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時速90kmの急行列車が、ある駅のブラットホームを25秒で通過していきました。 そのあと、時速108kmの特急列車がこのプラットホームを30秒で通過し、先の急行列車の後ろのはしに追いついてから、追いぬいてはなれるまでに1 0 5秒かかりました。急行列車、特急列車、プラットホームの長さは、それぞれ何ｍですか。
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５分考えても解けないようでしたら、クリックしてみてください。
図の正方形ABCDにおいて、角アは何度ですか？
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図のように２本の直線上に５個の点があります。そのうちの３点を頂点とする三角形は何個ありますか。
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兄と弟の、もらったおこづかいの比は、６：５でした。そのうち使った金額の比は、３：１でしたが、２人とも1800円残りました。２人のもらったおこづかいは、それぞれ何円ずつでしたか。
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図は一辺が１ｃｍの白い立方体３５個を積み重ねた様子をかいたものです。太郎君は、この立方体の山の底を除くすべての表面に色をぬりました。次の問いに答えなさい。
（１）色をぬった面積は何ｃ㎡ですか。
（２）この３５個の立方体のうち、
① ４つの面だけが色のぬられている立方体は何個ありますか。
② １つの面だけが色のぬられている立方体は何個ありますか。
③ どの面にも色がぬられていない立方体は何個ありますか。
この形、前後、左右、上下みな同じ形に見えるね。
「↓こんな形」
山の底には色がぬられていないから、見える方向は？
「前後、左右と上からで５つ
（１＋２＋３＋４＋５）×５＝７５ｃ㎡」
（２）は１段ずつ調べていくといい。
「①→２＋２＋２＋２＝８個
②→６＋４＋２＝１２個
③→３＋１＝４個」
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1辺の長さが1cmの黄と白の正方形が図のようにしきつめられています。このとき，太線で示された(1)から(3)の各図形の中の，黄の部分の面積と白の部分の面積はどちらがどれだけ大きいですか。
（１）△ABC内には相似の直角三角形が４つ見つかります。
△赤は底辺が１/４ですから面積は１/４×１÷２＝１/８
黄→（２/４×２÷２）－１/８＝３/８
緑→（３/４×３÷２）－（１/８＋３/８）＝５/８
青→（４/４×４÷２）－（１/８＋３/８＋５/８）＝７/８
面積比は赤：黄：緑：青＝１：３：５：７
△ABCの黄部分＝７＋３＝１０
△ABCの白部分＝５＋１＝６
（１０－６）×１/８＝４/８＝１/２＝０．５ｃ㎡黄色部分が大きくなります。
（２）は同数です。
（３）は（１）と（２）の結果を利用します。
全体が同数ですから、（２）の同数の水色部分を引いても残り部分は同数です。
青部分は黄色が０．５ｃ㎡大きいので、残りは白部分が０．５ｃ㎡大きくなります。
そこから（１）の白部分が０．５ｃ㎡大きい赤い直角三角形２つを引くと、残りは黒部分が０．５ｃ㎡大きくなります。
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図のような直角三角形ABCにおいて、辺をBCを底辺としたときの高さAHは何ｃｍですか。
「△ABCと△AHCは相似、
△ABCと△ABHも相似
だから△AHCと△ABHも相似になる」
みんな相似だね。
「だけど、△ABCは斜辺、△ABHは短い辺、△AHCは長い辺の長さしかわからないから、比にならない」
ここでワザを使う！
「どんな？」
△ABHとAHCは相似だから、BH：AH＝AH：CH
つまり、AH×AH＝BH×CH＝９ｃｍ×１６ｃｍ
「おお！AH×AH＝１４４ｃｍでAH＝１２ｃｍか」
そう。
「だけどAH×AHが１２０ｃｍとかだったら？」
小学生ではそんな問題でないでしょ。
「ほんとかな？」
