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2012年4月

2012年4月30日 (月)

ロープで時間を計る(算数オリンピック1999年ファイナル問題より)

端に火をつけると、ちょうど8分で燃えつきるロープが何本もあります。このロープを使って時間がはかれます。 たとえば、1本のロープの両方の端に同時に火をつけると燃えつきるまでに4分。1本のロープの一方の端に火をつけ、燃え尽きると同時に次のロープの一方の端 に火をつけると 16 分がはかれます。では、下のルールのもとに、6分、7分、9分、10 分、11 分、12 分を それぞれはかることができるでしょうか。

ルール

1 : 使えるロープは1つの時間をはかるのに 3本 以内とする。
2 : 火をつけるのはロープの端だけ。
3 : 同時に火をつけるのは何箇所でもよい。
4 : 火は途中で消せない。
5 : ロープを切ったり、折ったりしてはいけない 。


1

方法と解答

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2012年4月28日 (土)

補助線はどこに? (大妻中学 2010年)

下の図において、AB=5cm、BD=3cm、角ABD=角CBD=60゜のとき、BCの長さを求めなさい。

1

補助線図とこたえ

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2012年4月27日 (金)

規則が決まっている計算問題(西大和学園中学 2009年)

整数Aについて、[ A ] を、Aを3回かけたものの1の位の整数とします。

たとえば、[4]は、4×4×4=64 より、[4]=4、

[3]は、3×3×3=27より、[3]=7 のようになります。

このとき、[1001]+[1002]+[1003]+・・・+[2000] を求めなさい。

考え方と答え

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2012年4月26日 (木)

直線による円の分割(東京学芸大学附属小金井中学 2006年)

円の中に直線を引いていくと、引いた直線によって円の内部が分割されていきます。直線を1本、2本、3本と増やすと、それぞれ下の図1、図2、図3のように分かれます。このとき次の問に答えなさい。

(1)線を4本引いて、円をもっとも多くの部分に分けるように図4に直線を描きなさい。

(2)線を5本引いて、円をもっとも多くの部分に分けると何個に分けることができますか。

(3)線を8本引いて、円をもっとも多くの部分に分けると、何個の部分に分けることができますか。

1

考え方と答え

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2012年4月25日 (水)

浦和中サイコロ(さいたま市立浦和中学 2012年)

太郎くんは,立方体の6つの面に,漢字の「浦」「和」「中」の文字を,ひとつの面にひと文字ずつ,すべての面に記入した「浦和中サイコロ」を工作用紙でつくりました。この「浦和中サイコロ」では,サイコロを手にとって,どの頂点から3つの面が見えるようにながめても,「浦」「和」「中」3種類の漢字が見えるように文字を配置しました。
次の「浦和中サイコロ」をもとにして,問1~問3に答えなさい。

1
(問1) 「浦和中サイコロ」の辺を切り,展開図をつくろうと思います。何か所の辺を切ると図2の展開図の形になりますか。数字で答えなさい。(図2の展開図では文字が省略してあります)
(問2) 図2の展開図では「浦」「和」「中」の文字はどこの面になりますか。展開図の5面それぞれにあてはまる漢字を書き入れなさい。ただし,漢字の向きは考えないこととします。
(問3) 図3の正方形ABCDは,「浦和中サイコロ」のそれぞれの面と同じ大きさの正方形です。この正方形の各辺を3等分する点をとり,点線部分を山析りにして正方形EFGHをつくりました。この正方形EFGHの面積が20c㎡のとき,「浦和中サイコロ」の1辺の長さは何cmになりますか。数字で答えなさい。

2

次に太郎くんは,「浦和中サイコロ」を図4の左下(グレーに着色した場所)に図5のように置いて,たて方向またはよこ方向に合計5回倒しました。
次の図4~図6をもとにして,問4に答えなさい。

3

(問4) 5回倒すと,図6の太線部分にサイコロが到着します。そのとき,①~⑥の各場所に「浦和中サイコロ」を到着させる転がし方は何通りありますか。図6の①~⑥の中に,その数を書き入れなさい。ただし,後戻りする方向と斜め方向にサイコロを倒すことはできません。

考え方と答え

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2012年4月24日 (火)

砂糖水だって考え方は食塩水と同じ(白百合学園中学 2007年)

一定の割合で水を入れて砂糖水を作る機械があります。砂糖だけが入ってた容器Aをこの機械に入れたところ、25秒後に20%の砂糖水になりました。さらにあと何秒たつと容器Aは4%の砂糖水になりますか。

Ilm2007_03_0072s

考え方と答え

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2012年4月23日 (月)

ニュートン算の基本問題(大阪桐蔭中学 2010年)

