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2012年11月

長方形の中のおうぎ形(洗足学園中学 2009年)

図のように、横の長さが30cmの長方形があります。この長方形の4つの頂点を中心に、それぞれ円の一部をかいたところ、EIの長さが12cmになりました。AG:GB=7:5のとき、DEの長さは何cmですか。

1

参考イメージ図と答え

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仕事のスピードと時間の関係(栄光学園中学 2011年)

A君、B君、C君、D君の4人で、千羽鶴(せんばづる)を折ることにしました。1人250羽ずつ折ります。ある日の正午に4人同時に折り始めたところ、A君が80羽を仕上げたのが、その日の午後2時台(2時から3時の間)、B君が120羽を仕上げたのが、その日の午後4時台、C君が160羽を仕上げたのが、その日の午後6時台、D君が240羽を仕上げたのが、その日の午後8時台でした。ただし、それぞれ250羽を仕上げるまで、休みなく同じペースで折り続けたものとします。このとき、次の問に答えなさい。

(1)250羽を仕上げた順番として考えられるものを、下の例にならって全て答えなさい。ただし、だれかとだれかが同時に仕上げたということはなかったものとします。

【例】A,B,C,D の順番で仕上げた場合:(A,B,C,D)

(2)千羽鶴は、最も早くて午後何時何分何秒に仕上がったと考えられますか。

1  Chosin

考え方と答え

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等分線の書き込まれた数(滝中学 2010年)

下の図のように1本のひもがあります。そのひもを2等分する1ヶ所に「2」を書きこみ,次に3等分する2ヶ所に「3」を書きこみます。次にひもを4等分するところに「4」を書きこみますが,すでに2等分されているちょうど真ん中の点には「2」が書きこまれているため,それ以外の4等分するところに「4」を書きこみます。つまり,「4」を書きこむ場所は2ヶ所で,数を重ねて書きこむことはありません。同様にして,ひもに「5」,「6」,「7」,「8」,・・・と数を順に「16」まで書きこんでいきます。

(1)6等分したとき,「6」を書きこんだ場所は何ケ所ですか。

(2)8等分したとき,「8」を書きこんだ場所は何ケ所ですか。

(3)8等分までしたとき,左から数えて6番目と9番目の数はそれぞれいくつですか。

(4)16等分までしたとき,いくつかの数は6ケ所に書きこまれました。それらの数をすべて答えてください。

1

分数と答え

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面積比と長さ比(城北中学 2012年)

下の図で,四角形ABCDは台形,四角形ABEDは平行四辺形です。また,台形ABCDの面積は28c㎡,三角形ABCの面積は22c㎡です。このとき,DFは何cmですか。

1

参考イメージ図と答え

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数字の入れ方は何通り?(早稲田実業中等部 2006年) 

下の条件(ア)、(イ)、(ウ)を満たすように、Aから I の9個のマスに1から9までの異なる整数を入れます。数字の入れ方として考えられるのは何通りあるか答えなさい。

(ア)B,D,F,Hに入る整数は連続する4つの整数で、数字の大きさは、小さい順にB,D,F,Hです。

(イ)E,C,Gに入る整数は連続する3つの整数で、数字の大きさは、小さい順にE,C,Gです。

(ウ)A,E,I に入る整数の和は14です。

Pic_1059q

推理の順序と答え

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難問に挑戦→正四面体の切断(慶應義塾中等部 2012年)

1辺の長さが 6cm の正三角形を4枚はり合わせて、下の図アのような立体を作りました。点P は辺AD上、点Q は辺AB上、点R は辺CD上にあり、AP=2cm、BQ=1cm、CR=3cmです。3点P,Q,R を通る平面でこの立体を切り、2つの立体に分けるとき、次の問に答えなさい。

Pic_2829q_2

(1)3点P,Q,R を通る平面が辺BC を切る点をS とするとき、BS の長さを求めなさい。

(2)2つの立体の表面の面積の差は、正三角形ABC の何倍ですか。

参考イメージ図と解法

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山道は何km?(桜蔭中学 2010年)

