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難度レベルＡ
１辺１ｃｍの正方形の紙を２枚用意し、一方の頂点が、もう一方の対角線の交点と重なるようにし、辺も対角線と重なるようにすると、下の図１のようになります。正方形の紙を８枚用意し、同様にすると図２のような図ができます。図２において、 紙が重なっていない部分の面積を求めなさい。なお、正方形内部の線は対角線を示しています。
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難度レベルA
下の図のような正三角形ＡＢＣ と正方形ＢＣＥＤ があります。
ＡＤの長さが１０ｃｍのとき、三角形ＡＤＥ の面積を求めなさい。
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難度レベルＢ
横一列に並んだｎ個の○の間に、仕切りの│を入れていくつかの部分に分ける方法の数をＳ（ｎ）とします。
例えば、
ｎ＝２のとき○○に対し
○│○
よりＳ（２）＝１
ｎ＝３のとき○○○に対し
○│○○、○○│○、○│○│○
よりＳ（３）＝３です。
このとき次の問いに答えなさい。
（１） Ｓ（４）、Ｓ（５）を求めなさい。
（２） Ｓ（ｎ）＝１２７となるｎを求めなさい。
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難度レベルＡ
上の図は、１辺１０ｃｍの正方形の内部に半径１０ｃｍの扇形を重ねて描いたものです。図の赤い部分と青い部分の面積の差を求めなさい。
「赤と青に、それぞれ緑部分をたしてみると・・・」
「赤と青の面積の差は、図２の赤－図３の青になる」
図２の赤い部分の面積＝１０×１０×３．１４×９０/３６０
図３の青い部分の面積＝１０×１０－図２の赤い部分の面積
１０×１０×３．１４×９０/３６０ ×２ －１０×１０
＝１０×１０×（３．１４÷２－１）
＝５７ｃ㎡
「この差って、下の木の葉形の面積と同じじゃない？」
「そうだね、基本問題の変形」
平面図形の基本問題もイメージしやすいアニメーション解説が豊富です！
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難度レベルＡ
下の図のような長方形ＡＢＣＤがあります。辺ＡＢ上に点Ｅをとり、ＣＥ を折り目として折ると、頂点Ｂは辺ＡＤ上の点Ｆ と重なり、ＡＦの長さは２ｃｍでした。このとき、ＢＥ の長さを答えなさい。
折り紙や相似の問題もイメージしやすいアニメーション解説が豊富です！
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難度レベルＢ
底面の半径が３ｃｍ、高さも３ｃｍであるような円柱があります。その円柱を、図１のように底面の１つの直径を含み、底面との角が４５゜になるような平面で切断したときにできる小さい方の立体を考えます。その立体の底面の半円において、図２のように点Ａ、Ｂをとります。点Ａ、Ｂを通り、底面の半円に垂直な平面で立体を切断するとき、その切断面の図形の面積は何ｃ㎡ですか？
切断面の図形もイメージしやすいアニメーション解説が豊富です！
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難度レベルＡ
ある高さから落とすと、その高さの２/３まではずみながら階段を落ちるボールがあります。
（１）図１のように１０ｃｍの高さの階段があります。地面から３１ｃｍの高さからボールを落としたところ、図のようにはずみました。最初に地面に落ちた後、何ｃｍはずみますか？
（２）図２のように１段の高さが３０ｃｍの階段があります。ある高さからボールを落としたところ、図のようにはずみ、最初に地面に落ちた後、４０ｃｍはずみました。はじめ地面から何ｃｍのところから落としましたか？
割合や比の問題もイメージしやすいアニメーション解説が豊富です！
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難度レベルＡ
図１の展開図で表される立体を組み立てました。アからエの展開図を組み立てたとき、この立体と同じもようの並びになるのはどれですか。
立体図形や展開図の問題もイメージしやすいアニメーション解説が豊富です！
