比の基本問題(学習院中等科 受験算数問題 2009年）

難度レベルA

長さ６ｍのさおをＡ，Ｂ，Ｃの３本に切って、池の中の同じ地点に順番に立てました。Ａ，Ｂ，Ｃの水面より上に出ている部分の長さはそれぞれの長さの２/３、３/５、１/２ になっていました。このとき次の問に答えなさい。

（１）Ａの長さは池の深さの何倍であるか求めなさい。

（２）Ａの長さはＢの長さの何倍であるか求めなさい。

（３）Ｂの長さを求めなさい。

「図にしてみるとわかりやすいね」

「Aの長さは１□＋２□の３□で、池の深さは１□だから３倍！」

「池の深さはAでもBでもCでも同じだね」

「Aの１□とBの②は同じ長さだから、１□＝②で３□は②×３の⑥になる」

「Bは⑤」

「AはBの⑥/⑤で１．２倍」

「１□と②と１△が同じ長さだから、全部○で表せるね」

「全部で⑮が６ｍで①は６ｍ/１５だから０．４ｍ」

B＝⑤＝０．４ｍ×５＝２ｍ

「異なる比を同じ比に合わせると解きやすいね」

割合と比の問題などイメージしやすいアニメーション解説が豊富です。

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立体図形の切り口（浦和明の星中学 受験算数問題 2009年）

難度レベルB

１辺１ｃｍの立方体を図１のように７段積み重ねました。図２は、図１を真上から見た図です。このとき、次の問に答えなさい。

（１）この立体の表面積を答えなさい。

（２）この立体の上から３段目の段をＰ，Ｑ，Ｒを通る面で切断すると立方体の一部でも切断されるものは何個あるか答えなさい。

（３）この立体をすべて、Ｐ，Ｑ，Ｒを通る面で切断すると、立方体の一部でも切断されるものは何個あるか答えなさい。

「上から見ても横から見ても図２と同じ形になる」

「同じ形がいくつ？」

「上からと前後と左右で５個」

「下から見たのを入れた？」

「６個だ」

（１＋２＋３＋４＋５＋６＋７）×６＝２８×６＝１６８ｃ㎡

「（２）だけど、３段目まで切ったイメージを頭の中に描ける？」

「後から見るとこんな感じだから・・・、でっぱっている３個かなぁ？」」

「出っぱっていないところも切られるよ」

「わかりにくい」

「じゃあ切ってみるよ」

「５個だ！」

「一番上が１個、２段目が３個、３段目が５個・・・」

「おお、規則性がある！」

１＋３＋５＋７＋９＋１１＋１３＝４９個

立体の切断、展開図などイメージがわかるアニメーション解説が豊富です。

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切断した立体の体積 （栄光学園中学 受験算数問題 ２００７年）

難度レベルC

1辺１ｃｍの立方体を８個積んで、図のような立体を作りました。この立体をＡＢ，ＣＤを通る平面で切ったときにできる小さい方の立体の体積を求めなさい。

「切った立体が想像できない」

「切った面を横から見たとしたらどうなる？」

「そうか、これならわかりそう」

「この立体を二つの部分に分けて考えてみると・・・」

「黄色部分の方が小さい！」

「そうだね」

「左側の立体の体積は、（２ｘ３÷２－１ｘ１）ｘ１＝２立方ｃｍ」

「右側は？」

「ピラミッド型の相似を使って１/３と２/３がわかるから、

（１/２ｘ１/３÷２＋２/３ｘ１÷２）ｘ１＝５/１２立方ｃｍ」

「合計で？」

「２と５/１２立方ｃｍ」

立体の切断、展開図などイメージしやすいアニメーション解説が豊富です。

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点の移動と三角形（海城中学 受験算数問題 2005年）

難度レベルB

１辺１２ｃｍの正三角形の各頂点から、点Ｐ，Ｑ，Ｒがそれぞれ毎秒２ｃｍ、３ｃｍ、４ｃｍの速さで図の矢印の方向へ進み始めます。このとき、次の問に答えなさい。必要ならばグラフを使用しなさい。

