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2011年3月20日 (日)

長さ比と面積比（慶応普通部　２０１０年）

三角形ＡＢＣがあります。ＢＤ：ＤＣ＝１：３で、ＡＥ：ＥＣ＝３：２です。直線ＡＦが、四角形ＡＢＤＥの面積を二等分するとき、ＤＦ：ＦＥを求めなさい。

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《算数的解法》
・等積変換により単純な図形（三角形）にする。
比例式の処理方法を考える。

・ＡＣを点Ａ側に延長し、BB'//DA//FF'となる2点B'・F'をこの半直線上にとる。
等積変換により△DAB=△DAB'、△DAF=△DAF'、これより□ABDE=△DEB'
また、求める辺の比はDF : FE=AF' : F'E　となり
頂点ＤかつAC上に底辺を持つ並列する４つの三角形で考える。

BD : DC=B'A : AC=B'A : (AF'+F'E+EC)=1 : 3
∴ AF'+F'E+EC=3×B'A ・・・①

AE : EC=(AF'+F'E) : EC=3 : 2
∴ 2×(AF'+F'E)=3×EC・・・②

□ABDF=△DAB+△DAF=△DAB'+△DAF'=△DB'F'=△DF'E
これより
B'F' : F'E=(B'A+AF') : F'E=1 : 1
∴ B'A+AF'=F'E・・・③

①×3 + ② + ③×9 より
3×(AF'+F'E+EC)+2×(AF'+F'E)+9×(B'A+AF')
=9×B'A+3×EC+9×F'E
∴7×AF'=2×F'E
AF' : F'E=DF : FE=2 : 7 解答：　　DF : FE=2 : 7 　　

投稿: | 2011年3月23日 (水) 10時42分

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