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難度レベルＣ
下の図のように、長方形の一部を対角線にそって切り取ったものを折ると、三角すいができる場合と、できない場合があります。三角すいを作るには、ＡＢの長さをどのようにするとよいか答えなさい。
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難度レベルＢ
つる、かめ、カブトムシの頭数が合計１６、足の数が合計５４本、
つるとかめの頭数比が３：１のとき、カブトムシは何匹いますか。
「これ、３段つるかめ、って教わった！」
「どう教わったの？」
「こう↓」
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難度レベルＢ
（１）八角形ＡＢＣＤＥＦＧＨの面積を求めなさい。
（２）ＢＨの長さを求めなさい。
（３）八角形ＡＢＣＤＥＦＧＨを直線ＰＲのまわりに１回転させてできる立体の体積を求めなさい。
平面図形の回転問題もイメージしやすいアニメーション解説と教材が豊富です！
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難度レベルB
１本のひもがあって、とちゅうに結び目が１か所あります。このひもを５等分すると、結び目は左から２本目の部分にあり、８等分すると、結び目は左から４本目の部分にありました。結び目が切ったはしになることはないものとすると、このひもを３０等分すると、結び目は左から何本目のところにありますか。
推理、論証問題もイメージしやすいアニメーション解説と教材が豊富です！
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難度レベルA
１辺１２ｃｍの正方形の紙があります。この紙の四隅（よすみ）からハサミで同じ大きさの正方形を切り取り、残った紙を組み立てると、ふたのない直方体の容器ができます。
（１）切り取る紙の１辺を３ｃｍとしたとき、できる立体の体積を答えなさい。
（２）できる立体が立方体のとき、その体積を答えなさい。
立体の体積や展開問題もイメージしやすいアニメーション解説と教材が豊富です！
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難度レベルB
下の図の長方形の色のついた部分の面積を求めなさい。
計算の工夫、求積問題もイメージしやすいアニメーション解説と教材が豊富です！
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難度レベル（１）B（２）C
「（１）はできたんだけど（２）ができなかった」
図の長方形ABCDはたての長さが１２ｃｍです。この長方形の辺上を、１辺の長さが６ｃｍの正三角形を、矢印の方向にすべることなく転がして１周させました。このとき、図１の位置からスタートして、途中で図２のような位置になり、１周したときには、図１とまったく同じ位置にもどり、正三角形の頂点Pも元の位置にもどりました。長方形ABCDの横の長さが６ｃｍより長く３０ｃｍ以下であるものとして、次の問題に答えなさい。
（１）長方形ABCDの横の長さは何ｃｍですか。
（２）頂点Pが移動した長さの合計は何ｃｍですか。
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難度レベルA
「これ間違ったの？」
「数え間違いかな？」
図のように、同じ大きさの立方体をたて４個、横６個を１段とし、５段積んで直方体を作りました。そして、この直方体の表面のうち、この見取り図に表れている３つの面を赤く、表れていない３つの面を青くぬりました。このとき、赤と青の両方の色がぬられている立方体は何個ありますか。
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難度レベル（１）A（２）B（３）B
円周率について、次の問に答えなさい。
（１）円周率とは、円の[ ① ] が [ ② ] の何倍であるかについて表したものです。①と②に適切な言葉を入れなさい。
（２）図１の、円の内側に接している正六角形の図を用いて、円周率が３より大きいことを説明しなさい。
（３）図２の円の用いて、円周率が４より小さいことを説明しなさい。