（１）最初に三角形ＰＱＲができなくなるのは何秒後ですか。

（２）（１）の次に三角形ＰＱＲができなくなるのは何秒後ですか。

（３）（２）の次に三角形ＰＱＲができなくなるのは何秒後ですか。

「上手にグラフを利用できるかな？」

「まず正三角形の頂点ををABCにして・・・」

「こんなグラフ書けた？」

「速さが違うと傾きが違ってくる」

「点Ｐは６秒で、点Ｑは４秒で、点Ｒは３秒で１辺を移動するね」

「最初に三角形ＰＱＲができなくなるのは、ＰにＲが追いつく６秒後だ」

「次に三角形ＰＱＲができなくなるのは？」

「２点が重なるか、３点が同じ辺上にくるときで、１８秒後？」

「３点が辺ＣＡ上にきてるね」

「次に三角形ＰＱＲができなくなるのは？」

「２１秒後から３つの点はAB上にきてる」

「どこまで？」

「グラフだと、２４秒後までAB上で、そこからBC上を２７秒までになってるけど・・・、ほんとかな？」

「目で確かめてみる？」

「ほんとだ！」

点の移動、図形の移動など、わかりやすいアニメーション解説が豊富です。

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折り紙の角度（青山学院中学 受験算数問題 2009年）

難度レベルA

正方形を下図のように対角線に各辺を合わせるように折って

いったとき、図の角Ａの大きさを求めなさい。

「１回折ったときの左下隅の角度は？」

「○が９０÷４で２２．５゜、■がその半分で１１．２５゜」

「△EBDを考えれば・・・」

「□は１８０－９０－（２２．５＋１１．２５）だから５６．２５゜、Aは１８０－５６．２５×２で６７．５゜」

「◎は∠Cの外角だから９０゜＋２２．５゜で１１２．５゜だね」

「そうか、それでも□は１８０－１１２．５－１１．２５で５６．２５゜ってわかる」

折り紙問題もわかりやすいアニメーション解説があります。

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間かくの規則性（Sunday Sapixより）

難度レベルA

道路の左側には４５ｍの間かくで交通標識が、右側には６０ｍの間かくで街灯が立ててあり、どちらも端から端までならんでいて、本数の差は４０本です。

（１）道路の長さを求めなさい。

（２）街灯の本数を求めなさい。

「図にしてみると・・・」

「なんで最小公倍数を使うのかわからない」

「端から数えて最初に右と左がそろうところだからでしょ」

「それが１８０ｍ？」

「道路がもし１８０ｍだったら左右の差は何本になるか考えるの」

「左の交通標識は１８０÷４５＋１で５本、右の街灯は１８０÷６０＋１出４本だから、差は１本」

「差は４０本になったわけだから、１８０ｍの４０倍でしょ？」

「１８０×４０で７２００ｍ」

「街灯は６０ｍごとだから・・・」

７２００ｍ÷６０ｍ＝１２０←街灯の間かくの数

１２０＋１＝１２１本

「最小公倍数の１８０じゃなくて４５×６０の２７００でも計算できる？」

「やってみたら」

２７００÷４５＋１＝６１本

２７００÷６０＋１＝４６本

６１本－４６本＝１５本

「４０本差だから１５本の４０/１５倍だね」

「８/３だから２７００ｍにかけると・・・、７２００ｍになる」

「４５と６０の公倍数なら全部できるでしょうけど、計算がしにくくなるね」

「最小公倍数が一番計算しやすいってことなのか」

規則性、比などわかりやすいアニメーション解説が豊富です。

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道順の場合の数、基本問題（栄東中学 受験算数問題）

難度レベルA

図のように、①～⑩までの地点を結ぶ道を考えます。道は、図にあるように、矢印の方向にしか進むことができません。このとき、次の問に答えなさい。

（１）スタートから④の地点までいく方法は何通りありますか。

（２）スタートから⑤の地点までいく方法は何通りありますか。

（３）スタートから⑩の地点までいく方法は何通りありますか。

「（１）は、①から②が１通り、①から③が２通りだからたして３通り」

「ポイントごとの場合の数をたしていけばいいね」

「（２）は③の２と④の３をたして５通り」

「（３）も順番にたしていけばいい」

「５５通り」

「道順の基本問題だからしっかり理解すること」

「四角形や三角形でも練習した」

場合の数、規則性なども、わかりやすいアニメーション解説で！

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四角形の基本性質 （女子学院中学 受験算数問題 2005年）