最初が平らな道,中間が山道,最後が平らな道である全長10kmの徒歩コースがあります。このとき次の問いに答えなさい。

(1)このコースを,平らな道は毎時6km,山道は毎時4kmで進むとあわせて1時間52分かかります。コース中間の山道は何kmですか。

(2)最初(1)の速さで進み,ある地点からその後すっと速さを(1)の半分にして進むと,2時間10分かかります。ただし,速さを変える地点は平らな道の上とします。速さを変える地点は,コースの出発地点から何kmのところですか。

Cj007fs 

考え方と答え

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台形柱の容器(東海中学 2010年)

下の図のような底面が台形の四角柱の容器に、仕切り板EFGH が入っています。(ア)の部分に、水面が容器の高さと同じになるまで水を入れてから、仕切り板EFGH を取り除いたところ、水面の高さは容器の3分の2になりました。このとき、BFの長さとFCの長さの比を求めなさい。ただし、AE:ED=2:1、AB=20cm、CD=28cm です。

  Pic_2089q

イメージ参考図と答え

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立方体の中の三角形形の回転(市川中学 2012年)

下の図のように、1辺の長さが2cmの立方体ABCD-EFGHがあります。点P が立方体の辺上を点F から点G を通って点Hまで動きます。さらに面EFGH上で、2点E,P を結ぶ直線上に点E からの長さが1cm となるような点Qをとります。このとき、次の問に答えなさい。

    Pic_3087q_2

(1)点Q が動いたあとを下の図2に描きなさい。

        Pic_3088q

(2)角FEP が30度となるところに点Pをとるとき、三角形AQHを辺AE を軸として1回転させたときにできる立体の体積を求めなさい。

参考イメージ図と答え

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台形の面積比(青山学院中等部 2012年)

台形ABCDと三角形ABEの面積が等しいとき、三角形DFEの面積は台形ABCDの面積の何倍ですか。

Bandicam_20121121_082852921

イメージ参考図と答え

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対称な図形と回転(桐朋中学 2012年)

下の図のように、2cmの方眼紙の上に、ある図形の一部が太線で表されています。このとき、次の問に答えなさい。

     Pic_3066q

(1)直線AB が対称の軸になるように、線対称な図形を描きなさい。

(2)点Oが対称の中心になるように、点対称な図形を描きます。このとき、点Pに対応する点をS,点Rに対応する点をT とします。4つの点P,T,S,R を順に結んでできる四角形の面積を求めなさい。

(3)点C を中心に辺PQ を90°回転させたとき、辺PQ が通った部分の面積を求めなさい。

イメージ参考図と答え

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べん図を上手に使う(慶應義塾普通部 2012年)

ある中学校の生徒100人が登校するときに利用する乗り物(電車、バス、自転車)を調べたところ、電車を利用する生徒は80人、バスを利用する生徒は70人、自転車を利用する生徒は50人でした。この3種類の乗り物を全て利用する生徒はいませんでした。このとき、自転車のみを利用する生徒は何人ですか。

Den Bus Jiten

べん図と答え

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円周上を移動する点(大阪星光学院中学 2011年) 

下の図のように、半径6cmの円周上を動く点P とQ があります。PとQは同じ点を同時に出発し、点Pは時計回りに進み、1周するのに20秒かかり、点Qは反時計回りに進み、1周するのに30秒かかります。円の中心をOとして、三角形OPQ の面積について考えます。

    Pic_2262q

(1)出発して5秒後の三角形OPQ の面積を求めなさい。

(2)三角形OPQの面積は、最大でいくらですか。

(3)出発してから20秒後までの間に、三角形OPQの面積が出発してから2秒後の面積と同じになる時間をすべて求めなさい。

イメージ参考図と答え

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数の並びの規則性(女子学院中学 2010年)

