計算の操作と規則性（本郷中学 ２０１２年）

ある数　a　の整数部分を＜　a　＞と書くことにします。

例えば　＜３．１４＞＝３となります。これについて次の問いに答えなさい。

計算の操作と考え方

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長方形を折る（東邦大学付属東邦中学 ２０１２年）

図のように，横の長さが36cmの長方形ABCDを点線BE，DFを折り目として折ると，対角線BD上で２つの点ＡとCが重なり合いました。このとき，次の問いに答えなさい。

（１）辺ABと対角線BDの長さの比をもっとも簡単な整数の比で表しなさい。

（２）図の中の角アの大きさを求めなさい。

（３）ＡＥの長さを求めなさい。

折った後のイメージ図と答え

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道順の数え方の基本（フェリス女学院中学 2003年）

下の図のように正方形をいくつか組み合わせて図形を作りました。このとき、次の問に答えなさい。

　

（１）図の点Ｂから点Ｃへ最短ルートで行く方法は何通りありますか。

（２）図の点Ａから点Ｃへ最短ルートで行く方法は何通りありますか。

数え方の参考図と答え

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カッコが入る計算（晃華学園中学 ２００９年）

次の[  ]に当てはまる数を入れなさい。ただし，同じ文字の[  ]には同じ数が入り，[ ウ ]には複数の数が入ります。

６＋５×８－４÷２という式は計算すると[ ア ]になりますが，例えば，６＋５×(８－４÷２)のように，かっこを１つ入れると計算の答えは[ イ ]になります。この例のように，６＋５×８－４÷２の式にかっこを１つだけ入れて計算の答えが[ ア ]以外の数になるのは，この例もふくめて何通りか考えられますが，それらの計算の答えを[ イ ]もふくめてすべてあげると[ ウ ]となります。

計算と答え

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立方体の積み木（開成中学 2002年）

体積１ｃ㎥ の立方体を机の上に積み上げて立体を作りました。この立体を真上、正面、側面から見ると、下の図のようになりました。このとき、考えられる立体の体積のうち、最も小さいときの体積を答えなさい。

イメージ参考図による解法と答え

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面積比の基本問題です（学習院中等科 ２００９年）

次の各図において、円の内側にある図形をＡ、円の外側にある図形をＢとします。それぞれの図について、Ａの面積はＢの面積の何倍であるか求めなさい。

（１）

Ａ…正方形

Ｂ…正方形

（２）

Ａ…正方形

Ｂ…正三角形

（３）

A…正三角形

Ｂ…正三角形から上部を切り取った図形

面積比のイメージがわかる参考図と答え

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色のついた部分の面積（お茶の水女子大附属中学 2005年）

図１のように、半径６ｃｍの円の円周上に正方形ＡＢＣＤの各頂点があります。正方形の各辺を折り目として、円を折り返すと図２のようになります。図２の色のついた部分の面積を答えなさい。

考え方と答え

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２０１３年度入試問題（海陽中等教育学校（特別給費）２０１３年）

三角形ABCは正三角形で，Ｄ，ＥとＧ，Ｈはそれぞれ辺ABとCAを三等分する点，Ｆは辺BCを二等分する点です。三角形ABCの面積を10ｃ㎡としたとき，三角形ＥＦＨの面積を求めなさい。割り切れないときは分数で答えること。

考え方と答え

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毎年どこかの中学で出題される三角数の法則（栄東中学 ２０１２年）

○を図のように正三角形の形に並べたときの○の総数1，３， 6， 10，…を三角数といいます。このとき，次の問いに答えなさい。

（１）50番目の三角数はいくつですか。

（２）1番目から７番目までの三角数の和はいくつですか。必要であれば，下の図を参考にして考えて下さい。

（３）１番目から３０番目までの三角数の和はいくつですか。

覚えておきたい法則と答え

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旅人算＋和差算（暁星中学 ２０１２年）

一周4.2kmの池の周りの道があります。Ａ地点からＮ君が時計回りに、Ｂ地点からＳ君が反時計回りに同時刻に出発しました。Ｎ君とＳ君は12分後に初めて出会い、それから更に30分後にまた出会いました。また、Ａ地点からＮ君が時計回りに、Ｂ地点からＳ君も時計回りに同時刻に出発したら84分後に出会いました。Ｎ君とＳ君はそれぞれ一定の速さで歩いているとして、次の各問いに答えなさい。

