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2010年12月

面積から長さを求める問題(灘中学 2009年)

下図の直線ℓは斜線部分を面積の等しい3つの部分に分けています。ABの長さは何cmですか。

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考え方とこたえ

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木の葉形面積の応用(駒場東邦中学 2008年) 

図のように,1辺が4cmの正方形6個と,その中に円があります。
斜線部分の面積を求めなさい。ただし,円周率は3.14とします。

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イメージとこたえ

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すごろく(桜蔭中学 2007年)

立方体に1~6までの目がかいてあるサイコロがあります。次のルールで「すごろく」をおこないました。 1227zu1

「すごろく」のルール」
最初スタートにいて,サイコロをふり,出た目の数だけ矢印の向きに進みます。ただし,出た目の数だけ進むとゴールを超えてしまうときは,サイコロをふった場所にそのまま止まっていることにします。ちょうどゴールについたら,あがりとなります。

(1)A君は,ちょうど2回サイコロをふってあがりとなりました。A君の2回の目の出方として考えられるものをすべて書きなさい。

(2)B君は,ちょうど3回サイコロをふってあがりとなりました。B君の3回の目の出方として考えられるものは何通りあるか答えなさい。

こたえ

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ワールドカップの総試合数(城北中学 2009年)

32チームでサッカーの大会を行います。最初に4チームずつで総当たりの予選リーグを行い,勝ち点や得失点差などによって各リーグ内で1位から4位までの順位を決めます。次に,各リーグの上位2チームによる決勝トーナメントを行い,優勝チームを決めます。この大会の総試合数を求めなさい。ただし,3位決定戦は行いません。

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同じものから同じものを引くと?(暁星中学 2009年)

図のように長方形と2つの円があります。長方形のたての長さは10cmで、2つの円の半径はともに4cmです。図のアとイとウとエの部分の面積の和が図のオの部分の面積と等しいとき、長方形の横の長さを求めなさい。

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考え方とこたえ

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超発想の立体図形問題(第9回算数オリンピック ファイナル)

図のような三角すいが水平な床の上にあり、その内部に1点Pがあります。この三角すい、および点Pについて次のことがわかっています。
 ●面ABCを床につけると、頂点Dは床から10cm、点Pは
  床から3cmのところにあります。
 ●面ACDを床につけると、頂点Bは床から8cm、点Pは床
  から1cmのところにあります。
 ●面ABDを床につけると、頂点Cは床から12cm、点Pは
  床から5cmのところにあります。
 それでは、下図のように面BCDを床につけたとき、床から点Pまでの長さは、床から点Aまでの長さの何倍になりますか。
(ただし、床から点までの長さとは、点から床に垂直に線を引いたときのその線の長さを表します。)

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考え方とこたえ

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ややこしい速さの問題(中学受験算数 速さ)

P地点からQ地点までの52kmの道のりを、A、B、Cの3人が進みます。Aはつねに車に乗り、あともう1人だけ乗せることができます。最初、AはCを乗せ、Bは歩いて同時にQ地点へ向けてP地点を出発しました。Aは途中のR地点でCを降ろし、Bを迎えに引き返しました。CはR地点から徒歩でQ地点に向かいました。一方、AはS地点でBと出会ってそこでBを乗せ、引き返して再びQ地点へ向かいました。その結果、3人は同時にQ地点に到着しました。このとき、P地点からQ地点まで3人が移動するのにかかった時間は何時間何分ですか。なお、A、B、Cの速さは、順に時速42km、時速7km、時速6kmです。

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立方体と球の重なり(本郷中学 2009年)

立方体と球が(図Ⅰ)のように重なっています。球は立方体の各辺の真ん中の点で接し、その中心Oは立方体の対角線が交わったところにあります。また、4つの点P、Q、R、Sは正方形ABCDの各辺の真ん中の点を表し、真横から見ると(図Ⅱ)のようになっています。四角形PQRSの面積が1c㎡のとき、次の問いに答えなさい。ただし、円周率は3.14とします。

