立方体と球の重なり（本郷中学 ２００９年）
立方体と球が（図Ⅰ）のように重なっています。球は立方体の各辺の真ん中の点で接し、その中心Ｏは立方体の対角線が交わったところにあります。また、４つの点Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓは正方形ＡＢＣＤの各辺の真ん中の点を表し、真横から見ると（図Ⅱ）のようになっています。四角形ＰＱＲＳの面積が１ｃ㎡のとき、次の問いに答えなさい。ただし、円周率は3.14とします。
（1）この球を直径を含む平面で切ったときの切り口の図形の面積は何ｃ㎡ですか。
（2）球面上で点Ｐから点Ｑまでひもをかけます。このひもが、もっとも短くなるときの長さは何cmですか。
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