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長方形の分割((筑波大学附属駒場中学 2001年) 

縦40cm、横128cmの長方形の紙があります。この紙を縦または横の辺に平行に切り、面積が小さい方の紙を捨て、大きい方の紙だけ残します。2枚の紙の面積が同じ場合は、どちらか一方を残します。下の図1のようなこの操作を1回と数え、残った長方形の紙に対して、同じ操作をくり返し行います。何回かの操作の後、残った紙が正方形になるようにするとき、次の問に答えなさい。

Pic_2618q

 

(1)2回の操作で残った紙が正方形になるようにするには、1回目の操作でどこを切ればよいですか。切ってもよい部分を下の図2の長方形に描きこんで色をつけなさい。また、その部分の位置がわかるように、長さも書きなさい。

  Pic_2619q

(2)3回の操作で、1辺の長さがもっとも短い正方形になるようにしました。この正方形の1辺の長さを答えなさい。

(3)13回の操作で、1辺の長さがもっとも短い正方形になるようにしました。このとき、捨てた紙の面積の合計を求めなさい。

参考イメージ図と答え

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