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2012年12月

計算の操作と規則性(本郷中学 2012年)

ある数 a の整数部分を< a >と書くことにします。

例えば <3.14>=3となります。これについて次の問いに答えなさい。

1

計算の操作と考え方

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長方形を折る(東邦大学付属東邦中学 2012年)

図のように,横の長さが36cmの長方形ABCDを点線BE,DFを折り目として折ると,対角線BD上で2つの点AとCが重なり合いました。このとき,次の問いに答えなさい。

(1)辺ABと対角線BDの長さの比をもっとも簡単な整数の比で表しなさい。

(2)図の中の角アの大きさを求めなさい。

(3)AEの長さを求めなさい。

2

折った後のイメージ図と答え

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道順の数え方の基本(フェリス女学院中学 2003年)

下の図のように正方形をいくつか組み合わせて図形を作りました。このとき、次の問に答えなさい。

 Pic_1818q_2

(1)図の点Bから点Cへ最短ルートで行く方法は何通りありますか。

(2)図の点Aから点Cへ最短ルートで行く方法は何通りありますか。

数え方の参考図と答え

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カッコが入る計算(晃華学園中学 2009年)

次の[  ]に当てはまる数を入れなさい。ただし,同じ文字の[  ]には同じ数が入り,[ ウ ]には複数の数が入ります。

6+5×8-4÷2という式は計算すると[ ア ]になりますが,例えば,6+5×(8-4÷2)のように,かっこを1つ入れると計算の答えは[ イ ]になります。この例のように,6+5×8-4÷2の式にかっこを1つだけ入れて計算の答えが[ ア ]以外の数になるのは,この例もふくめて何通りか考えられますが,それらの計算の答えを[ イ ]もふくめてすべてあげると[ ウ ]となります。

計算と答え

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立方体の積み木(開成中学 2002年) 

体積1c㎥ の立方体を机の上に積み上げて立体を作りました。この立体を真上、正面、側面から見ると、下の図のようになりました。このとき、考えられる立体の体積のうち、最も小さいときの体積を答えなさい。

Pic_1652q

イメージ参考図による解法と答え

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面積比の基本問題です(学習院中等科 2009年)

次の各図において、円の内側にある図形をA、円の外側にある図形をBとします。それぞれの図について、Aの面積はBの面積の何倍であるか求めなさい。

(1)

A…正方形

B…正方形

1

(2)

A…正方形

B…正三角形

2

(3)

A…正三角形

B…正三角形から上部を切り取った図形3

面積比のイメージがわかる参考図と答え

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色のついた部分の面積(お茶の水女子大附属中学 2005年)

図1のように、半径6cmの円の円周上に正方形ABCDの各頂点があります。正方形の各辺を折り目として、円を折り返すと図2のようになります。図2の色のついた部分の面積を答えなさい。

Pic_0375

考え方と答え

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2013年度入試問題(海陽中等教育学校(特別給費)2013年)

三角形ABCは正三角形で,D,EとG,Hはそれぞれ辺ABとCAを三等分する点,Fは辺BCを二等分する点です。三角形ABCの面積を10c㎡としたとき,三角形EFHの面積を求めなさい。割り切れないときは分数で答えること。

1

考え方と答え

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毎年どこかの中学で出題される三角数の法則(栄東中学 2012年)

○を図のように正三角形の形に並べたときの○の総数1,3, 6, 10,…を三角数といいます。このとき,次の問いに答えなさい。

1

(1)50番目の三角数はいくつですか。

(2)1番目から7番目までの三角数の和はいくつですか。必要であれば,下の図を参考にして考えて下さい。

2

(3)1番目から30番目までの三角数の和はいくつですか。

覚えておきたい法則と答え

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旅人算+和差算(暁星中学 2012年)