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(1)この球を直径を含む平面で切ったときの切り口の図形の面積は何c㎡ですか。

(2)球面上で点Pから点Qまでひもをかけます。このひもが、もっとも短くなるときの長さは何cmですか。

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展開図と面積比(中学受験算数 立体図形)

図Aは同じ大きさの正三角形4枚でつくった|三角すいを、底面に平行な平面で切ってできた立体の見取り図です。図Bは図Aの展開図です。

(1)図Cの中にも、図Aの展開図がいくつかありますが、正しくないものはどれですか。

(2)正しい展開図の面積を374c㎡とします。切り口の面積と底面の面積の比が2:7のとき、切りロの面積は何c㎡ですか。

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折った後の想像図(中学受験算数 折り紙)

(1)下の図のような長方形ABCDがあります。Eは辺AD上の点で、直線BEとCFはADと30゜で交わっています。この長方形を直線BE、CEを折り目として折り、全体が平らになるようにします。このときできる図形を真上から見た図をかきなさい。(輪かくだけでかまいません。)

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(2)下の図のように(1)の長方形がちょうど3つ分つながった長さのテープがあります。図の点線はテープの上下の直線と(1)と同様に30゜で交わっています。このテープを点線を折り目として折っていき、全体が平らになるようにします。このときできる図形を真上から見た図をかきなさい。(輪かくだけでかまいません。)

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アニメーション解答

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シルエットクイズなら見えない線はどこ?(灘中学 2008年)

図のように,1辺8cmの正方形の辺上に点A,B,C,Dをとります。
   (ア)cm+(イ)cm=5cm,
   (ウ)cm+(エ)cm=3cm
のとき,四角形ABCDの面積は何c㎡ですか。

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シルエット解答

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推理問題、コナンになれる?(早稲田実業学校中等部 2009年)

A君,B君,C君,D君の4人でゲームをしました。1回のゲームごとに1位,2位,3位,4位をそれぞれ決め,1位には4点,2位には3点,3位には2点,4位には1点をあたえました。このゲームを全部で4回したとき,以下のことがわかりました。
・B君の1回目の順位は3回目の順位より2位上でした。
・C君の2回目の順位は3回目の順位より1位上でした。。
・D君の2回目の順位は3回目の順位より2位上でした。
このとき,次の各問いに答えなさい。

(1)2回目の1位はだれですか。

(2)4人がそれぞれ自分の4回のゲームの得点を合計したとき,合計点が次の①、②の場合について答えなさい。

①合計が一番高くなる場合は,(ア)君が(イ)点のときで,合計点が一番低くなる場合は,(ウ)君が(エ)点のときです。(ア)~(エ)をうめなさい。

②合計点が全員同じで,全員が1回ずつ1位をとったとき,4回目の4位はだれですか。

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考え方とこたえ

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図形のセンスも必要な時計算(中学受験算数 時計算)

図のように時計の文字盤の7を中心に長針と短針が等しい角度を作るのは、7時何分何秒ですか。

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考え方とこたえ

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三角形を上手に数える問(中学受験算数 場合の数)

下の図の中に、三角形は大小あわせていくつありますか?

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数え方とこたえ

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三角形を2倍に拡大する作図(広島学院中学 2008年)

広島の国広塾からご提供いただいた問題です。

図の直線上に点をとって,三角形ABCを2倍に拡大した三角形をかき入れ,その三角形と点Aを中心として点対称な三角形をかき入れなさい。

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作図の解答

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麻布中学らしい問題(麻布中学 2008年)

次の□にたし算の記号+か、かけ算の記号×のいずれかを入れて計算をします。次の問いに答えなさい。

(1)1□2□3□4を計算したとき、それぞれの計算結果を小さい順に答えなさい。ただし、計算結果が同じときは1回だけ書きなさい。

(2)次の式の□に当てはまる+、×の入れ方を2通り答えなさい。+、×の記号はていねいに書きなさい。

     1□2□3□4□5=2□3□4□5□6

考え方とこたえ

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残りの面はどこに?(東京学芸大学附属竹早中学 2010年)