難度レベルA

「これは基本性質だから間違えないように！」

次の①から④について、ひし形、平行四辺形、正方形、長方形の性質として、正しい場合は○を、そうでない場合は×を下の表に書きなさい。

①２本の対角線によってできる４つの三角形は全部二等辺三角形である。

②２本の対角線によってできる４つの三角形は全部直角三角形である。

③２本の対角線によってできる４つの三角形は全部面積が等しい。

④２本の対角線によってできる４つの三角形は全部同じ形で、同じ大きさで、ぴったり重ね合わせることができる。

「対角線を引いてみると・・・」

「もちろん、できたでしょ？」

「↓できたと思う」

解答はコチラをクリック

平面図形の基本性的性質も、わかりやすいアニメーション解説で！

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虫食い算（麻布中学 受験算数問題 ２００３年）

難度レベルB

Ａは４けたの整数で、それぞれの位は同じ数字からなり、Ｂは４けたの整数で、それぞれの位は２種類の数字からなっています。ＡとＢの積を計算したら「44448888」になりました。ＡとＢを求めなさい。

「Aは１１１１、２２２２、３３３３、４４４４、５５５５、６６６６、７７７７、８８８８、９９９９のどれかだ」

「最大公約数は？」

「１１１１」

「それを使って書き表してみると・・・」

A×B＝

１１１１×□×B＝４４４４８８８８

□×B＝４０００８

B＝４０００８÷□

「□に１～９まで順番に入れて試してみるの？」

「地道にね」

40008÷１＝40008

40008÷２＝20004

40008÷３＝13336

40008÷４＝10002

40008÷５＝割り切れない

40008÷６＝6668

40008÷７＝割り切れない

40008÷８＝5001

40008÷９＝割り切れない

「□＝６だからAは６６６６でBは６６６８ってわかるけど、もっといい方法ないのかな？」

「40008＝４×10002＝２×２×３×３３３４＝２×２×２×３×１６６７って因数分解すれば、40008は、２，３，２×２，２×３，２×２×２ の倍数だから、□は５，７，９じゃないことがわかるけど」

「もっと簡単な方法は？」

「40008＝１２×３３３４＝６×６６６８ って気づけば、すぐ、□＝６で、Ａ＝6666、Ｂ＝6668ってわかるよ」

「気づきそうもない。地道にやろ」　

計算の工夫、論証と推理問題もなども、わかりやすいアニメーション解説で！

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速さと旅人算（第３回 四谷大塚 合不合判定テストより）

難度レベル（１）B、（２）C

A君とB君はP地を出発してQ地に向かい、PQ間をそれぞれ１往復します。また、C君はQ地を出発してP地に向かい、PQ間を１往復します。いま、３人が同時に出発し、それぞれ一定の速さで休まずに進んだところ、３０分後にC君はA君とはじめて出会い、その後、B君とも初めて出会いました。また、A君とB君がはじめて出会ったときに、C君はちょうどP地に着き、A君とC君が２回目に出会った地点は、A君とC君が１回目に出会った地点より１２００ｍだけP地に近いところでした。B君の速さを毎分４０ｍとして、次の問題に答えなさい。

（１）A君とC君の速さの差は毎分何ｍですか？

（２）P地とQ地は何ｋｍはなれていますか？

「図は書いてみたんだけど、ごちゃごちゃしてきて・・・」

「A君とC君だけについて書いてみるとわかりやすかったかも」

「２人の道のりの合計は、１回目の出会いまでが片道分、２回目の出会いまでが往復分だよね」

「そう、まずC君のA君に出会うまでの３０分に進んだ道のりを①として考えてみる」

「１回目から２回目まで道のりが倍になったわけだから、時間も１時間で青い線は①×２で②」

「赤い太線部分も①が２つ分で②」

「するとA君とC君の道のりの差は、赤－青＝（②＋１２００ｍ）－②で１２００ｍか」

「それが１時間でついた差」

「１分では６０で割って２０ｍ」

「（２）で着目するところはA君とB君がはじめて出会ったとき」

「A＋Bの道のりがCの倍になってる」

「つまり・・・」

（Aの速さ＋Bの速さ）：Cの速さ＝２：１

「AはCより毎分２０ｍ速いから・・・」

（C＋２０ｍ＋４０ｍ）：C＝２：１

（C＋６０ｍ）：C＝２：１

C＝６０ｍ

「A君は６０＋２０で８０ｍだね」

「あとはAとCの向かい合う旅人算だ」

（８０ｍ＋６０ｍ）×３０分＝４２００ｍ

４．２ｋｍ

「（２）は正答率７％だって」

「できなくてもしょうがない」

「できた人もいる」

速さ、旅人算など参考になるアニメーション解説が豊富です。

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四谷大塚第３回合不合判定テスト情報など

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仕事算（第３回 四谷大塚 合不合判定テストより）

難度レベルC

「これ、合ってると思ってたら間違ってた」

ある仕事をAさんが１人ですると１６日目で終わります。また、同じ仕事をBさんが１人ですると２８日目に終わります。この仕事をAさんとBさんの２人ですると、最も早くて何日目に仕事が終わりますか？

