中学受験算数   アニメーション教材

不思議な休憩室

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2009年11月

比の基本問題(学習院中等科 受験算数問題 2009年)

難度レベルA

長さ6mのさおをA,B,Cの3本に切って、池の中の同じ地点に順番に立てました。A,B,Cの水面より上に出ている部分の長さはそれぞれの長さの2/3、3/5、1/2 になっていました。このとき次の問に答えなさい。

(1)Aの長さは池の深さの何倍であるか求めなさい。

(2)Aの長さはBの長さの何倍であるか求めなさい。

(3)Bの長さを求めなさい。

「図にしてみるとわかりやすいね」

Pic_0451

「Aの長さは1□+2□の3□で、池の深さは1□だから3倍!」

「池の深さはAでもBでもCでも同じだね」

「Aの1□とBの②は同じ長さだから、1□=②で3□は②×3の⑥になる」

「Bは⑤」

「AはBの⑥/⑤で1.2倍

「1□と②と1△が同じ長さだから、全部○で表せるね」

Pic_0452

「全部で⑮が6mで①は6m/15だから0.4m」

B=⑤=0.4m×5=2m

「異なる比を同じ比に合わせると解きやすいね」

割合と比の問題などイメージしやすいアニメーション解説が豊富です。

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立体図形の切り口(浦和明の星中学 受験算数問題 2009年)

難度レベルB

1辺1cmの立方体を図1のように7段積み重ねました。図2は、図1を真上から見た図です。このとき、次の問に答えなさい。

(1)この立体の表面積を答えなさい。

(2)この立体の上から3段目の段をP,Q,Rを通る面で切断すると立方体の一部でも切断されるものは何個あるか答えなさい。

(3)この立体をすべて、P,Q,Rを通る面で切断すると、立方体の一部でも切断されるものは何個あるか答えなさい。

Zu1

「上から見ても横から見ても図2と同じ形になる」

「同じ形がいくつ?」

「上からと前後と左右で5個」

「下から見たのを入れた?」

「6個だ」

(1+2+3+4+5+6+7)×6=28×6=168c㎡

「(2)だけど、3段目まで切ったイメージを頭の中に描ける?」

「後から見るとこんな感じだから・・・、でっぱっている3個かなぁ?」」

Yoko

「出っぱっていないところも切られるよ」

Zu2

「わかりにくい」

「じゃあ切ってみるよ」

「5個だ!」

「一番上が1個、2段目が3個、3段目が5個・・・」

「おお、規則性がある!」

1+3+5+7+9+11+13=49個

Zu3

立体の切断、展開図などイメージがわかるアニメーション解説が豊富です。

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切断した立体の体積 (栄光学園中学 受験算数問題 2007年)

難度レベルC

104

1辺1cmの立方体を8個積んで、図のような立体を作りました。この立体をAB,CDを通る平面で切ったときにできる小さい方の立体の体積を求めなさい。

「切った立体が想像できない」

「切った面を横から見たとしたらどうなる?」

Zu1

「そうか、これならわかりそう」

「この立体を二つの部分に分けて考えてみると・・・」

Zu2

「黄色部分の方が小さい!」

「そうだね」

「左側の立体の体積は、(2x3÷2-1x1)x1=2立方cm

「右側は?」

「ピラミッド型の相似を使って1/3と2/3がわかるから、

(1/2x1/3÷2+2/3x1÷2)x1=5/12立方cm

「合計で?」

2と5/12立方cm

立体の切断、展開図などイメージしやすいアニメーション解説が豊富です。

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点の移動と三角形(海城中学 受験算数問題 2005年)

難度レベルB

1辺12cmの正三角形の各頂点から、点P,Q,Rがそれぞれ毎秒2cm、3cm、4cmの速さで図の矢印の方向へ進み始めます。このとき、次の問に答えなさい。必要ならばグラフを使用しなさい。

