×６×１/３×（８－１）＝２５２立方ｃｍ

「こぼれた水は８３７－２５２で５８５立方ｃｍ」

「さすがに難しいね」

「いろんな問題が重ねて入っている感じ」

立方体の切り口をアニメーションで！

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円すいの側面（四谷大塚 合不合判定テストより）

図は、母線の長さが２４ｃｍ、底面の円の半径が４cmの円すいです。点Aを出発し側面を２周してもとにもどるときの最短距離を考えます。１周したとき、OAと交わる点をPとすると、OPの長さは何ｃｍですか？

「変なふうに考えちゃって・・・」

「どんな？」

「Aから出発して１周したらAにもどってきちゃうじゃないか、って」

「１周したとき、OAと交わる点をPとすると、って問題に書いてあるじゃないの」

「Pで１周したことになるのか、よくわからなくなって・・・」

「らせん状に上がっていく感じ。１周した展開図はこれ」

「最初の図を見ると、２つの円があるように見えたから・・・」

「この円すいを展開すると中心角は何度？」

「３６０゜×４/２４で６０゜」

「そのおうぎ形を２つ並べてみる」

「何で？」

「２周だから」

「そうか」

「Aから出発してPまで最短は直線になる、で、またAまで直線でもどってくる」

「△OAPは正三角形の半分だから、OPは２４ｃｍの半分で１２ｃｍ」

「そういうこと」

円すいがころがるアニメーションなどご参考に！

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通過算（四谷大塚 第２回 合不合判定テストより）

長さ１２０ｍの上り電車と下り電車が、それぞれある鉄橋の両はしに同時にさしかかりました。その１６秒後に、鉄橋のちょうどまん中で先頭がすれちがい、その２０秒後にどちらの電車も鉄橋を渡り終えました。この鉄橋の長さは何ｍですか？

「なんだかこんがらがってきて・・・」

「図を描いてみないからわからなくなるの！」

「まん中だから、両方の電車は同じ速さか」

「そういうこともわかるし・・・」

「２０秒後に渡り終えたんだから、３６秒後」

「何で、すれ違ってから渡り終えるまでの方が時間がかかったかわかる？」

「同じ１６秒だと、まだ渡り終えていないから・・・」

「そうでしょ、図にしてみればわかるはず」

「２０秒と１６秒の差は電車の長さの時間か・・・」

「そうでしょ」

「１２０ｍ÷４秒で秒速３０ｍが電車の速さ」

「鉄橋の長さは？」

「３０ｍに１６＋２０秒をかけて・・・」

「また間違う、電車の先頭だけを考えてみて！」

「３０ｍ×１６秒×２か、・・・９６０ｍだ」

「図を描いて落ち着いて考えること！」

「電車や鉄橋、うまく書けない」

「こんなんでいいの、描けるでしょ？」

「書けそう」

通過算の解法もイメージアニメーションで！

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周期の規則性（Sapixスタンダードテストより）

「こうゆうの、地道に考えていくしかないのかなぁ」

あるコンビニエンスストアでは、１本１２０円のジュースの空きかんを３本持っていくと、１本１２０円のジュースを１本おまけしてくれるサービスを行っています。たとえば最初に４本買ったとすると、そのうちの３本で１本おまけがもらえるので、全部で５本のジュースが飲めることになります。

（１）最初に８本買うと、最大で何本飲めますか？

（２）５０００円のお金で、このジュースは最大で何本飲めますか？

「少ない本数なら地道に数えてもいいけどね」

「８本ならなんとか数えられるけど・・・」

「最初に８本飲むんじゃなくて、３本飲むことにして５本残す、って考えてみたら？」

「３本飲んで１本おまけをもらう」

「その１本に５本の中から２本を加える」

「３本になる」

「また１本おまけをもらう」

「また２本加えるの？」

「そう」

「数えやすくなった」

１１本

「（２）も同じように考えるわけ。まず、何本買えるか？」

「５０００円÷１２０円で４１本買えて８０円余る」

「最初は３本、残りは？」

「３８本」

「２本ずつ並べると？」

「１９」

「おまけの本数は？」

「１９＋１で２０本」

「全部で？」

「４１＋２０で６１本」

「そんなふうに数えてみたらいいね」

「規則的だ！」

イメージアニメーションで理解する規則性の問題も豊富です！

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時間、道のり、距離（Sapix １０月マンスリーテストより）

