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2010年1月18日 (月)

点の移動の規則性(筑波大学附属駒場中学 算数入試問題 2000年)

難度レベルB

ABの長さがBCの長さより長い長方形ABCDがあります。頂点Dと同じ位置に点Pがあり、この点Pを次のように動かします。ADを半径として、頂点Aを中心に回転させ、AB上のAP=ADの位置に移動させます。次にBPを半径として、頂点Bを中心に回転させ、BC上に移動させます。さらにCPを半径として、頂点Cを中心に回転させ、CD上に移動させます。すなわち、点PをA→B→C→D→A→・・・の順に中心として点Pまでの長さを半径として長方形の内部を移動させます。点Pが次の辺に移動できなくなったところで終わりとします。

Pic_0883q

たとえば、AB=7cm、BC=4cmのときは、上図のように①→②→③の順に点Pは移動します。CD上に移動すると、DP=6cmとなり、DA上に移動できないので、点Pの移動は3回で終わりとなります。次の問に答えなさい。

(1)AB=15cm、BC=11cmのとき、点Pはいくつかの円周上を通り、移動を終えます。このとき点Pが通った円周の半径を順番にすべて答えなさい。

(2)AB=37cm、BC=32cmのとき、点Pはいくつかの円周上を通り、移動を終えます。このとき点Pが最後に通った円周は、どの頂点を中心にしたものか答えなさい。

(3)AB=2000cm、BC=1997cmのとき、点Pはいくつかの円周上を通り、移動を終えます。このとき点Pは何個の円周を通るか求めなさい。また、点Pが最後に通った円周は、どの頂点を中心にしたものか答えなさい。

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