基本的な図形教材もイメージしやすいアニメーション解説が豊富です！
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難度レベルA
半径５ｃｍの円周上に６つの点がある正六角形の各辺と離れないように半径２．５ｃｍの円を動かし、この正六角形のまわりを１周させます。円を動かした部分の面積は何ｃ㎡になりますか。円周率は３．１４で計算しなさい。
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難度レベル（１）A（２）A（３）B（４）B
１辺７ｃｍの正方形の方眼紙があります。これから等しい辺の長さが３ｃｍの直角二等辺三角形を２つ取り除くと、図１のような六角形ＡＢＣＤＥＦ ができます。図１の六角形ＡＢＣＤＥＦ の赤くぬられた１辺１ｃｍの正方形を、「六角形のまん中の正方形」と呼ぶことにします。
次に、１辺９ｃｍの正方形の方眼紙を用意します。この方眼紙のマス目と六角形ＡＢＣＤＥＦのまん中の正方形がぴったり重なるように図２のように重ね、重なった部分を灰色にぬります。六角形のまん中の正方形が方眼紙からはみ出すことのないように六角形を動かすとき、次の問に答えなさい。
（１）六角形のまん中の正方形が、図２の緑のマス目にあるとき、灰色の部分の面積を答えなさい。
（２）灰色の部分の面積が最大になるとき、その面積を答えなさい。また、そうなるような六角形の置き方は何通りありますか。
（３）灰色の部分の面積が最小になるとき、その面積を答えなさい。また、そうなるような六角形の置き方は何通りありますか。
（４）六角形のまん中の正方形が、図２の青いマス目にあるとき、灰色の部分の面積を答えなさい。また、このときと灰色の部分の面積が同じになるように六角形のまん中の正方形を置けるマス目を、すべて青くぬって表しなさい。
図形の移動や場合の数の問題もイメージしやすいアニメーション解説で！
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難度レベルB
「基礎なのに間違った！」
「試験まで１ヶ月ちょっとなのに、今頃になって・・・」
A、B、C、D、E、Fの６人が①、②の２部屋を使って泊まることになりました。①には３人まで、②には４人まで泊まることができます。
（１）６人の泊まり方は全部で何通りありますか。
（２）仲良しのA、Bが同じ部屋に泊まるとき、６人の泊まり方は何通りありますか。
場合の数の問題もイメージしやすいアニメーション解説で！
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難度レベルB
上図の半円を、ＣＤを折り目として折ると、点Ｂが円の中心Ｏと重なります。このとき、角度①の大きさを求めなさい。
図形移動や折り紙問題もイメージしやすいアニメーション解説で！
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難度レベルC
図のような１辺が３ｃｍの立方体があります。P、Q、Rはそれぞれ辺AE、AD、CD上にあり、AP、AQ、CRの長さはそれぞれ２ｃｍです。
この立方体をA、C、Fを通る平面で切ったときの切り口の面積と、P、Q、Rを通る平面で切ったときの切り口の面積の比を最も簡単な整数の比で求めなさい。
「こんな図形がイメージできるといいんだけど・・・」
立体の切り口問題もイメージしやすいアニメーション解説が豊富です！
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難度レベル（１）A（２）B（３）C（４）D
２００９個の数が次のように並んでいます。
１番目の数は、３
２番目の数は、４
３番目の数は、２番目の数に１を加えてから１番目の数で割ってできた数
（４＋１）÷３＝５/３
４番目の数は、３番目の数に１を加えてから２番目の数で割ってできた数
・・・・・・・・・・
・・・・・・・・・・
なお、３番目からは、ひとつ前の数に１を加えてからふたつ前の数で割ってできた数です。
（１）５番目の数はいくつですか？
（２）２００９番目の数はいくつですか？
（３）並んでいる２００９個の数から、１０個目ごとの数 １０番目、２０番目、３０番目、・・・・・、２０００番目の数を取り除きました。このとき並んでいる数の合計を求めなさい。
