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2012年4月 3日 (火)

公立中高一貫校適性検査問題(東京都立小石川中等教育学校 2011年)

ひろしくんは,川原で拾った小石でお父さんとゲームをしています。それは,皿の上に置いた小石を2人で交互に取っていくゲームで,進め方のルールは次のとおりです。

ゲームの進め方のルール                          
                           
①ひろしくんから先に小石を取り始める(ひろしくんが先手,お父さんが後手)。
②1回に取れる小石の数は5個までで,最低1個は必ず取る。                                              ③最後に小石を取った方が勝ち。                      

1_2 お父さん:皿が1枚で,最初にある小石の数が1個から5個まで の場合,先手は全部取れば必ず勝てるね。             
ひろしくん:最初にある小石の数が6個の場合は,先手は5個までしか取れないから,残りを後手が全部取ってしまえば,後手が必ず勝てるよ。            
お父さん:そうだね。最初にある小石の数によって,先手が勝てるか,後手が勝てるかが決まるようだね。

[問題1]

2 (1)最初にある小石の数が10個とします。このとき,先手のひろしくんが最初に何個か取れば,後手のお父さんがどう取っても,先手のひろしくんが勝つことができます。ひろしくんは最初に何個取ればよいですか。         

(2)最初にある小石の数が6個の場合以外にも,先手のひろしくんがどう取っても,後手のお父さんが必ず勝つことができる場合があります。それは,最初にある小石の数が何個の場合ですか。その例を1つ答えなさい。

ひろしくん:皿を2枚にしてみたらどうなるかなあ。

お父さん:このときは,1回に取れるのは1つの皿からだけにしないと2つの皿に分けた意味がないので,そういうルールにしないといけないね。

ゲームの進め方のルール(追加)                        ④ 1回に取れるのは1枚の皿からだけとする。

[問題2]

3_2

1枚の皿に10個ずつ,2皿で合計20個の小石を置きます。この場合は,先手がどう取っても,後手がうまく取れば,後手が必ず勝つことができます。後手はどのような取り方をすれば必ず勝つことができるか,その方法を説明しなさい。

ひろしくん:もう1枚,皿を増やして3枚の皿に分けたらどうなるかなあ。

お父さん:ルールは,これまでと同じ①~④で考えよう。この場合も,先手が勝てるか,後手が勝てるかは,最初の小石の分け方で決まるんだ。

[問題3]

20個の小石を3枚の皿に分けてゲームをします。

(1)先手がどう取っても,後手がうまく取れば,後手が必ず勝てるようにすることができます。そのためには,それぞれの皿の小石の数をどのようにすればよいですか。分け方の例を1つ挙げなさい。ただし,空の皿はないものとします。答えは,3枚の皿それぞれに置く小石の数を書きなさい。

(2)(1)のように分けたとき,後手が必ず勝つためにはどのような取り方をすればよいか説明しなさい。

[問題4]

あなたがこのゲームをするとします。ゲームをおもしろくするために,ゲームの進め方のルール①~④のうち1つを変えるとすれば,どのルールをどのように変えますか。また,あなたが,そのように変えた方がおもしろいと考える理由を書きなさい。

答えの例

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