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2010年9月

ちょっと複雑な通過算(中学受験算数 速さ)

時速90kmの急行列車が、ある駅のブラットホームを25秒で通過していきました。 そのあと、時速108kmの特急列車がこのプラットホームを30秒で通過し、先の急行列車の後ろのはしに追いついてから、追いぬいてはなれるまでに1 0 5秒かかりました。急行列車、特急列車、プラットホームの長さは、それぞれ何mですか。

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角度は何度?(中学受験算数 平面図形)

5分考えても解けないようでしたら、クリックしてみてください。

図の正方形ABCDにおいて、角アは何度ですか?

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三角形は何個?(中学受験算数 場合の数)

図のように2本の直線上に5個の点があります。そのうちの3点を頂点とする三角形は何個ありますか。

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比と比の比較(中学受験算数 割合と比)

兄と弟の、もらったおこづかいの比は、6:5でした。そのうち使った金額の比は、3:1でしたが、2人とも1800円残りました。2人のもらったおこづかいは、それぞれ何円ずつでしたか。

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色がぬられた立方体の個数(中学受験算数 立体図形)

図は一辺が1cmの白い立方体35個を積み重ねた様子をかいたものです。太郎君は、この立方体の山の底を除くすべての表面に色をぬりました。次の問いに答えなさい。

(1)色をぬった面積は何c㎡ですか。

(2)この35個の立方体のうち、

① 4つの面だけが色のぬられている立方体は何個ありますか。
② 1つの面だけが色のぬられている立方体は何個ありますか。
③ どの面にも色がぬられていない立方体は何個ありますか。

9241

この形、前後、左右、上下みな同じ形に見えるね。

「↓こんな形」

9243

山の底には色がぬられていないから、見える方向は?

「前後、左右と上からで5つ

(1+2+3+4+5)×5=75c㎡」

(2)は1段ずつ調べていくといい。

9244

「①→2+2+2+2=8個

②→6+4+2=12個

③→3+1=4個」

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どちらがどれだけ大きい?(麻布中学 2010年算数入試問題)

1辺の長さが1cmの黄と白の正方形が図のようにしきつめられています。このとき,太線で示された(1)から(3)の各図形の中の,黄の部分の面積と白の部分の面積はどちらがどれだけ大きいですか。

9231

(1)△ABC内には相似の直角三角形が4つ見つかります。

9232

△赤は底辺が1/4ですから面積は1/4×1÷2=1/8

黄→(2/4×2÷2)-1/8=3/8

緑→(3/4×3÷2)-(1/8+3/8)=5/8

青→(4/4×4÷2)-(1/8+3/8+5/8)=7/8

面積比は赤:黄:緑:青=1:3:5:7

△ABCの黄部分=7+3=10

△ABCの白部分=5+1=6

(10-6)×1/8=4/8=1/2=0.5c㎡黄色部分が大きくなります。

(2)は同数です。

9233

(3)は(1)と(2)の結果を利用します。

9234_2 

全体が同数ですから、(2)の同数の水色部分を引いても残り部分は同数です。

青部分は黄色が0.5c㎡大きいので、残りは白部分が0.5c㎡大きくなります。

そこから(1)の白部分が0.5c㎡大きい赤い直角三角形2つを引くと、残りは黒部分が0.5c㎡大きくなります。

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高さは何cm?(中学受験算数 平面図形)

図のような直角三角形ABCにおいて、辺をBCを底辺としたときの高さAHは何cmですか。

9221

「△ABCと△AHCは相似、

△ABCと△ABHも相似

だから△AHCと△ABHも相似になる」

みんな相似だね。

「だけど、△ABCは斜辺、△ABHは短い辺、△AHCは長い辺の長さしかわからないから、比にならない」

ここでワザを使う!

