« 2012年3月 | トップページ | 2012年5月 »
端に火をつけると、ちょうど８分で燃えつきるロープが何本もあります。このロープを使って時間がはかれます。 たとえば、１本のロープの両方の端に同時に火をつけると燃えつきるまでに４分。１本のロープの一方の端に火をつけ、燃え尽きると同時に次のロープの一方の端 に火をつけると 16 分がはかれます。では、下のルールのもとに、６分、７分、９分、10 分、11 分、12 分を それぞれはかることができるでしょうか。
ルール
１ ： 使えるロープは１つの時間をはかるのに ３本 以内とする。
２ ： 火をつけるのはロープの端だけ。
３ ： 同時に火をつけるのは何箇所でもよい。
４ ： 火は途中で消せない。
５ ： ロープを切ったり、折ったりしてはいけない 。
下の図において、ＡＢ＝５ｃｍ、ＢＤ＝３ｃｍ、角ＡＢＤ＝角ＣＢＤ＝６０゜のとき、ＢＣの長さを求めなさい。
整数Ａについて、[ Ａ ] を、Ａを３回かけたものの１の位の整数とします。
たとえば、[４]は、４×４×４＝６４ より、[４]＝４、
[３]は、３×３×３＝２７より、[３]＝７ のようになります。
このとき、[1001]＋[1002]＋[1003]＋・・・＋[2000] を求めなさい。
円の中に直線を引いていくと、引いた直線によって円の内部が分割されていきます。直線を１本、２本、３本と増やすと、それぞれ下の図１、図２、図３のように分かれます。このとき次の問に答えなさい。
（１）線を４本引いて、円をもっとも多くの部分に分けるように図４に直線を描きなさい。
（２）線を５本引いて、円をもっとも多くの部分に分けると何個に分けることができますか。
（３）線を８本引いて、円をもっとも多くの部分に分けると、何個の部分に分けることができますか。
太郎くんは，立方体の６つの面に，漢字の「浦」「和」「中」の文字を，ひとつの面にひと文字ずつ，すべての面に記入した「浦和中サイコロ」を工作用紙でつくりました。この「浦和中サイコロ」では，サイコロを手にとって，どの頂点から３つの面が見えるようにながめても，「浦」「和」「中」３種類の漢字が見えるように文字を配置しました。
次の「浦和中サイコロ」をもとにして，問１～問３に答えなさい。
（問１） 「浦和中サイコロ」の辺を切り，展開図をつくろうと思います。何か所の辺を切ると図２の展開図の形になりますか。数字で答えなさい。（図２の展開図では文字が省略してあります）
（問２） 図２の展開図では「浦」「和」「中」の文字はどこの面になりますか。展開図の５面それぞれにあてはまる漢字を書き入れなさい。ただし，漢字の向きは考えないこととします。
（問３） 図３の正方形ＡＢＣＤは，「浦和中サイコロ」のそれぞれの面と同じ大きさの正方形です。この正方形の各辺を３等分する点をとり，点線部分を山析りにして正方形ＥＦＧＨをつくりました。この正方形ＥＦＧＨの面積が20ｃ㎡のとき，「浦和中サイコロ」の１辺の長さは何cmになりますか。数字で答えなさい。
次に太郎くんは，「浦和中サイコロ」を図４の左下（グレーに着色した場所）に図５のように置いて，たて方向またはよこ方向に合計５回倒しました。
次の図４～図６をもとにして，問４に答えなさい。
（問４） ５回倒すと，図６の太線部分にサイコロが到着します。そのとき，①～⑥の各場所に「浦和中サイコロ」を到着させる転がし方は何通りありますか。図６の①～⑥の中に，その数を書き入れなさい。ただし，後戻りする方向と斜め方向にサイコロを倒すことはできません。
一定の割合で水を入れて砂糖水を作る機械があります。砂糖だけが入ってた容器Ａをこの機械に入れたところ、２５秒後に２０％の砂糖水になりました。さらにあと何秒たつと容器Ａは４％の砂糖水になりますか。