「正答率が１割以下だった問題だね」

「そんなに難しいとは思わなかったけど・・・」

「というか、間違いやすい問題」

「Aが１日でする仕事量が１/１６、Bが１/２８だから７：４、Aの７が１６日だから全体の仕事量が１１２で、２人の１日分の仕事量の７＋４で割れば１０．１８・・・、だから１１日、これじゃいけないのかなぁ？」

「問題をよく読んでみて」

「最も早くて・・・っていうところが気にはなったんだけど・・・」

「それと１６日目、２８日目って書いてある」

「ということは・・・」

「１６日目と２８日目は他の日より仕事量が少ない可能性があるっていうこと」

「緑部分がどのくらいの量かわからない」

「だから最も少ないとき＝最も早いときになるわけ」

「０？」

「２人とも仕事をもう１日したわけだから、０よりは大きいの」

「１５日と２７日で計算するわけか」

１/１５：１/２７＝９：５

９×１５÷（９＋５）＝９．６４・・・

「これより多くかかるから・・・」

「１０日目」

「みんなひっかかっちゃったみたいだね」

「・・・・・・」

割合と比、仕事算など参考になるアニメーション解説が多数あります。

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四谷大塚第３回合不合判定テスト情報など

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選挙の論理計算（四谷大塚 第３回合不合判定テストより）

難度レベル（１）B,（２）C

ある小学校６年生１２５人の中から委員を３人選ぶ選挙を行うことになりました。A、B、C、D、E、Fの６人が立候補して、１２５人全員が１人１票ずつ６人のうちだれかに投票をします。

（１）確実に委員に選ばれるためには、最低何票取らなければなりませんか？

（２）ちょうど１００票まで開票したところ、表のような途中経過になりました。Bが確実に委員に選ばれるためには、あと最低何票取らなければなりませんか？

「（１）だけど、３位に入ればいいんだろ？」

「まあ、そうだけど・・・」

「だったら３人が０票と考えて、３位の最大得票数は１２５÷３あまり２で４１票じゃないのかな？」

「そう考えるんじゃなくて、４位よりも１票でも上回ればいいって考えるの」

「じゃあ、４位の最大得票数を考えるの？」

１２５÷４＝３１・・・１

「つまり、４位の人が最高に得票する可能性が３１票」

「だから３位は１票たして３２票ってことか」

「（２）も同じように考えるんだけど・・・」

「４位の最大得票数は３２票？」

「じゃなくて、もうこの時点で上位４人だけ考えればいい」

「まだ２５票残っているんだからAだってFだってわからないじゃないか」

「というか、この時点で４位の人の最大得票数を考えてみるわけ」

１２５－（１１＋１３）＝１０１票

１０１÷４＝２５票・・・１

「最大の４位が２５票だから３位は２６票ならいいってこと？」

「そう。だけどDはもうその数を超えているので委員に決まり！だから、Dも除いて考えてみる」

「えっ？まだ続くの？」

１０１－２８＝７３票

７３÷３＝２４票・・・１

「Dを除くと２位に入ればいいから３位の最大得票数を計算するわけ」

「２４票だから２位は２５票」

「Bはもうすでに１５票取っているから、あと・・・」

「１０票」

「考え方が難しいかもね」

「ムズイ！」

論理と推理、規則性、場合の数など参考になるアニメーション解説が多数あります。

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人数と論理（高槻中学 受験算数問題 2008年）

難度レベルA

４３人のクラスで、スポーツ好きな生徒が２８人、音楽好きな生徒が２１人います。両方とも好きな生徒は、もっとも多い場合で何人いますか。また、もっとも少ない場合で何人ですか。

「これ、図で表せるでしょ？」

「習った」

「緑部分がもっとも多くなるのは？」

「音楽好きな人が全員スポーツ好きな場合！」

「２１人だね」

「もっとも少ない場合は全員スポーツ好きじゃないとき！」

「ちょっとまって、それじゃあ黄色と水色部分をたすとクラスの人数をオーバーしちゃう！」

「そうか、スポーツ好きじゃない人のもっとも多い場合は４３－２８で１５人」

「黄色の音楽好きは２１人だから、重なる緑部分を何人にしたらいいか・・・」

「２１－１５で６人だ」

「このとき音楽もスポーツも好きじゃない人は？」

「１人もいなくなる・・・」

論理と推理、規則性、場合の数など参考になるアニメーション解説が多数あります。

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並び方の推理（市川中学 受験算数問題 ２００９年）

難度レベルB

A君、B君、C君、D君、E君、F君の６人で食事をしました。６人の円形テーブルを囲んで、等しい間隔でテーブルの中央に向かって座り、１人１品を注文しました。①から⑧のすべての条件を満たすような６人の並び方を図に書きなさい。ただし、図にはA君の位置は書き記してあります。

