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2010年8月

2010年8月31日 (火)

水深の変化(中学受験算数 立体図形)

底面積の比が手がかりになる定番問題。

図1のような直方体の形をした水そうに、深さ9cmまで水が入っています。この水そうに、図2のような鉄で作った角柱を、底面が水そうの底につくまで入れます。このとき、水の深さは何cmになりますか。

8311

「角柱を入れる前の底面積は16×10=160c㎡、

角柱を入れると16×10ー5×8=120c㎡

前:後=160:120=4:3」

だから?

「水の量は変わらないので、

深さは底面積が少なくなった分、高くなるから、

9cm×4/3=12cm」

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脳を鍛える 中学受験問題に挑戦!

2010年8月30日 (月)

原価は?(中学受験算数 売買損益)

原価と定価の区別をしっかりと・・・

原価の3割り増しの定価をつけましたが、990円値引きして売ったので利益は原価の12%になりました。原価はいくらですか。

3割り増し、990円、12%のうち同じ仲間は?

「3割り増しは30%だから12%と同じ仲間で、

30%-12%=18%が990円ていうこと」

0.18が990円に当たるから、1は?

990円÷0.18=5500円

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脳を鍛える 中学受験問題に挑戦!

2010年8月28日 (土)

第10回算数オリンピック トライアル問題

夏休みも終わります。昨年の今頃、難問に挑戦してみました。

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2010年8月27日 (金)

どう分ける?(中学受験算数 面積分割)

どこに補助線を引いて、面積をどう分けるか?三角定規を思い出すといいですね。

半径6cmの円があり、円周が12等分されています。斜線部分の面積は何c㎡ですか。

8271

↓こんな風に分割できた?

ヒント

こたえ 

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2010年8月26日 (木)

並び方は何通り?(中学受験算数 数える問)

小学生の場合、書きながら数えていった方が確実な問題もあります。

○、×、△3種類の記号を、横に並んだ6つの□の中に書き入れるのに、となりの□には同じ記号を入れないことにします。下の図の、空白の□の中に記号を入れる入れ方は、それぞれ何通りありますか。

8261

「(1)の△と△の間は○×か×○の2通り」

右側の□2つは?

「○×、○△、×○、×△の4通りだから、2×4で8通り」

(2)の○と○の間は2通りだね。

「右側は△○、×○、×△の3通りだから2×3で6通り」

(3)の左四角は2通り。

「右側の□3つは、○×△、○×○、○△○、△○△、△×△、△×○の6通りだから2×6で12通り」

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2010年8月25日 (水)

正方形は何種類?(中学受験算数 場合の数)

図のようにたて、横1cmおきに、25個の点が規則正しく並んでいます。これらの点から4つ選んで、その点を頂点とする正方形をつくると、大きさのちがう正方形が何種類もできます。次の問いに答えなさい。ただし、選んだ点を結んだ直線の上に他の点があってもよいものとします。
(1)何種類の正方形ができますか。
(2)全部で何個の正方形ができますか。

8252

注意深く数えても間違いやすい。

特に個数は・・・

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2010年8月24日 (火)

ある数っていくつ?(中学受験算数 線分図)

問題を解く上で線分図は強力な道具になりますね。

4を加えると7の倍数になり、3を引くと10の倍数になるような2けたの数を求めなさい。

8241

こんな線分図が描ければ、見ただけでわかる。

「7の倍数から7を引いても7の倍数だ」

つまり、10の倍数部分は7の倍数でもあるわけ。

7と10の公倍数で2けたの数は?

「70だけ」

ある数は?

「70+3=73」

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2010年8月23日 (月)

同じ面積の移動(筑波大学附属中学 2008年算数入試問題)

同じ面積部分を移動すると、驚くほど計算しやすい図形ができあがるのですが・・・

一辺が12cmの正方形に同じ円を図のように書き入れました。黄色部分の面積は何c㎡ですか。円周率は3.14とします。

8231

どこをどこに移動する?

