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2009年11月 6日 (金)

立方体のくりぬき(ラ・サール中学 受験算数問題 2009年)

難度レベル(1)A,(2)B、(3)C

(1)下の図1の1辺が4cmの立方体について、長方形ABCDから向かい合う面までを垂直にくり抜いてできる図形の体積はいくらですか?

Mon1_2 

(2)(1)でできた図形について、さらに長方形EFGHから元の立方体の向かい合う面までを垂直にくり抜いてできる図形の体積はいくらですか?

Mon2_3

(3)(2)でできた図形を、3点P、Q、Rを通る平面で切ったときにできる切断面を図2に斜線で示しなさい。また、切り口の面積と三角形PQRの面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

「ABCDでくり抜く立体の形は?」

「1cm×2cm×4cmの直方体」

「これを全体から引けばいいね」

4×4×4-1×2×4=56立方cm

「EFGHでくり抜くと、もうくり抜かれたところが重なる」

「1cm×1cm×1cmの立方体が最初64個あったって考えて、上から1段ずつくり抜かれなかったものを数えてみるとわかりやすいよ」

「わかりやすくはないけど・・・、一番上の段は全部あるから16個」

Ue1

「次の段は?」

Ue2

「6個残ってる」

「3段目は?」

Ue3

「12個残ってる」

「一番下は?」

Ue4

「全部残ってるから16個」

「合計で?」

16+6+12+16=50立方cm

「(3)はイメージしにくい」

「△PQRはどんな三角形?」

「正三角形!」

「小さい立方体の切り口も全部正三角形になる」

「ほんと?」

「ただし、2段目と3段目はくり抜かれて、もうなくなってしまった立方体の場所を考えないとね」

「想像できない」

「緑の部分は正三角形11個分。三角形全体は16個分」

面積比は11:16

「ムズイ!」

「1段1段書いてみたら?」

「それができたら苦労しない」

立方体の切り口もイメージアニメーションで!

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