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2011年3月20日 (日)

長さ比と面積比(慶応普通部 2010年)

三角形ABCがあります。BD:DC=1:3で、AE:EC=3:2です。直線AFが、四角形ABDEの面積を二等分するとき、DF:FEを求めなさい。

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考え方と答え

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《算数的解法》
・等積変換により単純な図形(三角形)にする。
比例式の処理方法を考える。

・ACを点A側に延長し、BB'//DA//FF'となる2点B'・F'をこの半直線上にとる。
等積変換により△DAB=△DAB'、△DAF=△DAF'、これより□ABDE=△DEB'
また、求める辺の比はDF : FE=AF' : F'E となり
頂点DかつAC上に底辺を持つ並列する4つの三角形で考える。

BD : DC=B'A : AC=B'A : (AF'+F'E+EC)=1 : 3
∴ AF'+F'E+EC=3×B'A ・・・①

AE : EC=(AF'+F'E) : EC=3 : 2
∴ 2×(AF'+F'E)=3×EC・・・②

□ABDF=△DAB+△DAF=△DAB'+△DAF'=△DB'F'=△DF'E
これより
B'F' : F'E=(B'A+AF') : F'E=1 : 1
∴ B'A+AF'=F'E・・・③

①×3 + ② + ③×9 より
3×(AF'+F'E+EC)+2×(AF'+F'E)+9×(B'A+AF')
=9×B'A+3×EC+9×F'E
∴7×AF'=2×F'E
AF' : F'E=DF : FE=2 : 7 解答:  DF : FE=2 : 7   

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