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難度レベルＡ
図１のような、直角をはさむ２辺の長さが１０ｃｍの直角二等辺三角形を底面とする、高さ２５ｃｍの三角柱の容器があります。
（１）図１のとき、高さ１６ｃｍまで水を入れました。次に容器を図２のように四角形ＢＣＦＥを底面として置くと、水面までの高さＢＰの長さを求めなさい。
（２）図１のとき、高さ２０ｃｍまで水を入れました。次に容器を辺ＤＥ を床につけて図３のように傾け、水面が頂点Ｂを通るようにして置いたとき、ＦＱの長さを求めなさい。
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難度レベルＢ
１から１００００までの１００００個の整数があります。それぞれの整数の各位の数字を加え、その和が等しい整数を集めてグループを作ります。たとえば、７、２５、１０３３は同じグループに入ります。
（１）このようなグループはいくつできますか？
（２）０を使っている整数が一つも入っていないグループはいくつありますか？
（３）５で割り切れない整数だけからできているグループはいくつありますか？
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難度レベルＢ
下図は、直方体の形の板を何枚か使って作られた立体をま上、正面、ま横から見たときの図です。
（１）この立体の表面積は何ｃ㎡ですか？
（２）この立体の体積は何立方ｃｍですか？
「こんな立体になるね」
（図をクリックするとマウスでまわせます）
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基礎レベル
上の図が真正面から見た形で、下の図が真上から見た形です。
どんな立体ですか？（図をクリックするとマウスでまわせます）
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基本レベル
１辺の長さが１０ｃｍの正方形内の黄色部分の面積は？
「どれとどれが同じで、アの２倍になるものは？」
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難度レベルＣ
図のような正方形ＡＢＣＤがあります。ＡＤの真ん中の点をＰとし、ＰＢの長さを５ｃｍとすると、正方形ＡＢＣＤの面積は何ｃ㎡ですか。
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難度レベルＡ
Ａ地点からＢ地点へは、図のような道が通っています。このとき、Ａ地点からＢ地点へ道を戻ることなく行く方法は何通りありますか。
「考え方はいろいろありそうだけど・・・」
「合流した地点で場合の数をたしていく方法は？」
↓
「使えそうだね・・・」
「Ｃ地点では１＋１＋１で３通り」
「Ｃで３通りが２つに分かれて、Ｄでも２つに分かれるね」
「Ｅで３通りが２つ合流するから６通り」
「Ｆで６通りが２つに分かれる」
「Ｇでそれが合流するから１２通り」
「Ｈで３と１２が合流して・・・」
「１５通りだ」
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難度レベルＣ
１辺の長さが６ｃｍの立方体ＡＢＣＤーＥＦＧＨがあります。この立方体を、２点Ａ、Ｈを結んでできる直線の周りに６０゜回転してできる立方体をＡ Ｂ’Ｃ’Ｄ’－Ｅ’Ｆ’Ｇ’Ｈとします。
２つの立方体の重なった部分の体積は何立方ｃｍですか。
マウスでクリックすると、↓ぐりぐり確認できます。
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難度レベルＡ
下の図の角Ａ、角Ｂ、角Ｃ、角Ｄ、角Ｅ、角Ｆ、角Ｇの角度の合計を求めなさい。
入試目前、定番問題のイメージ確認に豊富な教材がそろっています。
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難度レベルＡ
下の図のＡからＦには、数字の１から６までのどれかが１つずつ入り、Ａにはすでに「１」が入っています。