(1)最初に三角形PQRができなくなるのは何秒後ですか。

(2)(1)の次に三角形PQRができなくなるのは何秒後ですか。

(3)(2)の次に三角形PQRができなくなるのは何秒後ですか。

Pic_0509

「上手にグラフを利用できるかな?」

「まず正三角形の頂点ををABCにして・・・」

Mo1

「こんなグラフ書けた?」

Mo2

「速さが違うと傾きが違ってくる」

「点Pは6秒で、点Qは4秒で、点Rは3秒で1辺を移動するね」

「最初に三角形PQRができなくなるのは、PにRが追いつく6秒後だ」

「次に三角形PQRができなくなるのは?」

「2点が重なるか、3点が同じ辺上にくるときで、18秒後?」

「3点が辺CA上にきてるね」

「次に三角形PQRができなくなるのは?」

「21秒後から3つの点はAB上にきてる」

「どこまで?」

「グラフだと、24秒後までAB上で、そこからBC上を27秒までになってるけど・・・、ほんとかな?」

「目で確かめてみる?」

「ほんとだ!」

点の移動、図形の移動など、わかりやすいアニメーション解説が豊富です。

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折り紙の角度(青山学院中学 受験算数問題 2009年)

難度レベルA

正方形を下図のように対角線に各辺を合わせるように折って

いったとき、図の角Aの大きさを求めなさい。

Ori1

「1回折ったときの左下隅の角度は?」

Ori2

「○が90÷4で22.5゜、■がその半分で11.25゜」

Kai

「△EBDを考えれば・・・」

「□は180-90-(22.5+11.25)だから56.25゜、Aは180-56.25×2で67.5゜

「◎は∠Cの外角だから90゜+22.5゜で112.5゜だね」

「そうか、それでも□は180-112.5-11.25で56.25゜ってわかる」

折り紙問題もわかりやすいアニメーション解説があります。

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間かくの規則性(Sunday Sapixより)

難度レベルA

道路の左側には45mの間かくで交通標識が、右側には60mの間かくで街灯が立ててあり、どちらも端から端までならんでいて、本数の差は40本です。

(1)道路の長さを求めなさい。

(2)街灯の本数を求めなさい。

「図にしてみると・・・」

Ki1

「なんで最小公倍数を使うのかわからない」

「端から数えて最初に右と左がそろうところだからでしょ」

Ki2

「それが180m?」

「道路がもし180mだったら左右の差は何本になるか考えるの」

「左の交通標識は180÷45+1で5本、右の街灯は180÷60+1出4本だから、差は1本」

「差は40本になったわけだから、180mの40倍でしょ?」

「180×40で7200m

「街灯は60mごとだから・・・」

7200m÷60m=120←街灯の間かくの数

120+1=121本

「最小公倍数の180じゃなくて45×60の2700でも計算できる?」

「やってみたら」

2700÷45+1=61本

2700÷60+1=46本

61本-46本=15本

「40本差だから15本の40/15倍だね」

「8/3だから2700mにかけると・・・、7200mになる」

「45と60の公倍数なら全部できるでしょうけど、計算がしにくくなるね」

「最小公倍数が一番計算しやすいってことなのか」

規則性、比などわかりやすいアニメーション解説が豊富です。

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道順の場合の数、基本問題(栄東中学 受験算数問題)

難度レベルA

図のように、①~⑩までの地点を結ぶ道を考えます。道は、図にあるように、矢印の方向にしか進むことができません。このとき、次の問に答えなさい。

Mo1

(1)スタートから④の地点までいく方法は何通りありますか。

(2)スタートから⑤の地点までいく方法は何通りありますか。

(3)スタートから⑩の地点までいく方法は何通りありますか。

「(1)は、①から②が1通り、①から③が2通りだからたして3通り」

Mo2

「ポイントごとの場合の数をたしていけばいいね」

「(2)は③の2と④の3をたして5通り」

Mo3_2

「(3)も順番にたしていけばいい」

Mo4

「55通り」

「道順の基本問題だからしっかり理解すること」

「四角形や三角形でも練習した」

場合の数、規則性なども、わかりやすいアニメーション解説で!

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四角形の基本性質 (女子学院中学 受験算数問題 2005年)

難度レベルA

「これは基本性質だから間違えないように!」

次の①から④について、ひし形、平行四辺形、正方形、長方形の性質として、正しい場合は○を、そうでない場合は×を下の表に書きなさい。

①2本の対角線によってできる4つの三角形は全部二等辺三角形である。

②2本の対角線によってできる4つの三角形は全部直角三角形である。

③2本の対角線によってできる4つの三角形は全部面積が等しい。

④2本の対角線によってできる4つの三角形は全部同じ形で、同じ大きさで、ぴったり重ね合わせることができる。

Pic_0652q1

「対角線を引いてみると・・・」

4kei

「もちろん、できたでしょ?」

「↓できたと思う」

解答はコチラをクリック

平面図形の基本性的性質も、わかりやすいアニメーション解説で!

