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2009年10月 9日 (金)

正方形とおうぎ形(市川中学 受験算数問題 2009年)

Soji1

正方形ABCDの中に、Aを中心とした円の一部と、BCのちょうどまん中の点Mを中心とした円の一部がかかれています。2つの円の交点のうち、B以外の点をPとします。

(1)角APMは直角となります。その理由を、図や記号、言葉など、あなたなりの表現方法を使って自由に説明しなさい。

(2)BPの長さが4cmのとき、正方形ABCDの面積を求めなさい。

「Mを動かさないで、△AMPをPがCに来るまでまわす」

「MPとMCは半径で等しいから重なるね」

「AもDに重なる」

「どうして?」

「だって、APとDCは大円の半径と同じだし、AMはDMと同じだから、AとDがずれたら同じ三角形じゃなくなっちゃう」

「そうね」

「だから角APMはCとぴったり重なるんで直角!」

「△ABMと△APMは3つの辺が等しくなるから、同じ三角形。で、角ABM=角APMだから直角、っていうのは?」

Soji2

「それでもいいか・・・」

「交点をQとすると、AMとBPは直角に交わるね」

「AMで折ると二つの三角形は重なるんだ」

Soji3

「相似になる三角形が3つできるでしょ」

「△ABQと△AMBが相似でBQ:AQ=MB:AB=1:2だからAQは2×2で4cm」

「MQ:BQ=MB:AB=1:2だから・・・」

「MQは2×1/2で1cm」

△ABMの面積=(4+1)×2÷2=5c㎡

正方形の面積=5×4=20c㎡

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