ある牧場では、12頭の牛を放すと牧場の牧草が27日で食べつくされてしまいます。また、24頭の牛を放すと、9日で牧草が食べつくされてしまいます。牧場の牧草は1日あたり一定の割合で生えるものとして、この牧場に60頭の牛を放したとき牧草は何日で食べつくされるか答えなさい。

Ilm23_fc03010s

考え方とイメージ図と答え

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2012年4月21日 (土)

正方形は何通りできますか?(早稲田中学 2011年)

図のように、縦、横それぞれ1cm間隔で16個の点が並んでいます。これらのうち、4個の点を選んで正方形を作ります。このとき、次の問に答えなさい。

(1)1辺の長さが2cmの正方形ができる4個の点の選び方は何通りありますか。

(2)正方形ができる4個の点の選び方は全部で何通りありますか。

(3)(2)でできる正方形の面積をすべて加えると何c㎡ ですか。



1

イメージ図と答え

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2012年4月20日 (金)

ほんとに計算しちゃいますか?(広島学院中学 2011年)

数字の「8」を20個ならべて、20ケタの整数を作ります。これを37で割ったときの余りを求めなさい。

Cocolog_oekaki_2012_04_20_12_23

計算と答え

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2012年4月19日 (木)

どんな規則で置き換えたか?(頴明館中学 2009年)

1から9までの数字が書かれた9枚のカードを図1のようにならべました。これを、ある規則に従って、図2、図3、図4、・・・のようにならべ変えていきます。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)図5ではカードがどのようにならんでいるか答えなさい。

(2)図2以降で初めて図1と同じならび方になるのは、図A です。Aにあてはまる数を答えなさい。

(3)図2009ではカードがどのようにならんでいるか答えなさい。

1_2

規則性と答え

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2012年4月18日 (水)

内接円と外接円の移動の法則(駒場東邦中学 2011年)

(1)円Oの外側を同じ半径の円が接しながら滑らないように回転します。

1

①図1のように,円Pの位置から円P1→P2→P3の順に移ったとき,円Pの周上の点Aが移った点A1,A2,A3の位置をそれぞれ解答欄の円P1,P2,P3の周上にかきなさい。

②円Pが円Oの回りを1回転して元の位置に戻ったとき,円Pは何回転していますか。

(2)図2では円Oの外側を半径が円Oの1/2倍の円Qが接しながら滑らないように回転します。円Oのまわりを1回転して元の位置に戻ったとき,円Qは何回転していますか。

2

(3)図3では円Oの内側を半径が円Oの1/3倍の円Rが接しながら滑らないように回転します。円Oの内側を1回転して元の位置に戻ったとき,円Rは何回転していますか。

3

法則のイメージアニメーション

考え方と答え

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2012年4月16日 (月)

図形を並べるの規則性(桐光学園中学 2009年)

図1のような正三角形のタイルAとタイルBがたくさんあります。規則にしたがってタイルを並べて図形を作ります。1番目の図形は,タイルA1枚で作ります。2番目からは、前の図形を作るのに使ったタイルと異なるタイルを前の図形のまわりに並べ,順次図形を作っていきます。図2は,4番目までの図形を描いたものです。このとき,次の問いに答えなさい。

(1)5番目の図形は,全部で何枚のタイルが使われていますか。

(2)7番目の図形は,タイルA,Bがそれぞれ何枚使われていますか。

(3)タイルA,タイルBがそれぞれ100枚あります。完成できるもっとも大きい図形は何番目の図形ですか。

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規則性と答え

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2012年4月15日 (日)

フラクタル図形を考える(甲陽学院中学 2001年)

面積が4374c㎡ の正三角形があります。正三角形の各辺を3等分して、まん中の部分にその長さを1辺とする正三角形をつなぐと図1のような図形になります。図1の図形の各辺を3等分して、同様にまん中の部分に同じ長さの正三角形をつなぐと図2のような図形になります。このような作業をくり返すとき、次の問に答えなさい。

(1)図1の図形の面積を答えなさい。

(2)図2の図形の面積を答えなさい。

(3)図2の図形から、同様の作業を2回した後の図形の面積を答えなさい。

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イメージ図と答え

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2012年4月13日 (金)

正三角形の動く範囲は?(灘中学 2011年)

平面上に 3cm だけ離れた2点A,B があり、1辺の長さが6cmの正三角形の板 T を最初に図1の位置に置きます。T が下の①、②、③、④の順に動き、図1の位置に戻るまでにT が通過する部分の面積を求めなさい。

① 右に3cmずらす  ② A の周りに時計回りに60°回す

③ 左に3cmずらす  ④ B の周りに時計周りに60°回す


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イメージ図と答え

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2012年4月12日 (木)