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虫食い算(麻布中学 受験算数問題 2003年)

難度レベルB

Aは4けたの整数で、それぞれの位は同じ数字からなり、Bは4けたの整数で、それぞれの位は2種類の数字からなっています。AとBの積を計算したら「44448888」になりました。AとBを求めなさい。

「Aは1111、2222、3333、4444、5555、6666、7777、8888、9999のどれかだ」

「最大公約数は?」

「1111」

「それを使って書き表してみると・・・」

A×B=

1111×□×B=44448888

□×B=40008

B=40008÷□

「□に1~9まで順番に入れて試してみるの?」

「地道にね」

40008÷1=40008

40008÷2=20004

40008÷3=13336

40008÷4=10002

40008÷5=割り切れない

40008÷6=6668

40008÷7=割り切れない

40008÷8=5001

40008÷9=割り切れない

「□=6だからAは6666Bは6668ってわかるけど、もっといい方法ないのかな?」

「40008=4×10002=2×2×3×3334=2×2×2×3×1667って因数分解すれば、40008は、2,3,2×2,2×3,2×2×2 の倍数だから、□は5,7,9じゃないことがわかるけど」

「もっと簡単な方法は?」

「40008=12×3334=6×6668 って気づけば、すぐ、□=6で、A=6666、B=6668ってわかるよ」

「気づきそうもない。地道にやろ」 

計算の工夫、論証と推理問題もなども、わかりやすいアニメーション解説で!

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速さと旅人算(第3回 四谷大塚 合不合判定テストより)

難度レベル(1)B、(2)C

A君とB君はP地を出発してQ地に向かい、PQ間をそれぞれ1往復します。また、C君はQ地を出発してP地に向かい、PQ間を1往復します。いま、3人が同時に出発し、それぞれ一定の速さで休まずに進んだところ、30分後にC君はA君とはじめて出会い、その後、B君とも初めて出会いました。また、A君とB君がはじめて出会ったときに、C君はちょうどP地に着き、A君とC君が2回目に出会った地点は、A君とC君が1回目に出会った地点より1200mだけP地に近いところでした。B君の速さを毎分40mとして、次の問題に答えなさい。

(1)A君とC君の速さの差は毎分何mですか?

(2)P地とQ地は何kmはなれていますか?

「図は書いてみたんだけど、ごちゃごちゃしてきて・・・」

「A君とC君だけについて書いてみるとわかりやすかったかも」

「2人の道のりの合計は、1回目の出会いまでが片道分、2回目の出会いまでが往復分だよね」

「そう、まずC君のA君に出会うまでの30分に進んだ道のりを①として考えてみる」

Zu1

「1回目から2回目まで道のりが倍になったわけだから、時間も1時間で青い線は①×2で②」

「赤い太線部分も①が2つ分で②」

「するとA君とC君の道のりの差は、赤-青=(②+1200m)-②で1200mか」

「それが1時間でついた差」

「1分では60で割って20m

「(2)で着目するところはA君とB君がはじめて出会ったとき」

Zu2

「A+Bの道のりがCの倍になってる」

「つまり・・・」

(Aの速さ+Bの速さ):Cの速さ=2:1

「AはCより毎分20m速いから・・・」

(C+20m+40m):C=2:1

(C+60m):C=2:1

C=60m

「A君は60+20で80mだね」

「あとはAとCの向かい合う旅人算だ」

(80m+60m)×30分=4200m

4.2km

「(2)は正答率7%だって」

「できなくてもしょうがない」

「できた人もいる」

速さ、旅人算など参考になるアニメーション解説が豊富です。

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四谷大塚第3回合不合判定テスト情報など

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仕事算(第3回 四谷大塚 合不合判定テストより)

難度レベルC

「これ、合ってると思ってたら間違ってた」

ある仕事をAさんが1人ですると16日目で終わります。また、同じ仕事をBさんが1人ですると28日目に終わります。この仕事をAさんとBさんの2人ですると、最も早くて何日目に仕事が終わりますか?