AB間の道のりはBC間の道のりの３/５です。花子さんが自転車に乗って、AからCまで行くのに、AB間は時速１２ｋｍで、BC間は時速１５ｋｍで走ったところ、全部で１時間２４分かかりました。AB間の道のりは何ｋｍですか？

「できなかった」

「AB間とBC間の道のりの比は３：５でしょ」

「それはわかる」

「AB間とBC間の速さの比は１２ｋｍと１５ｋｍだから４：５」

「それもわかる」

「ならAB間にかかった時間とBC間にかかった時間の比は３/４：５/５で３：４でしょ」

「それがわかんない」

「はじきの法則、知ってるでしょ？」

「時間は距離÷速さ、速さは距離÷時間、距離は速さ×時間」

「道のりの比を速さの比で割って時間の比を求めたんじゃないの」

「それがわからない」

「どうして？」

「何で比を比で割れるんだよ」

「だって、分数の割り算てみんなそうでしょうに」

「・・・・・・」

「AB間は８４分の３/７かかったわけだから・・・」

「３６分」

「時速１２ｋｍだから」

「１２×３６/６０で７．２ｋｍ」

「そう」

「比を比で割るのが、なんかわからないなぁー」

「まあ、無理もないけど・・・」

比もアニメーション教材で理解できる！

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流水算と旅人算（Sapix １０月マンスリーテストより）

「（１）までしかできなくて・・・」

川の上流に甲地が、下流に乙地があります。船Aが甲地を、船Bが乙地を同時に出発しました。船Aと船Bは出発してから２０分後にはじめてすれちがい、その１０分後に船Aが乙地に着きました。船Aの静水上を進む速さは分速６０ｍ、船Bの静水上を進む速さは分速７５ｍです。

（１）甲地から乙地までの距離は何ｍですか？

（２）この川の流れの速さは分速何ｍですか？

（３）船Aと船Bは甲地、乙地に着くとすぐに折り返して、それぞれが出発した地点に向かいました。船Aと船Bが２度目にすれちがうのは、甲地から何ｍのところですか？

「まず図にしてみようね」

「イメージしやすくなった」

「川の流れの速さを

で表してみると、２０分後にはじめてすれちがったときは・・・」

「Aの速さは ６０ｍ＋川の速さ、Bの速さは７５ｍ－川の速さ」

「向かい合って近づく旅人算だから、速さはA＋B」

（６０ｍ＋川の速さ）＋（７５ｍ－川の速さ）＝１３５ｍ

「川の速さがなくなっちゃう」

「つまり静水上と同じ」

「２０分だから１３５ｍ×２０分で２７００ｍ」

「（２）はその１０分後に注目」

「１０分後だからAは甲から乙まで３０分で行ったわけだ」

「２７００ｍをね」

「分速９０ｍ」

「静水上が６０ｍなんだから？」

「この川の流れの速さは、９０－６０で分速３０ｍだ」

「（３）だけど、Bが甲地に着くのは出発してから何分後かな？」

「えーと、７５ｍから川の流れを引いて４５ｍだから、２７００を４５ｍで割って６０分」

「そのときAはもう乙を折り返してきているね」

「折り返してから３０分たってる」

「どのくらい進んでいる？」

「これも６０ｍから３０ｍ引いて３０ｍ×３０分だから９００ｍ」

「AとBの距離は？」

「２７００－９００で１８００ｍ」

「あとはまた向かい合う旅人算」

「これは考えなくていいから・・・」

１８００÷（６０＋７５）＝１３と１/３分

「Bの下りの速さは？」

「７５＋３０で１０５ｍ、１３と１/３分だから甲地から１４００ｍ」

「そうだね」

「これ流水算と旅人算が混ざってる」

「試験の大問はこうなってくるでしょ」

「

」

流水算や旅人算もアニメーションで理解！

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三角形の相似と面積（Sapix １０月マンスリーテストより）

