おうぎ形の軌跡は？（淑徳与野中学 ２０１１年）

図のように、半径が６ｃｍ、中心角が３０゜のおうぎ形アとイがあります。おうぎ形アを、おうぎ形イの外側の線にそって、すべらないように転がして、もとの位置まで１周させます。

（１）おうぎ形アが通る部分を正しく図示したものをＡ～Ｄの中から選び、その図のおうぎ形が通る部分に、面積を求めるために必要な線を引きなさい。

（２）おうぎ形アが通る部分の面積は何ｃ㎡ですか。ただし円周率は３．１４、１辺が６ｃｍの正三角形の面積は１５．５９ｃ㎡とします。

イメージ図と答え

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中学受験算数解法１０００→「イメージでわかる中学受験算数」

Ｎ進法のイメージ問題（智辯学園和歌山中学 2009年）

３つの円形の板があり、点Ｐ，Ｑ，Ｒがそれぞれ移動します。点Ｐは、１秒ごとに、０→１→２→３→０→１→・・・ の順に移動し、点Ｑは、点Ｐが１周するごとに、０→１→２→３→４→０→１→・・・の順に移動し、点Ｒは、点Ｑが１周するごとに、０→１→２→３→４→５→０→１→・・・の順に移動します。
はじめに、点Ｐ，Ｑ，Ｒともに「０」の位置にいるとき、次の問に答なさい。

（１）Ｐ，Ｑ，Ｒのいる位置を順に読み上げると、最初は「０００」です。Ｐ，Ｑ，Ｒのいる位置が、はじめて「１１１」となるのは何秒後か答えなさい。

（２）動きだして７５秒後のＰ，Ｑ，Ｒの位置を順に読み上げなさい。

考え方と答え

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つるかめ算の応用問題（城北中学 ２０１１年）

Ａ君、Ｂ君、Ｃ君の３人で大、中、小、３種類の木材、合計31本を運びます。大は２人で１本を、中は１人で１本を、小は１人で２本を必ず運びます。３人の運んだ回数はＡ君が１１回、Ｂ君が８回、Ｃ君は10回で、小の木材を運んだ回数は３人とも３回でした。

（１）中の木材の本数は何本ありますか。

（２）Ａ君は大の木材を全部で５回運び、そのうち３回はＣ君と運びました。Ｃ君は中の木材を何回運びましたか。

考え方と答え

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手がかりはどこに？（東京学芸大学附属竹早中学 2006年）

下の図は、半径４ｃｍの半円と、半円の直径を底辺とする二等辺三角形ＡＢＣが点Ｄ，Ｅで交わっています。角Ａ＝４５°のとき、色のついた部分の面積を求めなさい。

考え方と答え

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第１２回 算数オリンピック、トライアル問題より

１ｇ、３ｇ、８ｇ、１２ｇの分銅がそれぞれ３個ずつあります。これらの分銅と上皿天秤を使っていろいろな物の重量をはかります。

はかるときは次のルールではかります。

１．分銅は上皿天秤の片方の皿にしか置くことはできない。

２．一度にさらに乗せられる分銅の数は最大３個まで。

さて、このルールで物の重量をはかるとき、どうしてもはかることのできないもっとも軽い重量は何ｇですか？

ただし、はかる物の重量はすべて整数ｇです。

考え方とこたえ

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グラフで見る流水算（愛光中学 ２００２年）

川に沿って川下から順にＡ町、Ｂ町、Ｃ町があります。下のグラフは、速さの異なるボートＰ，Ｑが、川を上ったり下ったりした様子を表しています。ボートＰ，Ｑの静水での速さと川の流れの速さは、それぞれ一定として次の問に答えなさい。

（１）ボートＰの静水での速度は毎時何ｋｍですか。

（２）ボートＱはＢ町に何分間停まっていましたか。

（３）ボートＰとＱが２回目に出会ったのは、Ａ町から何ｋｍの地点ですか。

考え方と答え

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円柱ではなくても・・・（東京都市大学付属中学 ２００９年）

底面の半径が２ｃｍ、高さ１０ｃｍの円柱を、図のように点Ａ、Ｂを通る平面と、点Ｃ、Ｄを通る平面で切り、３つの立体に分けます。１番大きい立体の体積は何立方ｃｍですか。ただし、円周率は３．１４とします。