ややこしいですが相当算ですね(第6回ジュニア算数オリンピックファイナル問題より)

大・中・小の3つの鉄球と、水がいっぱいに入っている容器が1つあります。第1回目はその容器に小球を入れ、2回目は小球を取りだし中球を入れ、3回目は中球を取りだし、小球と大球を入れました。このとき、1回目にあふれた水の量は2回目の2分の1で、3回目は2回目の1.5倍の水があふれました。小球の体積を12立法cmとするとき、中球と大球の体積をそれぞれ求めなさい。

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考え方と答え

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2012年4月11日 (水)

重さの関係推理する(千葉市立稲毛高等学校附属中学 2011年)

ABCDの4種類のおもりがあります。その4種類のおもりをてんびんにのせたところ,図1のような組合せでつり合っています。図をよく見て,あとの問いに答えなさい。

1

[問1]図1のつり合う組合せから,Aの重さはDの重さの何倍になるか数字で答えなさい。

[問2]図2のように,ある物体Xの重さを量るために,てんびんの片方にX,もう片方におもりAを置いたら,Aの方が重いことがわかりました。このあと,Xの重さを量ると,あるおもり3個でつり合うことがわかりました。このときXとつり合うおもり3個として考えられる組合せを例にならって,すべて書きなさい。

(例)おもりA1個とおもりB2個でつり合うと考えたときは

→(A,B,B)と書きなさい。
ただし,(A,B,B)と(B,A,B)と(B,B,A)は同じものとする。

推理と答え

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2012年4月10日 (火)

1分で解きたい、小問6題(自修館中等教育学校 2010年) 

(1)りんごを8個買おうとすると200円足りませんが、6個買おうとすると100円余ります。りんご1個の値段はいくらか答えなさい。

(2)ある仕事を仕上げるのに、ジロウ君1人では30時間、カンタロウ君1人では45時間かかります。この仕事をジロウ君とカンタロウ君が2人ですると何時間で仕上がるか答えなさい。

(3)ある規則にしたがって数がならんでいます。15番目の数を答えなさい。
1,2,2,4,3,6,4,・・・

(4)底辺が12cm、高さが7cmの三角形があります。この三角形の面積を変えないで、底辺を2cmにするには、高さを何cmにすればよいか答えなさい。

(5)図のように、二等辺三角形に底辺と平行な線を引いてアとイの2つの部分に分けます。このときア、イ、の面積の比ア:イを最も簡単な整数の比で答えなさい。

1

(6)次の図のような展開図で表される立体の体積を答えなさい。

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考え方と答え

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2012年4月 9日 (月)

規則性のある植木算・・・(3)は難問(巣鴨中学)

図のように木を植えていきます。大きな木から始めて、大きい木と木の間に小さな木を植えます。小さな木は、初めは1本、次は2本、その次は4本、・・・というように2倍ずつ増やしていきます。大きな木と小さな木の間を3.25m、小さな木どうしの間は1.25mとし、木の太さは考えないことにして、次の各問に答えなさい。

(1)初めから数えて、大きな木の3本目と4本目の間の距離は、大きな木の2本目と3本目の間の距離より何m長いか求めなさい。

(2)初めから数えて、大きな木の5本目と6本目の間の距離を求めなさい。

(3)初めの大きな木から測って100mのところまでに大小合わせて何本の木があるか答えなさい。

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考え方と答え

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2012年4月 8日 (日)

どう推理しますか?魔方陣の名作問題(学習院中等科 2008年)

下の図の丸の中に、1から7までの数字を、どれも必ず1回使い、直線で結ばれた3つの数の和がどれも同じになるように入れます。

(1)3つの数の和はいくらか答えなさい。

(2)図を満たす数字の組み合わせは何通りありますか。

1

推理と解答

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2012年4月 7日 (土)

難しそうですが基本問題です(第11回算数オリンピック トライアル問題)

半径50cm、高さ1mの円形のテーブルに正方形の白い布をかぶせたら、白い布の4つの角が、ちょうどぴったり床につきました。正方形の白い布の面積は何㎡ですか。

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考え方と答え

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2012年4月 6日 (金)

平行線を利用する角度問題の基本(広尾学園中学 2010年)

2本の直線ℓ、mは平行です。このとき角度アは何度ですか。

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図と答え

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2012年4月 4日 (水)

公立中高一貫校適性検査問題(千代田区立九段中等教育学校 2010年)