（４） （３）で取り除いたあとに並んでいる数について、ふたたび１０個目ごとの数 １０番目、２０番目・・・・・の数を取り除きました。このとき並んでいる数の合計を求めなさい。
「４番目は（５/３＋１）÷４で２/３だから、５番目は・・・」
（２/３＋１）÷５/３＝１
「（２）を解くには規則性を見つけないとね」
「６番目は（１＋１）÷２/３で３、７番目は（３＋１）÷１で４・・・、この数列３、４、５/３、２/３、１のくり返しだ！」
「とすると、２００９番目は？」
「２００９÷５＝４０１あまり４だから、４番目で２/３」
「（３）だけど１０番目の数は？」
「１だ！」
「２０番目は？」
「やっぱり１、３０番目も１、４０番目も１、・・・２０００番目も１」
「１が何個？」
「２０００÷１０で２００個」
「２００９番目まで全部たすといくつ？」
「３＋４＋５/３＋２/３＋１＝３１/３、これがいくつあるか計算する」
２００９÷５＝４０１あまり４
「計算の工夫で４０２個分から最後の１を引けばいいね」
４０２×３１/３－１＝４１５３
４１５３－２００＝３９５３
「（４）はわからないからやらない」
「この表を見てみて」
「黄色の数字は？」
「（３）で１０番目、２０番目、３０番目・・・２０００番目が取り除かれる前の状態で考えると、１１個ずつで取り除かれることになるわけ」
「１１番目は３、２２番目は４、３３番目は５/３、４４番目は２/３、５５番目は１、６６番目は３、７７番目は４、８８番目は５/３、９９番目は２/３」
「この９つの数字がくり返し取り除かれていくことになる」
「９つの数をたすと１９と２/３」
「それがいくつあるかな？」
「取り除かれた２０００までで２０回、そのあとの２００１～２００９は取り除かれない」
（１９＋２/３）×２０＝３９３と１/３
「これを（３）の答えから引けばいいね」
３９５３－（３９３＋１/３）＝３５５９と２/３
「答え見てもムズイ！」
「これ一番最初の問題だよ」
「・・・・・・」
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難度レベルA
角アの大きさは何度ですか？同じ印をつけた角は同じ大きさの角度を表します。
「でも半分近くの子が間違ってたね」
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難度レベルC
長方形ABCDを図のように２回折りました。角イの大きさは何度ですか？
「まわりの友達、みんなできなかったって」
「正答率を見ると８％だね」
「簡単そうなのに・・・」
「最初に折ったとき、真ん中にできる重なり部分が二等辺三角形であることに気がつくかどうか」
「なんで・・・？」
「折る前の部分を書いてみるとわかるよ」
「赤い部分と折られた部分は同じ図形だ！」
「だから折られたところの角度は両方とも〇で等しくなるし、イは平行線の錯角でしょ」
「二等辺三角形の頂角の外角が〇〇になるわけか」
「その〇〇がまた折られる」
「□は１８０゜－７５゜で１０５゜、これが他の内角の和〇〇＋イだから〇３個分」
イ＝〇＝１０５゜÷３＝３５゜
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難度レベルB～C
Ａ、Ｂ２種類のタイルがあります。このタイルを図のように並べます。
（１）５周まで並べたとき、タイルＡ，タイルＢはそれぞれ何枚あるか求めなさい。
「順番に考えてみようね」
「Aは１→２周が１枚、３→４周が９枚、これって５周は１辺が５枚になるから２５枚じゃないかな？」
「そう、奇数周目のところで周数×周数の数になって次の偶数では変わらない」
「逆にBは偶数周目で周数×周数になって、奇数周では変わらない」
５周目には、タイルＡの数＝５×５＝２５枚
タイルＢの数＝４×４＝１６枚
（２）Ａ，Ｂがそれぞれ９０枚ずつあります。できるだけ多くのタイルを使って図のように並べると、何周まで並べることができますか。また、そのとき余るタイルはそれぞれ何枚ですか。
「９０枚以内で○×○になる最大の数をみつければいいね」
「Aは○が奇数だから、９×９、Bは偶数だから８×８だ」
「それぞれ９０から引いて余りは・・・」
タイルＡ→ ９０－８１＝９枚
タイルＢ→ ９０－６４＝２６枚