①６人の注文をまとめると、牛丼が３人、カレーライスが２人、ラーメンが１人でした。

②C君はA君と向かい合わせに座り、同じものを注文しました。

③B君はカレーライスを注文しました。

④カレーライスを注文した２人は隣どうしで並んで座っています。

⑤F君はラーメンを注文しました。

⑥D君の右隣の人は牛丼を注文しました。

⑦E君の２つ隣の人はC君です。

⑧F君の隣にA君がいます。

「②からC君の位置はわかる」

「⑦と⑧からA君の隣はE君かF君だね」

「まだどっちがどっちだかわからない」

「③よりB君はカレーライスを注文した、だから・・・」

「A君とC君はカレーじゃなくてラーメンでもない、牛丼！」

「F君はラーメンだから・・・」

「④のカレー２人組みはB君とE君！」

「残ったD君の位置は？」

「F君とC君の間だ」

「⑥よりD君の右隣の人は牛丼を注文しているね、その人とは？」

「ラーメンのF君ではない、C君なのでした！」

規則性、論理と推理など参考になるアニメーション解説が多数あります。

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計算の推理（筑波大附属中学 受験算数問題 ２００８年）

難度レベルA

１１×１１＝１２１、１１１×１１１＝１２３２１となります。

１１１１１１１１１１×１１１１１１１１１１はいくつになりますか？

「地道じゃない方法がきっとあるんだ」

「それを考えているうちに時間がたっちゃうね」

「規則性でいくと・・・、たぶん・・・」

１２３４５６７８９１０９８７６５４３２１

「算数はたぶんじゃダメ！」

「違うの？」

「違う」

「じゃあ・・・」

１２３４５６７８９０９８７６５４３２１

「カンでやってもダメ！」

「これも違う？」

「違う」

「おしいけど・・・」

「一番下の段が１の個数、右から１０番目で１つ繰り上がる」

「１１番目が９個だからこれも１繰り上がるわけか・・・」

「１２番目の８個が９になる」

「あとはそのままの個数だ」

「慎重に解かないと間違いやすい問題だね」

「やっぱり地道に計算しようっと！」

「その方が無難かも・・・」

規則性、計算の工夫など参考になるアニメーション解説が多数あります。

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円と長方形の比（渋谷教育学園渋谷中学 受験算数問題 ２００９年）

