どの玉が重い？軽い？（獨協埼玉中学 ２０１０年）
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅの５つの玉があり，その中に１つだけ重さの異なる玉があります。次の①～③の操作の結果から，どの玉が重さの異なる玉で，またそれが他の玉と比べて重いか軽いかを答えなさい。〔解答例 Ｃが重い〕
①Ａ，Ｂをてんびんの左側にのせ，Ｃ，Ｄを右側にのせたら右側が下がった。
②Ａ，Ｃをてんびんの左側にのせ，Ｂ，Ｄを右側にのせたら右側が下がった。
③Ｂ，Ｃをてんびんの左側にのせ，Ａ，Ｅを右側にのせたら左側が下がった。
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《算数的証明》
①より Ａ＋Ｂ＞Ｃ＋Ｄ
②より Ａ＋Ｃ＞Ｂ＋Ｄ
③より Ｂ＋Ｃ＜Ａ＋Ｅ
つまり Ａ＋Ｅ＞Ｂ＋Ｃ
①＋②より 左辺の和＞右辺の和
（Ａ＋Ｂ）＋（Ａ＋Ｃ）＞（Ｃ＋Ｄ）＋（Ｂ＋Ｄ）
２Ａ＞２Ｄ
Ａ＞Ｄ かつ Ｂ＝Ｃ＝Ｅ・・・④
④より、③にＢ＝Ｅ、Ｃ＝Ｅを代入すると
Ａ＋Ｅ＞Ｂ＋Ｃ＝２Ｅ
Ａ＞Ｅ かつ Ｂ＝Ｃ＝Ｄ・・・⑤
④と⑤より
Ａ＞Ｂ＝Ｃ＝Ｄ＝Ｅ
したがって Ａが軽い
投稿: | 2011年2月26日 (土) 03時20分
なるほど！
投稿: 管理人 | 2011年2月27日 (日) 18時46分
【訂正】不等号の向きが全て逆でした。
下記に訂正します。
大変失礼しました。
《算数的証明》
①より Ａ＋Ｂ＜Ｃ＋Ｄ
②より Ａ＋Ｃ＜Ｂ＋Ｄ
③より Ｂ＋Ｃ＞Ａ＋Ｅ
つまり Ａ＋Ｅ＜Ｂ＋Ｃ
①＋②より 左辺の和＜右辺の和
（Ａ＋Ｂ）＋（Ａ＋Ｃ）＜（Ｃ＋Ｄ）＋（Ｂ＋Ｄ）
２Ａ＜２Ｄ
Ａ＜Ｄ かつ Ｂ＝Ｃ＝Ｅ・・・④
④より、③にＢ＝Ｅ、Ｃ＝Ｅを代入すると
Ａ＋Ｅ＜Ｂ＋Ｃ＝２Ｅ
Ａ＜Ｅ かつ Ｂ＝Ｃ＝Ｄ・・・⑤
④と⑤より
Ａ＜Ｂ＝Ｃ＝Ｄ＝Ｅ
したがって Ａが軽い
投稿: | 2011年2月28日 (月) 05時16分
ご丁寧に、ありがとうございます。またよろしくお願いします。
投稿: 管理人 | 2011年3月 1日 (火) 10時23分