立方体のくりぬき（ラ・サール中学 受験算数問題 ２００９年）

難度レベル（１）A,（２）B、（３）C

（１）下の図１の１辺が４ｃｍの立方体について、長方形ABCDから向かい合う面までを垂直にくり抜いてできる図形の体積はいくらですか？

 

（２）（１）でできた図形について、さらに長方形EFGHから元の立方体の向かい合う面までを垂直にくり抜いてできる図形の体積はいくらですか？

（３）（２）でできた図形を、３点P、Q、Rを通る平面で切ったときにできる切断面を図２に斜線で示しなさい。また、切り口の面積と三角形PQRの面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

「ABCDでくり抜く立体の形は？」

「１ｃｍ×２ｃｍ×４ｃｍの直方体」

「これを全体から引けばいいね」

４×４×４－１×２×４＝５６立方ｃｍ

「EFGHでくり抜くと、もうくり抜かれたところが重なる」

「１ｃｍ×１ｃｍ×１ｃｍの立方体が最初６４個あったって考えて、上から１段ずつくり抜かれなかったものを数えてみるとわかりやすいよ」

「わかりやすくはないけど・・・、一番上の段は全部あるから１６個」

「次の段は？」

「６個残ってる」

「３段目は？」

「１２個残ってる」

「一番下は？」

「全部残ってるから１６個」

「合計で？」

１６＋６＋１２＋１６＝５０立方ｃｍ

「（３）はイメージしにくい」

「△PQRはどんな三角形？」

「正三角形！」

「小さい立方体の切り口も全部正三角形になる」

「ほんと？」

「ただし、２段目と３段目はくり抜かれて、もうなくなってしまった立方体の場所を考えないとね」

「想像できない」

「緑の部分は正三角形１１個分。三角形全体は１６個分」

面積比は１１：１６

「ムズイ！」

「１段１段書いてみたら？」

「それができたら苦労しない」

立方体の切り口もイメージアニメーションで！

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