難度レベルA

面積の比が２：１である円と長方形が図のように重なっています。重なっている部分イの面積は１５ｃ㎡です。重なっている部分イを除いた部分アとウの面積の比は５：１です。

（１）円と長方形の面積をそれぞれ求めなさい。

（２）ア、イ、ウの面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

「長方形は円の半分だ」

「そう、つまり円－長方形＝長方形だね」

「それが２：１の１にあたる」

「その１にあたる面積は↓これだね」

「長方形と同じ面積」

「アからウを引いても同じものができるよ↓」

「ア：ウ＝５：１ だから５－１の４がこの面積＝長方形になるんだ」

「そうするとイは長方形－ウ」

「４－１で３になる」

「３が１５ｃ㎡」

「長方形は４だから２０ｃ㎡、円はその倍で４０ｃ㎡になる」

「イが３になるから・・・」

ア：イ：ウ＝５：３：１

比や割合など参考になるアニメーション解説が多数あります。

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分数の性質（浅野中学 受験算数問題 2003年）

難度レベルB

次のような分数があります。

このうち、約分できないものをすべて足すといくらになるか答えなさい。

「分子が２、４、６、８・・・の偶数はダメ」

「いくつある？」

「１８０÷２で９０個」

「３、６、９・・・もダメだね」

「１８０÷３で６０個」

「ダブった数があるね」

「６の倍数」

「いくつ？」

「１８０÷６で３０個だから約分できない分数は１８０－９０－６０＋３０で６０個」

「分子だけを並べてみるとこうなるね」

１，５，７，１１，１３，１７，１９，・・・，１６７，１６９，１７３，１７５，１７９

「間は３、１、３、１、３、１・・・って増えている」

「２つずつセットにしてみると、６、１８、３０・・・って、１２ずつ増える数が３０個できる」

（６＋３５４）×３０÷２＝５４００

「最初と最後、２番目と最後から２番目・・・をたすと１８０になるよ」

「その方がわかりやすいね」

１８０×３０

「両方とも分母の１８で割ると３００になる」

規則性、数の性質など参考になる問題解説も多数あります。

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パズル（筑波大学附属中学 受験算数問題 2006年）

難度レベルA

図のような１辺１２ｃｍの正方形の紙があります。この紙に図のように２本の線を引き、この線にそって紙を切ると、３つの部分に分かれます。３つの紙は置き方をかえて長方形を作ることができます。そのときの長方形の短い方の辺の長さを求めなさい。

「正方形の線にそって紙を切ると、黄色、青、緑の３つの部分に分けられるね」

「青と緑は直角三角形」

「直角以外の２つの角度を「×」と「○」として図１のように描きこんでみると・・・」

「２つの直角三角形は相似だ」

「黄色い部分を動かさないで、青と緑の直角三角形を黄色の周りに移動させてみるよ」

「長方形の１つの辺の長さは、緑の直角三角形の斜辺の長さと等しいから１３ｃｍ」

「もう１つの辺の長さは？」

「面積が同じだから１２×１２÷１３で１１と１/１３ｃｍ」

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正方形の重なり（１１月、サピックスオープンより）

難度レベル（１）A（２）B（３）B

１辺１０ｃｍの正方形の紙が４枚あります。これらを次の指示にしたがって重ねていきます。

①１枚目の正方形は、下の図のように置きます。

②２枚目の正方形は、右に１ｃｍずらして重ねます。

③３枚目の正方形は、２枚目の正方形から上に２ｃｍずらして、さらに重ねます。

④４枚目の正方形は、３枚目の正方形から左に３ｃｍずらして、さらに重ねます。

（１）②のとき、２枚重なった面積と、重なっていない部分の面積の合計との差は、何ｃ㎡ですか？

（２）③のとき、２枚重なった部分の面積の合計は、何ｃ㎡ですか？

（３）④のとき、２枚重なった部分の面積の合計は、何ｃ㎡ですか？

「何で（２）や（３）できなかったの？」

「ずっと、右にずらしてた」

「・・・・・・」

「（１）は２枚重なった部分が②の緑部分で９０ｃ㎡、①の黄色、水色部分の２０ｃ㎡を引くと７０ｃ㎡」

「（２）も（３）も図にしてみないとわからないよ」

「それが間違った」

「問題用紙にちゃんと上にも左にも余白があるじゃないの」

「右だけ使った」

「（２）を図にしてみて」

「色は使えない」

「①とか②とか③で重なりを表せばいい」

「②部分は８×１＋９×２で２６ｃ㎡」

「この問題、図がきちんと描けるかどうか！」

「図が描ければ簡単だ」

「（３）は？」

「②部分は７×２＋９×２＋８×１＋８×１で４８ｃ㎡」

「問題をよく読むこと！」

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三角形とおうぎ形（１１月、学校別サピックスオープンより）

図は三角形ABCの中におうぎ形を重ねたものです。おうぎ形の半径と色のついた部分の周りの長さを求めなさい。

「できなかった」

｢そんなに難しい問題じゃないでしょ」

「おうぎ形の半径がでない」

「△ABCの面積は１５０ｃ㎡ってわかるから、底辺を２５ｃｍにすれば赤い線の高さがわかるでしょ？」

１５０×２÷２５＝１２ｃｍ

「えっ、この高さ、おうぎ形の半径と同じなの？」

「そう」

「おうぎ形が辺ACと１点で接しているのはわかるけど、半径とACが直角になるかどうかわからないんじゃない？」

「直角になるでしょ」

「どうしてそれがわかる？」

「だって、ある点から直線に引いた線で一番短い線はその直線と直角に交わるし、その線はある点を中心にした円の半径にも等しくなる」

「そうゆうもんなのかなぁ」

「そうゆうもんなの」

「そこが直角なら三角形の相似でも解ける」

２５：１５＝２０：半径

半径＝１２ｃｍ

１２×２×３．１４×１/４＋２０＋２５＋１５－１２×２

＝５４．８４ｃｍ

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図形の重なり（桐朋中学 受験算数問題 ２００９年）

１ｃｍの方眼があります。この方眼の上で、ある図形を右に１ｃｍ、上に１ｃｍ動かしてできる図形ともとの図形の重なった部分を黒くぬります。たとえば、たての長さが２ｃｍ、横の長さが３ｃｍの長方形を動かすと、黒くぬる部分は図のようになります。