「気がつけば、そんなに難しくない問題だと思うけど・・・」

「気がつかなかった」

図は１辺１５ｃｍの正方形を６個組み合わせた図形です。黄色部分は何ｃ㎡ですか？

「三角形の相似をみつけるわけでしょ？」

「見つからなかった」

「三角形の相似はほとんどピラミッド型か砂時計型なんだから」

「この問題、ピラミッドが逆になってた」

「そんなこといくらだってあるでしょうに」

「もうわかった。△水色：△緑＝３：２だからABは３０ｃｍ×２/３で２０ｃｍ」

「こんどは砂時計型」

「△黄：△赤＝２０：３０＝２：３だから△黄の高さは３０ｃｍ×２/５で１２ｃｍ」

２０ｃｍ×１２cm÷２＝１２０ｃ㎡

「こんどはピラミッドがさかさまになってても、ちゃんと見つけられるように」

「砂時計が横になってたら見つけられるかな？」

「・・・・・・」

相似や図形移動などのアニメーション教材が豊富です！

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回転体の表面積（Sapix １０月マンスリーテストより）

「（２）の形がよくイメージできなかった」

三角形ABCは辺ABと辺ACの長さが等しい二等辺三角形です。

（１）三角形ABCを、直線アを軸として１回転させたときにできる立体の表面積は何ｃ㎡ですか？

（２）三角形ABCを、直線イを軸として１回転させたときにできる立体の表面積は何ｃ㎡ですか？

「（１）はできた？」

「（１）は普通の円すいだから・・・」

６×６×３．１４＋１０×１０×３．１４×６/１０

＝３０１．４４ｃ㎡

「（２）の形は？」

「まん中がへこむ円錐台のようだけど・・・」

「見てみようか」

「やっぱりそうだ」

「問題はへこんだ部分の形」

「円すいだろ」

「そうだけど、この図を見て」

「ADがへこんだところ」

「それってAEと同じ長さでしょ」

∠AED=９０゜－∠C

∠ADE＝９０゜－∠B

「二等辺三角形になるのか」

「だから、へこんだ部分を上にひっぱり出せば？」

「円すいになる」

「母線はECだから相似の割合で１０×９/６」

「１５ｃｍ」

９×９×３．１４＋１５×１５×３．１４×９/１５

＝６７８．２４ｃ㎡

「体積を求める場合はへこんだ部分をを引くけど・・・」

「できる立体がはっきりしないのに、ひっぱり出すところまではちょっとな・・・」

「イメージ練習！」

立体図形、回転体などのアニメーション教材が豊富です！

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この分数はいくつ？（SAPIX １０月マンスリーテストより）

「どう考えたらいいのかわからなかった」

ある分数の分子と分母にそれぞれ５を加えて約分すると２/３になり、分子と分母からそれぞれ７を引いて約分すると５/９になります。この分数は何分の何ですか？

「線分図書いてみた？」

「えっ、線分図使うの？」

「その方がわかりやすそう」

「下の黒線が分母で、上の青線が分子と考えるわけか」

「両方に５をたして約分したら、２/３、つまり②：③になった」

「そうか、②：③ね、比にして考えるのか」

「次に、両方から７を引いて約分した５/９になったわけだから・・・」

「５□：９□」

「ここで、この差に注目するの」

「差？・・・」

「そう、分母と分子の差」

「おお、①＝４□だ！」

「これがわかればできるでしょ」

「②は８□、８□－５□の３□が５＋７になるんだ」

「１□は４だね」

分子＝４×５□＋７＝２７

分母＝４×９□＋７＝４３

２７/４３

「約分すると・・・、っていう意味をずーっと考えてた」

「分数の問題っていうより、比の問題みたい」

「線分図か・・・、ちょっと浮かばないなぁ」

「浮かぶようにして！」

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生徒数の比（ラ・サール中学 受験算数問題 2009年）

ある中学校の生徒の男子と女子の比は４：５で、この中学校に通学する手段として、自転車を使用する生徒と徒歩で通学する生徒の比は７：８です。自転車を使用して通学する男子生徒が９０人で、徒歩で通学する女子生徒が１２６人のとき、この中学校の全校生徒数を答えなさい。なお、自転車、徒歩以外の手段で通学する生徒はいないものとします。