「正答率が1割以下だった問題だね」

「そんなに難しいとは思わなかったけど・・・」

「というか、間違いやすい問題」

「Aが1日でする仕事量が1/16、Bが1/28だから7:4、Aの7が16日だから全体の仕事量が112で、2人の1日分の仕事量の7+4で割れば10.18・・・、だから11日、これじゃいけないのかなぁ?」

「問題をよく読んでみて」

「最も早くて・・・っていうところが気にはなったんだけど・・・」

「それと16日、28日って書いてある」

「ということは・・・」

「16日目と28日目は他の日より仕事量が少ない可能性があるっていうこと」

Si15

Si27

「緑部分がどのくらいの量かわからない」

「だから最も少ないとき=最も早いときになるわけ」

「0?」

「2人とも仕事をもう1日したわけだから、0よりは大きいの」

「15日と27日で計算するわけか」

1/15:1/27=9:5

9×15÷(9+5)=9.64・・・

「これより多くかかるから・・・」

10日目

「みんなひっかかっちゃったみたいだね」

「・・・・・・」

割合と比、仕事算など参考になるアニメーション解説が多数あります。

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選挙の論理計算(四谷大塚 第3回合不合判定テストより)

難度レベル(1)B,(2)C

ある小学校6年生125人の中から委員を3人選ぶ選挙を行うことになりました。A、B、C、D、E、Fの6人が立候補して、125人全員が1人1票ずつ6人のうちだれかに投票をします。

(1)確実に委員に選ばれるためには、最低何票取らなければなりませんか?

(2)ちょうど100票まで開票したところ、表のような途中経過になりました。Bが確実に委員に選ばれるためには、あと最低何票取らなければなりませんか?

Sen3

「(1)だけど、3位に入ればいいんだろ?」

「まあ、そうだけど・・・」

「だったら3人が0票と考えて、3位の最大得票数は125÷3あまり2で41票じゃないのかな?」

Sen1

「そう考えるんじゃなくて、4位よりも1票でも上回ればいいって考えるの」

「じゃあ、4位の最大得票数を考えるの?」

125÷4=31・・・1

「つまり、4位の人が最高に得票する可能性が31票」

「だから3位は1票たして32票ってことか」

Sen2

「(2)も同じように考えるんだけど・・・」

Sen4

「4位の最大得票数は32票?」

「じゃなくて、もうこの時点で上位4人だけ考えればいい」

「まだ25票残っているんだからAだってFだってわからないじゃないか」

「というか、この時点で4位の人の最大得票数を考えてみるわけ」

125-(11+13)=101票

101÷4=25票・・・1

「最大の4位が25票だから3位は26票ならいいってこと?」

「そう。だけどDはもうその数を超えているので委員に決まり!だから、Dも除いて考えてみる」

「えっ?まだ続くの?」

101-28=73票

73÷3=24票・・・1

「Dを除くと2位に入ればいいから3位の最大得票数を計算するわけ」

「24票だから2位は25票」

「Bはもうすでに15票取っているから、あと・・・」

「10票」

「考え方が難しいかもね」

「ムズイ!」

論理と推理、規則性、場合の数など参考になるアニメーション解説が多数あります。

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人数と論理(高槻中学 受験算数問題 2008年)

難度レベルA

43人のクラスで、スポーツ好きな生徒が28人、音楽好きな生徒が21人います。両方とも好きな生徒は、もっとも多い場合で何人いますか。また、もっとも少ない場合で何人ですか。

「これ、図で表せるでしょ?」

「習った」

Kai

「緑部分がもっとも多くなるのは?」

「音楽好きな人が全員スポーツ好きな場合!」

「21人だね」

「もっとも少ない場合は全員スポーツ好きじゃないとき!」

「ちょっとまって、それじゃあ黄色と水色部分をたすとクラスの人数をオーバーしちゃう!」

「そうか、スポーツ好きじゃない人のもっとも多い場合は43-28で15人」

「黄色の音楽好きは21人だから、重なる緑部分を何人にしたらいいか・・・」

「21-15で6人だ」

「このとき音楽もスポーツも好きじゃない人は?」

「1人もいなくなる・・・」

論理と推理、規則性、場合の数など参考になるアニメーション解説が多数あります。

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並び方の推理(市川中学 受験算数問題 2009年)