（１）Ｎ君とＳ君が12分後に初めて出会ったとき、２人の歩いた距離の合計を求めなさい。

（２）Ｎ君とＳ君の歩く速さをそれぞれ求めなさい。

　　　

イメージ参考図と答え

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合わせていくつあった？（横浜共立学園中学 ２０１０年）

みかんとりんごを子どもたちに分けます。みかんはりんごより７個多くあります。みかんを１人５個、りんごを１人３個ずつ分けたところ、みかんがちょうどなくなり、りんごは15個残りました。最初に、みかんとりんごは合わせて何個ありましたか。

　

考え方と答え

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並べ方の場合の数（巣鴨中学 2012年）

下の図１のように、マッチ棒で ０から９ までの十種類の数字を作ることができます。たとえば 「８」 はマッチ棒をちょうど７本使って作ることができます。このとき次の問に答えなさい。ただし、答えが求められないときは 「なし」 と答えなさい。

　

（１）マッチ棒をちょうど１０本使って２ケタの整数は何種類作れますか。ただし、同じ数を２つ作ってもかまいません。

（２）マッチ棒をちょうど１０本使って３ケタの整数は何種類作れますか。ただし、同じ数を２つ作ってもかまいません。

（３）下の図２は、①、②、③にそれぞれマッチ棒をちょうど１０本ずつ使って作った計算式です。このとき、③に当てはまる最大の整数を求めなさい。ただし、①、②にはそれぞれ（１）で作った整数、③には（２）で作った整数が入ります。

　

数え方の手順と答え

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いくつに分けられますか？（慶應義塾中等部 2011年）

１枚の画用紙があります。この画用紙に直線を１本引くと下の図Ａ のように、【　ア　】、【　イ　】の２つの部分に分けることができます。直線を２本引くと、図Ｂ の場合は３つの部分にしか分けることができませんが、図Ｃ の場合は４つの部分に分けることができます。このとき、次の問に答なさい。

　

（１）直線を４本引いて、画用紙を最も多くの部分に分けると、何個の部分にわけることができますか。

（２）直線を１０本引いて、画用紙を最も多くの部分に分けると、何個の部分にわけることができますか。

規則性と答え

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学校、Ａ地点、Ｂ地点、公園（筑波大学附属駒場中学 2008年）

学校から公園までの道の途中に、Ａ地点とＢ地点がこの順にあります。花子さんは、午前９時に徒歩で学校を出発し、公園に向かいました。途中、Ａ地点で７分間、Ｂ地点で１２分間休みました。太郎君は、午前９時２０分に自転車で学校を出発し、途中休まずに公園に行き、そこで７分間休んだ後、学校に向けて公園を出発しました。この間、午前９時２８分にＡ地点の手前のＰ地点で、太郎君は花子さんを追い抜きました。また、太郎君は公園を出発してから１０分後にＢ地点を通過し、そのときちょうど花子さんがＢ地点に着きました。

このとき、次の問に答えなさい。ただし、花子さんの歩く速さと太郎君の自転車の速さは、それぞれ一定であるものとします。

（１）太郎君の速さは花子さんの速さの何倍ですか。

（２）Ｐ地点とＢ地点の間の距離は、Ｂ地点と公園の間の距離の何倍ですか。

（３）花子さんが公園に着いたのは午前何時何分ですか。

グラフとイメージ図による解説と答え

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角度と長さと面積（フェリス女学院中学 ２００９年）

図の三角形ABCは，辺ABと辺ACの長さが等しく，辺BCの長さは６ｃｍです。頂点Ａから辺BCに垂直に引いた直線ADと，頂点Cから辺ABに垂直に引いた直線CEとが交わった点をＦとします。次の問いに答えなさい。