下の図のように、時計回りに1から順に整数をならべます。行の数と列の数は同じになるようにするとき、次の問に答えなさい。

(1)行の数が15のとき、2行目14列目の数はいくつですか。

(2)行の数が20のとき、4すみの数の和はいくつですか。

Pic_1590q

規則性と答え

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操作の規則性(武蔵中学 2012年)

赤玉と白玉がそれぞれ初めに1個ずつあります。これに下のA か B のどちらかの「操作」をくり返し行います。

A : 赤玉の個数と同じ数だけ白玉を増やす

B : 白玉の個数と同じ数だけ赤玉を増やす

例えば、まず B を行うと、( 赤玉2個、白玉1個) になり、これに A を行うと、( 赤玉2個、白玉3個) になります。さらに A を行うと、(赤玉2個、白玉5個) になります。この3回の「操作」を左から順に並べて BAA と書くことにします。このとき、次の問に答えなさい。

(1)BAAAB を行ったとき、赤玉と白玉はそれぞれ何個になりますか。

(2)何回かの「操作」の後、(赤玉5個、白玉7個) になりました。A,B の「操作」をどのように行いましたか。BAA のように答えなさい。

(3)赤玉が □個、白玉が △個あるところから、2回「操作」を行ったとき、(赤玉23個、白玉10個) になりました。□と△にあてはまる数を答えなさい。

(4)何回かの「操作」を行った後、(赤玉2012個、白玉15個) になりました。このとき行った「操作」の回数は何回ですか。

Stnd018s    Icob003s

考え方の手順と答え

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水の入った容器の長さ(フェリス女学院中学 2010年)

立方体から直方体を切り取って、図1のような容器を作りました。この容器の中に水が入っていて、どこからも水はこぼれません。
アの面が正面になるようにこの容器を置くと、図1のように水面は上の面から4.8cmのところにあります。
アの面が上になるようにこの容器を置くと、図2のように水面は上の面から7cmのところにあります。
アの面が下になるようにこの容器を置くと、図3のように水面は上の面から4cmのところにあります。
図1の直線ABの長さは、図3の直線EFの長さの半分です。
次の問いに答えなさい。

(1)図2のCDの長さは何cmですか。

(2)図3のEFの長さは何cmですか。

1

イメージ参考図と答え

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斜線部分の面積(暁星中学 2012年 改題)

図は半径10cm、中心角90゜のおうぎ形の弧を点A、B、C、Dで5等分しています。斜線部アの面積は何c㎡になりますか。

1

イメージ参考図と答え

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クラスの人数は?(大妻中学 2011年)

あるクラスでは姉がいる人の人数はいない人の人数の1/3、妹がいる人の人数はいない人の人数の1/4です。また、姉も妹もいない人は25人、姉も妹もいる人は3人です。このクラスの人数は何人ですか。

Ilm03_be05001s

考え方と答え

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体積比は?(第11回算数オリンピック、トライアル問題より)

立方体を、その1つの面と平行な平面で切り、2つの直方体A、Bに分けます。Aの表面積とBの表面積の比が1:2のとき、Aの体積とBの体積を、最も簡単な整数の比で求めなさい。

1

0

考え方と答え

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工夫しないと難問です(本郷中学 2012年)

図のような1辺の長さが30cmの正三角形ABCがあります。PB=10cmである点Pから発射された球は辺に当たると、図のように反射し、点Cに到達して止まります。このときのCQの長さは何cmですか。

1

イメージ参考図と答え

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約束記号の計算((豊島岡女子学園中学 2012年)

記号 < > を次のように約束します。ただし、アとイには整数が入ります。

Pic_3107q

□にあてはまる整数を答えなさい。

計算の仕方と答え

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立方体をカットした立体の組み合わせ(学習院中等科 2011年)