四角形Ｂ，Ｃ，Ｆ，Ｄ の４つの頂点に入る数の和、
四角形Ｃ，Ｅ，Ｄ，Ａ の４つの頂点に入る数の和、
四角形Ｂ，Ｅ，Ｆ，Ａ の４つの頂点に入る数の和、
がそれぞれ等しいとき、Ｅ に入る数を答えなさい。
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難度レベルＢ
Ｓ駅には８０段のエスカレーターと、その横に同じ段数の階段があります。太郎君がこのエスカレーターを歩いてのぼったところ、４８段のぼって上の階に着きました。また、次郎君がこのエスカレーターを歩いてのぼったところ、上の階に着くまでの時間が太郎君より２５％多くかかりました。
（１）太郎君と次郎君が階段を歩いてのぼるときの速さの比を求めなさい。
（２）太郎君は歩いて階段をのぼり始めました。次郎君は太郎君よりおくれてエスカレーターを歩いてのぼり始めたところ、同時に上の階に着きました。次郎君は太郎君が何段のぼったときにのぼり始めましたか。
流水算や比の問題もアニメーション教材がそろっています。ご参考に！
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難度レベル（１）Ａ（２）①Ｂ②Ｃ
下の図は同じ大きさの正三角形４つで囲まれた立体で、正四面体ＡＢＣＤと表します。この正四面体ＡＢＣＤの各辺ＡＢ、ＡＣ、ＡＤ、ＢＣ、ＢＤ、ＣＤの真ん中の点をそれぞれ点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ、Ｉ、Ｊとするとき、次の各問いに答えなさい。
（１）正四面体ＡＢＣＤから、４つの正四面体ＡＥＦＧ、正四面体ＢＥＨＩ、正四面体ＣＦＨＪ、正四面体ＤＧＩＪを取り除いた立体をＸとします。立体Ｘの面の数と辺の数を求めなさい。
（２）立体Ｘの各辺ＥＦ、ＦＨ、ＥＧの真ん中の点をそれぞれ点Ｐ、Ｑ、Ｒとします。ＡＢ＝１２ｃｍのとき、次の①、②に答えなさい。
①ＰＱの長さは何ｃｍですか。
②立体Ｘを３点Ｐ、Ｑ、Ｒを通る平面で切ったときの切り口の面積は、三角形ＡＢＣの面積の何倍ですか。
↓図をクリックするとマウスでドラッグして回すことができます。
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難度レベルＢ
３，２，１，２，４，３，２，３，５，４，３，４，６，・・・，５０，４９，５０
上のように、整数がある規則に従って並んでいます。このとき、次の問に答えなさい。
（１）１０は何個並んでいますか。
（２）一番右にある２５は、左から何番目ですか。
（３）左から５０番目の整数を答えなさい。
（４）整数は全部で何個並んでいますか。
（５）並んでいる整数の和を求めなさい。
「（１）並んでいる整数の規則は？」
「３，２，１，２ ４，３，２，３ ５，４，３，４ ・・・
４個ずつのまとまりになってる」
「３からは同じ整数が４回登場するね」
③，２，１，２
④，③，２，③
⑤，④，③，④
６，⑤，④，⑤
７，６，⑤，６
「１０も４個 ある」
「左から３番目の列に着目すると、１，２，３，・・・ と並んでいるね」
「４個のまとまりの個数と同じだ」
「（２）４回登場する中で、一番右のものは最後に現れるから、４個のまとまりのうち、左から３番目にあるものになる」
「だから、最後に出てくる２５は、左から２５×４－１＝９９番目」
「（３）左から５０番目までに、４個のまとまりは、５０÷４＝１２あまり２ だから１２個あるね」
「その２個先の数は・・・
１４，１３，１２，⑬ ←４８番目
１５，１４，１３，１４
左から５０番目は１４」
「（４）最後に登場する整数は、
５１，５０，４９，５０ だから・・・」
「４個のまとまりが４９個になるから、
４９×４＝１９６個」
「（５）４個ずつ、和を計算すると・・・
３，２，１，２ ＝８
４，３，２，３ ＝１２ ＝８＋４
５，４，３，４ ＝１６ ＝１２＋４
・・・・・・・・・
５１，５０，４９，５０ ＝８＋４×４８＝２００」
「ガウス算で計算して・・・
８＋１２＋１６＋・・・＋２００＝（８＋２００）×４９÷２＝５０９６」
規則性、計算を工夫する問題もイメージしやすいアニメーション解説が豊富です！