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下の図のように半径2cmの円を10個並べ、円の中心を結んだところ、１辺の長さが4cmの多角形が２つできました。斜線を引いたおうぎ形の面積の和と、斜線を引いていないおうぎ形の面積の和との差は何c㎡ですか。
２つの多角形、よく注意してみると、五角形と六角形ですよね。
五角形の内角の和→５４０゜
六角形の内角の和→７２０゜
斜線部分の中心角の和→５４０゜＋７２０゜＝１２６０゜
白部分の中心角の和→３６０゜×１０－１２６０゜＝２３４０゜
中心角の差→２３４０゜－１２６０゜＝１０８０゜
面積差→２×２×３．１４×１０８０/３６０＝３７．６８ｃ㎡
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斜線部分の面積を求めなさい。円の半径は６ｃｍ。円周は等しい間隔で分割されています。
「↓こんな風に分けて・・・」
中心角１２０度の扇形と直角二等辺三角形ともうひとつ二等辺三角形があるね。
「この三角形、底辺は６ｃｍだけど高さがわからない」
どこかに三角定規が隠れてる。
そう、正三角形の半分！
「高さは半径の半分で３ｃｍだ」
全部たして、
「６×６×３．１４×１/３＋６×６÷２＋６×３÷２＝６４．６８ｃ㎡」
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さとし君の家から上り坂を上ったところに図書館があります。さとし君はこの坂を，上りは分速50mで，下りは分速75mで歩きます。坂の途中には郵便局があり，そこから90m坂を上ったところには中学校があります。
ある日，さとし君は家から図書館に向かいましたが，郵便局まで来たところで忘れ物をしたことに気づき，すぐに家に引き返して忘れ物をとり，すぐに図書館に向かいました｡そのため，図書館に着くまでに，予定の時間の2.1倍かかってしまいました｡そしてその日の帰り道，中学校まで来たところで，さとし君は忘れ物をしたことに気づき，すぐに図書館に引き返して忘れ物をとって，すぐに家に向かいましたが，家に着くまでに，予定の時間の1.7倍かかってしまいました｡さとし君の家と図書館の間の道のりは何ｍですか。また，さとし君の家と郵便局の間の道のりは何ｍですか｡
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図のように、縦12cm、横30cmの長方形の中に１辺が6cmの正三角形ＡＢＣがあります。この正三角形が長方形の辺上をアの位置からイの位置まですべらずにころがっていきます。このとき、正三角形の頂点Ａが動いたあとの長さを求めなさい。
「右側の辺のあたりがわかりにくいけど・・・」
では三角形をころがしてみて！
「１２０゜が３つと３０゜が１つだから３９０゜だ、
Aの軌跡は
６×２×３．１４×３９０/３６０＝４０．８２ｃｍ」
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１５％の食塩水Ａが400g と６％の食塩水Ｂが500g あります。いま、Ｂから200ｇだけ取り出してＡへ移し、よくかき混ぜてから、ＡからＢへ200ｇだけ移しました。このとき、Ａの食塩水の濃さ、Ｂの食塩水の濃さはそれぞれ何％になりますか。
最初の天びん図は？
「１５％のA食塩水４００ｇと６％のB食塩水２００ｇを混ぜる」
どこでつりあう？
「重さの比がA：B＝２：１だから、長さは逆比の１：２のとこ」
（１５－６）をA：B＝１：２で分けるので、つりあうところは、
「９を３つに分けて６＋３×２＝１２％」
つぎの天びん図は？
「１２％のA食塩水２００ｇと６％のB食塩水３００ｇを混ぜる」
こんどはどこでつりあう？
「重さの比がA：B＝２：３だから、長さは逆比の３：２のとこ」
（１２－６）をA：B＝３：２で分けるので、つりあうところは、
「６を５つに分けて６＋１．２×２＝８．４％」
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甲の袋と乙の袋に白い玉と黒い玉が混ぜて入れてあります｡甲、乙の袋の中にある玉全体の数の比は８：３で、白い玉と黒い玉の数の比は、甲では１：３で、乙では４：５です｡そして、甲、乙の玉をあわせた全体では白い玉は黒い玉より１５６個だけ少なくなります｡甲の袋に入っている玉の個数はいくらですか。
