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底面積の比が手がかりになる定番問題。
図１のような直方体の形をした水そうに、深さ９ｃｍまで水が入っています。この水そうに、図２のような鉄で作った角柱を、底面が水そうの底につくまで入れます。このとき、水の深さは何ｃｍになりますか。
「角柱を入れる前の底面積は１６×１０＝１６０ｃ㎡、
角柱を入れると１６×１０ー５×８＝１２０ｃ㎡
前：後＝１６０：１２０＝４：３」
だから？
「水の量は変わらないので、
深さは底面積が少なくなった分、高くなるから、
９ｃｍ×４/３＝１２ｃｍ」
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原価と定価の区別をしっかりと・・・
原価の３割り増しの定価をつけましたが、９９０円値引きして売ったので利益は原価の１２％になりました。原価はいくらですか。
３割り増し、９９０円、１２％のうち同じ仲間は？
「３割り増しは３０％だから１２％と同じ仲間で、
３０％－１２％＝１８％が９９０円ていうこと」
０．１８が９９０円に当たるから、１は？
９９０円÷０．１８＝５５００円
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夏休みも終わります。昨年の今頃、難問に挑戦してみました。
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どこに補助線を引いて、面積をどう分けるか？三角定規を思い出すといいですね。
半径６ｃｍの円があり、円周が１２等分されています。斜線部分の面積は何ｃ㎡ですか。
↓こんな風に分割できた？
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小学生の場合、書きながら数えていった方が確実な問題もあります。
○、×、△３種類の記号を、横に並んだ６つの□の中に書き入れるのに、となりの□には同じ記号を入れないことにします。下の図の、空白の□の中に記号を入れる入れ方は、それぞれ何通りありますか。
「（１）の△と△の間は○×か×○の２通り」
右側の□２つは？
「○×、○△、×○、×△の４通りだから、２×４で８通り」
（２）の○と○の間は２通りだね。
「右側は△○、×○、×△の３通りだから２×３で６通り」
（３）の左四角は２通り。
「右側の□３つは、○×△、○×○、○△○、△○△、△×△、△×○の６通りだから２×６で１２通り」
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図のようにたて、横１ｃｍおきに、25個の点が規則正しく並んでいます。これらの点から４つ選んで、その点を頂点とする正方形をつくると、大きさのちがう正方形が何種類もできます。次の問いに答えなさい。ただし、選んだ点を結んだ直線の上に他の点があってもよいものとします。
（１）何種類の正方形ができますか。
（２）全部で何個の正方形ができますか。
注意深く数えても間違いやすい。
特に個数は・・・
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問題を解く上で線分図は強力な道具になりますね。
４を加えると７の倍数になり、３を引くと１０の倍数になるような２けたの数を求めなさい。
こんな線分図が描ければ、見ただけでわかる。
「７の倍数から７を引いても７の倍数だ」
つまり、１０の倍数部分は７の倍数でもあるわけ。
７と１０の公倍数で２けたの数は？
「７０だけ」
ある数は？
「７０＋３＝７３」
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同じ面積部分を移動すると、驚くほど計算しやすい図形ができあがるのですが・・・
一辺が１２ｃｍの正方形に同じ円を図のように書き入れました。黄色部分の面積は何ｃ㎡ですか。円周率は３．１４とします。
どこをどこに移動する？
「円周率なんて使わないじゃん！」
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３．１４の計算で時間がかかると、後の問題を解く時間が足りなくなってしまうことに・・・
斜線部分の面積を求めなさい。
↓こう考えて・・・
（半円×２＋まん中の正方形）－まん中の円
３×３×３．１４＝２８．２６を出して・・・
３６＋２８．２６＝６４．２６を計算したみたいだけど、
答えは合っているけど、時間をかけちゃったね。
↓こうなるから
「正方形の面積でいいのか・・・」
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単位の世界は表の世界、比の世界は裏の世界、みたいなゲーム感覚でイメージしました。