考え方と答え

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比例の応用問題（聖光学院中学 2008年）

聖君と光君が、それぞれ計画を立てて夏休みの数学の宿題をすることにしました。聖君は夏休みの初日から１日に３題ずつ解くことにし、光君は初めの６日間は宿題に手をつけず、７日目から解き終わる日まで１日に □ 題ずつ解くことにしました。
光君が解き始めてから何日か後に、２人の解いた問題数が同じであることがわかりました。聖君は、その翌日から解き終わる日まで１日に５題ずつ解きましたが、すべての問題を解き終わったのは、光君が解き終わった２日後でした。
聖君が１日に３題ずつ解いた日数と、１日に５題ずつ解いた日数が同じであったとき、次の問いに答えなさい。

（１） 光君が問題を解き始めてからすべて解き終わるまでに何日間かかりましたか。

（２） 聖君が問題を解き始めてからすべて解き終わるまでに何日間かかりましたか。

（３） □にあてはまる数を答えなさい。

考え方と答え

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おもしろい図形移動問題（本郷中学 2010年）

下の図は１辺３ｃｍの正三角形を５個組み合わせて作った図です。この図形をすべることなく１回転させたとき、頂点Ａの移動した長さを求めなさい。

イメージ図と答え

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点の移動と直線（芝中学 2010年）

下の図のような長方形ＡＢＣＤがあります。点Ｐ，Ｑが頂点Ａ，Ｃを同時に出発し、長方形の辺上を点ＰはＡ→Ｄ→Ｃ→・・・の順に、毎秒４ｃｍの速さで、点ＱはＣ→Ｂ→Ａ→・・・の順に毎秒５ｃｍの速さで進みます。このとき、次の問に答えなさい。

（１）直線ＰＱが初めて辺ＡＢと平行になるのは、出発して何秒後ですか。

（２）直線ＰＱが初めて辺ＡＤと平行になるのは、出発して何秒後ですか。

考え方と答え

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立体の魔方陣（豊島岡女子学園中学 2006年）

図のように、立方体の８つの頂点にボールを入れることができるようにしました。ボールには、①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧ の８種類の数が書かれています。立方体の面に、面を囲む頂点に入れたボールの数の和を書くと図のようになりました。このとき、青い面に書くことのできる数のうち、最も大きい数を答えなさい。

考え方と答え

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てんびん図の基本的な使い方（浅野中学 ２０１１年）

容器の中に、濃度20％の食塩水400gが入っています。この容器に濃度５％の食塩水をよくかき混ぜなから毎秒10gの割合で流し込んでいきます。このとき、容器内の食塩水の濃度が13％になるのは、濃度５％の食塩水を入れ始めてから何秒後ですか。

てんびん図と答え

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線分図の基本的な使い方（中央大学横浜山手女子中学 ２０１０年）

山田君は52枚の画用紙を持っています。小松さんの待っている画用紙の１/６を山田君にあげたら、２人の画用紙の枚数は同じになりました。小松さんは最初何枚の画用紙を持っていましたか。

線分図と答え

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図形移動と重なり（駒込中学 ２０１０年）

次の図のように正六角形と長方形があります。正六角形が毎秒2cmの速さで、矢印の方向に進むとき、次の問いに答えなさい。

（１）10秒後の図形が重なった部分の面積は，長方形の面積の何分のいくつになりますか。

（２）図形が重なった部分の面積が，正六角形の面積の５/６になるのは何秒後と何秒後ですか。

考え方と答え

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とても簡単な問題です（東大寺学園中学 ２０１０年）

図のように、一辺の長さが９ｃｍの正方形ＡＢＣＤの中に、中心が頂点Ｂで半径が９ｃｍの円の円周の一部ＡＣがかかれています。さらに、辺ＡＤ、辺ＢＣの真ん中の点をそれぞれＥ、Ｆとし、ＥとＦを結ぶ直線と円周の一部ＡＣが交わる点をＧとします。このとき、円周の一部ＧＣの長さを求めなさい。

考え方と答え

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図形の転がった後の軌跡（早稲田大学高等学院中等部 ２０１０年）

中心角９０゜のおうぎ形を，図の矢印の方向に（a）の位置から直線上をすべらないように回転させます。辺AOがこの直線と２度目に垂直になるまで回転させるとき，次の問いに答えなさい。ただし，円周率は3.14とします。

(1)点０が通ったあとの長さを求めなさい。

(2）おうぎ形が通ったあとの図形の面積を式を書いて求めなさい。

イメージ図と答え

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分数を分解する（城北中学 ２００２年）

□の中に２から９までの整数を入れて、

考え方と答え

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グラフからわかることは？（田園調布学園中等部）

川の流れの速さが時速3kmである川の川上にＡ地、川下にＢ地があります。船ＸはＡ地からＢ地へ向かい、船ＹはＢ地からＡ地へ向かい同時に出発しました。船ＸはＢ地に着いてすぐＡ地に向かったところ、船Ｘと船Ｙは同時にＡ地に着きました。グラフは、そのときの様子を表したものです。