「どうやって考えたらいいのかわからない」

「問題文を整理できるかな」

「どうやって？」

「一つの表にまとめられる？」

「えーと・・・」

「わかっていない徒歩通学の男子生徒の数をＡ、自転車通学の女子生徒の数をＢとしてみると、全校生徒の内訳は・・・」

「見やすくなった」

「この表で同じになるものは？」

「・・・・・・」

「全校生徒の数」

「そうか、④と⑤をたした数と７□と８□をたした数が同じ全校生徒数だ」

「④＋⑤＝⑨と７□＋８□＝１５□が同じ数だから、全部同じ比にできるでしょ」

「全体を最小公倍数の４５にすると・・・」

④＝２０マル

⑤＝２５マル

７□＝２１マル

８□＝２４マル

「それをまた表にしてみて」

「青囲みと赤囲みは？」

「比較してみると・・・」

９０＋A＝２０マル

１２６＋A＝２４マル

「おお、Aは同じだから、２４マル－２０マルの④が１２６人－９０人の３６人になるんだ！」

「①は３６÷④で９人だね」

「全体は４５マルだから４５×９で４０５人！」

「整理して考えると解きやすい」

「整理できない」

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面積比と角度（Sunday Sapixより）

Oを中心として半径２ｃｍ、４ｃｍ、６ｃｍの半円があります。

面積比がエ：オ：カ＝１：９：１０のとき角Aは何度ですか？

「半径４ｃｍのおうぎ形の面積って、半径２ｃｍのおうぎ形の２倍だよね？」

「まだそんなこと言ってんの？面積比なんだから・・・」

「４倍だった」

「６ｃｍなら？」

「９倍」

「だから、角度が同じならエ：オ：カは・・・」

「１：４：９！」

「また、あわてて間違う」

１：（４－１）：（９－４）＝１：３：５

「それが１：９：１０ということは・・・」

「角度が違うからでしょ」

（１×○）：（３×□）：（５×△）＝１：９：１０

「○＝１、□＝３、△＝２だ」

「求めているのは○だから」

１８０゜×１/（１＋３＋２）＝３０゜

「オの角度が９０゜で、カの角度は６０゜」

「Aの角度だけでいいの！」

求積問題は目で見てわかるアニメーション教材で！

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正方形とおうぎ形（市川中学 受験算数問題 ２００９年）

正方形ABCDの中に、Aを中心とした円の一部と、BCのちょうどまん中の点Mを中心とした円の一部がかかれています。２つの円の交点のうち、B以外の点をPとします。

（１）角APMは直角となります。その理由を、図や記号、言葉など、あなたなりの表現方法を使って自由に説明しなさい。

（２）BPの長さが４ｃｍのとき、正方形ABCDの面積を求めなさい。

「Mを動かさないで、△AMPをPがCに来るまでまわす」

「MPとMCは半径で等しいから重なるね」

「AもDに重なる」

「どうして？」

「だって、APとDCは大円の半径と同じだし、AMはDMと同じだから、AとDがずれたら同じ三角形じゃなくなっちゃう」

「そうね」

「だから角APMはCとぴったり重なるんで直角！」

「△ABMと△APMは３つの辺が等しくなるから、同じ三角形。で、角ABM＝角APMだから直角、っていうのは？」

「それでもいいか・・・」

「交点をQとすると、AMとBPは直角に交わるね」

「AMで折ると二つの三角形は重なるんだ」

「相似になる三角形が３つできるでしょ」

「△ABQと△AMBが相似でBQ：AQ＝MB：AB＝１：２だからAQは２×２で４ｃｍ」

「MQ：BQ＝MB：AB＝１：２だから・・・」

「MQは２×１/２で１ｃｍ」

△ABMの面積＝（４＋１）×２÷２＝５ｃ㎡

正方形の面積＝５×４＝２０ｃ㎡

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点の移動、チェス（筑波大附属中学 受験算数問題 ２００９年）

チェスというゲームに「ルーク」 という駒があります。ただし、「ルーク」は、盤上を縦・横の方向にしか動くことができません。次の①～⑥の中で、「ルーク」がすべてのマス目を１回ずつ通って、☆まで行くことのできるものをすべて選びなさい。 

「一つ一つやってみるしかなさそうね」

「やってみる」

・・・・・・

「できたら解答をクリックしてみて」

「あれっ？」

「どうしたの？」

「道順が違う」

「できるのはいろいろ道順があるみたいだけど、できないのはどうやってもできないね」

「よし、もう一回！」

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四角すいの展開図つづき（中学受験 算数問題）

「この前の問題、納得していないようなので・・・」

図の水色の部分は、１辺８ｃｍの正方形から底辺が８ｃｍ、高さが２ｃｍの二等辺三角形４つを切り取ってできたものです。これを組み立ててできる四角すいの体積を求めなさい。