一周4.2kmの池の周りの道があります。A地点からN君が時計回りに、B地点からS君が反時計回りに同時刻に出発しました。N君とS君は12分後に初めて出会い、それから更に30分後にまた出会いました。また、A地点からN君が時計回りに、B地点からS君も時計回りに同時刻に出発したら84分後に出会いました。N君とS君はそれぞれ一定の速さで歩いているとして、次の各問いに答えなさい。

(1)N君とS君が12分後に初めて出会ったとき、2人の歩いた距離の合計を求めなさい。

(2)N君とS君の歩く速さをそれぞれ求めなさい。

9221    720

イメージ参考図と答え

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合わせていくつあった?(横浜共立学園中学 2010年)

みかんとりんごを子どもたちに分けます。みかんはりんごより7個多くあります。みかんを1人5個、りんごを1人3個ずつ分けたところ、みかんがちょうどなくなり、りんごは15個残りました。最初に、みかんとりんごは合わせて何個ありましたか。

Ilm04_ab13001s Ilm04_ab13001sIlm04_ab13001s Ilm23_ba02001s

考え方と答え

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並べ方の場合の数(巣鴨中学 2012年)

下の図1のように、マッチ棒で 0から9 までの十種類の数字を作ることができます。たとえば 「8」 はマッチ棒をちょうど7本使って作ることができます。このとき次の問に答えなさい。ただし、答えが求められないときは 「なし」 と答えなさい。

 Pic_3026q

(1)マッチ棒をちょうど10本使って2ケタの整数は何種類作れますか。ただし、同じ数を2つ作ってもかまいません。

(2)マッチ棒をちょうど10本使って3ケタの整数は何種類作れますか。ただし、同じ数を2つ作ってもかまいません。

(3)下の図2は、①、②、③にそれぞれマッチ棒をちょうど10本ずつ使って作った計算式です。このとき、③に当てはまる最大の整数を求めなさい。ただし、①、②にはそれぞれ(1)で作った整数、③には(2)で作った整数が入ります。

 Pic_3027a

数え方の手順と答え

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いくつに分けられますか?(慶應義塾中等部 2011年)

1枚の画用紙があります。この画用紙に直線を1本引くと下の図A のように、【 ア 】、【 イ 】の2つの部分に分けることができます。直線を2本引くと、図B の場合は3つの部分にしか分けることができませんが、図C の場合は4つの部分に分けることができます。このとき、次の問に答なさい。

 Pic_2740q

(1)直線を4本引いて、画用紙を最も多くの部分に分けると、何個の部分にわけることができますか。

(2)直線を10本引いて、画用紙を最も多くの部分に分けると、何個の部分にわけることができますか。

規則性と答え

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学校、A地点、B地点、公園(筑波大学附属駒場中学 2008年)

学校から公園までの道の途中に、A地点とB地点がこの順にあります。花子さんは、午前9時に徒歩で学校を出発し、公園に向かいました。途中、A地点で7分間、B地点で12分間休みました。太郎君は、午前9時20分に自転車で学校を出発し、途中休まずに公園に行き、そこで7分間休んだ後、学校に向けて公園を出発しました。この間、午前9時28分にA地点の手前のP地点で、太郎君は花子さんを追い抜きました。また、太郎君は公園を出発してから10分後にB地点を通過し、そのときちょうど花子さんがB地点に着きました。

このとき、次の問に答えなさい。ただし、花子さんの歩く速さと太郎君の自転車の速さは、それぞれ一定であるものとします。

(1)太郎君の速さは花子さんの速さの何倍ですか。

(2)P地点とB地点の間の距離は、B地点と公園の間の距離の何倍ですか。

(3)花子さんが公園に着いたのは午前何時何分ですか。

Ilm13_ac06005s Clpe030s

グラフとイメージ図による解説と答え

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角度と長さと面積(フェリス女学院中学 2009年)