図（赤ボタンをクリック）

難度レベルA

（１）もとの図形が、次の①、②の太線で表された図形であるとき、黒くぬる部分の面積を求めなさい。ただし、円周率は３．１４とします。

「右１ｃｍ、上１ｃｍ動かしたところに同じ図形を描いてみるといいね」

「①は台形だから、

（１．５＋２）×１÷２＝１．７５ｃ㎡

② は木の葉形の面積になるから、

（１×１×３．１４÷４－１×１÷２）×２＝０．５７ｃ㎡」

難度レベルB

（２）黒くぬる部分が図１のようになるとき、元の図形を１つ図１にかきなさい。

「かけた？」

「水色はかけた」

難度レベルB

（３）黒くぬる部分が図２のようになるとき、もとの図形が、三角形であるものと五角形であるものをそれぞれ１つずつかきなさい。

「図２で黒と黄色の三角形を２つとも含む図形を考えればいいね」

「黒は動かない、黄色はなくなる」

「それが手がかりになるかもね」

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立方体のくりぬき（ラ・サール中学 受験算数問題 ２００９年）

難度レベル（１）A,（２）B、（３）C

（１）下の図１の１辺が４ｃｍの立方体について、長方形ABCDから向かい合う面までを垂直にくり抜いてできる図形の体積はいくらですか？

 

（２）（１）でできた図形について、さらに長方形EFGHから元の立方体の向かい合う面までを垂直にくり抜いてできる図形の体積はいくらですか？

（３）（２）でできた図形を、３点P、Q、Rを通る平面で切ったときにできる切断面を図２に斜線で示しなさい。また、切り口の面積と三角形PQRの面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

「ABCDでくり抜く立体の形は？」

「１ｃｍ×２ｃｍ×４ｃｍの直方体」

「これを全体から引けばいいね」

４×４×４－１×２×４＝５６立方ｃｍ

「EFGHでくり抜くと、もうくり抜かれたところが重なる」

「１ｃｍ×１ｃｍ×１ｃｍの立方体が最初６４個あったって考えて、上から１段ずつくり抜かれなかったものを数えてみるとわかりやすいよ」

「わかりやすくはないけど・・・、一番上の段は全部あるから１６個」

「次の段は？」

「６個残ってる」

「３段目は？」

「１２個残ってる」

「一番下は？」

「全部残ってるから１６個」

「合計で？」

１６＋６＋１２＋１６＝５０立方ｃｍ

「（３）はイメージしにくい」

「△PQRはどんな三角形？」

「正三角形！」

「小さい立方体の切り口も全部正三角形になる」

「ほんと？」

「ただし、２段目と３段目はくり抜かれて、もうなくなってしまった立方体の場所を考えないとね」

「想像できない」

「緑の部分は正三角形１１個分。三角形全体は１６個分」

面積比は１１：１６

「ムズイ！」

「１段１段書いてみたら？」

「それができたら苦労しない」

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ア、イ、ウにあてはまる数は？（桜蔭中学 受験算数問題 ２００９年）

難度レベルB

３×５×５×５＋４×５×５＋２×５＋１

＝ア×ア×ア＋イ×ア×ア＋ウ×ア＋３

（ア、イ、ウは１～９までの整数）

「どうやって解いた？」

「ふつうに解いた」

「ふつうに？」

「これ計算すると４８６だから

ア×ア×ア＋イ×ア×ア＋ウ×ア＝４８６ー３＝４８３」

「そうだね」

「だから

ア×（ア×ア＋イ×ア＋ウ）＝４８３」

「それで？」

「４８３はアの倍数だから、約数を調べると３×７×２３でアは３か７だけど、３は小さすぎてダメだから７にしたらうまくいった。

７×（７×７＋イ×７＋ウ）＝４８３

イ×７＋ウ＝２０

イは２しかないからウは６」

「けっこう強引な解き方だね」

「他に解き方あるの？」

３×５×５×５＋４×５×５＋２×５＋１

↑

「これって５進法でしょ」

「そうか・・・、３４２１」

「じゃあこれは？」

↓

ア×ア×ア＋イ×ア×ア＋ウ×ア＋３

「ア進法？」

「そう、ア進法で書くと１イウ３」

「アをさがすのはやっぱり４８３の約数さがしじゃないか」

「ただ、いちばん右に３があるからアは３以上で７ってすぐ決まる」

「あとは順番に４８６を７で割っていく方法だね」

「そう」

４８６÷７＝６９・・・３→これが一番右にくる数

６９÷７＝９・・・６→これが右から２番目

９÷７＝１・・・２→これが右から３番目

１が一番左

５進法→３４２１＝７進法→１２６３

「こっちのほうがややこしそうだけどな」

「論理的なの！」

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切り取られた折り紙の面積（豊島岡女子学園中学 受験算数問題 ２００９年）