ある牧場では、１２頭の牛を放すと牧場の牧草が２７日で食べつくされてしまいます。また、２４頭の牛を放すと、９日で牧草が食べつくされてしまいます。牧場の牧草は１日あたり一定の割合で生えるものとして、この牧場に６０頭の牛を放したとき牧草は何日で食べつくされるか答えなさい。
図のように、縦、横それぞれ１ｃｍ間隔で１６個の点が並んでいます。これらのうち、４個の点を選んで正方形を作ります。このとき、次の問に答えなさい。
（１）１辺の長さが２ｃｍの正方形ができる４個の点の選び方は何通りありますか。
（２）正方形ができる４個の点の選び方は全部で何通りありますか。
（３）（２）でできる正方形の面積をすべて加えると何ｃ㎡ ですか。
数字の「８」を２０個ならべて、２０ケタの整数を作ります。これを３７で割ったときの余りを求めなさい。
１から９までの数字が書かれた９枚のカードを図１のようにならべました。これを、ある規則に従って、図２、図３、図４、・・・のようにならべ変えていきます。
このとき、次の問に答えなさい。
（１）図５ではカードがどのようにならんでいるか答えなさい。
（２）図２以降で初めて図１と同じならび方になるのは、図Ａ です。Ａにあてはまる数を答えなさい。
（３）図２００９ではカードがどのようにならんでいるか答えなさい。
（1）円Oの外側を同じ半径の円が接しながら滑らないように回転します。
①図１のように，円Ｐの位置から円P1→P2→P3の順に移ったとき，円Ｐの周上の点Ａが移った点A1，A2，A3の位置をそれぞれ解答欄の円P1，P2，P3の周上にかきなさい。
②円Ｐが円Oの回りを１回転して元の位置に戻ったとき，円Ｐは何回転していますか。
（2）図２では円Oの外側を半径が円Oの１/２倍の円Ｑが接しながら滑らないように回転します。円Oのまわりを１回転して元の位置に戻ったとき，円Ｑは何回転していますか。
（3）図３では円Oの内側を半径が円Oの1/３倍の円Ｒが接しながら滑らないように回転します。円Oの内側を１回転して元の位置に戻ったとき，円Rは何回転していますか。
図1のような正三角形のタイルAとタイルBがたくさんあります｡規則にしたがってタイルを並べて図形を作ります。１番目の図形は，タイルA１枚で作ります。２番目からは、前の図形を作るのに使ったタイルと異なるタイルを前の図形のまわりに並べ，順次図形を作っていきます。図２は，４番目までの図形を描いたものです。このとき，次の問いに答えなさい。
（1）5番目の図形は，全部で何枚のタイルが使われていますか。
（2）7番目の図形は，タイルA，Bがそれぞれ何枚使われていますか。
（3）タイルA，タイルBがそれぞれ100枚あります。完成できるもっとも大きい図形は何番目の図形ですか。
面積が４３７４ｃ㎡ の正三角形があります。正三角形の各辺を３等分して、まん中の部分にその長さを１辺とする正三角形をつなぐと図１のような図形になります。図１の図形の各辺を３等分して、同様にまん中の部分に同じ長さの正三角形をつなぐと図２のような図形になります。このような作業をくり返すとき、次の問に答えなさい。
（１）図１の図形の面積を答えなさい。
（２）図２の図形の面積を答えなさい。
（３）図２の図形から、同様の作業を２回した後の図形の面積を答えなさい。
平面上に ３ｃｍ だけ離れた２点Ａ，Ｂ があり、１辺の長さが６ｃｍの正三角形の板 Ｔ を最初に図１の位置に置きます。Ｔ が下の①、②、③、④の順に動き、図１の位置に戻るまでにＴ が通過する部分の面積を求めなさい。
① 右に３ｃｍずらす ② Ａ の周りに時計回りに６０°回す
③ 左に３ｃｍずらす ④ Ｂ の周りに時計周りに６０°回す
大・中・小の３つの鉄球と、水がいっぱいに入っている容器が1つあります。第１回目はその容器に小球を入れ、２回目は小球を取りだし中球を入れ、３回目は中球を取りだし、小球と大球を入れました。このとき､1回目にあふれた水の量は２回目の２分の１で､３回目は２回目の1.5倍の水があふれました。小球の体積を12立法ｃｍとするとき、中球と大球の体積をそれぞれ求めなさい。