「どんな?」

△ABHとAHCは相似だから、BH:AH=AH:CH

つまり、AH×AH=BH×CH=9cm×16cm

「おお!AH×AH=144cmでAH=12cmか」

そう。

「だけどAH×AHが120cmとかだったら?」

小学生ではそんな問題でないでしょ。

「ほんとかな?」

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2つの多角形の形は?(早稲田中学 2010年 算数入試問題)

下の図のように半径2cmの円を10個並べ、円の中心を結んだところ、1辺の長さが4cmの多角形が2つできました。斜線を引いたおうぎ形の面積の和と、斜線を引いていないおうぎ形の面積の和との差は何c㎡ですか。

9211

2つの多角形、よく注意してみると、五角形と六角形ですよね。

五角形の内角の和→540゜

六角形の内角の和→720゜

斜線部分の中心角の和→540゜+720゜=1260゜

白部分の中心角の和→360゜×10-1260゜=2340゜

中心角の差→2340゜-1260゜=1080゜

面積差→2×2×3.14×1080/360=37.68c㎡

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横になっていても・・・(中学受験算数 平面図形)

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面積は?(中学受験算数 平面図形)

斜線部分の面積を求めなさい。円の半径は6cm。円周は等しい間隔で分割されています。

9191

「↓こんな風に分けて・・・」

9192

中心角120度の扇形と直角二等辺三角形ともうひとつ二等辺三角形があるね。

「この三角形、底辺は6cmだけど高さがわからない」

どこかに三角定規が隠れてる。

「ここか!」

そう、正三角形の半分!

「高さは半径の半分で3cmだ」

全部たして、

「6×6×3.14×1/3+6×6÷2+6×3÷2=64.68c㎡」

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速さと道のり(開成中学 2006年算数入試問題)

さとし君の家から上り坂を上ったところに図書館があります。さとし君はこの坂を,上りは分速50mで,下りは分速75mで歩きます。坂の途中には郵便局があり,そこから90m坂を上ったところには中学校があります。

9172

ある日,さとし君は家から図書館に向かいましたが,郵便局まで来たところで忘れ物をしたことに気づき,すぐに家に引き返して忘れ物をとり,すぐに図書館に向かいました。そのため,図書館に着くまでに,予定の時間の2.1倍かかってしまいました。そしてその日の帰り道,中学校まで来たところで,さとし君は忘れ物をしたことに気づき,すぐに図書館に引き返して忘れ物をとって,すぐに家に向かいましたが,家に着くまでに,予定の時間の1.7倍かかってしまいました。さとし君の家と図書館の間の道のりは何mですか。また,さとし君の家と郵便局の間の道のりは何mですか。

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正三角形の移動(中学受験算数 図形の移動)

図のように、縦12cm、横30cmの長方形の中に1辺が6cmの正三角形ABCがあります。この正三角形が長方形の辺上をアの位置からイの位置まですべらずにころがっていきます。このとき、正三角形の頂点Aが動いたあとの長さを求めなさい。

「右側の辺のあたりがわかりにくいけど・・・」

では三角形をころがしてみて!

「120゜が3つと30゜が1つだから390゜だ、

Aの軌跡は

6×2×3.14×390/360=40.82cm」

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移し変えた食塩水の濃度(天びん図の使い方)

15%の食塩水Aが400g と6%の食塩水Bが500g あります。いま、Bから200gだけ取り出してAへ移し、よくかき混ぜてから、AからBへ200gだけ移しました。このとき、Aの食塩水の濃さ、Bの食塩水の濃さはそれぞれ何%になりますか。

最初の天びん図は?

「15%のA食塩水400gと6%のB食塩水200gを混ぜる」

9151

どこでつりあう?

「重さの比がA:B=2:1だから、長さは逆比の1:2のとこ」

9152

(15-6)をA:B=1:2で分けるので、つりあうところは、

「9を3つに分けて6+3×2=12%

つぎの天びん図は?

「12%のA食塩水200gと6%のB食塩水300gを混ぜる」

9153

こんどはどこでつりあう?

「重さの比がA:B=2:3だから、長さは逆比の3:2のとこ」

9154

(12-6)をA:B=3:2で分けるので、つりあうところは、

「6を5つに分けて6+1.2×2=8.4%

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比が異なるとき(中学受験算数 割合と比)

甲の袋と乙の袋に白い玉と黒い玉が混ぜて入れてあります。甲、乙の袋の中にある玉全体の数の比は8:3で、白い玉と黒い玉の数の比は、甲では1:3で、乙では4:5です。そして、甲、乙の玉をあわせた全体では白い玉は黒い玉より156個だけ少なくなります。甲の袋に入っている玉の個数はいくらですか。

表にまとめてみると・・・

9141_2

どう比をそろえるか?