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難度レベルＢ
ＡＢの長さがＢＣの長さより長い長方形ＡＢＣＤがあります。頂点Ｄと同じ位置に点Ｐがあり、この点Ｐを次のように動かします。ＡＤを半径として、頂点Ａを中心に回転させ、ＡＢ上のＡＰ＝ＡＤの位置に移動させます。次にＢＰを半径として、頂点Ｂを中心に回転させ、ＢＣ上に移動させます。さらにＣＰを半径として、頂点Ｃを中心に回転させ、ＣＤ上に移動させます。すなわち、点ＰをＡ→Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ａ→・・・の順に中心として点Ｐまでの長さを半径として長方形の内部を移動させます。点Ｐが次の辺に移動できなくなったところで終わりとします。
たとえば、ＡＢ＝７ｃｍ、ＢＣ＝４ｃｍのときは、上図のように①→②→③の順に点Ｐは移動します。ＣＤ上に移動すると、ＤＰ＝６ｃｍとなり、ＤＡ上に移動できないので、点Ｐの移動は３回で終わりとなります。次の問に答えなさい。
（１）ＡＢ＝１５ｃｍ、ＢＣ＝１１ｃｍのとき、点Ｐはいくつかの円周上を通り、移動を終えます。このとき点Ｐが通った円周の半径を順番にすべて答えなさい。
（２）ＡＢ＝３７ｃｍ、ＢＣ＝３２ｃｍのとき、点Ｐはいくつかの円周上を通り、移動を終えます。このとき点Ｐが最後に通った円周は、どの頂点を中心にしたものか答えなさい。
（３）ＡＢ＝２０００ｃｍ、ＢＣ＝１９９７ｃｍのとき、点Ｐはいくつかの円周上を通り、移動を終えます。このとき点Ｐは何個の円周を通るか求めなさい。また、点Ｐが最後に通った円周は、どの頂点を中心にしたものか答えなさい。
規則性、点の移動などの問題もイメージしやすいアニメーション解説が豊富です！
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難度レベルＢ
図１，２，３はそれぞれ同じ立体を上から見たとき、南側から見たとき、東側から見たときのようすを表しています。このような立体のうち、最も大きな立体の体積を求めなさい。円周率は３．１４とします。
「こんな立体がイメージできる？」
図をクリックすると、マウスでドラッグしながらいろいろな角度から立体を見ることができます。
「半円柱と三角柱と四角柱が組み合わさった立体だ」
６×６×３．１４×６×１/２
＋４×６×１/２×１２
＋６×４×６
＋４×６×６×１/２
＝６９９．１２立方ｃｍ
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難度レベルＡ
下図の青い部分と黄色い部分の面積をそれぞれ求めなさい。
「青い部分の面積は、扇形から直角二等辺三角形ＡＢＣの
面積を除いたものだね」
「直角二等辺三角形ＡＢＣは正方形ＡＢＣＤの半分」
「正方形が対角線×対角線÷２で求められるから・・・」
「直角二等辺三角形ＡＢＣの面積は
４×４÷２÷２＝４ｃ㎡ で、
青い部分の面積は、４×４×３．１４×４５/３６０ －４
＝２．２８ （ｃ㎡）」
「 直角二等辺三角形ＡＢＣの中の扇形の半径は？」
「前にやった問題だ、これ・・・
半径がわからなくても、半径×半径がわかるやつ」
半径×半径＝正方形ＡＢＣＤの面積 だから、
半径×半径＝４×４÷２＝８
「これを利用すると、黄色い部分の面積は？」
４－８×３．１４×４５/３６０＝０．８６ （ｃ㎡）
面積を工夫して解く問題もイメージしやすいアニメーション解説や教材が豊富です！
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難度レベルＡ
４つの立方体を面と面がぴったり合うように置いて、いろいろな形を作ろうと思います。下の図の例のほかにできる形をできるだけ描きなさい。ただし、うら返したり回したりして同じ形になるものは１つとします。見えない辺の線は描かなくてもよいです。
立体図形や切り口の問題もイメージしやすいアニメーション解説が豊富です！
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難度レベルＢ