ＡＢＣＤの４種類のおもりがあります｡その４種類のおもりをてんびんにのせたところ,図１のような組合せでつり合っています。図をよく見て，あとの問いに答えなさい。
[問１]図1のつり合う組合せから，Ａの重さはＤの重さの何倍になるか数字で答えなさい。
[問２]図２のように，ある物体Ｘの重さを量るために，てんびんの片方にＸ，もう片方におもりＡを置いたら，Ａの方が重いことがわかりました。このあと，Ｘの重さを量ると，あるおもり３個でつり合うことがわかりました。このときＸとつり合うおもり３個として考えられる組合せを例にならって，すべて書きなさい。
(例)おもりＡ1個とおもりＢ２個でつり合うと考えたときは
→(Ａ，Ｂ，Ｂ)と書きなさい。
ただし，(Ａ，Ｂ，Ｂ)と(Ｂ，Ａ，Ｂ)と(Ｂ，Ｂ，Ａ)は同じものとする。
（１）りんごを８個買おうとすると200円足りませんが、６個買おうとすると100円余ります。りんご１個の値段はいくらか答えなさい。
（２）ある仕事を仕上げるのに、ジロウ君１人では30時間、カンタロウ君１人では45時間かかります。この仕事をジロウ君とカンタロウ君が２人ですると何時間で仕上がるか答えなさい。
（３）ある規則にしたがって数がならんでいます。15番目の数を答えなさい。
１，２，２，４，３，６，４，・・・
（４）底辺が12cm、高さが7cmの三角形があります。この三角形の面積を変えないで、底辺を2cmにするには、高さを何cmにすればよいか答えなさい。
（５）図のように、二等辺三角形に底辺と平行な線を引いてアとイの２つの部分に分けます。このときア、イ、の面積の比ア：イを最も簡単な整数の比で答えなさい。
（６）次の図のような展開図で表される立体の体積を答えなさい。
図のように木を植えていきます。大きな木から始めて、大きい木と木の間に小さな木を植えます。小さな木は、初めは１本、次は２本、その次は４本、・・・というように２倍ずつ増やしていきます。大きな木と小さな木の間を３．２５ｍ、小さな木どうしの間は１．２５ｍとし、木の太さは考えないことにして、次の各問に答えなさい。
（１）初めから数えて、大きな木の３本目と４本目の間の距離は、大きな木の２本目と３本目の間の距離より何ｍ長いか求めなさい。
（２）初めから数えて、大きな木の５本目と６本目の間の距離を求めなさい。
（３）初めの大きな木から測って１００ｍのところまでに大小合わせて何本の木があるか答えなさい。
下の図の丸の中に、１から７までの数字を、どれも必ず１回使い、直線で結ばれた３つの数の和がどれも同じになるように入れます。
（１）３つの数の和はいくらか答えなさい。
（２）図を満たす数字の組み合わせは何通りありますか。
半径５０ｃｍ、高さ１ｍの円形のテーブルに正方形の白い布をかぶせたら、白い布の４つの角が、ちょうどぴったり床につきました。正方形の白い布の面積は何㎡ですか。
はるきさんとゆうとさんが画集を見ています。
〔はるき〕この絵はエッシヤーという画家が描いた「滝」という作品なんだ。どこかおかしいと思わないかい。
〔ゆうと〕上から流れ落ちてきた水がいつの間にか，また上にもどっている｡これは現実ではありえないことだよ。
〔はるき〕この絵は，ところどころに，ありえないつながりがかくされているんだ。「ペンローズの三角形」という図形をヒントにして，描かれているんだよ｡
問１
図２のエッシャーの絵の中には，ペンローズの三角形をヒントにしたありえないつながりがかくれています。その場所を３か所探し，解答用紙の絵に三角形を描き入れなさい。
〔はるき〕このペンローズの三角形は，現実にはありえない立体だけど，それぞれの面が正しく対応するようこ整理していくと，図３の例のように現実にありえる立体として描くことができるんだ。
〔ゆうと〕本当だね。穴のあいた三角形に厚みを持たせた立体に見える。
