長方形の中のおうぎ形（洗足学園中学 ２００９年）

図のように、横の長さが30cmの長方形があります。この長方形の４つの頂点を中心に、それぞれ円の一部をかいたところ、ＥＩの長さが12cmになりました。ＡＧ：ＧＢ＝７：５のとき、ＤＥの長さは何cmですか。

参考イメージ図と答え

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仕事のスピードと時間の関係（栄光学園中学 2011年）

Ａ君、Ｂ君、Ｃ君、Ｄ君の４人で、千羽鶴（せんばづる）を折ることにしました。１人２５０羽ずつ折ります。ある日の正午に４人同時に折り始めたところ、Ａ君が８０羽を仕上げたのが、その日の午後２時台（２時から３時の間）、Ｂ君が１２０羽を仕上げたのが、その日の午後４時台、Ｃ君が１６０羽を仕上げたのが、その日の午後６時台、Ｄ君が２４０羽を仕上げたのが、その日の午後８時台でした。ただし、それぞれ２５０羽を仕上げるまで、休みなく同じペースで折り続けたものとします。このとき、次の問に答えなさい。

（１）２５０羽を仕上げた順番として考えられるものを、下の例にならって全て答えなさい。ただし、だれかとだれかが同時に仕上げたということはなかったものとします。

【例】Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ の順番で仕上げた場合：（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ）

（２）千羽鶴は、最も早くて午後何時何分何秒に仕上がったと考えられますか。

 

考え方と答え

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等分線の書き込まれた数（滝中学 ２０１０年）

下の図のように１本のひもがあります。そのひもを２等分する1ヶ所に「２」を書きこみ，次に３等分する２ヶ所に「３」を書きこみます。次にひもを４等分するところに「４」を書きこみますが，すでに２等分されているちょうど真ん中の点には「２」が書きこまれているため，それ以外の４等分するところに「４」を書きこみます。つまり，「４」を書きこむ場所は２ヶ所で，数を重ねて書きこむことはありません。同様にして，ひもに「５」，「６」，「７」，「８」，・・・と数を順に「16」まで書きこんでいきます。

（１）6等分したとき，「6」を書きこんだ場所は何ケ所ですか。

（２）8等分したとき，「8」を書きこんだ場所は何ケ所ですか。

（３）8等分までしたとき，左から数えて６番目と９番目の数はそれぞれいくつですか。

（４）16等分までしたとき，いくつかの数は6ケ所に書きこまれました。それらの数をすべて答えてください。

分数と答え

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面積比と長さ比（城北中学 ２０１２年）

下の図で，四角形ABCDは台形，四角形ABEDは平行四辺形です。また，台形ABCDの面積は28ｃ㎡，三角形ABCの面積は22ｃ㎡です。このとき，DFは何cmですか。

参考イメージ図と答え

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数字の入れ方は何通り？（早稲田実業中等部 2006年）

下の条件（ア）、（イ）、（ウ）を満たすように、Ａから Ｉ の９個のマスに１から９までの異なる整数を入れます。数字の入れ方として考えられるのは何通りあるか答えなさい。

（ア）Ｂ，Ｄ，Ｆ，Ｈに入る整数は連続する４つの整数で、数字の大きさは、小さい順にＢ，Ｄ，Ｆ，Ｈです。

（イ）Ｅ，Ｃ，Ｇに入る整数は連続する３つの整数で、数字の大きさは、小さい順にＥ，Ｃ，Ｇです。

（ウ）Ａ，Ｅ，Ｉ に入る整数の和は１４です。

推理の順序と答え

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難問に挑戦→正四面体の切断（慶應義塾中等部 2012年）

１辺の長さが ６ｃｍ の正三角形を４枚はり合わせて、下の図アのような立体を作りました。点Ｐ は辺ＡＤ上、点Ｑ は辺ＡＢ上、点Ｒ は辺ＣＤ上にあり、ＡＰ＝２ｃｍ、ＢＱ＝１ｃｍ、ＣＲ＝３ｃｍです。３点Ｐ，Ｑ，Ｒ を通る平面でこの立体を切り、２つの立体に分けるとき、次の問に答えなさい。

