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糸の軌跡と長さ(栄光学園中学 2010年)

1辺2cmの正三角形と糸があります。正三角形のAの位置に糸の端を固定し(図1),正三角形の周囲に時計回りに糸を巻きつけていくと(図2),糸のもう一方の端PがちょうどAの位置にきました。

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この状態から,次の(ア),(イ)の作業を行います。
(ア) 糸をぴんと張った状態に保ったまま,巻きつけてある糸をほどいていきます。
(イ) ほどききったあとも,糸をぴんと張った状態を保ったまま,三角形の周囲に反時計回りに,糸の端PがふたたびAの位置にくるまで巻きつけていきます。
このとき,次の問に答えなさい。ただし,糸は伸び縮みせず,太さは完全に無視できるものとします。
(1)糸の長さが6cmのとき,(ア),(イ)の作業で,糸の端Pが通る経路を,解答用紙にコンパスを用いて,ていねいにかきなさい。経路をかくために使ったその他の線も消さずに残しておくこと。
(2)糸の長さが300cmのとき,(ア),(イ)の作業で,糸の端Pが通る経路は何cmになりますか。円周率を3.14として求めなさい。また,求め方も記しなさい。

イメージと答え

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