〔はるき〕図４の不思議な図形も，面を整理すると現実にありえる穴のあいた台形の立体に描き直しことができるよ。
問２
図３の例にならって，図４のありえない形を描き直します。解答用紙には図の外わくの細が描かれています。その外わくに合わせて。定規を使い，現実にありえる立体を表す図を完成させなさい。さらに，側面になった部分を図３のようにえんぴつでぬりなさい。
ひろしくんは，川原で拾った小石でお父さんとゲームをしています。それは，皿の上に置いた小石を２人で交互に取っていくゲームで，進め方のルールは次のとおりです。
ゲームの進め方のルール
①ひろしくんから先に小石を取り始める(ひろしくんが先手，お父さんが後手)。
②１回に取れる小石の数は５個までで，最低１個は必ず取る。 ③最後に小石を取った方が勝ち。
お父さん：皿が１枚で，最初にある小石の数が１個から５個まで の場合，先手は全部取れば必ず勝てるね。
ひろしくん：最初にある小石の数が６個の場合は，先手は５個までしか取れないから，残りを後手が全部取ってしまえば，後手が必ず勝てるよ。
お父さん：そうだね。最初にある小石の数によって，先手が勝てるか，後手が勝てるかが決まるようだね。
[問題1]
(1)最初にある小石の数が10個とします。このとき，先手のひろしくんが最初に何個か取れば，後手のお父さんがどう取っても，先手のひろしくんが勝つことができます。ひろしくんは最初に何個取ればよいですか。
(2)最初にある小石の数が６個の場合以外にも，先手のひろしくんがどう取っても，後手のお父さんが必ず勝つことができる場合があります。それは，最初にある小石の数が何個の場合ですか。その例を１つ答えなさい。
ひろしくん：皿を２枚にしてみたらどうなるかなあ。
お父さん：このときは，１回に取れるのは１つの皿からだけにしないと２つの皿に分けた意味がないので，そういうルールにしないといけないね。
ゲームの進め方のルール(追加) ④ １回に取れるのは１枚の皿からだけとする。
[問題２]
１枚の皿に10個ずつ，２皿で合計20個の小石を置きます。この場合は，先手がどう取っても，後手がうまく取れば，後手が必ず勝つことができます。後手はどのような取り方をすれば必ず勝つことができるか，その方法を説明しなさい。
ひろしくん：もう１枚，皿を増やして３枚の皿に分けたらどうなるかなあ。
お父さん：ルールは，これまでと同じ①～④で考えよう。この場合も，先手が勝てるか，後手が勝てるかは，最初の小石の分け方で決まるんだ。
[問題３]
20個の小石を３枚の皿に分けてゲームをします。
（１）先手がどう取っても，後手がうまく取れば，後手が必ず勝てるようにすることができます。そのためには，それぞれの皿の小石の数をどのようにすればよいですか。分け方の例を１つ挙げなさい。ただし，空の皿はないものとします。答えは，３枚の皿それぞれに置く小石の数を書きなさい。
（２）(1)のように分けたとき，後手が必ず勝つためにはどのような取り方をすればよいか説明しなさい。
[問題４]
あなたがこのゲームをするとします。ゲームをおもしろくするために，ゲームの進め方のルール①～④のうち１つを変えるとすれば，どのルールをどのように変えますか。また，あなたが，そのように変えた方がおもしろいと考える理由を書きなさい。
下の図のように、長方形の紙を横の長さの半分のところで折った折り目に２つの頂点を合わせて折りました。このとき、（あ）の角度を求めなさい。
| 日 | 月 | 火 | 水 | 木 | 金 | 土 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | |||||
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 |
| 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
最近のコメント