図１は、１辺２ｃｍの立方体から、いくつからの立体をくり抜いたものを真上から見た図です。図２は、図１の矢印②の方向から立体をみた図で、図３は、図１の矢印③の方向から立体を見た図です。図の点線は実際には見えない線を表しています。立体の側面はすべて底面に垂直で、図１の曲線は立方体の頂点を中心とした中心角９０度の扇形の円周です。このとき次の問に答えなさい。
（１）図１の矢印①の方向から立体を見たときの図を、図２，３のように描きなさい。
（２）この立体の体積を求めなさい。
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立体図形や体積問題もイメージしやすいアニメーション解説が豊富です！
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難度レベル（１）Ａ（２）Ｂ
Ａ君が家から学校へ行くとき、①と②のルートがあります。①のルートも②のルートも上り坂ですが、②の方がゆるやかなので、Ａ君はいつも②のルートを通っています。
ある日、Ａ君は家を出て１３分後に忘れ物をしたことに気づき家に引き返しました。家に戻り１分後に家を出て、①のルートを使い学校へ向かいましたが、いつもより２１分おくれて着きました。①のルートと②のルートの距離の比が２：５、Ａ君が②のルートを上る速さと下る速さの比が１２：１３、Ａ君が②のルートを上る速さが①のルートを上る速さの２倍のとき、次の問に答えなさい。
（１）Ａ君が①のルートを通って学校に行くときにかかる時間と②のルートを通って学校に行くときにかかる時間の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。
（２）Ａ君が②のルートを通って学校に行くときにかかる時間を答えなさい。
「（１）はどの条件を使う？」
「①ルートと②ルートの距離の比と速さの比」
距離の比→①：②＝２：５
速さの比→①：②＝１：２
「距離や時間を実際の数字にしてみるとわかりやすいよ」
①→２ｋｍ、②→５ｋｍ
①→時速１ｋｍ、②→時速２ｋｍ
「学校遠すぎない？それに歩くの遅すぎない？」
「計算しやすいようにしただけ」
①→２÷１＝２時間
②→５÷２＝２．５時間
①：②＝２：２．５＝４：５
「学校までそんなかかるわけないけど、計算はしやすいね」
「（２）の家まで引き返した時間は？」
「同じ距離なら速さの比の逆比だから・・・」
速さ→上り：下り＝１２：１３
時間→上り：下り＝１３：１２
上り→１３分、下り→１２分
「１分後に家を出たわけだから１３＋１２＋１で２６分おくれ、整理してみると・・・」
「②をもどったら、２６分おくれのままだよね」
「それが①ルートを通ったから２１分おくれになった」
「①の方が５分早くつく」
「その５分って何？」
「かかる時間４：５の差の１にあたる」
②→５分×５＝２５分
速さや比の問題もイメージしやすいアニメーション解説が豊富です！
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難度レベルＡ
歯車Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ があります。それぞれの歯の数は、２４，３０，９，１６ です。いま、歯車Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ をこの順番に歯をぴったりかみ合わせて置きます。歯車Ａを右回りに２回転まわしたとき、歯車Ｄは、（ア）回りに（イ）回転します。（ア）、（イ）にあてはまる言葉、数を答えなさい。
「となり合った歯車は、図のように反対の向きに回るね」
「Ａが右回りに回ると、Ｂは左回りに回り、Ｃは右回り、Ｄは左回り」
「動く歯の数は、歯車の歯の数に関係なく、どの歯車も同じ」
「Ａの歯車が２回転すると、２４×２＝４８の歯が動いたことになる」
「ＢもＣもＤも４８の歯が動くから・・・」
「Ｄの歯車は歯の数が１６だから、４８÷１６＝３回転」
論理や推理問題もイメージしやすいアニメーション解説が豊富です！
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難度レベルＡ
