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2012年10月

2012年10月31日 (水)

積み重ねた立方体の個数(東邦大学付属東邦中学 2012年)

3同じ大きさの立方体を、面と面がぴったりと重なるようにいくつか積み重ねて立体を作りました。
その立体を真上から見た図と、正面から見た図は右のようになっています。このとき、次の問いに答えなさい。

(1)この図のようになる立体のうち、立方体の個数が最も少ない場合を考えます。
立方体は何個必要ですか。

(2)この図のようになる立体のうち、立方体の個数が最も多い場合を考えます。
立方体は何個必要ですか。

(3)この図のようになる立体は全部で何通りありますか。

イメージ参考図と答え

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2012年10月30日 (火)

角Xの角度は?(田園調布学園中等部 2011年)

下の図の角Xは何度になりますか。ただし、○と○、●と●は同じ角度です。

1

イメージ参考図と答え

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2012年10月29日 (月)

はね返るボールの高さ(ラ・サール中学 2010年) 

落ちた高さの 8分の5 だけはね返るボールがあります。下の図のようにボールがはね返ったとき、X を求めなさい。

 Pic_2464q

はね返りのイメージ図と答え

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2012年10月27日 (土)

柔軟な発想をしないと難問ですよ(東海中学 2006年)

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  Pic_1116q

緑の三角形は、すべて正三角形です。このとき、三角形(あ)の面積は何c㎡ですか。

イメージ参考図と答え

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2012年10月26日 (金)

分数計算の工夫(立教女学院中学 2010年)

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1_2 

どう工夫して計算するのでしょうか?

計算の工夫と答え

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2012年10月25日 (木)

台形と三角形の面積比(青山学院中等部 2012年)

図の台形ABCDと三角形ABEの面積が等しいとき、三角形DFEの面積は台形ABCDの面積の何倍ですか。

1

イメージ参考図と答え

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2012年10月24日 (水)

水そうの中の柱(武蔵中学 2010年)

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水がいっぱいに入った直方体の形をした水そうの中に、1辺の長さが6cmの正方形を底面とする直方体の柱が図1のように立っています。柱を3.2cm持ち上げたら、水面が0.8cm下がりました。図2はこの様子を表しています。次に、図3のように、イの長さが図2のアの長さの2/7倍となるように柱を持ち上げたら、水面がさらに1.2cm下がりました。このとき、次の問に答えなさい。

Pic_1941q

(1)水そうの底面積は何c㎡ ですか。

(2)水そうの深さは何cmですか。

イメージ図と答え

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2012年10月23日 (火)

円の回転移動(学習院中等科 2010年)

下の図1、2は4つの点A、B、C、Dを中心とする半径6cmの円を、中心を結ぶと正方形になるようにならべたものです。
今、点Pを中心とする半径6cmの円が図1の位置から4つの円A、B、C、Dの周りをすべらないように回転して一周します。

(1)円Pが図1の位置から図2の位置まで移動したとき、中心Pが動いた長さを求めなさい。

(2)円Pが一周し終わったとき、円が何回転したか求めなさい。

(3)円Pが一周し終わったとき、点Pが動いて囲んだ図形の面積を求めなさい。ただし、1辺の長さが12cmの正三角形の面積を62.35c㎡とします。

1

回転イメージ図と答え

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2012年10月22日 (月)

面積比は?(大妻中学 2012年)

図のように、平行四辺形ABCDのBCを1/3だけ伸ばした点をE、また、ADを1/3に縮めた点をFとします。EFとCDの交点をGとするとき、台形ABEFと三角形FGDの面積の比をもっとも簡単な整数の比で求めなさい。

1

イメージ図と答え

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2012年10月21日 (日)

なぜ斜辺は5cmになるのか?(早稲田中学 2012年)

下の図のように1辺の長さが 7cm の正方形の中に、2辺の長さが 3cm、4cm の直角三角形があります。この直角三角形と大きさも形も同じである直角三角形を、1辺の長さが 7cm の正方形の中に3個書き加えて、直角三角形の残りの辺の長さが5cm であることを説明しなさい。

   Pic_3057q

イメージ図と答え

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2012年10月19日 (金)

立体のカット(栄東中学校東大クラス選抜 2007年)

下の図の正六角柱を6つの平面、ALH,AHC,CHJ,CJE,EJL,ELAで切ります。できた立体のうち、一番大きなものの体積は、もとの正六角柱の体積の何倍ですか。

0

カットしたイメージ図と答え

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2012年10月18日 (木)

サイレンの信号は何通り?(渋谷教育学園渋谷中学 2011年)

サイレンが1秒または2秒嗚るたびに,1秒だけ休むことをくり返し,9秒間の信号を作ります。また,信号はサイレンの音で始まり,サイレンの音で終わるものとします。このとき,何通りの信号を作ることができますか。

Icn1006s

パターンイメージと答え

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2012年10月17日 (水)

落合監督の推理(海陽中等教育学校(入試Ⅰ) 2011年)

あるスポーツショップでは,ボール,グロープ,バット,スパイク,帽子を売っています。価格は,ボールか800円,グローブが8000円,バットが5000円,スパイクが12000円,帽子が1500円です。