難度レベルB

A君、B君、C君、D君、E君、F君の6人で食事をしました。6人の円形テーブルを囲んで、等しい間隔でテーブルの中央に向かって座り、1人1品を注文しました。①から⑧のすべての条件を満たすような6人の並び方を図に書きなさい。ただし、図にはA君の位置は書き記してあります。

Sui1

①6人の注文をまとめると、牛丼が3人、カレーライスが2人、ラーメンが1人でした。

②C君はA君と向かい合わせに座り、同じものを注文しました。

③B君はカレーライスを注文しました。

④カレーライスを注文した2人は隣どうしで並んで座っています。

⑤F君はラーメンを注文しました。

⑥D君の右隣の人は牛丼を注文しました。

⑦E君の2つ隣の人はC君です。

⑧F君の隣にA君がいます。

「②からC君の位置はわかる」

Sui2

「⑦と⑧からA君の隣はE君かF君だね」

「まだどっちがどっちだかわからない」

Sui3

「③よりB君はカレーライスを注文した、だから・・・」

「A君とC君はカレーじゃなくてラーメンでもない、牛丼!」

「F君はラーメンだから・・・」

「④のカレー2人組みはB君とE君!」

「残ったD君の位置は?」

「F君とC君の間だ」

「⑥よりD君の右隣の人は牛丼を注文しているね、その人とは?」

「ラーメンのF君ではない、C君なのでした!」

Sui4

規則性、論理と推理など参考になるアニメーション解説が多数あります。

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計算の推理(筑波大附属中学 受験算数問題 2008年)

難度レベルA

11×11=121、111×111=12321となります。

1111111111×1111111111はいくつになりますか?

「地道じゃない方法がきっとあるんだ」

「それを考えているうちに時間がたっちゃうね」

「規則性でいくと・・・、たぶん・・・」

12345678910987654321

「算数はたぶんじゃダメ!」

「違うの?」

「違う」

「じゃあ・・・」

1234567890987654321

「カンでやってもダメ!」

「これも違う?」

「違う」

Kai1_2

「おしいけど・・・」

「一番下の段が1の個数、右から10番目で1つ繰り上がる」

「11番目が9個だからこれも1繰り上がるわけか・・・」

「12番目の8個が9になる」

「あとはそのままの個数だ」

「慎重に解かないと間違いやすい問題だね」

「やっぱり地道に計算しようっと!」

「その方が無難かも・・・」

規則性、計算の工夫など参考になるアニメーション解説が多数あります。

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円と長方形の比(渋谷教育学園渋谷中学 受験算数問題 2009年)

難度レベルA

Hi1

面積の比が2:1である円と長方形が図のように重なっています。重なっている部分イの面積は15c㎡です。重なっている部分イを除いた部分アとウの面積の比は5:1です。

(1)円と長方形の面積をそれぞれ求めなさい。

(2)ア、イ、ウの面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

「長方形は円の半分だ」

「そう、つまり円-長方形=長方形だね」

「それがにあたる」

「そのにあたる面積は↓これだね」

「長方形と同じ面積」

「アからウを引いても同じものができるよ↓」

「ア:ウ= だからがこの面積=長方形になるんだ」

「そうするとイは長方形-ウ」

4-1になる」

が15c㎡」

「長方形はだから20c㎡、円はその倍で40c㎡になる」

「イが3になるから・・・」

ア:イ:ウ=5:3:1

比や割合など参考になるアニメーション解説が多数あります。

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分数の性質(浅野中学 受験算数問題 2003年)

難度レベルB

次のような分数があります。

このうち、約分できないものをすべて足すといくらになるか答えなさい。

Bun1

「分子が2、4、6、8・・・の偶数はダメ」

「いくつある?」

「180÷2で90個」

「3、6、9・・・もダメだね」

「180÷3で60個」

「ダブった数があるね」

「6の倍数」

「いくつ?」

「180÷6で30個だから約分できない分数は180-90-60+30で60個」

「分子だけを並べてみるとこうなるね」

1,5,7,11,13,17,19,・・・,167,169,173,175,179

「間は3、1、3、1、3、1・・・って増えている」

「2つずつセットにしてみると、6、18、30・・・って、12ずつ増える数が30個できる」

(6+354)×30÷2=5400

「最初と最後、2番目と最後から2番目・・・をたすと180になるよ」

「その方がわかりやすいね」

180×30

「両方とも分母の18で割ると300になる」

規則性、数の性質など参考になる問題解説も多数あります。

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パズル(筑波大学附属中学 受験算数問題 2006年)