「AC:BC＝１０８：４５（表の世界）＝１２：５（裏の世界）」
△ABCと△DBEが相似なのでDE:BEも１２：５だね。
「DE→１２だとDF=EC=１２×１/３＝４」
BEが５でECが４ならBCは５＋４＝９
「裏の（比の）世界で９は表の（単位の）世界で４５ｃｍだから、ECの４は表の世界で４/９×４５ｃｍ＝２０ｃｍ」
DEは裏の世界で１２だから・・・
「表の世界で１２/４×２０ｃｍ＝６０ｃｍ、
長方形の面積は２０ｃｍ×６０ｃｍ＝１２００ｃ㎡」
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平均算も面積図で表せますね。
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ５人の平均点よりＣ，Ｄ，Ｅ３人の平均点の方が10点高く，ＡとＢの点数の和は1 2 0 点です。このとき，５人の平均点は何点ですか。
図で表すと↓こうなるけど・・・
赤四角が５人の平均点。
「AとBの平均点がなぜ５人の平均点より低くなるってわかる？」
C、D、Eの平均点が５人の平均点より高いから。
「黄色部分は３人×１０点＝３０点」
そう、それが緑に入って平均化する。
「緑部分も３０点か」
そう、１人分は１５点。
「１２０÷２＋１５＝７５点」
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切り口の形、相似比、三角すいの体積などみんな基本がわかっていないと解けない問題・・・
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直角三角形かどうか気になるのですが・・・
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夏休み、算数オリンピックの問題にも挑戦してみました。
図は一つの６面体です。辺ABと辺DCはどの頂点も接することはありません。このようなABとDCを「交わらない一組」と考えたとき、この６面体にはABとDCの交わらない一組を含めて全部で何組「交わらない一組」がありますか。
辺ABについて考えてみると、Aでは他の辺といくつ交わっている？
「３つ」
Bでは？
「やっぱり３つ」
合計６つの辺と交わっているね。６面体の辺の数は全部で？
「９つ」
すると、ABに交わらない辺は自分自身を除くといくつ？
「９－１－６＝２つ」
AB、BC、CAはみんな２つずつ！ではDAは？
「９－１－５＝３つ」
DA、DB、DC、EA、EB、ECはみんな３つずつ。
「２×３＋３×６＝２４の交わらない組があるけど・・・？」
そう、みんな２回ずつ数えているから・・・
「２４÷２＝１２組」
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三角定規を利用した問題が多いので、そ特徴をよくつかんでおきたいもの・・・
図の斜線部分の面積を求めなさい。ただし、おうぎ形ＯＡBは半径18ｃｍ、中心角1 5 0 度で、円周率は3.14とします｡
「三角定規なんかどこに使うの？」
↓ここ！
「３０゜、６０゜、９０゜の三角定規が２つで正三角形ができる」
ACはAOの半分で９ｃｍ
「三角形ABOの面積は１８×９÷２＝８１ｃ㎡」
あとは中心角１５０゜のおうぎ形から引けばいいね。
「１８×１８×３．１４×１５０/３６０ー８１＝３４２．９ｃ㎡」
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どちらか１種類にしちゃえばいいのですが、なかなかそこに気づかない・・・
トマトはレタスより８０円高く、トマト５個とレタス６個で１３９０円です。このとき、トマト１個は何円ですか。
レタス６個がトマト６個だったら？
「６個×８０円＝４８０円高くなる」
１３９０円＋４８０円＝１８７０円
「これがトマト５個＋６個＝１１個分の値段になる」
１８７０円÷１１個＝１７０円
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容器ごとに考えてしまいがちですが、発想を変えてみると・・・
内のりが図のような深さの等しい２つの容器Ａ，Ｂがあって，Ａ，Ｂにはそれぞれ深さ10cm，4cmまで水が入っています。Ａの水の一部をＢに移して，深さを同じにしたいと思います。水の深さは何ｃｍになりますか。
「底面積の比が８×１２：６×８＝９６：４８＝２：１だから、高さの比がが逆比で１：２になって・・・」
それでもいいけどね。
「全体の体積をA：B＝２：１に分けて、それぞれ底面積で割ればいいのかな？」
全体の体積は？
「８×１２×１０＋６×８×４＝１１５２立方ｃｍ」
A：B＝２：１＝７６８：３８４
