大人は解けない？超難問（第９回算数オリンピック ファイナル問題より）
図のように三角形ＡＢＣの内部に正方形ＰＱＲＳが３点Ｐ、Ｑ、Ｒで接していて、ＢＱ＝ＱＣです。このとき、正方形ＰＱＲＳの面積を求めなさい。
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コメント
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いつも楽しく拝見させていただいております。
大人は解けない？超難問（第９回算数オリンピック ファイナル問題より）の解答が間違っているのではないでしょうか。アニメーションの最後の面積を求めるところで，左右の直角三角形に分けて面積の和として求めている部分ですが，右の三角形は直角ではありませんよね。
私も，この問題が算数オリンピックの問題ということで，算数の範囲で考えてみたのですが算数の範囲では解けませんでした。三平方の定理を用いれば面積を求められますが，答えに√が含まれるものになってしまいます。
正しい答えをお教えいただければ幸いです。よろしくお願いいたします。
投稿: 算数マニア | 2017年3月 9日 (木) 06時20分
自分も右の三角形は直角ではないので解答に不備があると思いました。ですが、自分の解法だと答えは27.2となり、解答と一致しました。算数のやり方は思いつきませんでしたが。
高校生の知識を使って良いのならばそれなりに綺麗な解法だとは思います。まず、このままでは高校生の知識を持ってしても解けないので何かしらの工夫を考えます。すると、三角形ABCと合同な三角形を持ち出し対角線の１つが線分BCの平行四辺形を作ると、その中に線分PRを一辺、点Qを中心とした正方形がはめ込まれる事が分かります。なぜならBQ=QCだからです。あとは、点Qに対して点Pと点対称な点をSとおき、三角形APR、三角形CRSに対して(PRの二乗)=(RSの二乗)を余弦定理を持ち出して解くだけです。なぜなら平行四辺形なのでcosRCS=-cosPARが成立するからです。
投稿: 通りすがりの男性(20) | 2018年1月28日 (日) 06時40分
直角になると思うが
投稿: たかひろ | 2018年2月 1日 (木) 06時58分
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投稿: 誕生日プレゼント | 2020年5月17日 (日) 05時46分
黄、緑の三角形を90度回転するとB、Cは確かに一致します。この点をTとしますと、Tは正方形PQRSの内部の点であり、辺QR上にはありません。ここのところが混乱を招きやすい点だと思います。辺QRの存在に惑わされそうですが、角TPA、角TRAが直角であることから黄、緑、紫でぴったり埋め尽くされた四角形APTRの面積が求められることだけを表していると見ればすっきりします。
投稿: | 2020年6月15日 (月) 02時21分