（１）「あ」の角度を求めなさい。

（２）AFの長さを求めなさい・

（３）三角形AFCの面積を求めなさい。

参考イメージ図と答え

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図形イメージの問題（東京農業大学第一中等部 ２０１０年）

（１）右の図のように、１辺の長さが１の正六角形のなかに、１辺の 長さが１の正三角形が置かれています。正三角形を正六角形の内側で矢印の向きに転がして一周させるとき、点Ｐの動く様子を表した図として正しいものを次のア～カの中から一つ選び、記号で答えなさい。

（２）折り目のついていない正三角形の祈り紙を、下の①～④のように折っていきます。

④を開いたとき、ついている祈り目として正しいものを次のア～カの中から一つ選び、記号で答えなさい。

（３）右の図のように立方体の辺に沿って針金を祈り曲げます。この針金を動かし、上から光を当てたときにできる影のうち、決して現れない影の形を次のア～カの中から一つ選び、記号で答えなさい。

イメージ参考図による答え

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さいころの目の出方は何通り？（法政大学中学 ２００９年）

図のように、①～⑥の数字が円周上に並んでいます。いま①の場所からスタートし、さいころをふって出た目の数が３の倍数のときは時計回りに２つ進み、それ以外の場合は反時計回りに１つ進むゲームをします。このとき，次の問いに答えなさい。

（１）さいころを２回投げて⑤の場所にくるとき、さいころの目の出方は全部で何通りありますか。　

（２）さいころを４回投げて⑥の場所にくるとき、さいころの目の出方は全部で何通りありますか。　

パターン分けの考え方と答え

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正方形の作図（早稲田中学 ２０１２年）

たて１ｃｍ、横２ｃｍの長方形２個と、１辺の長さが１ｃｍの正方形５個を並べて、１辺の長さが３ｃｍの正方形を作ります。１辺の長さが１ｃｍの正方形が１辺の長さが３ｃｍの正方形の真ん中にある並べ方は全部で何通りありますか。ただし、回転して同じ並べ方になるものは１通りとして数えます。

解答イメージ図

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本箱の幅は何ｃｍ？（雙葉中学 ２０１０年）

表のような３種類の本Ａ、Ｂ、Ｃがあります。このうち何冊かを本箱に一列に並べます。まず、できるだけ多く本を並べると26冊になり、27冊目は並びません。次に、本箱の幅ぴったりに並べたところ、全部で23冊になり、そのうちＢは14冊でした。Ａ、Ｃは何冊でしたか。本箱の幅は何ｃｍですか。

考え方の順序と答え

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扇形の回転（麻布中学 2000年）

半径３ｃｍ、中心角６０度の扇形ＡＢＣの１辺が長方形に接しています。長方形のＤＥの長さは６ｃｍ、ＥＦの長さは扇形ＡＢＣの弧の長さと等しくなっています。

　　　　　

扇形がすべることなく長方形の周りを時計回りに移動して１周するとき、次の問に答えなさい。

（１）扇形が通った部分を図示しなさい。

（２）（１）で図示した部分の面積は、扇形ＡＢＣと三角形ＡＢＣの何個分の面積と等しくなるか答えなさい。

回転イメージ図と答え

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三角形の面積比（市川中学 ２０１１年）

図のように，ＡＢとＣＤは点０で直角に交わっています。三角形ＯＡＣと三角形ＯＢＤの面積の和が３０ｃ㎡，三角形ＯＢＥと三角形ＯＡＦの面積の和が１４ｃ㎡のとき，ＡＢの長さを求めなさい。

参考イメージ図による解法と答え

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立方体のくりぬき（筑波大学附属中学 ２０１２年）

125個の立方体が，縦横５つずつ５段に積み重ねられています。下の図のように，となり合う２つの面の色のついた部分で，表面に垂直な方向に型抜きをすると，残った立方体はいくつになりますか。