ただし、角すいの体積は、(底面積)×(高さ)÷３で求められます。

「高さがなぜ４ｃｍになるかっていうやつだ」

「そう、４等分すると、１つの正方形はこうなるよね」

「右の直角二等辺三角形が底面になる」

「ABとADは４ｃｍだから、AEとAFで折るとBとDが重なるね」

「重なる」

「 このとき、重なったBDとEFでできる三角形は△ECFと３つの辺が同じになるから、同じ三角形になるね」

「直角二等辺三角形」

「この三角形をEFで折ると、重なったBとDはCにも重なる」

「重なった」

「∠ABEも∠ADFも９０゜だからこの三角錐の高さはAB=AD＝・・・」

「４ｃｍか」

「Cに集まる辺はどれも９０゜だからAはCの真上にくるでしょ」

「この同じ三角錐を４つ集めると、底辺が８ｃ㎡で高さ４ｃｍの四角錐になるわけだ」

８×４÷３＝１０と２/３立方ｃｍ

「ただ、逆に出題される場合もありそう」

「逆？」

「この三角錐は立方体の頂点と、その下の二辺の中点を通る面で切り取った立体でもあるから・・・」

 

「同じだね」

「この立体を展開するとどんな形になりますか？なんていう問題」

「正方形・・・」

「どちらからでも出題できそう」

「四角錐はと・・・」

「この三角錐を１８０゜回転させて、立方体のまん中に４つ集めてもできるね」

「角に４つ集めてもできる」

「そう」

「どんな形で出題されそうかな？」

「どんな形でもできるようにイメージで頭に入れておいたら」

「そうする」

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直方体と水の入った容器（中学受験算数 練習プリントより）

直方体の容器に水が図１のようにある深さまで入っています。この容器に底面のたてが９ｃｍ、横が８ｃｍの直方体の棒を、底面が容器の底と平行になるように、容器の底面から２２ｃｍのところまで入れたところ、水面は容器の深さ７/９のところまできました。さらに、棒を容器の底面につくまで入れていくと、水が２８８立方ｃｍこぼれました。最後に棒を引き抜くと、水面は容器の深さの３/５のところまできました。