（３） ２５周までタイルＡ，Ｂを並べました。このとき、下図のように４枚のタイルに囲まれている部分にタイルＣを入れていきます。必要なタイルＣは何枚ですか。
「また新しい規則性だ」
「どんな規則性？」
「４、８、１２、１６・・・・・
４枚ずつ多くなっていくな」
「２５周目では何枚？」
「３周目→４×１枚、４周目→４×２枚、５周目→４×３枚・・・だから、
２５周目は４×（２５－２）＝９２枚」
「４＋８＋１２＋・・・＋９２は？」
「ガウス算だ」
（４＋９２）×２３÷２＝１１０４枚
（４）タイルＡとタイルＢが同じ枚数あります。できるだけ多くのタイルを使って並べていったところ、タイルＡの余りが４５枚、タイルＢの余りが１４枚でした。最初にあったタイルＡは何枚ですか。
「図にしてみたら？」
「BとAの差は３１枚？」
「Bは偶数の○×○、Aは奇数の□×□」
「○×○－□×□が３１で○－□が１の○と□を見つけるんだ」
１６×１６－１５×１５＝２５６－２２５＝３１
「１６周目まで並べたわけだね」
２２５＋４５＝２７０
「パズルみたいな問題だな」
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難度レベルA
四角形ＡＢＣＤは、ＡＤとＢＣが平行な台形で、四角形ＡＢＥＤはＡＢ＝６ｃｍの平行四辺形です。また、台形ＡＢＣＤの面積は３３ｃ㎡、三角形ＡＢＣの面積は２４ｃ㎡です。
（１）平行四辺形ＡＢＥＤの面積を求めなさい。
（２）ＤＦの長さを求めなさい。
相似や等積移動もイメージしやすいアニメーション解説が豊富です。
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ある駅では、電車とバスの始発と終発の時刻が同じで、それぞれ午前５時、午後１０時３０分です。この駅では電車は１日に８５本、バスは５０本がそれぞれ同じ間かくで発車します。電車とバスが同時にこの駅を発車するのは１日に何回ありますか。
「午前５時から午後１０時３０分までは１７時間と３０分だから・・・」
「それ計算しなくてもいいの」
「えっ？」
電車 ●●●・・・・・・・●●● ８５本 → ８４個の間かく
バス ■■■・・・・・・・■■■ ５０本 → ４９個の間かく
「始発から終発までの時間を□とすると、間かくの時間は？」
「電車が□÷８４、バスは□÷４９・・・？」
「その最小公倍数を求めればいいわけだから、□は約せるよね」
「１/８４と１/４９の最小公倍数・・・？」
「８４は１２×７、４９は７×７だから１/７でしょ」
「□×１/７の時間ごとに電車とバスが同時に出発するわけか」
「だから全体の□を□/７で割って７回」
「始発の１回をたして８回」
「□＝１、つまり、始発から終発までの時間を１とすると、解きやすくなるね」
「でも□って１０５０分でしょ？」
「そうだけど」
「８４で割れば１２分３０秒ごとだけど、４９で割ったら２１と３/７分で割り切れない」
「だから全体の時間を計算しない方が・・・」
「それにしても２１分２５．７１４・・・・秒ごとに出発するバスなんてあるのかな？」
「そこまでつっこまないほうがいいのでは・・・」
周期性や比の問題もイメージしやすいアニメーション解説が豊富です。
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難度レベルB
図１のような三角柱を２つ組み合わせて立体を作り、水平な面に置きました。この立体を真上から見ると図２のようになります。真横から見ると、図２のアの方向から見た場合は図３のようになり、イの方向から見た場合は図４のようになります。図２には、省かれている線があります。
（１）図２の必要な線を書き加え、真上から見た図を完成させなさい。（見える部分についてだけ書きなさい）
（２）この立体の体積を求めなさい。
「重なり方はわかるけど、重なっているところの線がどうなっているのか・・・？」
「重なり方はこう↓だね」
「重なり部分の境目はななめになるのか・・・」
「重なったところの形は？」
「底辺が正方形の四角錐かな？」
「その部分を三角柱２つ分から引けばいいね」
「四角すいは６×６×６×１/３で７２ｃ㎡だから・・・」
６×６×１/２×１８×２－７２＝５７６ｃ㎡
立体図形のイメージしやすいアニメーション解説が豊富です。
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