（１）３点Ｐ，Ｑ，Ｒ を通る平面が辺ＢＣ を切る点をＳ とするとき、ＢＳ の長さを求めなさい。

（２）２つの立体の表面の面積の差は、正三角形ＡＢＣ の何倍ですか。

参考イメージ図と解法

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山道は何ｋｍ？（桜蔭中学 ２０１０年）

最初が平らな道,中間が山道,最後が平らな道である全長10ｋｍの徒歩コースがあります。このとき次の問いに答えなさい。

（１）このコースを，平らな道は毎時６ｋｍ，山道は毎時４ｋｍで進むとあわせて１時間52分かかります。コース中間の山道は何ｋｍですか。

（２）最初（1）の速さで進み，ある地点からその後すっと速さを（1）の半分にして進むと，２時間10分かかります。ただし，速さを変える地点は平らな道の上とします。速さを変える地点は，コースの出発地点から何ｋｍのところですか。

 

考え方と答え

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台形柱の容器（東海中学 ２０１０年）

下の図のような底面が台形の四角柱の容器に、仕切り板ＥＦＧＨ が入っています。（ア）の部分に、水面が容器の高さと同じになるまで水を入れてから、仕切り板ＥＦＧＨ を取り除いたところ、水面の高さは容器の３分の２になりました。このとき、ＢＦの長さとＦＣの長さの比を求めなさい。ただし、ＡＥ：ＥＤ＝２：１、ＡＢ＝20ｃｍ、ＣＤ＝28ｃｍ です。

　　

イメージ参考図と答え

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立方体の中の三角形形の回転（市川中学 2012年)

下の図のように、１辺の長さが２ｃｍの立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨがあります。点Ｐ が立方体の辺上を点Ｆ から点Ｇ を通って点Ｈまで動きます。さらに面ＥＦＧＨ上で、２点Ｅ，Ｐ を結ぶ直線上に点Ｅ からの長さが１ｃｍ となるような点Ｑをとります。このとき、次の問に答えなさい。

　　　　

（１）点Ｑ が動いたあとを下の図２に描きなさい。

　　　　　　　　

（２）角ＦＥＰ が３０度となるところに点Ｐをとるとき、三角形ＡＱＨを辺ＡＥ を軸として１回転させたときにできる立体の体積を求めなさい。

参考イメージ図と答え

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台形の面積比（青山学院中等部 ２０１２年）

台形ＡＢＣＤと三角形ＡＢＥの面積が等しいとき、三角形ＤＦＥの面積は台形ＡＢＣＤの面積の何倍ですか。

イメージ参考図と答え

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対称な図形と回転（桐朋中学 2012年）

下の図のように、２ｃｍの方眼紙の上に、ある図形の一部が太線で表されています。このとき、次の問に答えなさい。

　　　　　

（１）直線ＡＢ が対称の軸になるように、線対称な図形を描きなさい。

（２）点Ｏが対称の中心になるように、点対称な図形を描きます。このとき、点Ｐに対応する点をＳ，点Ｒに対応する点をＴ とします。４つの点Ｐ，Ｔ，Ｓ，Ｒ を順に結んでできる四角形の面積を求めなさい。

（３）点Ｃ を中心に辺ＰＱ を９０°回転させたとき、辺ＰＱ が通った部分の面積を求めなさい。

イメージ参考図と答え

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べん図を上手に使う（慶應義塾普通部 2012年）

ある中学校の生徒１００人が登校するときに利用する乗り物（電車、バス、自転車）を調べたところ、電車を利用する生徒は８０人、バスを利用する生徒は７０人、自転車を利用する生徒は５０人でした。この３種類の乗り物を全て利用する生徒はいませんでした。このとき、自転車のみを利用する生徒は何人ですか。

べん図と答え

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円周上を移動する点（大阪星光学院中学 2011年）

下の図のように、半径６ｃｍの円周上を動く点Ｐ とＱ があります。ＰとＱは同じ点を同時に出発し、点Ｐは時計回りに進み、１周するのに２０秒かかり、点Ｑは反時計回りに進み、１周するのに３０秒かかります。円の中心をＯとして、三角形ＯＰＱ の面積について考えます。

　　　　