「７６８÷９６＝８ｃｍ、３８４÷４８＝８ｃｍ」
底面積がA＋Bの容器にこの水全部を入れたときの高さ、って考えてもいい。
「１１５２÷（９６＋４８）＝８ｃｍか」
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面倒くさがらずに、まず書き出してみる習慣を！
２３０円を、１０円玉、５０円玉、１００円玉で支払うのに、何通りの方法がありますか。ただし、使わないものがあってもよいものとします。
１００円玉、５０円玉、１０円玉の順番で、多い順に調べていくともれがない。
「１００円玉が２個のときは・・・」
１００円玉、５０円玉、１０円玉
２ ０ ３・・・・・１通り
「１００円玉が１個のときは・・・」
１００円玉、５０円玉、１０円玉
１ ２ ３
１ １ ８
１ ０ １３・・・・・３通り
「１００円玉なしのときは・・・」
１００円玉、５０円玉、１０円玉
０ ４ ３
０ ３ ８
０ ２ １３
０ １ １８
０ ０ ２３・・・・・５通り
「１＋３＋５＝９通り」
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道のりの単位がなく、比で考えて解く、イメージのつかみにくい問題でした。
Aが５分で行く距離をBは７分で行きます。Bが出発して１５分後にAが追いかけるとAはBに何分で追いつきますか。
「追いかける旅人算だけど、１５分てどれだけの距離かな？」
同じ距離をAは５分、Bは７分だから、
「AとBの速さの比は逆比になって⑦：⑤」
Bが１５分で進んだ距離は？
「速さ×時間で⑤×１５分＝７５だけど、この７５ってｍ？」
単位を考えなくても解ける。
「追いつく旅人算なら７５÷（⑦－⑤）＝３７．５分」
それで正解！
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処理をしている間にも人数が増えていくというような、慣れないとなかなかイメージのつかみにくいニュートン算です。
ある駅で改札を始めたとき３６０人の行列があり、毎分１人の割合で増えるものとします。改札口が１つのときは９０分で行列がなくなるものとすると、改札口を２つにすると何分で行列はなくなりますか。
改札口１つで何人の人を処理した？
「最初の３６０人と９０分間で増えた９０人だから４５０人」
１分間では何人処理したかな？
「４５０÷９０＝５人」
改札口が２つなら？
「５×２＝１０人だから、３６０人なら３６０÷１０＝３６分」
↑ってやると間違う！
改札口２つで１０人処理している１分間に１人また並ぶから、実際に１分間で処理できるのは１０－１＝９人ということ。
「３６０÷９＝４０分か」
この感覚が難しいね！
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設問がいくつかあるときは、だいたい前の解答を使って次の問題を解いていくケースが多いですね。
△ABPが最大になるのが１０８ｃ㎡。
「PがCにきたときだ」
BからCまで９秒だから底辺の長さは？
「２×９＝１８ｃｍ」
三角形の高さは？
「１０８×２÷１８＝１２ｃｍ」
（２）はこの１２ｃｍを使って解くわけ。
「アのときPはここ↓」
面積は４８ｃ㎡、高さは１２ｃｍの三角形。底辺は？
「４８×２÷１２＝８ｃｍ」
秒速２ｃｍだから８ｃｍなら４秒。
「ア＝２１－４＝１７」
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２桁の数がいくつあるのか、最初に頭に入れておくと考えやすいかも・・・
整数の２桁以上を切りはなし、１２３４５６７８９１０１１１２１３・・・・と並べると１６３番目にくる数字はいくつですか。
「１６３番目って２桁かな、３桁かな？」
２桁の最初は？
「１０」
最後は？
「９９」
全部でいくつ？
「９９－９＝９０個で、９０×２＝１８０だから１６３は２桁だ」
１桁の数が９個
「１６３－９＝１５４個が２桁の数だから、２で割って２桁の７７個目。９＋７７＝８６だ」
１６３番目が問題の聞いている数だから？
「６」
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水の濃度と食塩の濃度、最初どう考えていいのかわからなかったのですが・・・
１２％の食塩水１５０ｇに何ｇの食塩を加えると２０％の食塩水になりますか？
水は濃度何％？
「食塩が入っていないから０％」
では食塩は？
「？？？？？」
１００％って考えるの。
「水のない食塩水なんて考えられない！」
てんびん図はこうなる。
（２０－１２）：（１００－２０）＝８：８０＝１：１０
１５０×１＝１０×？
？＝１５０÷１０＝１５ｇ
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