難度レベルA

Pic_0660q

図のような1辺12cmの正方形の紙があります。この紙に図のように2本の線を引き、この線にそって紙を切ると、3つの部分に分かれます。3つの紙は置き方をかえて長方形を作ることができます。そのときの長方形の短い方の辺の長さを求めなさい。

「正方形の線にそって紙を切ると、黄色、青、緑の3つの部分に分けられるね」

Pic_0661a

「青と緑は直角三角形」

「直角以外の2つの角度を「×」と「○」として図1のように描きこんでみると・・・」

「2つの直角三角形は相似だ」

「黄色い部分を動かさないで、青と緑の直角三角形を黄色の周りに移動させてみるよ」

「長方形の1つの辺の長さは、緑の直角三角形の斜辺の長さと等しいから13cm」

「もう1つの辺の長さは?」

「面積が同じだから12×12÷13で11と1/13cm」

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正方形の重なり(11月、サピックスオープンより)

難度レベル(1)A(2)B(3)B

1辺10cmの正方形の紙が4枚あります。これらを次の指示にしたがって重ねていきます。

①1枚目の正方形は、下の図のように置きます。

Kasa1

②2枚目の正方形は、右に1cmずらして重ねます。

③3枚目の正方形は、2枚目の正方形から上に2cmずらして、さらに重ねます。

④4枚目の正方形は、3枚目の正方形から左に3cmずらして、さらに重ねます。

(1)②のとき、2枚重なった面積と、重なっていない部分の面積の合計との差は、何c㎡ですか?

(2)③のとき、2枚重なった部分の面積の合計は、何c㎡ですか?

(3)④のとき、2枚重なった部分の面積の合計は、何c㎡ですか?

「何で(2)や(3)できなかったの?」

「ずっと、右にずらしてた」

「・・・・・・」

Kasa2

「(1)は2枚重なった部分が②の緑部分で90c㎡、①の黄色、水色部分の20c㎡を引くと70c㎡

「(2)も(3)も図にしてみないとわからないよ」

「それが間違った」

「問題用紙にちゃんと上にも左にも余白があるじゃないの」

「右だけ使った」

「(2)を図にしてみて」

Kasa3

「色は使えない」

「①とか②とか③で重なりを表せばいい」

「②部分は8×1+9×2で26c㎡

「この問題、図がきちんと描けるかどうか!」

「図が描ければ簡単だ」

「(3)は?」

Kasa4

「②部分は7×2+9×2+8×1+8×1で48c㎡

「問題をよく読むこと!」

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三角形とおうぎ形(11月、学校別サピックスオープンより)

Sanen1

図は三角形ABCの中におうぎ形を重ねたものです。おうぎ形の半径と色のついた部分の周りの長さを求めなさい。

「できなかった」

「そんなに難しい問題じゃないでしょ」

「おうぎ形の半径がでない」

Sanen2

「△ABCの面積は150c㎡ってわかるから、底辺を25cmにすれば赤い線の高さがわかるでしょ?」

150×2÷25=12cm

「えっ、この高さ、おうぎ形の半径と同じなの?」

「そう」

「おうぎ形が辺ACと1点で接しているのはわかるけど、半径とACが直角になるかどうかわからないんじゃない?」

「直角になるでしょ」

「どうしてそれがわかる?」

Sanen3_3

「だって、ある点から直線に引いた線で一番短い線はその直線と直角に交わるし、その線はある点を中心にした円の半径にも等しくなる」

「そうゆうもんなのかなぁ」

「そうゆうもんなの」

「そこが直角なら三角形の相似でも解ける」

25:15=20:半径

半径=12cm

12×2×3.14×1/4+20+25+15-12×2

=54.84cm

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図形の重なり(桐朋中学 受験算数問題 2009年)

1cmの方眼があります。この方眼の上で、ある図形を右に1cm、上に1cm動かしてできる図形ともとの図形の重なった部分を黒くぬります。たとえば、たての長さが2cm、横の長さが3cmの長方形を動かすと、黒くぬる部分は図のようになります。

(赤ボタンをクリック)