（１）出発して５秒後の三角形ＯＰＱ の面積を求めなさい。

（２）三角形ＯＰＱの面積は、最大でいくらですか。

（３）出発してから２０秒後までの間に、三角形ＯＰＱの面積が出発してから２秒後の面積と同じになる時間をすべて求めなさい。

イメージ参考図と答え

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数の並びの規則性（女子学院中学 2010年）

下の図のように、時計回りに１から順に整数をならべます。行の数と列の数は同じになるようにするとき、次の問に答えなさい。

（１）行の数が１５のとき、２行目１４列目の数はいくつですか。

（２）行の数が２０のとき、４すみの数の和はいくつですか。

規則性と答え

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操作の規則性（武蔵中学 2012年）

赤玉と白玉がそれぞれ初めに１個ずつあります。これに下のＡ か Ｂ のどちらかの「操作」をくり返し行います。

Ａ ： 赤玉の個数と同じ数だけ白玉を増やす

Ｂ ： 白玉の個数と同じ数だけ赤玉を増やす

例えば、まず Ｂ を行うと、（ 赤玉２個、白玉１個） になり、これに Ａ を行うと、（ 赤玉２個、白玉３個） になります。さらに Ａ を行うと、（赤玉２個、白玉５個） になります。この３回の「操作」を左から順に並べて ＢＡＡ と書くことにします。このとき、次の問に答えなさい。

（１）ＢＡＡＡＢ を行ったとき、赤玉と白玉はそれぞれ何個になりますか。

（２）何回かの「操作」の後、（赤玉５個、白玉７個） になりました。Ａ，Ｂ の「操作」をどのように行いましたか。ＢＡＡ のように答えなさい。

（３）赤玉が □個、白玉が △個あるところから、２回「操作」を行ったとき、（赤玉２３個、白玉１０個） になりました。□と△にあてはまる数を答えなさい。

（４）何回かの「操作」を行った後、（赤玉２０１２個、白玉１５個） になりました。このとき行った「操作」の回数は何回ですか。

　　　

考え方の手順と答え

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水の入った容器の長さ（フェリス女学院中学 ２０１０年）

立方体から直方体を切り取って、図１のような容器を作りました。この容器の中に水が入っていて、どこからも水はこぼれません。
アの面が正面になるようにこの容器を置くと、図１のように水面は上の面から4.8cmのところにあります。
アの面が上になるようにこの容器を置くと、図２のように水面は上の面から7cmのところにあります。
アの面が下になるようにこの容器を置くと、図３のように水面は上の面から4cmのところにあります。
図１の直線ABの長さは、図３の直線EFの長さの半分です。
次の問いに答えなさい。

（１）図２のＣＤの長さは何ｃｍですか。

（２）図３のＥＦの長さは何ｃｍですか。

イメージ参考図と答え

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斜線部分の面積（暁星中学 ２０１２年 改題）

図は半径１０ｃｍ、中心角９０゜のおうぎ形の弧を点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄで５等分しています。斜線部アの面積は何ｃ㎡になりますか。

イメージ参考図と答え

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クラスの人数は？（大妻中学 ２０１１年）

あるクラスでは姉がいる人の人数はいない人の人数の１/３、妹がいる人の人数はいない人の人数の１/４です。また、姉も妹もいない人は２５人、姉も妹もいる人は３人です。このクラスの人数は何人ですか。

考え方と答え

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体積比は？（第１１回算数オリンピック、トライアル問題より）

立方体を、その１つの面と平行な平面で切り、２つの直方体Ａ、Ｂに分けます。Ａの表面積とＢの表面積の比が１：２のとき、Ａの体積とＢの体積を、最も簡単な整数の比で求めなさい。

考え方と答え

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工夫しないと難問です（本郷中学 ２０１２年）

図のような１辺の長さが30cmの正三角形ＡＢＣがあります。PB＝10cmである点Ｐから発射された球は辺に当たると、図のように反射し、点Ｃに到達して止まります。このときのＣＱの長さは何cmですか。

イメージ参考図と答え

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約束記号の計算（（豊島岡女子学園中学 2012年）

記号　< > を次のように約束します。ただし、アとイには整数が入ります。

□にあてはまる整数を答えなさい。

計算の仕方と答え

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立方体をカットした立体の組み合わせ（学習院中等科 ２０１１年）