図の三角形ABCは,辺ABと辺ACの長さが等しく,辺BCの長さは6cmです。頂点Aから辺BCに垂直に引いた直線ADと,頂点Cから辺ABに垂直に引いた直線CEとが交わった点をFとします。次の問いに答えなさい。

(1)「あ」の角度を求めなさい。

(2)AFの長さを求めなさい・

(3)三角形AFCの面積を求めなさい。

1

参考イメージ図と答え

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図形イメージの問題(東京農業大学第一中等部 2010年)

1_3 (1)右の図のように、1辺の長さが1の正六角形のなかに、1辺の 長さが1の正三角形が置かれています。正三角形を正六角形の内側で矢印の向きに転がして一周させるとき、点Pの動く様子を表した図として正しいものを次のア~カの中から一つ選び、記号で答えなさい。

2

(2)折り目のついていない正三角形の祈り紙を、下の①~④のように折っていきます。

3

④を開いたとき、ついている祈り目として正しいものを次のア~カの中から一つ選び、記号で答えなさい。

4

5 (3)右の図のように立方体の辺に沿って針金を祈り曲げます。この針金を動かし、上から光を当てたときにできる影のうち、決して現れない影の形を次のア~カの中から一つ選び、記号で答えなさい。

6

イメージ参考図による答え

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さいころの目の出方は何通り?(法政大学中学 2009年)

図のように、①~⑥の数字が円周上に並んでいます。いま①の場所からスタートし、さいころをふって出た目の数が3の倍数のときは時計回りに2つ進み、それ以外の場合は反時計回りに1つ進むゲームをします。このとき,次の問いに答えなさい。

(1)さいころを2回投げて⑤の場所にくるとき、さいころの目の出方は全部で何通りありますか。 

(2)さいころを4回投げて⑥の場所にくるとき、さいころの目の出方は全部で何通りありますか。 

1

パターン分けの考え方と答え

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正方形の作図(早稲田中学 2012年)

たて1cm、横2cmの長方形2個と、1辺の長さが1cmの正方形5個を並べて、1辺の長さが3cmの正方形を作ります。1辺の長さが1cmの正方形が1辺の長さが3cmの正方形の真ん中にある並べ方は全部で何通りありますか。ただし、回転して同じ並べ方になるものは1通りとして数えます。

1

解答イメージ図

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本箱の幅は何cm?(雙葉中学 2010年)

表のような3種類の本A、B、Cがあります。このうち何冊かを本箱に一列に並べます。まず、できるだけ多く本を並べると26冊になり、27冊目は並びません。次に、本箱の幅ぴったりに並べたところ、全部で23冊になり、そのうちBは14冊でした。A、Cは何冊でしたか。本箱の幅は何cmですか。

1Ilm03_bf01025s

考え方の順序と答え

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扇形の回転(麻布中学 2000年)

半径3cm、中心角60度の扇形ABCの1辺が長方形に接しています。長方形のDEの長さは6cm、EFの長さは扇形ABCの弧の長さと等しくなっています。

     Pic_0777q

扇形がすべることなく長方形の周りを時計回りに移動して1周するとき、次の問に答えなさい。

(1)扇形が通った部分を図示しなさい。

(2)(1)で図示した部分の面積は、扇形ABCと三角形ABCの何個分の面積と等しくなるか答えなさい。

回転イメージ図と答え

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三角形の面積比(市川中学 2011年)

図のように,ABとCDは点0で直角に交わっています。三角形OACと三角形OBDの面積の和が30c㎡,三角形OBEと三角形OAFの面積の和が14c㎡のとき,ABの長さを求めなさい。

1

参考イメージ図による解法と答え

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立方体のくりぬき(筑波大学附属中学 2012年)

125個の立方体が,縦横5つずつ5段に積み重ねられています。下の図のように,となり合う2つの面の色のついた部分で,表面に垂直な方向に型抜きをすると,残った立方体はいくつになりますか。

0

数え方のイメージ図と答え

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正六角形と面積比 (白百合学園中学 2004年)