（1）船Ｘと船Ｙが最初に出会うのは、出発してから何時間何分後ですか。

（2）Ａ地とＢ地の間の距離は何㎞ですか。

考え方と答え

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表面積比から求める体積（東海中学 2012年）

下の図１は、底面が正方形の四角柱です。この四角柱の２つの底面（緑の面）の和と、４つの側面の面積の和の比は１ ： ６ です。このとき、次の問に答えなさい。

（１）この四角柱の１つの底面と１つの側面の面積の比を答えなさい。

（２）図１の四角柱１１個をすきまなくはり合わせて図２の立体を作ると、その表面積は６８４ｃ㎡ でした。図２の立体の体積を答えなさい。

考え方と答え

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条件がたくさんある難問（雙葉中学 2012年）

下の図のように、Ａ駅、Ｂ駅、Ｃ駅、Ｄ駅が並んでいます。Ａ駅からＤ駅に向かって各駅停車と急行の２種類の電車が走っています。急行は途中のＢ駅とＣ駅には停車しません。各駅停車は１０時に、急行は１０時４２分にＡ駅を出発します。各駅停車はＢ駅では１分停車し、Ｃ駅では停車中に急行に追い抜かれ、その２分後に発車します。そして急行より７分遅れてＤ駅に１２時１４分に着きます。急行の速さは各駅停車の１．５倍で、Ｃ－Ｄ駅間は１８ｋｍです。電車が駅を通過するのにかかる時間は考えないとき、次の問に答えなさい。

（１）急行の速さは時速何ｋｍですか。

（２）各駅停車はＣ駅に着いてから何分何秒後に急行に追い抜かれますか。

考え方と答え

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よく出題される問題（広尾学園中学 ２０１０年）

図のように，円の内側に２つの正方形があります。大きい正方形の４つの頂点はすべて円周上にあり，小さい正方形の４つの頂点はすべて大きい正方形の各辺の真ん中にあります。円の半径が5ｃｍのとき，斜線部の面積の和は何ｃ㎡になりますか。ただし，円周率は3.14とします。

考え方と答え

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二等辺三角形をつなげる（筑波大学附属中学 2003年）

３つの合同な二等辺三角形ＡＢＣ，ＡＣＤ，ＡＤＥ をつなげて下の図１のように五角形ＡＢＣＤＥ を作りました。

角ＣＥＤの大きさが１５°のとき、次の問に答えなさい。

（１）角ＢＡＣの大きさを答えなさい。

（２）五角形ＡＢＣＤＥ の面積を求めなさい。

考え方と答え

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実人数は何割にあたるか？（同志社中学 ２０１０年）

ある中学校のＡ組とＢ組の生徒は、全員が電車、自転車、徒歩のいずれかの方法で通学しています。Ａ組の生徒の３/８は電車通学、１/２は自転車通学で、徒歩で通学しているのは４人です。Ｂ組の生徒数はＡ組より１２．５％多く、電車通学の人数はＡ組と同じで、自転車通学の生徒の割合もＡ組と同じです。Ｂ組の徒歩通学の生徒は何人ですか。

考え方と答え

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組み立てて転がすと（渋谷教育学園渋谷中学 2010年）

下の図のような展開図の直方体を②の面が底面になるように机に置きました。その後、底面が順に②→③→⑥→④→⑤→①となるように直方体をすべらないように回転させると、頂点Ａが移動する距離は何ｃｍになりますか。

 

イメージ図と答え

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並べ方の場合の数は？（麻布中学 ２０１２年）

下の図１のような６つのマス目があり、左上のマス目には「１」が書かれています。残りの５マスに２から６までの数字を１つずつ書き入れることを考えます。ただし、横の３つの数は、３で割った余りが異なるようにし、たての２つの数は２で割った余りが異なるように書き入れます。

たとえば、下の図２の２つは正しい書き入れ方です。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）下の図３で、残った３つの数字の書き入れ方は何通りですか。

（２）下の図４で、残った３つの数字の書き入れ方は何通りですか。

（３）図１で、残った５つの数字の書き入れ方は何通りですか。

考え方と答え

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図形移動の基本問題（鎌倉女学院中学 ２００９年）

図は半径6ｃｍの半円を、点Ａを中心にして30゜回転させたものです。このとき、斜線部分の面積は何ｃ㎡ですか。
ただし、円周率は3.14とします。

考え方と答え

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