4+5=9が3に当たるから8は×8/3=24

241:3に分けると・・・

6:18

9142_2 

●(18+)-○(6+4)=13が156個に当たるから、

に当たるのは156÷13=12個」

甲はいくつ?

「12×(6+18)=288個

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正五角形の角度(筑波大学附属中学 2007年算数入試問題)

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どの相似を使う?(中学受験算数 平面図形)

図のように、Bから辺ACに垂直に直線BH1を引き、さらにH1から辺BCに垂直に直線H1H2を引きました。このとき、三角形H1H2Cの面積を求めなさい。

9121_2 

「どの直角三角形とっても△ABCと相似だ」

角度が全部同じになるね。辺の比は?

「75で割ると・・・、3:4:5」

9123

H1H2の長さを⑫にしてみると・・・

「BH2が⑨でCH2が⑯になる」

△黄の面積は?

300×16/25×300×12/25×1/2

=13824c㎡

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連続して○がつく数(中学受験算数 数の性質)

1から350までの整数が一列にならんでいます。はじめに,3の倍数を○で囲みました。次に,残った数の中で7の倍数を○で囲みました。
このとき,1,2,…,⑥,⑦,……のように,2つ連続して○で囲まれている数の組は全部で何組ありますか。

問題を解くキーは何だと思う?

「最小公倍数」

そう、では3と7の最小公倍数は?

「21」

この21が1×21、2×21、3×21・・・・・のように、くり返し出てくるって考えればわかりやすいかも・・・

「1~21だけ調べればいいわけか」

9111

「⑥⑦と⑭⑮の2組ある」

350まで21の周期はいくつ?

「350÷21=16・・・14だから、2組×16=32組と残り14までの1組で32+1=33組」

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色のついた玉を取り出す

赤玉4個,白玉5個,青玉2個があります。これから3個取り出して一列に並べる方法は何通りありますか。

「最初は赤か白か青で3通り、2番目も3通り、3番目は青が2個だから2通りで3×3×2=18通り」

って、やると間違い!

「パターンを考えてみると・・・」

3個取り出してできない組み合わせがある。

「青青青か」

そう、その1通りだけができない。

「つまり、3×3×3-1=26通り」

パターンから先に考える習慣を!

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井戸とポンプ(中学受験算数 ニュートン算)

いつも一定の水がわき出る井戸があります。この井戸の水がえをするのに1台のポンプでくみ出すと、40分たったとき、水がなくなります。また、ポンプ2台にすると、15分たったとき、水がなくなります。ポンプを4台にすると何分何秒で水がなくなりますか。

982

はじめの水の量を、40分と15分の最小公倍数120と考えたわけだ。

「ポンプ1台なら1分間に③くみ出し、2台なら1分間で⑧くみ出す」

⑧-③=⑤は?

「1台のポンプが1分間にくみ出す量」

でも実際は1台のポンプで1分間に③くみ出したわけだから、

「⑤-③=②がわき出る水量」

4台なら⑤×4=⑳、1分間にくみ出せるね。

「でも②わき出るから、⑳ー②=⑱が減っていく水量」

120÷⑱=6と2/3

「6分40秒」

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A地~B地(中学受験算数 グラフと速さ)

太郎君とよし子さんは、同時にA地を出発して、B地に向かいました。よし子さんは、はじめ時速4kmで歩き、途中から時速60kmのタクシーに乗りました。太郎君は時速20kmの自転車で行さました。B地へは、よし子さんが太郎君より10分早く着きました。グラフはそのときの様子を表したものです。次の問いに答えなさい。
(1)よし子さんは,A地を出発してから何分後にタクシーに乗りましたか。
(2)太郎君がよし子さんに追いぬかれるのはA地から何kmのところですか。
(3)A地からB地までは何kmありますか。

971_2 

(1)3kmまで歩いたわけだから、

「3÷4=3/4時間で45分」

(2)よし子さんがタクシーに乗ったとき、太郎君はどれだけ進んでた?