さて,少年野球チーム「蒲郡ドラゴンズ」のメンバーである一郎君,秀喜君,大輔君,孝介君,浩治君の5人がこのお店で買い物をしました。5人とも,それぞれ2種類の品物を1個ずつ購入しました。このとき,お店ではどの商品も2個ずつ売れたそうです。次の練習日,このチームの落合監督は,5人がチームメイト達に話している発言の一部を耳にしました。
発言は次のようなものでした。

孝介「僕はバットを買ったけど,グローブは買わなかったよ」

一郎「大輔君はグローブを買ったよ」

浩治「僕はバットを買わなかったよ」

秀喜「僕はボールを買わなかったよ」

孝介「全員,買ったものの組み合わせは違うよ」

大輔「ボールと帽子を両方買った人はいなかったよ」

浩治「僕が買ったものを,大輔君は一つも買わなかったよ」

一郎「僕が買ったものは,大輔君も孝介君も買わなかったよ」

秀喜「僕が買ったものは、孝介君も浩治君も買わなかったよ」

これらの発言を聞いた落合監督は表1を作って,誰が何を買ったのかを推理しました。

1

この表は最初の孝介君の発言だけを聞いて記入してあります。

次の問に答えなさい。

(1)グローブを買った人の名前をすべて答えなさい。

(2)バットを買った人の名前をすべて答えなさい。

(3)大輔君が買った品物の合計金額はいくらですか。

(4)一郎君はスパイクを買ったのでしょうか,買わなかったのでしょうか。理由をつけて答えなさい。

(5)落合監督は全員の買った商品をみごとに推理して当てることができました。買った商品に○を,買わなかった商品に×を入れて表を完成しなさい。

(6)5人のうち,買い物の合計金額がもっとも高かった人と,合計金額がもっとも低かった人を答えなさい。また,その差額はいくらになりますか。

落合監督の推理と答え

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2012年10月16日 (火)

回転体の体積比較(洛南高等学校附属中学 2010年)

図の緑色部分の図形を軸ABで回転したときにできる立体の体積は、黄色の部分の図形を軸ABで回転したときにできる立体の体積の何倍ですか。ただし、各マス目は正方形です。

1

イメージ図と答え

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2012年10月15日 (月)

点の移動と面積関係(洗足学園中学 2011年)

図のような図形「あ」があります。点Pは一定の速さで,点Bを出発点として点Aまで,図形「あ」の周上を,B→C→D→E→F→Aの順に移動します。下のグラフは,点Pの出発してからの時間と三角形PABの面積の関係を表しています。このとき,次の問いに答えなさい。

(1)グラフの「ア」にあてはまる数はいくつですか?

(2)点Pの速さは毎秒何cmですか?

(3)グラフの「イ」にあてはまる数はいくつですか?

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グラフの読み方と答え

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2012年10月14日 (日)

直角三角形の中の正方形(東大寺学園中学 2012年)

下の図のように、AB=15cm、AC=30cm、角A の大きさが90度の直角三角形ABC があります。

Pic_2896q 

(1)三角形ABC の中に図のように正方形APQR を入れます。このとき、この正方形の1辺の長さを求めなさい。ただし、QはBC上にあるものとします。

(2)図のようにABの延長上にDを、ACの延長上にE を、BC とDE が平行になるように取ったところ、四角形BDEC の中に図のように同じ大きさの正方形が6個入りました。このとき、BD の長さを求めなさい。

(3)さらに、図のようにADの延長上にF を、AE の延長上にGを、DE とFG が平行になるように取ったところ、四角形DFGE の中に、図のように同じ大きさの正方形が10個入りました。このとき、黄色い部分の面積を求めなさい。

イメージ図と考え方と答え

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2012年10月13日 (土)

みかん1個となし2個ではいくら?(吉祥女子中学 2011年)

りんご3個、みかん4個、なし5個が有料の袋Aに入っていると、値段の合計は1870円です。りんご4個、みかん5個、なし6個が袋Aに入っていると、値段の合計は2300円です。みかん1個、なし2個が袋Aに入っているときの値段の合計は何円ですか。

1

考え方と答え

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2012年10月12日 (金)

旅をするがらがらどん(武蔵中学 2011年)

3匹のヤギがいて、名前はどれも「がらがらどん」です。ですから、A、B、Cと区別することにします。さて、A、B、Cは湖畔の同じ地点を同時に出発し、湖に沿って散歩をしました。Aは時計回りに、BとCは反時計回りにそれぞれ一定の速さで歩き、Aの速さはBの速さの1/2倍、Cの速さはBの速さの3/8倍でした。AはまずBと出会い、そこから120m歩いた地点でCと出会い、さらにその2分後に再びBと出会いました。

(1)湖は1周何mですか?

(2)Aの速さは毎分何mですか?

