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三角すいの側面の道の数(四谷大塚 第2回合不合判定テストより)

「最後の問題だけど、時間がなくなっちゃって・・・」

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すべての面が1辺3cmの正三角形である三角すいがあります。この三角すいの側面には、各辺を3等分する点を結んだ直線が引かれています。いま、図の頂点Aを出発し、三角すいの辺上および側面にある道を進み、はじめて頂点Oに着くまでの道のりを考えます。ただし、同じ点は何度通ってもかまいませんが、一度通った道は再び通ることはできません。たとえば、A→P→S→T→U→S→Oと進むことはできますが、A→P→S→T→Q→P→S→Oと進むことはできません。

(1)通った道のりが5cmになるような進み方は、全部で何通りありますか?

(2)通った道のりが8cmになるような進み方は、全部で何通りありますか?

「AからOまで最短距離は?」

「3cm」

「5cmということは、2cm回り道してることになるね」

「下はないから横に2cm」

「Aですぐ横は3cmだからだめ、AからPに行ってから横へ」

「P→QかP→Rの2通り」

「AからSまで行った場合は?」

「2cmだとS→T→UかS→U→Tの2通り」

「合計で?」

「4通り!」

「(2)は下に行く場合もありそうだね」

「タテの道3cmを引くと、回り道は5cm分」

「横だけで5cm回り道するには?」

「1cmと2cmと3cmの道を組み合わせて・・・」

①3cm+2cm

②3cm+1cm×2

③2cm×2+1cm

④2cm+1cm×3

「まず①の3cm+2cmの場合は・・・」

「A→B→Q って行った場合は2通り、A→C→Rって行った場合も2通りだから全部で4通り」

「②の3cm+1cm×2の場合は?」

「A→B→Tの場合がTで分かれるから2通り、A→C→Uの場合もUで分かれるから2通り、で、4通り」

「③と④は?」

「同じように考えて、やっぱり4通りずつ」

横だけの場合・・・4×4=16通り

「下に行く場合は?」

「Sまで行ってTかUに分かれて下に下がる。同じ道は通れないから、あとは一本道、で、2通り」

16+2=18通り

「順序だてて考えていけばできそうだけど・・・」

「最後の問題なんだから、そんな時間ないよ!」

「規則性」、「場合の数」の問題も目で見てわかる・・・

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