難度レベルA

(1)もとの図形が、次の①、②の太線で表された図形であるとき、黒くぬる部分の面積を求めなさい。ただし、円周率は3.14とします。

「右1cm、上1cm動かしたところに同じ図形を描いてみるといいね」

「①は台形だから、

(1.5+2)×1÷2=1.75c㎡

② は木の葉形の面積になるから、

(1×1×3.14÷4-1×1÷2)×2=0.57c㎡

難度レベルB

(2)黒くぬる部分が図1のようになるとき、元の図形を1つ図1にかきなさい。

「かけた?」

「水色はかけた」

難度レベルB

(3)黒くぬる部分が図2のようになるとき、もとの図形が、三角形であるものと五角形であるものをそれぞれ1つずつかきなさい。

「図2で黒と黄色の三角形を2つとも含む図形を考えればいいね」

「黒は動かない、黄色はなくなる」

「それが手がかりになるかもね」

図形移動、点の移動もイメージアニメーションで!

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立方体のくりぬき(ラ・サール中学 受験算数問題 2009年)

難度レベル(1)A,(2)B、(3)C

(1)下の図1の1辺が4cmの立方体について、長方形ABCDから向かい合う面までを垂直にくり抜いてできる図形の体積はいくらですか?

Mon1_2 

(2)(1)でできた図形について、さらに長方形EFGHから元の立方体の向かい合う面までを垂直にくり抜いてできる図形の体積はいくらですか?

Mon2_3

(3)(2)でできた図形を、3点P、Q、Rを通る平面で切ったときにできる切断面を図2に斜線で示しなさい。また、切り口の面積と三角形PQRの面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

「ABCDでくり抜く立体の形は?」

「1cm×2cm×4cmの直方体」

「これを全体から引けばいいね」

4×4×4-1×2×4=56立方cm

「EFGHでくり抜くと、もうくり抜かれたところが重なる」

「1cm×1cm×1cmの立方体が最初64個あったって考えて、上から1段ずつくり抜かれなかったものを数えてみるとわかりやすいよ」

「わかりやすくはないけど・・・、一番上の段は全部あるから16個」

Ue1

「次の段は?」

Ue2

「6個残ってる」

「3段目は?」

Ue3

「12個残ってる」

「一番下は?」

Ue4

「全部残ってるから16個」

「合計で?」

16+6+12+16=50立方cm

「(3)はイメージしにくい」

「△PQRはどんな三角形?」

「正三角形!」

「小さい立方体の切り口も全部正三角形になる」

「ほんと?」

「ただし、2段目と3段目はくり抜かれて、もうなくなってしまった立方体の場所を考えないとね」

「想像できない」

「緑の部分は正三角形11個分。三角形全体は16個分」

面積比は11:16

「ムズイ!」

「1段1段書いてみたら?」

「それができたら苦労しない」

立方体の切り口もイメージアニメーションで!

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ア、イ、ウにあてはまる数は?(桜蔭中学 受験算数問題 2009年)

難度レベルB

3×5×5×5+4×5×5+2×5+1

=ア×ア×ア+イ×ア×ア+ウ×ア+3

(ア、イ、ウは1~9までの整数)

「どうやって解いた?」

「ふつうに解いた」

「ふつうに?」

「これ計算すると486だから

ア×ア×ア+イ×ア×ア+ウ×ア=486ー3=483」

「そうだね」

「だから

ア×(ア×ア+イ×ア+ウ)=483」

「それで?」

「483はアの倍数だから、約数を調べると3×7×23でアは3か7だけど、3は小さすぎてダメだから7にしたらうまくいった。

7×(7×7+イ×7+ウ)=483

イ×7+ウ=20

イは2しかないからウは6」

「けっこう強引な解き方だね」

「他に解き方あるの?」

3×5×5×5+4×5×5+2×5+1

「これって5進法でしょ」

「そうか・・・、3421」

「じゃあこれは?」

ア×ア×ア+イ×ア×ア+ウ×ア+3

「ア進法?」

「そう、ア進法で書くと1イウ3」

「アをさがすのはやっぱり483の約数さがしじゃないか」

「ただ、いちばん右に3があるからアは3以上で7ってすぐ決まる」

「あとは順番に486を7で割っていく方法だね」

「そう」

486÷7=69・・・3→これが一番右にくる数

69÷7=9・・・6→これが右から2番目

9÷7=1・・・2→これが右から3番目

1が一番左

5進法→3421=7進法→1263

「こっちのほうがややこしそうだけどな」

「論理的なの!」

算数解法のイメージアニメーションが豊富です!