表にまとめてみると・・・
どう比をそろえるか？
「４＋５＝９が３に当たるから８は９×８/３＝２４」
２４を１：３に分けると・・・
「６：１８」
●（１８＋５）－○（６＋４）＝１３が１５６個に当たるから、
「１に当たるのは１５６÷１３＝１２個」
甲はいくつ？
「１２×（６＋１８）＝２８８個
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図のように、Ｂから辺ＡＣに垂直に直線ＢＨ１を引き、さらにＨ１から辺ＢＣに垂直に直線Ｈ１Ｈ２を引きました。このとき、三角形Ｈ１Ｈ２Ｃの面積を求めなさい。
「どの直角三角形とっても△ABCと相似だ」
角度が全部同じになるね。辺の比は？
「７５で割ると・・・、３：４：５」
H1H2の長さを⑫にしてみると・・・
「BH2が⑨でCH2が⑯になる」
△黄の面積は？
３００×１６/２５×３００×１２/２５×１/２
＝１３８２４ｃ㎡
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１から350までの整数が一列にならんでいます。はじめに，３の倍数を○で囲みました。次に，残った数の中で７の倍数を○で囲みました。
このとき，１，２，…，⑥，⑦，……のように，２つ連続して○で囲まれている数の組は全部で何組ありますか。
問題を解くキーは何だと思う？
「最小公倍数」
そう、では３と７の最小公倍数は？
「２１」
この２１が１×２１、２×２１、３×２１・・・・・のように、くり返し出てくるって考えればわかりやすいかも・・・
「１～２１だけ調べればいいわけか」
「⑥⑦と⑭⑮の２組ある」
３５０まで２１の周期はいくつ？
「３５０÷２１＝１６・・・１４だから、２組×１６＝３２組と残り１４までの１組で３２＋１＝３３組」
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赤玉４個，白玉５個，青玉２個があります。これから３個取り出して一列に並べる方法は何通りありますか。
「最初は赤か白か青で３通り、２番目も３通り、３番目は青が２個だから２通りで３×３×２＝１８通り」
って、やると間違い！
「パターンを考えてみると・・・」
３個取り出してできない組み合わせがある。
「青青青か」
そう、その１通りだけができない。
「つまり、３×３×３－１＝２６通り」
パターンから先に考える習慣を！
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いつも一定の水がわき出る井戸があります。この井戸の水がえをするのに１台のポンプでくみ出すと、40分たったとき、水がなくなります。また、ポンプ２台にすると、15分たったとき、水がなくなります。ポンプを４台にすると何分何秒で水がなくなりますか。
はじめの水の量を、４０分と１５分の最小公倍数１２０と考えたわけだ。
「ポンプ１台なら１分間に③くみ出し、２台なら１分間で⑧くみ出す」
⑧－③＝⑤は？
「１台のポンプが１分間にくみ出す量」
でも実際は１台のポンプで１分間に③くみ出したわけだから、
「⑤－③＝②がわき出る水量」
４台なら⑤×４＝⑳、１分間にくみ出せるね。
「でも②わき出るから、⑳ー②＝⑱が減っていく水量」
１２０÷⑱＝６と２/３
「６分４０秒」
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太郎君とよし子さんは、同時にＡ地を出発して、B地に向かいました。よし子さんは、はじめ時速４ｋｍで歩き、途中から時速６０ｋｍのタクシーに乗りました。太郎君は時速２０ｋｍの自転車で行さました。B地へは、よし子さんが太郎君より１０分早く着きました。グラフはそのときの様子を表したものです。次の問いに答えなさい。
（１）よし子さんは，Ａ地を出発してから何分後にタクシーに乗りましたか。
（２）太郎君がよし子さんに追いぬかれるのはＡ地から何ｋｍのところですか。
（３）Ａ地からB地までは何ｋｍありますか。
（１）３ｋｍまで歩いたわけだから、
「３÷４＝３/４時間で４５分」
（２）よし子さんがタクシーに乗ったとき、太郎君はどれだけ進んでた？
「２０×３/４＝１５ｋｍで、よし子さんとの差は１５－３＝１２ｋｍ」
追い抜かれるまでの時間は？
「１２÷（６０－２０）＝３/１０時間」