はるきさんとゆうとさんが画集を見ています。

〔はるき〕この絵はエッシヤーという画家が描いた「滝」という作品なんだ。どこかおかしいと思わないかい。
〔ゆうと〕上から流れ落ちてきた水がいつの間にか,また上にもどっている。これは現実ではありえないことだよ。
〔はるき〕この絵は,ところどころに,ありえないつながりがかくされているんだ。「ペンローズの三角形」という図形をヒントにして,描かれているんだよ。

1

問1

図2のエッシャーの絵の中には,ペンローズの三角形をヒントにしたありえないつながりがかくれています。その場所を3か所探し,解答用紙の絵に三角形を描き入れなさい。

〔はるき〕このペンローズの三角形は,現実にはありえない立体だけど,それぞれの面が正しく対応するようこ整理していくと,図3の例のように現実にありえる立体として描くことができるんだ。
〔ゆうと〕本当だね。穴のあいた三角形に厚みを持たせた立体に見える。
〔はるき〕図4の不思議な図形も,面を整理すると現実にありえる穴のあいた台形の立体に描き直しことができるよ。

問2

図3の例にならって,図4のありえない形を描き直します。解答用紙には図の外わくの細が描かれています。その外わくに合わせて。定規を使い,現実にありえる立体を表す図を完成させなさい。さらに,側面になった部分を図3のようにえんぴつでぬりなさい。

2

イメージ解答例

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2012年4月 3日 (火)

公立中高一貫校適性検査問題(東京都立小石川中等教育学校 2011年)

ひろしくんは,川原で拾った小石でお父さんとゲームをしています。それは,皿の上に置いた小石を2人で交互に取っていくゲームで,進め方のルールは次のとおりです。

ゲームの進め方のルール                          
                           
①ひろしくんから先に小石を取り始める(ひろしくんが先手,お父さんが後手)。
②1回に取れる小石の数は5個までで,最低1個は必ず取る。                                              ③最後に小石を取った方が勝ち。                      

1_2 お父さん:皿が1枚で,最初にある小石の数が1個から5個まで の場合,先手は全部取れば必ず勝てるね。             
ひろしくん:最初にある小石の数が6個の場合は,先手は5個までしか取れないから,残りを後手が全部取ってしまえば,後手が必ず勝てるよ。            
お父さん:そうだね。最初にある小石の数によって,先手が勝てるか,後手が勝てるかが決まるようだね。

[問題1]

2 (1)最初にある小石の数が10個とします。このとき,先手のひろしくんが最初に何個か取れば,後手のお父さんがどう取っても,先手のひろしくんが勝つことができます。ひろしくんは最初に何個取ればよいですか。         

(2)最初にある小石の数が6個の場合以外にも,先手のひろしくんがどう取っても,後手のお父さんが必ず勝つことができる場合があります。それは,最初にある小石の数が何個の場合ですか。その例を1つ答えなさい。

ひろしくん:皿を2枚にしてみたらどうなるかなあ。

お父さん:このときは,1回に取れるのは1つの皿からだけにしないと2つの皿に分けた意味がないので,そういうルールにしないといけないね。

ゲームの進め方のルール(追加)                        ④ 1回に取れるのは1枚の皿からだけとする。

[問題2]

3_2

1枚の皿に10個ずつ,2皿で合計20個の小石を置きます。この場合は,先手がどう取っても,後手がうまく取れば,後手が必ず勝つことができます。後手はどのような取り方をすれば必ず勝つことができるか,その方法を説明しなさい。

ひろしくん:もう1枚,皿を増やして3枚の皿に分けたらどうなるかなあ。

お父さん:ルールは,これまでと同じ①~④で考えよう。この場合も,先手が勝てるか,後手が勝てるかは,最初の小石の分け方で決まるんだ。

[問題3]

20個の小石を3枚の皿に分けてゲームをします。

(1)先手がどう取っても,後手がうまく取れば,後手が必ず勝てるようにすることができます。そのためには,それぞれの皿の小石の数をどのようにすればよいですか。分け方の例を1つ挙げなさい。ただし,空の皿はないものとします。答えは,3枚の皿それぞれに置く小石の数を書きなさい。

(2)(1)のように分けたとき,後手が必ず勝つためにはどのような取り方をすればよいか説明しなさい。

[問題4]

あなたがこのゲームをするとします。ゲームをおもしろくするために,ゲームの進め方のルール①~④のうち1つを変えるとすれば,どのルールをどのように変えますか。また,あなたが,そのように変えた方がおもしろいと考える理由を書きなさい。

答えの例

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2012年4月 2日 (月)

青山学院中等部でよく出題される折り紙問題(青山学院中等部 2011年)

下の図のように、長方形の紙を横の長さの半分のところで折った折り目に2つの頂点を合わせて折りました。このとき、(あ)の角度を求めなさい。

1

考え方と答え

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