数え方のイメージ図と答え

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正六角形と面積比 （白百合学園中学 2004年）

正六角形があり、各頂点を線で結び、さらに交点どうしを線で結んで、下図のように色をつけました。色の付いた部分と、元の正六角形の面積比を求めなさい。　　　　　　　　

参考図による解説と答え

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川の流れと船の速さ（武蔵中学 ２００７年）

２１ｋｍはなれた川のＡ地点とＢ地点を船で往復しました。ＡからＢへ上るときは２時間６分かかり、ＢからＡへ下るときは、川の流れが１時間あたり１．４ｋｍ速くなっていたので、１時間１５分ですみました。次の問に答えなさい。

（１）水の流れがないとき、この船の速さは時速何ｋｍですか。

（２）ＢからＡへ下るときの川の流れが、もし上りのときより１時間あたり０．４ｋｍおそくなっていたとすると、下りにはどれくらいの時間がかかりますか。

 

わかりやすいイメージ参考図と答え

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大人と子どもの人数は？（六甲中学 ２０１０年）

大人と子ども合わせて77人が遊園地に行きます。交通費は大人1000円，子ども500円で，遊園地の入園料は大人3000円，子ども2000円です。また，大人全体の費用と子ども全体の費用の比は４：３です。大人，子どもはそれぞれ何人ですか。

考え方と答え

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トーナメント戦の計算問題 （慶應義塾湘南藤沢中等部 2008年）

２，４，８，１６，・・・，のように、２をいくつかかけ合せた数のチーム数が参加するトーナメント（勝ち抜き戦）を考えます。１つのトーナメントで行われる各試合が何回戦かを示す各数字をすべて加えた数を Ｎ で表します。たとえば、チーム数が８のときには、下の図のようなトーナメントになり、１回戦が４試合、２回戦が２試合、３回戦が１試合行われ、Ｎ＝１＋１＋１＋１＋２＋２＋３＝１１となります。このとき、次の問に答えなさい。

　　　　　　　　

（１）チーム数が１６のトーナメントでは、Ｎはいくつになりますか。

（２）６回戦が決勝戦となるトーナメントでは、Ｎはいくつになりますか。

（３）あるチーム数のトーナメントでは、Ｎ＝４０８３ になりました。この２倍のチーム数のトーナメントでは、Ｎ＝８１７８ になります。Ｎ＝４０８３ となるときのチーム数を求めなさい。

トーナメント参考図と答え

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持っていたタイルの枚数は？（浦和明の星女子中学 ２００８年）

Ａさんは，たての長さｌｃｍ，横の長さ２ｃｍの長方形の形をしたタイルを敷き詰めて，正方形の形に並べることにしました。例えば，１８枚のタイルを並べると，下の図のようになります。Ａさんがいま持っているタイルをすべて使うと，ある大きさの正方形の形に並べられますが，さらに３０枚のタイルかあれば，その正方形より１辺の長さが２ｃｍ長い正方形の形に並べられます。持っているタイルは何枚でしょうか。

参考イメージ図と答え

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長方形の分割（（筑波大学附属駒場中学 2001年）

縦４０ｃｍ、横１２８ｃｍの長方形の紙があります。この紙を縦または横の辺に平行に切り、面積が小さい方の紙を捨て、大きい方の紙だけ残します。２枚の紙の面積が同じ場合は、どちらか一方を残します。下の図１のようなこの操作を１回と数え、残った長方形の紙に対して、同じ操作をくり返し行います。何回かの操作の後、残った紙が正方形になるようにするとき、次の問に答えなさい。

（１）２回の操作で残った紙が正方形になるようにするには、１回目の操作でどこを切ればよいですか。切ってもよい部分を下の図２の長方形に描きこんで色をつけなさい。また、その部分の位置がわかるように、長さも書きなさい。

　　

（２）３回の操作で、１辺の長さがもっとも短い正方形になるようにしました。この正方形の１辺の長さを答えなさい。

（３）１３回の操作で、１辺の長さがもっとも短い正方形になるようにしました。このとき、捨てた紙の面積の合計を求めなさい。

参考イメージ図と答え

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