「20×3/4=15kmで、よし子さんとの差は15-3=12km」

追い抜かれるまでの時間は?

「12÷(60-20)=3/10時間」

太郎君は3/4+3/10=21/20時間進んだわけだから、

「20×21/20=21km」

(3)タクシーと自転車の速さの比は60:20=3:1

「かかる時間の比は逆比で1:3」

追い抜いたところから、この差3-1=2が10分になったわけだから、

「タクシーの1は5分に当たる。進んだ距離は60×5/60=5kmで、AB間は21+5=26km」

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規則的な数字の並び方(中学受験算数 規則性)

どんな規則?

下の表のように整数1,2,3,4‥‥‥‥を並べていきます。左からa番目,上からb番目にある数を(a,b)の記号で表すとき,次の問いに答えなさい。

961

(1)(1,15)はどんな数ですか。

(2)(17,1)はどんな数ですか。

(3)(3,17)はどんな数ですか。

「(1)はいちばん左側で15番目」

いちばん左側は上からどんな規則で並んでる?

「1×1、2×2、3×3、4×4、・・・・」

15番目は?

「15×15=225」

(2)は左から17番目のいちばん上

「(1,16)の次の数だから・・・」

つまり、

「16×16+1=257」

(3)は左から3番目で上から17番目

「(1,17)ならわかりやすいんだけど・・・」

その2つ前じゃないの?

「そうか、17×17-2=287だ」

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立体の表面積(中学受験算数 ややこしい問)

計算も工夫して、整理して、順序よく・・・

図の立体の表面積を求めなさい。

951

外側部分と内側部分に分けて考えられないかな?

「外側部分の1面は↓こうだから、

952

30×30-20×20=500c㎡」

それが6面、

「500×6=3000c㎡」

内側部分は1つが↓こう

953

「5×20=100c㎡」

それがいくつあるか?

「1辺に2つ、12辺だから2×12=24、

100×24=2400c㎡」

合計で、

「3000+2400=5400c㎡」

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第30回高校生クイズ大会(対角線の数)

問題を解くスピードでは負けますけど、小学生にだって解ける問題もたくさんありましたね。

1万角形の対角線は何本?

943

30角形でこの数ですからね。

「自分自身と両隣の頂点は対角線にならないから、一つの頂点からは10000-3=9997本対角線が引ける」

そうだね。

「それが10000頂点あるから、9997×10000=99970000本」

対角線は必ず2つの頂点を結んでいるから・・・

「みんな1回ダブっているので、99970000÷2=49985000本」

場合の数の問題にも出てきた覚えがあるけど・・・

「10000頂点から2つの頂点を取り出すわけだから、(10000×9999)÷(2×1)=49995000」

それから対角線にならない線の数を引く。

「それは辺の数だから10000、

49995000-10000=49985000本」

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内角と外角(中学受験算数 基本問題)

角度の基本問題です。

aとbの角度を求めなさい。

931

三角形の外角は、それととなり合わない2つの内角の和に等しいね。

「なぜそうなるのかな?」

こんな図にしてみると一目両全!

934

内角aと37゜の和が外角89゜になるから、a=89-37=52゜、

aはb+11゜だから、b=52゜ー11゜=41゜」

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食塩水と間違えて水を(中学受験算数 夏期デイリーチェック)

使い方が慣れるとてんびん図はとても便利・・・

12%の食塩水450gに20%の食塩水をいくらか加え、ある濃度の食塩水にするのを、まちがえて同量の水を加えたため9%の食塩水ができました。何%の食塩水をつくる予定でしたか。

12%の食塩水と水を混ぜたところから、

「水は濃度0%と考えるから、てんびん図はこう↓」

912

450g×①=?g×③になるから、

「水は450÷3=150g」

12%の食塩水450gと20%の食塩水150gを混ぜる予定だったわけだね。

「だからてんびん図はこう↓」

913

20%-12%を①:③で分けるところ・・・

「(20-12)÷(①+③)×①+12=14%」

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