難度レベルB

１辺の長さが１６ｃｍの正方形の紙があります。

   

図１のように、まず点Bが点Aに重なるように折り、次に点Dが点Aに重なるように折ります。そのあと、図２のように、点Aを含まない２辺のそれぞれの真ん中の点を結んだ線で三角形の部分を切りはなします。

（１）残った紙を広げたとき、広げた紙の面積は何ｃ㎡ですか？

次に、紙を広げる前の状態にもどして、下の図のようにもう一度同じ作業を行います。

まず点Eが点Aに重なるように折り、次に点Fが点Aに重なるように折ります。点Aを含まない２辺のそれぞれの真ん中の点を結んだ線で三角形の部分を切りはなします。

（２）２回目の切りはなす作業のあと、残った紙を広げます。広げた紙の面積は何ｃ㎡ですか？

「まず切ってみようか」

「広げてみよう」

「真ん中の正方形の対角線の長さは？」

「８ｃｍだから８×８÷２で面積は３２ｃ㎡、これを全体の正方形から引く」

１６×１６－３２＝２２４ｃ㎡

「これは広げた紙をイメージできたとき」

「できなかったら？」

「図２の黄色い直角二等辺三角形に注目！」

「そうか、１/４の正方形の中にあるから、広げると４つできる」

１６×１６－４×（４×４÷２）

「（２）はこの考え方で解くといね」

「まず切ってみると・・・」

「元にもどしてもると・・・」

「同じように欠けている部分を４倍すると・・・」

（４×４÷２＋４×４÷２）×４＝６４ｃ㎡

「全体から引けばいいね」

１６×１６－６４＝１９２ｃ㎡

｢この方法使えそう・・・」

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正方形の分割（筑波大附属中 受験算数問題 ２００９年）

難度レベルA

図のように１６個の正方形からできているマス目があります。このマス目を全部使い、点線にそって、例のように同じ形をした４個の図形に分けたいと思います。それ以外にも３通りの分け方がありますが、それらをすべて図示しなさい。ただし、４個の図形に分けられた正方形を回したり裏返したりして同じになるものは、すべて同じとみなすことにします。

「できた！」

この３通り！

「違うでしょ！問題に『点線にそって』 って書いてあるでしょ」

「そうか」

「４個の正方形の形を考えればいいね」

「こんどこそ、できた！」

解答はコチラ

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投影図 （渋谷教育学園幕張中学 受験算数問題 2008年）

難度レベルA

図１は、１辺２ｃｍの立方体を何個か積み上げた立体を正面、真上、左横から見た図です。

（１）積み上げられた立方体は何個ありますか。

（２）この立体の表面積を答えなさい。

「まず、真上から見たときと正面から見たときを見比べてみたら？」

「真上から見て左の２個は１段、右の１個は２段だ」

「それを真上から見た図に書き入れてみる」

「３段に積まれているのがどこか、真上と正面からの図ではわからないな」

「そこで左から見た図」

「左から見て左から１段、２段、３段、１段」

「だから全部で？」

「１１個」

「どんな立体だかイメージできる？」

「わかる」

「どこにも凹んだところがない立体だから、真上から見たときと真下から見たとき、左から見たときと右から見たとき、正面から見たときと後ろ側から見たときの個数が同じになるね」

「３方向から見た面積を２倍すればいいのか」

「計算してみて」

正面から見える立方体の数・・・６個

真上から見える立方体の数・・・７個

左横から見える立方体の数・・・７個

立方体の１面の面積＝２×２＝４ｃ㎡　

立体の表面積＝４×｛（６＋７＋７）×２｝＝１６０ｃ㎡

「あのさぁー・・・」

「何？」

「この立体、テーブルか何かの上に置いてあるわけでしょ？とすると、テーブルに接している下の部分て表面積に加えていいのかな？」

「空中に浮かんでるって考えるから、下の面も加えるの」

「浮かんでる？、『積み上げた』って書いてあるじゃないか」

「・・・・・・」

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