（１）図１のように、同じ大きさの長方形を２つ並べます。次に、図２のように、片方の長方形の中に、ひとつの頂点が重なるように平行四辺形を描くと、①の部分の面積が２ｃ㎡ 、②の部分の面積が１５ｃ㎡ 、③の部分の面積が７ｃ㎡ になりました。このとき、ＡＢの長さとＢＣの長さの比を求めなさい。
（２）図３のように、図２に描いたものと同じ平行四辺形をもう一方の長方形にも描き、ＢＥが直線になるようにしました。このとき、ＤＥの長さとＥＦの長さの比を求めなさい。
図形の移動や求積問題もイメージしやすいアニメーション解説が豊富です！
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難度レベルＡ
図のような Ｔ字型の図形の内部を１辺が５ｃｍの正三角形ＡＢＣが①の位置から矢印の向きに②、③のようにすべることなく回転していきます。このとき次の問に答えなさい。
（１）この正三角形が初めて①の位置に戻ってきたとき、頂点Ａはア、イ、ウのどの位置にきますか。
（２）（１）のとき、頂点Ａが移動した距離を求めなさい。
（小数第２位まで）
図形の移動や軌跡の問題もイメージしやすいアニメーション解説が豊富です！
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難度レベルＢ
１辺１ｃｍの正方形があります。この正方形の辺にぴったり同じ正方形を並べると、たて１ｃｍ、よこ２ｃｍの長方形になります。この長方形に１辺２ｃｍの正方形を下図のように並べるとたて３ｃｍ、よこ２ｃｍの長方形となります。さらに図のように時計回りに長方形の長い辺に同じ長さの１辺の正方形をぴったり並べていきます。このとき、次の問に答えなさい。
（１）１０枚目に並べる正方形の面積を答えなさい。
（２）１０枚目の正方形を並べたときにできる長方形の周囲の長さを答えなさい。
（３）ある正方形を並べると、長方形の周囲の長さが２８８ｃｍ増えました。このとき、並べた正方形の面積を答えなさい。
図形の規則性問題もイメージしやすいアニメーション解説が豊富です！
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難度レベルＢ
下図のＡＢ、ＣＤの長さは、ともに１６ｃｍで、お互いの真ん中の点で直角に交わっています。この２本の線にそって、半径１ｃｎの円が一周します。円が通ったあとの面積は何ｃ㎡ですか？
図形の移動、回転の問題もイメージしやすいアニメーション解説と教材が豊富です！
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難度レベルＡ
下の図の長方形は、横５ｃｍでたてに長くなっています。この長方形を①、②、③、④の部分に分けて組み立て直すと右の図のような正方形になります。このとき、長方形の面積を答えなさい。
面積を工夫して求める問題もイメージしやすいアニメーション解説が豊富です！
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難度レベルＢ
下の図はある立体図形の展開図で、すべての面は直角二等辺三角形になっています。
（１）この立体を組み立てたとき、辺ＡＢと重なる辺はどこか答えなさい。
（２）展開図のＡＣの長さが１２ｃｍのとき、組み立てた立体の体積を求めなさい。
立体の展開図や切り口の問題もイメージしやすいアニメーション解説が豊富です！
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難度レベル（１）Ｂ（２）Ｃ
図１のような直方体がたくさんあります。この直方体を、図２のような容器にすき間なく入れていきます。たとえば、容器の高さが１ｃｍのとき、図１の直方体の入れ方は、図３のように２通りあります。このとき、次の問に答えなさい。
（１）容器の高さが２ｃｍのとき、直方体の入れ方は何通りありますか。
（２）容器の高さが３ｃｍのとき、直方体の入れ方は何通りありますか。
立体図形や組み合わせの問題もイメージしやすいアニメーション解説が豊富です！
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