（１）棒の底面積と容器の底面積の比を求めなさい。

（２）容器の深さは何ｃｍですか？

（３）初めの状態では、容器に何ｃｍの深さまで水が入っていましたか？

「どこから考えたらいいのかな・・・」

「図３と図４をよーく比べてみて」

「そうか、引き抜いた棒の部分の体積と黄色部分が同じ体積だ」

「高さの比は？」

「１対２/５で５：２」

「だから底面積の比は？」

「逆比で２：５」

「（２）で注目するところは？」

「図２かな？」

「青い部分に注目！

棒が底までつくと、この青い部分が緑部分とこぼれた２８８立方ｃｍになるの、わかる？」

「そうか」

青い部分の体積＝９×８×２２＝１５８４立方ｃｍ

「２８８立方ｃｍ引くと？」

「１２９６立方ｃｍ、これが緑部分」

「この緑部分と棒の底面積比は？」

「５：２？」

「容器の５から棒の２を引かなきゃだめでしょ」

「３：２」

「だから緑の底面積は棒の底面積の３/２倍」

８×９×３/２＝１０８ｃ㎡

「体積÷底面積で高さがでる」

１２９６÷１０８＝１２ｃｍ

「これが２/９にあたるから、容器の深さは・・・」

１２ｃｍ÷２/９＝５４ｃｍ

「（３）はどうやって・・・」

「まず、図４の深さは？」

「５４ｃｍの３/５で３２．４ｃｍ」

「次にこぼれた２８８立方ｃｍの容器に入れた場合の高さを計算するわけ」

「容器の底面積は棒の５/２倍だから・・・」

７２×５/２＝１８０ｃ㎡

「こぼれた水をこの底面積で割ると」

２８８÷１８０＝１．６ｃｍ

３２．４＋１．６＝３４ｃｍ

「ムズイ！」

「順番に出した答えをみんな使っていくね」

「最初が間違ったら全部ダメになる」

「だから慎重に」

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長針と短針の角度（スタンダードテストより）

図のような数字の書いていない時計で、長針と短針の間が１３０゜になっていて、長針は５分きざみの目盛りをさしています。この時計は何時何分をさしていますか？

「平成教育委員会に出てきそうな問題だね」

「９時１０分くらいかな・・・」

「１２が一番上にくるなんて書いてないでしょ」

「えっ、そんなんでわかるのかな」

「長針が目盛りをさしているから、１５分とか３０分とか５分の倍数になっている」

「短針は目盛りからずれている」

「これがヒント」

「そうか、どのくらいずれているかだ」

５×３０゜－１３０゜＝２０゜

「短針は１分間にどれだけ進む？」

３０゜÷６０分＝０．５゜

「２０゜÷０．５゜で短針は４０分ずれているんだ」

「４０分の長針はどこをさしているかな」

「８」

「「短針は？」

「３と４の間」

「だから？」

「３時４０分でした」

「正解！」

「そういえば、数字の書いてない時計ってたくさんあるよね」

「それとこれとはちょっと違うんじゃない？」

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四角すいの展開図（灘中学 2006、ラ・サール中学 1994、同志社女子中学 2009、大妻中学 2005 類題）

「たくさんの中学で出題されている問題だね」

図の水色の部分は、１辺８ｃｍの正方形から底辺が８ｃｍ、高さが２ｃｍの二等辺三角形４つを切り取ってできたものです。これを組み立ててできる四角すいの体積を求めなさい。

ただし、角すいの体積は、(底面積)×(高さ)÷３で求められます。

「底面積は正方形の対角線を使うやつだ」

４×４÷２＝８ｃ㎡

「高さは？」

「・・・・・・」

「１/４ずつに分けてみるとこんな展開図」

「やっぱり高さが難しい」

「では組み立ててみようか」

「底面の二等辺三角形の両辺は、立方体の横の面の同じところに来るな」

「頂点と辺のまん中を結ぶ線で、同じ長さだね」

「すると高さは立方体の一辺の長さ？」

「そうなるね」

「４ｃｍか・・・」

８×４÷３＝１０と２/３立方ｃｍ

「目で見ないで想像つくかな？」

「これ、高さ、ほんとに４ｃｍ？」

「そうでしょ」

「不思議だ！」

「この図も参考にしてみて」

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分数の大小（浦和明の星女子中学 2007年、筑波大学附属中学 2009年）

「分母か分子を同じにするんだ」

「それをどうやるか」

「（１）は分子が７が４つある」

０．６、７/１０、２/３、７/９、７/１１、７/１２

「残りは６でそろうね」

６/１０、７/１０、６/９、７/９、７/１１、７/１２

「６/１０＜７/１０だし、６/９＜７/９で

７/９＞７/１０＞７/１１＞７/１２だから・・・」

「できそうだね」

（１）の解答はコチラ（＋をクリックで大きく）

「（２）は４４/４５だけが何か違う」

「どう違う？」

「そうか、他のはみんな分母から分子引くと３になる」

「だから４４/４５もそれに合わせればいい」

「分母と分子に３をかける・・・」

１３２/１３５、１１８/１２１、１２８/１３１、１３８/１４１

「ここからちょっとした技を使うの」

「その技っていうのキライなんだ」

「じゃあヒント、どれももうちょっとで１でしょ」

「そうだ、分子に３たせば・・・」

「たす分数の分子が３でそろうところがミソ！」

「おっ、わかりそうだ」

（２）の解答はコチラ（＋をクリックで大きく）

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道を通る場合の数（四谷大塚 合不合判定テストより）

「小問では一番正答率が低かった問題だね」

「そう、これできなかった」

３つの地点A、B、Cを結ぶ道があります。このとき、A地点からC地点まで行き、同じ道を通らないようにA地点までもどってくる道順は、全部で何通りありますか？

「２通りに分けて考えると数えやすいんだけどね」

「AとCを結ぶ道を通る場合と、通らない場合」

「このAとCを直接結ぶ道を行きに通るか、帰りに通るかで２倍、場合の数が増えるところが注意点」

「この赤い道を通らない場合は１２通り、通る場合も１２通り」

２通り×３通り×２通り×１通り＝１２通り

１通り×３通り×２通り×２通り（行きと帰り）＝１２通り

全部で２４通り

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