太郎君は３/４＋３/１０＝２１/２０時間進んだわけだから、
「２０×２１/２０＝２１ｋｍ」
（３）タクシーと自転車の速さの比は６０：２０＝３：１
「かかる時間の比は逆比で１：３」
追い抜いたところから、この差３－１＝２が１０分になったわけだから、
「タクシーの１は５分に当たる。進んだ距離は６０×５/６０＝５ｋｍで、AB間は２１＋５＝２６ｋｍ」
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どんな規則？
下の表のように整数１，２，３，４‥‥‥‥を並べていきます。左からa番目，上からb番目にある数を（a，b）の記号で表すとき，次の問いに答えなさい。
（１）（１，１５）はどんな数ですか。
（２）（１７，１）はどんな数ですか。
（３）（３，１７）はどんな数ですか。
「（１）はいちばん左側で１５番目」
いちばん左側は上からどんな規則で並んでる？
「１×１、２×２、３×３、４×４、・・・・」
１５番目は？
「１５×１５＝２２５」
（２）は左から１７番目のいちばん上
「（１，１６）の次の数だから・・・」
つまり、
「１６×１６＋１＝２５７」
（３）は左から３番目で上から１７番目
「（１，１７）ならわかりやすいんだけど・・・」
その２つ前じゃないの？
「そうか、１７×１７－２＝２８７だ」
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計算も工夫して、整理して、順序よく・・・
図の立体の表面積を求めなさい。
外側部分と内側部分に分けて考えられないかな？
「外側部分の１面は↓こうだから、
３０×３０－２０×２０＝５００ｃ㎡」
それが６面、
「５００×６＝３０００ｃ㎡」
内側部分は１つが↓こう
「５×２０＝１００ｃ㎡」
それがいくつあるか？
「１辺に２つ、１２辺だから２×１２＝２４、
１００×２４＝２４００ｃ㎡」
合計で、
「３０００＋２４００＝５４００ｃ㎡」
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問題を解くスピードでは負けますけど、小学生にだって解ける問題もたくさんありましたね。
１万角形の対角線は何本？
３０角形でこの数ですからね。
「自分自身と両隣の頂点は対角線にならないから、一つの頂点からは１００００－３＝９９９７本対角線が引ける」
そうだね。
「それが１００００頂点あるから、９９９７×１００００＝９９９７００００本」
対角線は必ず２つの頂点を結んでいるから・・・
「みんな１回ダブっているので、９９９７００００÷２＝４９９８５０００本」
場合の数の問題にも出てきた覚えがあるけど・・・
「１００００頂点から２つの頂点を取り出すわけだから、（１００００×９９９９）÷（２×１）＝４９９９５０００」
それから対角線にならない線の数を引く。
「それは辺の数だから１００００、
４９９９５０００－１００００＝４９９８５０００本」
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角度の基本問題です。
aとbの角度を求めなさい。
三角形の外角は、それととなり合わない２つの内角の和に等しいね。
「なぜそうなるのかな？」
こんな図にしてみると一目両全！
「内角aと３７゜の和が外角８９゜になるから、a＝８９－３７＝５２゜、
aはb＋１１゜だから、b＝５２゜ー１１゜＝４１゜」
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使い方が慣れるとてんびん図はとても便利・・・
１２％の食塩水４５０ｇに２０％の食塩水をいくらか加え、ある濃度の食塩水にするのを、まちがえて同量の水を加えたため９％の食塩水ができました。何％の食塩水をつくる予定でしたか。
１２％の食塩水と水を混ぜたところから、
「水は濃度０％と考えるから、てんびん図はこう↓」
４５０ｇ×①＝？ｇ×③になるから、
「水は４５０÷３＝１５０ｇ」
１２％の食塩水４５０ｇと２０％の食塩水１５０ｇを混ぜる予定だったわけだね。
「だからてんびん図はこう↓」
２０％－１２％を①：③で分けるところ・・・
「（２０－１２）÷（①＋③）×①＋１２＝１４％」
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