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不思議な休憩室

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2012年1月

2012年1月31日 (火)

問題文の理解と注意力が必要な問題(桜蔭中学 2011年)

ある工場では粘土(ねんど)を使って「花の形の製品」を作っています。この工場の機械では、まず、縦2m、横5m、厚さ1cm の粘土の大きな板を作り、その大きな板1枚から1020個の「製品」をくりぬく作業を行います。「製品」をくりぬいた後、残った粘土は集めて、新しい大きな板を作るために利用します。粘土1c㎥ の重さは2g、「花の形の製品」1個の重さは 180g です。このとき、次の問に答えなさい。

(1)大きな板から1度、「製品」をくりぬき、その後残った粘土を集めて新しい大きな板を1枚作るとします。そのためには、初めに大きな板が少なくとも何枚あればよいですか。

(2)大きな板から「製品」をくりぬき、その後残った粘土を集めて新しい大きな板を作ります。またその大きな板から「製品」をくりぬき、それまでに残ったすべての粘土を集めて、新しい大きな板を作ります。大きな板ができなくなるまでこの作業をくり返します。75枚の新しい大きな板から、何個の「製品」ができますか。

考え方の順序と答え

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2012年1月30日 (月)

今年のラ・サール中学の問題(ラ・サール中学 2012年)

図のような長方形ABCDがあります。辺BC、CD上にそれぞれ点E、Fがあり、BE:EC=2:3、CF:FD=1:1を満たしています。

①三角形AEDと三角形DEFの面積比を求めなさい。

②三角形EFGの面積が6c㎡のとき、長方形ABCDの面積を求めなさい。

1

考え方と答え

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2012年1月29日 (日)

容器に入れた液体(女子学院中学 2011年)

下の図のような直方体を組み合わせた形の容器に、ある液体を一定の割合で注いでいきます。この液体は1分間に液面1c㎡ あたり0.05 c㎥ ずつ蒸発します。このとき、次の問に答えなさい。

(1)この液体を1分間に30c㎥ずつ 30分間注いぐと、液体の高さは何cmになりますか。

(2)(1)の後、1時間液体を注がずに放置し、再び1分間に40c㎥ ずつ1時間40分間注ぐと、液体の高さは何cmになりますか。

1

考え方と答え

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2012年1月28日 (土)

約束記号の計算(本郷中学 2011年)

ある整数AをB回かけた数の1の位の数を<A,B>と書くことにします。たとえば、3×3×3×3=81 なので、<3,4>=1 です。

このとき、次の問に答えなさい。

(1) <<2,2>,3> を求めなさい。

(2) Xは1以上2011以下の整数とします。<7,X>=3 となる整数は何個ありますか。

(3)Yは1以上2011以下の整数とします。<4,Y>+<Y,4>=9 となる整数 Y をすべて足し合わせるといくらになりますか。

考え方の手順と答え

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2012年1月26日 (木)

毎年どこかで出題される有名な四面体(駒場東邦中学 2011年)

ある正方形ABCD があり、辺BC,CD のまん中の点をそれぞれ M,N とします。A と M、A と N、M と N を結んだ直線で正方形を折ると、四面体を作ることができます。この四面体の体積は、3087c㎥ でした。

(ア)四面体を作ったとき、点B と重なる点をすべて答えなさい。

(イ)この正方形の1辺の長さを求めなさい。

(ウ)四面体を三角形 AMN を底面としたとき、四面体の高さを求めなさい。

四面体の展開図およびイメージ図と答え

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2012年1月25日 (水)

立方体のくり抜き(慶應義塾普通部 2010年)

1辺1cmの立方体を25個はりあわせて、1辺5cmの立方体を作り上げました。下の図1の灰色の立方体の面から、反対側までまっすぐくりぬくとき、残る立体の体積と表面積を求めなさい。

1

考え方と答え

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2012年1月24日 (火)

今知っておくと役に立つ法則!(豊島岡女子学園中学 2007年)

下の例のように、同じ奇数を2回かけると、必ず連続する2つの整数をそれぞれ2回かけた数の差になります。

 (例)

 3×3=9=5×5-4×4

 5×5=25=13×13-12×12

 11×11=121=61×61-60×60

このとき、下の(ア)にあてはまる数を答えなさい。

 29×29=(ア)×(ア)-(イ)×(イ)

法則と答え

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2012年1月23日 (月)

今年はこんな問題が!対角線が通過する正方形(渋谷教育学園幕張中学 2012年)