1

考え方と答え

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2012年10月11日 (木)

倍数と公倍数の分類(女子学院中学 2012年)

1から100までの整数を1枚ずつ書いたカード100枚を、下のような手順でア~オの箱に入れていきます。

(1)98と書いたカードはどの箱に入りますか。

(2)ア~オに入るカードの枚数をそれぞれ答えなさい。

1

推理手順と答え

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2012年10月10日 (水)

かげのついた部分の面積(慶應義塾湘南藤沢中等部 2012年)

ABを直径とする図1のような半径8cmの半円の紙を,Aと円周上の点Pを結ぶ直線で図2のように折る。「あ」の角度が22.5゜のとき,かげのついた部分の面積を求めなさい。円周率は3.14とします。

1

イメージ図と答え

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2012年10月 9日 (火)

小さくなっていく正方形(浅野中学 2009年)

図5のような三角形ABCの辺上に、図6のように、点D、E、F、Gをとってて正方形DEFGを作ります。次に、図7のように三角形ADGの辺上に点H、I、J、Kをとって正方形HIJKを作ります。さらに、図にはありませんが、三角形AHKの辺上に点L、M、N、Oをとって正方形LMNOを作り、三角形ALOの辺上に点P、Q、R、Sをとって正方形PQRSを作ります。

(1)正方形DEFGの一辺の長さは何cmですか。

(2)正方形PQRSの一辺の長さは何cmですか。

1

イメージ図と答え

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2012年10月 7日 (日)

増え続ける面積 (立教池袋中学 2010年)

下の図のように、垂直に交わった2つの直線の間に、円の4分の1のおうぎ形の紙を矢印の方向に次々置き、5番目からは重ねて置いて、1つの図形を作っていきます。1番目のおうぎ形の半径は2cm、2番目のおうぎ形の半径は4cm、3番目のおうぎ形の半径は6cm、・・・ と、半径の長さを2cmずつ長くしていきます。円周率を3.14として次の問に答えなさい。

   Pic_2180q

(1)16番目のおうぎ形まで置いたとき、できた図形の周りの長さを求めなさい。

(2)できた図形の周りの長さが382.52cm になるのは、何番目のおうぎ形まで置いたときですか。
 

考え方と答え

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2012年10月 6日 (土)

立方体の切り開き(桜蔭中学 2009年)

図1の立方体を図2の太い線の部分で切り開くと、図3になります。

1

立方体を切り開いた図が、(1)(2)のようになるには、それぞれどのように切り開いたらよいですか。図2のように右の立方体の見取り図に太い線で書き込みなさい。

2

イメージ図による答え

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2012年10月 5日 (金)

旅人算というより、つるかめ算(早稲田大学高等学院中等部 2010年)

図のように,地点Oで交わる2本の道があります。地点A地点Oから8kmのところに,地点Bは地点Oから6kmのところにあります。太郎君は,9時に地点Aを自転車に乗って出発し,途中で自転車をおりて歩いて地点Oに向かいます。花子さんは,9時に地点Bを出発し,歩いたり走ったりして,地点Oに向かいます。 
太郎君と花子さんが歩く速さはともに1時間あたり6kmです。また,太郎君が自転車で走る速さは1時間あたり12km,花子さんが走る速さは1時間あたり10kmです。このとき,次の問いに答えなさい。

1

(1)9時50分に太郎君と花子さんは同時に地点Oで出会うとします。

① 太郎君は何分間自転車に乗りましたか。

② 花子さんは全部で何分間走りましたか。

(2)太郎君が25分以上自転車に乗り,花子さんが20分以上歩いて2人が同時に地点Oで出会うとします。

①2人が出会うのは,最も早くて何時何分ですか。

②2人が出会うのは,最も遅くて何時何分ですか。

考え方と答え

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2012年10月 4日 (木)

100番目までの黒石(浦和明の星女子中学 2010年)

下のように,白色と黒色のご石を,白色と白色のご石の間にある黒色のご石の数を1つずつ増やしながら,左から1列に並べていきます。

1

左から数えて100番目までのご石の中に,黒色のご石は何個ありますか。

規則性と答え

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2012年10月 3日 (水)

正三角形の面積と作図(麻布中学 2007年)

図の線は、平面を同じ大きさの正三角形でしきつめたものです。図1の正三角形の面積を1c㎡とするとき、次の問に答えなさい。

Pic_0584_3

(1)図2の正三角形の面積を求めなさい。

(2)線の交点を頂点とするような、面積が13c㎡の正三角形を1つ図4の上に描きなさい。

(3)図3のような、面積がそれぞれ3c㎡、7c㎡、13c㎡の正三角形で囲まれた三角形ABCを、図4の上に描きなさい。ただし、頂点A,B,Cは線の交点になるようにします。頂点A,B,Cの記号も書きなさい。

(4)三角形ABCの面積を求めなさい。

考え方と答え

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2012年10月 2日 (火)

おうぎ形と正方形(慶應中等部 2011年)

一辺10cmの正方形ABCDがあります。Cを中心として、半径10cmの円をかき、対角線ACとの交点をEとし、ECを直径とする円をかくと図2のようになりました。このとき、斜線部分の面積は何c㎡ですか。

1_2 

イメージ図と答え

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2012年10月 1日 (月)

斜線部分の面積は?(法政大学中学 2011年)

四角形ABCDは一辺が9cmの正方形です。斜線部分の面積は何c㎡ですか。

1

イメージ図と答え

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