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切り取られた折り紙の面積(豊島岡女子学園中学 受験算数問題 2009年)

難度レベルB

1辺の長さが16cmの正方形の紙があります。

Zu1_5

Zu11   

図1のように、まず点Bが点Aに重なるように折り、次に点Dが点Aに重なるように折ります。そのあと、図2のように、点Aを含まない2辺のそれぞれの真ん中の点を結んだ線で三角形の部分を切りはなします。

(1)残った紙を広げたとき、広げた紙の面積は何c㎡ですか?

次に、紙を広げる前の状態にもどして、下の図のようにもう一度同じ作業を行います。

Zu2_3

まず点Eが点Aに重なるように折り、次に点Fが点Aに重なるように折ります。点Aを含まない2辺のそれぞれの真ん中の点を結んだ線で三角形の部分を切りはなします。

(2)2回目の切りはなす作業のあと、残った紙を広げます。広げた紙の面積は何c㎡ですか?

「まず切ってみようか」

「広げてみよう」

「真ん中の正方形の対角線の長さは?」

「8cmだから8×8÷2で面積は32c㎡、これを全体の正方形から引く」

16×16-32=224c㎡

「これは広げた紙をイメージできたとき」

「できなかったら?」

「図2の黄色い直角二等辺三角形に注目!」

「そうか、1/4の正方形の中にあるから、広げると4つできる」

16×16-4×(4×4÷2)

「(2)はこの考え方で解くといね」

「まず切ってみると・・・」

「元にもどしてもると・・・」

「同じように欠けている部分を4倍すると・・・」

(4×4÷2+4×4÷2)×4=64c㎡

「全体から引けばいいね」

16×16-64=192c㎡

「この方法使えそう・・・」

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正方形の分割(筑波大附属中 受験算数問題 2009年)

難度レベルA

Mo1_2

図のように16個の正方形からできているマス目があります。このマス目を全部使い、点線にそって、例のように同じ形をした4個の図形に分けたいと思います。それ以外にも3通りの分け方がありますが、それらをすべて図示しなさい。ただし、4個の図形に分けられた正方形を回したり裏返したりして同じになるものは、すべて同じとみなすことにします。

「できた!」

この3通り!

「違うでしょ!問題に『点線にそって』 って書いてあるでしょ」

「そうか」

「4個の正方形の形を考えればいいね」

「こんどこそ、できた!」

解答はコチラ

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投影図 (渋谷教育学園幕張中学 受験算数問題 2008年)

難度レベルA

Pic_0607q_2

図1は、1辺2cmの立方体を何個か積み上げた立体を正面、真上、左横から見た図です。

(1)積み上げられた立方体は何個ありますか。

(2)この立体の表面積を答えなさい。

「まず、真上から見たときと正面から見たときを見比べてみたら?」

「真上から見て左の2個は1段、右の1個は2段だ」

「それを真上から見た図に書き入れてみる」

Zu2

「3段に積まれているのがどこか、真上と正面からの図ではわからないな」

「そこで左から見た図」

Zu3

「左から見て左から1段、2段、3段、1段」

「だから全部で?」

「11個」

Zu4_2

「どんな立体だかイメージできる?」

「わかる」

「どこにも凹んだところがない立体だから、真上から見たときと真下から見たとき、左から見たときと右から見たとき、正面から見たときと後ろ側から見たときの個数が同じになるね」

「3方向から見た面積を2倍すればいいのか」

「計算してみて」

正面から見える立方体の数・・・6個

真上から見える立方体の数・・・7個

左横から見える立方体の数・・・7個

立方体の1面の面積=2×2=4c㎡ 

立体の表面積=4×{(6+7+7)×2}=160c㎡

「あのさぁー・・・」

「何?」

「この立体、テーブルか何かの上に置いてあるわけでしょ?とすると、テーブルに接している下の部分て表面積に加えていいのかな?」

「空中に浮かんでるって考えるから、下の面も加えるの」

「浮かんでる?、『積み上げた』って書いてあるじゃないか」

「・・・・・・」

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