正方形とおうぎ形(市川中学 受験算数問題 2009年)
正方形ABCDの中に、Aを中心とした円の一部と、BCのちょうどまん中の点Mを中心とした円の一部がかかれています。2つの円の交点のうち、B以外の点をPとします。
(1)角APMは直角となります。その理由を、図や記号、言葉など、あなたなりの表現方法を使って自由に説明しなさい。
(2)BPの長さが4cmのとき、正方形ABCDの面積を求めなさい。
「Mを動かさないで、△AMPをPがCに来るまでまわす」
「MPとMCは半径で等しいから重なるね」
「AもDに重なる」
「どうして?」
「だって、APとDCは大円の半径と同じだし、AMはDMと同じだから、AとDがずれたら同じ三角形じゃなくなっちゃう」
「そうね」
「だから角APMはCとぴったり重なるんで直角!」
「△ABMと△APMは3つの辺が等しくなるから、同じ三角形。で、角ABM=角APMだから直角、っていうのは?」
「それでもいいか・・・」
「交点をQとすると、AMとBPは直角に交わるね」
「AMで折ると二つの三角形は重なるんだ」
「相似になる三角形が3つできるでしょ」
「△ABQと△AMBが相似でBQ:AQ=MB:AB=1:2だからAQは2×2で4cm」
「MQ:BQ=MB:AB=1:2だから・・・」
「MQは2×1/2で1cm」
△ABMの面積=(4+1)×2÷2=5c㎡
正方形の面積=5×4=20c㎡
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