図1は1辺が3cmの立方体です。図2は、図1の立方体を切って、体積を1/2にした三角柱です。図3は、図2の三角柱を切って、体積を1/3にした立体です。

1

図4は、図1の立方体を7つ合わせて作った立体です。図5は、図4の立体に図2、3の立体をそれぞれいくつか合わせて、どこから見ても同じになるように作った立体です。

2

このとき、図5の立体について、次の問いに答えなさい。

(1)辺の数を求めなさい。

(2)ABCを通る平面でこの立体を切ったとき、切り口の面積を求めなさい。

(3)体積を求めなさい。

イメージ参考図と答え

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正五角形折った角度(渋谷教育学園渋谷中学 2012年)

正五角形ABCDE があります。下の図のように、辺BC上の点P,辺DE上の点Qについて、CD とPQ が平行になるように正五角形ABCDE をPQ で折ったところ、点A,B,E はそれぞれ点A’,B’,E’に移りました。また、点B’,C,D,E’の4つの点は、点A を中心とする同じ円の円周上にありました。このとき、角アの大きさを求めなさい。

Pic_3115q

イメージ参考図と答え

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立体の切断と体積(慶應義塾湘南藤沢中等部 2008年)

下の図のように,1辺の長さが6cmの立方体ABCD-EFGHがある。点I,Jはそれぞれ辺AE,BFのまん中の点であり,点L,Kは辺DH,CG上の点でDL:LH=CK:KGである。この立方体を4点I,J,K,Lを通る平面で切断して2つの立体に分けるとき。次の問いに答えなさい。

(1)DL:LH=1:2であるとき,頂点Aをふくむ立体の体積を求めなさい。

1

(2)(1)での切り口の図形の辺を,解答らんの展開図にかきこみなさい。

2

(3)頂点Aをふくむ立体と頂点Eをふくむ体積の比が7:9であるとき、DLの長さを求めなさい。

イメージ参考図と答え

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点の移動と三角形の面積(聖光学院中学 2005年)

1辺の長さが10cmの正方形ABCDがあります。3点P,Q,Rが下の図1のように、それぞれ頂点A,B,Cを出発して、正方形の辺上を反時計回りに進んで行きます。辺AB,BC,CD上では毎秒1cmの速さで、辺DA上では毎秒2cmの速さで進みます。

      Pic_1841q

(1)123秒後の三角形PQRの面積は何c㎡ですか

(1)のイメージ参考図と答え

(2)点P,Q,Rが下の図2のような位置にきたとき、台形PRCDの面積が30c㎡ になりました。このとき、三角形PQRの面積は何c㎡ですか

      Pic_1842q

(2)のイメージ参考図と答え

(3)点P,Q,Rのどれもが頂点に重ならないとき、三角形PQRの面積は正方形ABCDの面積の半分より必ず小さくなります。このことを下の図3の場合について説明してください。ただし、点Qから辺ADに対して平行な直線を引き、辺DCとの交点をSとするときにできる四角形PQRSを用いてください。

      Pic_1843q

(3)のイメージ参考図と答え

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転がる円と三角形の面積(淑徳与野中学 2009年)

【図1】のように,たて8cm,横19cmの長方形ABCDと半径1cmの円Oがあり,円Oの円周上に点Pがあります。この位置から,【図2】のように,円Oを4秒間で1回転する速さで辺CDにぶつかるまで,辺BC上をすべらないように転がします。    
このとき,三角形ADPの面積が76c㎡になるのは何秒後ですか,すべて答えなさい。ただし,円周率は3.14とします。

1

考え方と計算と答え

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2人の競技の勝ち負け(渋谷教育学園幕張中学 2009年)

一方が他方より3ゲーム多く勝ったときに優勝が決まるというルールで、A、Bの2人が競技を行いました。ただし、引き分けはないものとします、このとき、次の各問いに答えなさい。

①ちょうど9ゲーム目が終わったときに、Aが6勝3敗となり優勝しました。このときに考えられるAの勝ち負けの順は何通りありますか。

②ちょうど12ゲーム目が終わったときに、優勝が決まることはありません。その理由を説明してください。

Mspe0209cs

考えるための図と答え

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