ヒント 

こたえ

「円周率なんて使わないじゃん!」

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2010年8月21日 (土)

面積の工夫(中学受験算数 3.14)

3.14の計算で時間がかかると、後の問題を解く時間が足りなくなってしまうことに・・・

斜線部分の面積を求めなさい。

8212

↓こう考えて・・・

(半円×2+まん中の正方形)-まん中の円

8213

8211

3×3×3.14=28.26を出して・・・

36+28.26=64.26を計算したみたいだけど、

答えは合っているけど、時間をかけちゃったね。

↓こうなるから

「正方形の面積でいいのか・・・」

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2010年8月20日 (金)

比で解く面積(中学受験算数 平面図形)

単位の世界は表の世界、比の世界は裏の世界、みたいなゲーム感覚でイメージしました。

8202

「AC:BC=108:45(表の世界)=12:5(裏の世界)」

△ABCと△DBEが相似なのでDE:BEも12:5だね。

「DE→12だとDF=EC=12×1/3=4」

BEが5でECが4ならBCは5+4=9

「裏の(比の)世界で9は表の(単位の)世界で45cmだから、ECの4は表の世界で4/9×45cm=20cm」

DEは裏の世界で12だから・・・

「表の世界で12/4×20cm=60cm、

長方形の面積は20cm×60cm=1200c㎡」

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2010年8月19日 (木)

平均点(中学受験算数 和と差)

平均算も面積図で表せますね。

A,B,C,D,E5人の平均点よりC,D,E3人の平均点の方が10点高く,AとBの点数の和は1 2 0 点です。このとき,5人の平均点は何点ですか。

図で表すと↓こうなるけど・・・

8191

赤四角が5人の平均点。

「AとBの平均点がなぜ5人の平均点より低くなるってわかる?」

C、D、Eの平均点が5人の平均点より高いから。

「黄色部分は3人×10点=30点」

そう、それが緑に入って平均化する。

「緑部分も30点か」

そう、1人分は15点。

「120÷2+15=75点」

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2010年8月18日 (水)

大きいほうの体積は?(早稲田中学 2009年算数問題)

切り口の形、相似比、三角すいの体積などみんな基本がわかっていないと解けない問題・・・

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2010年8月16日 (月)

直角三角形じゃなくても(中学受験算数 東大寺学園2008年算数入試問題)

直角三角形かどうか気になるのですが・・・

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2010年8月15日 (日)

交わらない1組(第11回算数オリンピック ファイナル問題より)

夏休み、算数オリンピックの問題にも挑戦してみました。

図は一つの6面体です。辺ABと辺DCはどの頂点も接することはありません。このようなABとDCを「交わらない一組」と考えたとき、この6面体にはABとDCの交わらない一組を含めて全部で何組「交わらない一組」がありますか。

8152

辺ABについて考えてみると、Aでは他の辺といくつ交わっている?

「3つ」

Bでは?

「やっぱり3つ」

合計6つの辺と交わっているね。6面体の辺の数は全部で?

「9つ」

すると、ABに交わらない辺は自分自身を除くといくつ?

「9-1-6=2つ」

AB、BC、CAはみんな2つずつ!ではDAは?

「9-1-5=3つ」

DA、DB、DC、EA、EB、ECはみんな3つずつ。

「2×3+3×6=24の交わらない組があるけど・・・?」

そう、みんな2回ずつ数えているから・・・

「24÷2=12組」

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2010年8月14日 (土)

60゜をさがせ!(中学受験算数 三角定規)

三角定規を利用した問題が多いので、そ特徴をよくつかんでおきたいもの・・・

8141

図の斜線部分の面積を求めなさい。ただし、おうぎ形OABは半径18cm、中心角1 5 0 度で、円周率は3.14とします。

「三角定規なんかどこに使うの?」

↓ここ!

8142

「30゜、60゜、90゜の三角定規が2つで正三角形ができる」

ACはAOの半分で9cm

「三角形ABOの面積は18×9÷2=81c㎡」

あとは中心角150゜のおうぎ形から引けばいいね。

「18×18×3.14×150/360ー81=342.9c㎡」

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2010年8月13日 (金)

トマトとレタス(中学受験算数 トマトにする問)

どちらか1種類にしちゃえばいいのですが、なかなかそこに気づかない・・・

トマトはレタスより80円高く、トマト5個とレタス6個で1390円です。このとき、トマト1個は何円ですか。

レタス6個がトマト6個だったら?

「6個×80円=480円高くなる」

1390円+480円=1870円

「これがトマト5個+6個=11個分の値段になる」

1870円÷11個=170円

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2010年8月12日 (木)

深さを同じに(中学受験算数 立体図形)

容器ごとに考えてしまいがちですが、発想を変えてみると・・・

内のりが図のような深さの等しい2つの容器A,Bがあって,A,Bにはそれぞれ深さ10cm,4cmまで水が入っています。Aの水の一部をBに移して,深さを同じにしたいと思います。水の深さは何cmになりますか。

8121

「底面積の比が8×12:6×8=96:48=2:1だから、高さの比がが逆比で1:2になって・・・」

それでもいいけどね。

「全体の体積をA:B=2:1に分けて、それぞれ底面積で割ればいいのかな?」

全体の体積は?

