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2011年2月25日 (金)

どの玉が重い?軽い?(獨協埼玉中学 2010年)

A,B,C,D,Eの5つの玉があり,その中に1つだけ重さの異なる玉があります。次の①~③の操作の結果から,どの玉が重さの異なる玉で,またそれが他の玉と比べて重いか軽いかを答えなさい。〔解答例 Cが重い〕

①A,Bをてんびんの左側にのせ,C,Dを右側にのせたら右側が下がった。

②A,Cをてんびんの左側にのせ,B,Dを右側にのせたら右側が下がった。

③B,Cをてんびんの左側にのせ,A,Eを右側にのせたら左側が下がった。

イメージと答え

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コメント

《算数的証明》
①より A+B>C+D

②より A+C>B+D

③より B+C<A+E
つまり A+E>B+C

①+②より 左辺の和>右辺の和
 (A+B)+(A+C)>(C+D)+(B+D)
          2A>2D
A>D かつ B=C=E・・・④

④より、③にB=E、C=Eを代入すると
A+E>B+C=2E
A>E かつ B=C=D・・・⑤

④と⑤より 
A>B=C=D=E 
したがって Aが軽い

なるほど!

【訂正】不等号の向きが全て逆でした。
    下記に訂正します。
    大変失礼しました。

《算数的証明》
①より A+B<C+D

②より A+C<B+D

③より B+C>A+E
つまり A+E<B+C

①+②より 左辺の和<右辺の和
 (A+B)+(A+C)<(C+D)+(B+D)
          2A<2D
A<D かつ B=C=E・・・④

④より、③にB=E、C=Eを代入すると
A+E<B+C=2E
A<E かつ B=C=D・・・⑤

④と⑤より 
A<B=C=D=E 
したがって Aが軽い

ご丁寧に、ありがとうございます。またよろしくお願いします。

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