図１は１辺が３ｃｍの立方体です。図２は、図１の立方体を切って、体積を１/２にした三角柱です。図３は、図２の三角柱を切って、体積を１/３にした立体です。

図４は、図１の立方体を７つ合わせて作った立体です。図５は、図４の立体に図2､3の立体をそれぞれいくつか合わせて、どこから見ても同じになるように作った立体です。

このとき、図５の立体について、次の問いに答えなさい。

（１）辺の数を求めなさい。

（２）ＡＢＣを通る平面でこの立体を切ったとき、切り口の面積を求めなさい。

（３）体積を求めなさい。

イメージ参考図と答え

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正五角形折った角度（渋谷教育学園渋谷中学 2012年）

正五角形ＡＢＣＤＥ があります。下の図のように、辺ＢＣ上の点Ｐ，辺ＤＥ上の点Ｑについて、ＣＤ とＰＱ が平行になるように正五角形ＡＢＣＤＥ をＰＱ で折ったところ、点Ａ，Ｂ，Ｅ はそれぞれ点Ａ’，Ｂ’，Ｅ’に移りました。また、点Ｂ’，Ｃ，Ｄ，Ｅ’の４つの点は、点Ａ を中心とする同じ円の円周上にありました。このとき、角アの大きさを求めなさい。

イメージ参考図と答え

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立体の切断と体積（慶應義塾湘南藤沢中等部 ２００８年）

下の図のように,１辺の長さが６ｃｍの立方体ABCD-EFGHがある。点I，Jはそれぞれ辺AE，BFのまん中の点であり，点Ｌ，Ｋは辺ＤＨ，ＣＧ上の点でＤＬ：ＬＨ＝ＣＫ：ＫＧである。この立方体を４点I，J，K，Lを通る平面で切断して２つの立体に分けるとき。次の問いに答えなさい。

（１）ＤＬ：ＬＨ＝１：２であるとき，頂点Aをふくむ立体の体積を求めなさい。

（２）（１）での切り口の図形の辺を，解答らんの展開図にかきこみなさい。

（３）頂点Ａをふくむ立体と頂点Ｅをふくむ体積の比が７：９であるとき、ＤＬの長さを求めなさい。

イメージ参考図と答え

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点の移動と三角形の面積（聖光学院中学 2005年）

１辺の長さが１０ｃｍの正方形ＡＢＣＤがあります。３点Ｐ，Ｑ，Ｒが下の図１のように、それぞれ頂点Ａ，Ｂ，Ｃを出発して、正方形の辺上を反時計回りに進んで行きます。辺ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ上では毎秒１ｃｍの速さで、辺ＤＡ上では毎秒２ｃｍの速さで進みます。

　　　　　　

（１）１２３秒後の三角形ＰＱＲの面積は何ｃ㎡ですか。

（１）のイメージ参考図と答え

（２）点Ｐ，Ｑ，Ｒが下の図２のような位置にきたとき、台形ＰＲＣＤの面積が３０ｃ㎡ になりました。このとき、三角形ＰＱＲの面積は何ｃ㎡ですか。

　　　　　　

（２）のイメージ参考図と答え

（３）点Ｐ，Ｑ，Ｒのどれもが頂点に重ならないとき、三角形ＰＱＲの面積は正方形ＡＢＣＤの面積の半分より必ず小さくなります。このことを下の図３の場合について説明してください。ただし、点Ｑから辺ＡＤに対して平行な直線を引き、辺ＤＣとの交点をＳとするときにできる四角形ＰＱＲＳを用いてください。

　　　　　　

（３）のイメージ参考図と答え

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転がる円と三角形の面積（淑徳与野中学 ２００９年）

【図１】のように，たて8cm，横19cmの長方形ＡＢＣＤと半径１cmの円Ｏがあり，円Ｏの円周上に点Ｐがあります。この位置から，【図２】のように，円Ｏを4秒間で１回転する速さで辺ＣＤにぶつかるまで，辺ＢＣ上をすべらないように転がします。　　　　
このとき，三角形ＡＤＰの面積が76ｃ㎡になるのは何秒後ですか，すべて答えなさい。ただし，円周率は3.14とします。

考え方と計算と答え

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２人の競技の勝ち負け（渋谷教育学園幕張中学 ２００９年）

一方が他方より３ゲーム多く勝ったときに優勝が決まるというルールで、Ａ､Ｂの２人が競技を行いました。ただし、引き分けはないものとします、このとき、次の各問いに答えなさい。

①ちょうど９ゲーム目が終わったときに、Ａが６勝３敗となり優勝しました。このときに考えられるＡの勝ち負けの順は何通りありますか。

②ちょうど12ゲーム目が終わったときに、優勝が決まることはありません。その理由を説明してください。

考えるための図と答え

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