図のように、正方形のマスをたてに3個、よこに5個並べて長方形を作作ります。この長方形の1本の対角線は、斜線のの7個のマスを通過します。次の各問いに答えなさい。

1

(1)正方形のマスをたてに7個、よこに11個並べた長方形を作るとき、この長方形の対角線は、何個のマスを通過しますか。

2)正方形のマスをたてに39個、よこに51個並べた長方形を作るとき、この長方形の対角線は、何個のマスを通過しますか。

考え方と答え

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2012年1月21日 (土)

パズルのような難問(筑波大学附属駒場中学 2004年)

紙を使って底辺8cm、高さ9cmの二等辺三角形を作りました。この二等辺三角形を、

1回切って、①:たて9cm、よこ4cmの長方形

2回切って、②:直角をはさむ辺が8cm、9cmの直角三角形

4回切って、③:1辺6cmの正方形

をそれぞれ作ろうと思います。どのような構成になるか、①、②、③の図に書き込みなさい。

1

切り方のイメージと解答

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2012年1月20日 (金)

組み合わせの種類は?(武蔵中学 2005年)

(1)6000円を、五千円札、二千円札、千円札の3種類のお札で払うとき、その枚数の組み合わせをすべて答えなさい。

1

(2)A君たち8人は、お年玉を、五千円札、二千円札、千円札の組み合わせでもらいました。以下の話から、だれがどのお札を何枚もらったのか答えなさい。

 A君 「ぼくたち8人は、全員9000円ずつもらいました。」

 B君 「でも、もらったお札の組み合わせは全員違います。」

 C君 「ぼくは二千円札をみんなの中で一番多くもらいました。」

 D君 「いいなぁ。ぼくは二千円札を1枚ももらえなかったよ。」

 E君 「ぼくは五千円札を1枚ももらえなかったよ。」

 F君 「ぼくは、みんなの中でもらった枚数が一番多いぞ。」

 G君 「A君より、ぼくの方が枚数が4枚も少ないなぁ。」

 H君 「ぼくは、B君より枚数が2枚多いなぁ。」

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考え方と推理と答え

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2012年1月19日 (木)

角度問題(広島学院中学 2011年)

下の図の直線ABは円の直径で、●は上の半円の円周を6等分する点で、○は下の半円の円周を5等分する点です。このとき、「あ」の角度の大きさを求めなさい。

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考え方と答え

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2012年1月18日 (水)

今年の問題です(海陽中等教育学校(入試Ⅰ) 2012年)

大きな数が何の倍数かを調べるときに、直接割るのではなく簡単な判定法がいくつか知られています。たとえば、2の倍数の判定は1の位の数が2で割り切れるかを見ればわかり,3の倍数の判定はすべての位の数をたしたものが3で割り切れるかを見ればわかります。

1

(1)表の(A)(B)に入る5の倍数の判定法と6の倍数の判定法を答えなさい。

7の倍数の判定法としては次の方法が知られています。
「1の位の数」と「1の位以外の位の数」に分け,「1の位の数」の2倍と「1の位以外の位の数」の差が7の倍数。

例1 182の場合
182は「1の位の数」が2,「1の位以外の位の数」が18。
「1の位の数」の2倍は4,「1の位以外の位の数」との差は18-4=14。
これは7の倍数なので182は7の倍数。

(2)686が7の倍数かどうかを例1のようにして判定しなさい。

この判定法を繰り返せば大きな数に対しても7の倍数かどうか調べられます。

例2 2012の判定

2012は「1の位の数」が2,「1の位以外の位の数」が201。
「1の位の数」の2倍は4,「1の位以外の位の数」との差は201-4=197。
ここで197について考える。
197は「1の位の数」が7,「1の位以外の位の数」が19。
「1の位の数」の2倍は14,「1の位以外の位の数」との差は19-14=5。
これは7の倍数でないから197は7の倍数ではない。よって2012も7の倍数でない。

(3)8765が7の倍数かどうかを例2のようにして判定しなさい。
(4)8□65が7の倍数になるとき,□に当てはまる数字を答えなさい。

こたえ

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2012年1月17日 (火)

今年の灘中1日目の問題(灘中学 2012年)

正三角形ABCの3つの辺をそれぞれ5等分する点をとりそれらを正三角形ABCの辺に平行な線で結んで,図のような図形を作ります。この図形の中に現れる正三角形は,正三角形ABCを含めて全部で何個ありますか。

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数え方と注意点と答え

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2012年1月16日 (月)

今年はこんな問題が!(浦和明の星女子中学 2012年)

図のように,1辺の長さが3cmの正六角形と直径が3cmの3つの円があります。図の斜線の部分全体の面積を求めなさい。ただし,図中の・は円の中心とします。また,円周率は3.14とします。