「8×12×10+6×8×4=1152立方cm」

A:B=2:1=768:384

「768÷96=8cm、384÷48=8cm」

底面積がA+Bの容器にこの水全部を入れたときの高さ、って考えてもいい。

「1152÷(96+48)=8cmか」

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2010年8月 9日 (月)

支払い方は?(中学受験算数 場合の数)

面倒くさがらずに、まず書き出してみる習慣を!

230円を、10円玉、50円玉、100円玉で支払うのに、何通りの方法がありますか。ただし、使わないものがあってもよいものとします。

100円玉、50円玉、10円玉の順番で、多い順に調べていくともれがない。

「100円玉が2個のときは・・・」

100円玉、50円玉、10円玉

2      0     3・・・・・1通り

「100円玉が1個のときは・・・」

100円玉、50円玉、10円玉

1      2     3

1      1     8

1      0     13・・・・・3通り

「100円玉なしのときは・・・」

100円玉、50円玉、10円玉

0      4     3

0      3     8

0      2     13

0      1     18

0      0     23・・・・・5通り

「1+3+5=9通り」

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2010年8月 7日 (土)

距離の単位がない(中学受験算数 単位がない問)

道のりの単位がなく、比で考えて解く、イメージのつかみにくい問題でした。

Aが5分で行く距離をBは7分で行きます。Bが出発して15分後にAが追いかけるとAはBに何分で追いつきますか。

「追いかける旅人算だけど、15分てどれだけの距離かな?」

同じ距離をAは5分、Bは7分だから、

871

「AとBの速さの比は逆比になって⑦:⑤」

Bが15分で進んだ距離は?

「速さ×時間で⑤×15分=75だけど、この75ってm?」

単位を考えなくても解ける。

「追いつく旅人算なら75÷(⑦-⑤)=37.5分」

それで正解!

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2010年8月 6日 (金)

改札口を2つにすると?(中学受験算数 ニュートン算だ問)

処理をしている間にも人数が増えていくというような、慣れないとなかなかイメージのつかみにくいニュートン算です。

ある駅で改札を始めたとき360人の行列があり、毎分1人の割合で増えるものとします。改札口が1つのときは90分で行列がなくなるものとすると、改札口を2つにすると何分で行列はなくなりますか。

改札口1つで何人の人を処理した?

「最初の360人と90分間で増えた90人だから450人」

1分間では何人処理したかな?

「450÷90=5人」

改札口が2つなら?

「5×2=10人だから、360人なら360÷10=36分」

↑ってやると間違う!

改札口2つで10人処理している1分間に1人また並ぶから、実際に1分間で処理できるのは10-1=9人ということ。

「360÷9=40分か」

この感覚が難しいね!

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2010年8月 4日 (水)

(1)の結果を使う(2)(中学受験算数 点の移動)

設問がいくつかあるときは、だいたい前の解答を使って次の問題を解いていくケースが多いですね。

814   

△ABPが最大になるのが108c㎡。

「PがCにきたときだ」

815

BからCまで9秒だから底辺の長さは?

「2×9=18cm」

三角形の高さは?

「108×2÷18=12cm」

(2)はこの12cmを使って解くわけ。

「アのときPはここ↓」

816

面積は48c㎡、高さは12cmの三角形。底辺は?

「48×2÷12=8cm」

秒速2cmだから8cmなら4秒。

「ア=21-4=17」

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2010年8月 3日 (火)

○○番目にくる数字は?(中学受験算数 規則性)

2桁の数がいくつあるのか、最初に頭に入れておくと考えやすいかも・・・

整数の2桁以上を切りはなし、12345678910111213・・・・と並べると163番目にくる数字はいくつですか。

「163番目って2桁かな、3桁かな?」

2桁の最初は?

「10」

最後は?

「99」

全部でいくつ?

「99-9=90個で、90×2=180だから163は2桁だ」

1桁の数が9個

「163-9=154個が2桁の数だから、2で割って2桁の77個目。9+77=86だ」

163番目が問題の聞いている数だから?

「6」

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2010年8月 1日 (日)

食塩の濃度は?(中学受験算数 塩辛い問)

水の濃度と食塩の濃度、最初どう考えていいのかわからなかったのですが・・・

12%の食塩水150gに何gの食塩を加えると20%の食塩水になりますか?

水は濃度何%?

「食塩が入っていないから0%」

では食塩は?

「?????」

100%って考えるの。

「水のない食塩水なんて考えられない!」

てんびん図はこうなる。

811

(20-12):(100-20)=8:80=1:10

150×1=10×?

?=150÷10=15g

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