正六角形があり、各頂点を線で結び、さらに交点どうしを線で結んで、下図のように色をつけました。色の付いた部分と、元の正六角形の面積比を求めなさい。        

Pic_0137

参考図による解説と答え

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川の流れと船の速さ(武蔵中学 2007年)

21kmはなれた川のA地点とB地点を船で往復しました。AからBへ上るときは2時間6分かかり、BからAへ下るときは、川の流れが1時間あたり1.4km速くなっていたので、1時間15分ですみました。次の問に答えなさい。

(1)水の流れがないとき、この船の速さは時速何kmですか。

(2)BからAへ下るときの川の流れが、もし上りのときより1時間あたり0.4kmおそくなっていたとすると、下りにはどれくらいの時間がかかりますか。

Gum05_dr01052s 

わかりやすいイメージ参考図と答え

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大人と子どもの人数は?(六甲中学 2010年)

大人と子ども合わせて77人が遊園地に行きます。交通費は大人1000円,子ども500円で,遊園地の入園料は大人3000円,子ども2000円です。また,大人全体の費用と子ども全体の費用の比は4:3です。大人,子どもはそれぞれ何人ですか。

1

考え方と答え

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トーナメント戦の計算問題 (慶應義塾湘南藤沢中等部 2008年)

2,4,8,16,・・・,のように、2をいくつかかけ合せた数のチーム数が参加するトーナメント(勝ち抜き戦)を考えます。1つのトーナメントで行われる各試合が何回戦かを示す各数字をすべて加えた数を N で表します。たとえば、チーム数が8のときには、下の図のようなトーナメントになり、1回戦が4試合、2回戦が2試合、3回戦が1試合行われ、N=1+1+1+1+2+2+3=11となります。このとき、次の問に答えなさい。

        Pic_3129q

(1)チーム数が16のトーナメントでは、Nはいくつになりますか。

(2)6回戦が決勝戦となるトーナメントでは、Nはいくつになりますか。

(3)あるチーム数のトーナメントでは、N=4083 になりました。この2倍のチーム数のトーナメントでは、N=8178 になります。N=4083 となるときのチーム数を求めなさい。

トーナメント参考図と答え

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持っていたタイルの枚数は?(浦和明の星女子中学 2008年)

Aさんは,たての長さlcm,横の長さ2cmの長方形の形をしたタイルを敷き詰めて,正方形の形に並べることにしました。例えば,18枚のタイルを並べると,下の図のようになります。Aさんがいま持っているタイルをすべて使うと,ある大きさの正方形の形に並べられますが,さらに30枚のタイルかあれば,その正方形より1辺の長さが2cm長い正方形の形に並べられます。持っているタイルは何枚でしょうか。

1

参考イメージ図と答え

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長方形の分割((筑波大学附属駒場中学 2001年) 

縦40cm、横128cmの長方形の紙があります。この紙を縦または横の辺に平行に切り、面積が小さい方の紙を捨て、大きい方の紙だけ残します。2枚の紙の面積が同じ場合は、どちらか一方を残します。下の図1のようなこの操作を1回と数え、残った長方形の紙に対して、同じ操作をくり返し行います。何回かの操作の後、残った紙が正方形になるようにするとき、次の問に答えなさい。

Pic_2618q

 

(1)2回の操作で残った紙が正方形になるようにするには、1回目の操作でどこを切ればよいですか。切ってもよい部分を下の図2の長方形に描きこんで色をつけなさい。また、その部分の位置がわかるように、長さも書きなさい。

  Pic_2619q

(2)3回の操作で、1辺の長さがもっとも短い正方形になるようにしました。この正方形の1辺の長さを答えなさい。

(3)13回の操作で、1辺の長さがもっとも短い正方形になるようにしました。このとき、捨てた紙の面積の合計を求めなさい。

参考イメージ図と答え

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すずきたかし先生のネット塾

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