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考え方と答え

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2012年1月14日 (土)

正五角形と角度(大妻中学 2011年)

下の図で、五角形ABCDE は正五角形です。

BE=EF 、EA の延長とFHの交点を点G としたとき、角(ア)の大きさを求めなさい。

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考え方と答え

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2012年1月13日 (金)

1~81までの整数(立教新座中学 2010年)

図のように、1から81までの整数をたて1列にならべます。このうち、まず2の倍数を右に1列進めます。次に、3の倍数を右に1列進めます。さらに4の倍数、5の倍数、・・・、9の倍数までについても同様にして右に1列進めていきます。たとえば、8は第3列まで進み、21は第2列まで進みます。このとき、次の問に答えなさい。

1

(1)80は第何列まで進みますか。

(2)まったく進まない整数は何個ありますか。

(3)もっとも進む整数は何ですか。

(4)すべて進み終えたとき、第5列には4個の整数があります。

   その整数をすべて答えなさい。

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2012年1月12日 (木)

角度を求める問題(海城中学 2011年)

太郎君は最初、真東へ向かって歩いていました。その後、下の図のように7回折り返したところ、真南に向かって歩いていることに気づきました。ア~キの角度が10度ずつ増えているとき、アの角度は何度か求めなさい。

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考え方と答え

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2012年1月10日 (火)

イチゴミルクのつるかめ算(浦和明の星女子中学 2011年)

パック入りのイチゴミルクを買いました。その中身は、重さが260gで、カルシウムが193mg含まれていると表示されていました。そこで、図書館で牛乳とイチゴに含まれるカルシウムの量を調べたところ、100gあたりにそれぞれ、牛乳には110mg、イチゴには17mg 含まれていることがわかりました。このイチゴミルクには、牛乳が何g 入っていると考えられますか。ただし、このイチゴミルクは、牛乳とイチゴだけで作られたものとします。

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2012年1月 9日 (月)

速さと比(市川中学 2010年)

出発地点から山を越えてある目的地まで行き、来た道を通って出発地点に戻りました。このとき、行きに6時間半、帰りに7時間半かかりました。出発地点から目的地までの道のりは何kmですか。ただし、山を上るときは毎時6km、下るときは毎時8kmで進むものとします。

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2012年1月 7日 (土)

回転体の表面積(開智中学 2011年)

下の図の1辺2cmの正三角形ABC を直線L の周りに1回転してできる回転体の表面積を求めなさい。

1

イメージ図と答え

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2012年1月 6日 (金)

道順は何通り?(淑徳与野中学 2011年)

下の図のように、同じ大きさの正三角形8個で作られた立体があります。この立体の頂点Aから、たとえば、

      A → B → F 、 A → B → C → F

のように、辺だけを通って頂点F に行く道順は何通りありますか。

ただし、同じ頂点は2回以上通らないものとします。

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2012年1月 5日 (木)

並び方の推理(栄東中学校、東大クラス選抜 2008年)

○と×の記号を何個か横一列に書き並べました。
・右はしは○で,左はしは×です。
・右から4番目は○で,その左側には○と×が2個ずつあります。
・左から3番目は○で,その右側には○が2個と×が何個かあります。
このとき,○と×の並べ方を解答らんに横一列に書きなさい。

×・・・・・・・・・・・○

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2012年1月 4日 (水)

立体の投影図(渋谷教育学園幕張中学 2011年)

1辺の長さが6cmの立方体の一部を切り取って、新しい立体を作りました。切り口の面はすべて平面で、立体の中がくりぬかれていたりすることはありません。その立体を、元の立方体の6つの面がそれぞれ真正面に見えるように6つの方向から見て、マス目の大きさが1cmの方眼紙に書くと、下の図ア~図カのようになりました。このとき、次の問に答えなさい。

(1)この立体の面の数を答えなさい。

(2)この立体の体積を求めなさい。

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2012年1月 3日 (火)

あてはまる数は?(浦和明の星女子中学 2011年)

1,2,3,4,5 の5つの数を並べて、となり合う数を足し合わせる操作を4回します。たとえば、5つの数を1 3 5 2 4 の順にならべたときは、下の図1のようになります。

1

このとき、次の問に答えなさい。

(1)下の図2のようになったとき、「ア」、「イ」に当てはまる数を答えなさい。

2

(2)下の図3のような結果になったとき、

① ◎にあてはまる数を答えなさい。

② A,B,C,D の4つの数の和と、☆に当てはまる数を答えなさい。

③ A,B,C,D に当てはまる数を答えなさい。

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