正三角形8枚をあわせて(図1)のような立体を作りました。面「あ」と向き合う面を面「い」とします。(図2)は,この立体の展開図の一部です。まだ(図2)には,面「い」がたりません。面「い」をどの辺につければよいですか。よいと思うところを全部みつけて,図の辺の上に○をつけなさい。

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見つけ方とこたえ

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通過算+旅人算(中学受験算数 速さ)

長さ270mの上り列車と長さ210mの下り列車が出会ってから15秒ではなれました。上り列車の速さが秒速17mのとき、下り列車の速さは時速何kmですか。

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考え方とこたえ

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なぜ角度の和を求めるのかがヒント!(早稲田中学 2010年)

下の図においてAD,AEは角BACを三等分し、BD,BEは角ABCを三等分しています。アの角とイの角の大きさの和は何度ですか。

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解答です。

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いくつごとに?・・・はN進法(中学受験算数 N進法)

図のような装置があります。同じ重さと大きさの玉をつぎつぎにA管の上からいれるとします。A管の中に玉が6個はいると、い
ちばん上の玉だけがB管にころがり、残りの5個は、管の底が開いて下に落ちるようにできています。B管も同じようにできていて、玉が6個になると、いちばん上の玉だけがC管にころがり、残りが下に落ちます。C、Dも同じです。いくつかの玉をこの装置に入れ、たとえばB管に3個、D管に2個の玉がそれぞれ残ったとき、これを簡単に(2030)であらわすことにします。この装置について、次の問いに答えなさい。

(1)36個の玉をこの装置にいれたらどうなるか、上の(   )のあらわし方で示しなさい。

(2)いくつかの玉をこの装置にいれたら、はじめて(3125)となりました。何個入れたのですか。

(3)645個をこの装置にいれたら、4つの管にどのように玉が残りますか。上の(   )のあらわし方で示しなさい。

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解答!

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0の上手な使い方が決め手!(中学受験算数 数の性質)

1から8000までの数のうち、1が使われている個数を求めようと思います。次の問いに答えなさい。
(1)一の位に使われている1は何個ですか。
(2)十の位に使われている1は何個ですか。
(3)百の位に使われている1は何個ですか。
(4)千の位に使われている1は何個ですか。
(5)1は全部で何個使われていますか。

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奇数と偶数の違いに着目する問(中学受験算数 数の性質)

A,B,C,Dの4人の少年が森の中で木の実を拾いました。拾った数はAがいちばん多く,B,C,Dの順に少なくなるように拾いました。AとBが拾った木の実の数の和は65個,AとDとの和は61個,CとDとの和は44個でした。A,B,C,Dはそれぞれ何個ずつ拾いましたか。

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表を読み取って図解できるようになるといいのですが!(中学受験算数 表とグラフ)

下の表はA,B,C,D,E,Fの6つの駅の間の道のりを表したものです。


(1)AB間の道のりは?

(2)CD間の道のりは?

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折り紙は同じ角度を探す(愛光中学 2006年)

広島の国広塾からご提供いただいた問題です。

図①のような台形の紙を,図②のように折りました。このとき,角「あ」と角「い」の大きさは何度ですか。

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上手な数え方ってあるの?(中学受験算数 場合の数)

図のように一辺が1cmの正三角形を1段目に1つ,2段目に3つ,3段目に5つ…とつくっていくとき,次の問いに答えなさい。

(1)1段目から13段目までに、―辺が1cmの正三角形が何個ありますか。

(2)8段目までに,大小の正三角形(1辺が1cm,2cm,3 cm,4cm,5cm,6cm,7cm,8cmの正三角形)は全部で何個ありますか。

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おうぎ形のころがるイメージはこれ!(中学受験算数 図形の移動)

半径15cm、中心角24度のおうぎ形Aが、図の位置からすべることなく転がって、図のおうぎ形Bの位置まで移動するとき、おうぎ形が通過した部分の面積を求めなさい。(円周率の値を用いるときは、3.14として計算。)

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