今年、２０１３年 灘中学 １日目、第１問の計算問題

今年（２０１３年）の灘中学１日目の第１問の計算問題が話題になっています。大学生でも１５～３０分くらいかかったとか？？？

↓こんな問題なのですが・・・

計算の工夫と答え

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円の作図と面積（学習院女子中等科 2012年）

下の図は、１辺の長さが ６ｃｍの正三角形ＡＢＣ で、３点Ｄ，Ｅ，Ｆは各辺のまん中の点です。この図に、Ａ～Ｆ の各点を中心とする半径３ｃｍの円を６個描きなさい。また、円が２つだけ重なる部分に色をぬり、その面積を求めなさい。ただし、重なる部分の面積を２倍する必要はありません。

　

円の作図と面積の求め方

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今年、２０１３年の西大和学園中学の問題（西大和学園中学 ２０１３年）

一辺の長さが１ｃｍの正方形をならべ、長方形を作ります。次に、左上の頂点と、右下の頂点をむすんで、図のように直角三角形を作ります。直角三角形の内部と周上に、正方形の頂点がいくつあるのかを考えます。ただし、「内部」とは、辺の上の点はふくまず、「周上」とは、辺の上または頂点のことをあらわします。

例として、図１では内部に頂点はO個、周上に４個。また、図２では内部に頂点は１個、周上に６個あると数えることとします。

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）たてに５㎝、横に３㎝の長方形を作るとき、

①直角三角形の内部には正方形の頂点はいくつありますか。

②直角三角形の周上には正方形の頂点はいくつありますか。

（２）たてに12㎝、横に４㎝の長方形を作るとき、直角三角形の内部と周上には正方形の頂点は、あわせていくつありますか。

（３）たてに12㎝の長方形を作り、できた直角三角形の内部と周上にある（正方形の）頂点を数えると、あわせて61個ありました。このとき、この長方形の横の長さは何ｃｍですか。整数で答えなさい。

参考イメージ図と答え

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今年、２０１３年のラ・サール中学の問題（ラ・サール中学 ２０１３年）

下図の三角形DECは、３辺の長さが５ｃｍ、１２ｃｍ、１３ｃｍの直角三角形ABCを、頂点Cを中心として９０゜回転したものです。斜線部分の周りの長さと面積を求めなさい。円周率は３．１４とします。

参考イメージ図と答え

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今年、２０１３年の灘中学 ２日目の問題（灘中学 ２０１３年）

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図１の四角形 ABCDは長方形です｡この長方形の内部は，図のようにいくつかの正方形だけですき間なく敷きつめることができます｡ABとADの長さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

参考イメージ図と答え

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今年、２０１３年の洛星中学の問題（洛星中学 ２０１３年）

下の図のような容器に，２つのじゃ口Ａ，Ｂから水を入れます｡容器が空の状態から，Ａのみで水を入れると20分でいっぱいになり，Ａ，Ｂ両方で水を入れると11分40秒でいっぱいになります。

（１）Bのみで水を入れると、何分でいっぱいになりますか。

次に，容器が空の状態からＡ，Ｂ両方で水を入れて，水面がＱの
位置にきたときにＢのじゃロを閉めてＡのみで水を入れたところ，
水面の上がる速さは最初から最後まで変わらず，最初から16分でいっぱいになりました。

（２）RS：STを求めなさい。

（３）PQ：QRを求めなさい。

考え方と答え

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今年、２０１３年の渋谷教育学園幕張中学の問題（渋谷教育学園幕張中学 ２０１３年）

ボールが3個と箱が5個あります。次の①、②のような条件で、箱にボールを入れるとき、それぞれの場合の入れ方は全部で何通りありますか。ただし、１つの箱にボールは3個まで入れることができるものとします。また、ボールはかならず、いずれかの箱に入れるものとします。

①ボールは、色や形が全て同じで、おたがいに区別できません。箱も、色や形がすべて同じで、おたがいに区別できません。

②ボールは、①と同じように区別できません。箱には、おたがいに区別できるように、下のように、Ａ､Ｂ､Ｃ､Ｄ､Ｅと名前を書いておきます。

数え方と答え

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今年、２０１３年の東大寺学園中学の問題（東大寺学園中学 ２０１３年）

図のように、大きい円の内部に小さい円６個がぴったりと入っています。色のついた部分の面積が３０ｃ㎡のとき、小さい円１つの面積は何ｃ㎡になりますか。円周率は３．１４とします。

参考イメージ図と解法

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今年、２０１３年 大阪星光学院中学の問題

下の図は、たて3cm，横4cm，対角線の長さが5cmの２つの長方形を、対角線が重なるように置いたものです。２つの長方形が重なった斜線部分の面積は何ｃ㎡ですか。

参考イメージ図と解法例

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今年、２０１３年の灘中学 ２日目の問題（灘中学 ２０１３年）

図１において、ABとACの長さを求めなさい。

参考イメージ図と答え

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今年、２０１３年の灘中学、１日目の問題（灘中学 ２０１３年）

下の図は１辺の長さが１２ｃｍの正方形ABCDと、それぞれの辺を３等分する点を１つおきに結んでできる図形です。このとき斜線部分の八角形の面積は何ｃ㎡ですか。

補助線入イメージ図と解法

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箱に入れるボールの組み合わせ（麻布中学 ２００９年）

ボールが４８個あります。これらのボールを以下の条件１，２にあてはまるように、５つの箱に入れることにします。

【条件１】　どの箱にもボールを５個以上入れる

【条件２】　どの２つの箱についても、入っているボールの数の公約数は、１だけです。

このとき、５つの箱に入っているボールの数の組をすべて答えなさい。答えは、箱に入っている数が小さいものから順に書きなさい。また、解答欄は８組ありますが、すべて使うとはかぎりません。

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考え方の手順と答え

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割引券の使い方（早稲田大学高等学院中等部 ２０１２年）

ある商店には１回の買い物につき、次の２つの特典のうちどちらか一方のみが利用できる割引券があります。

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特典Ａ→割引券を利用しなかった場合に支払うべき金額が10000円以上になると、その10％が割り引きされる。

特典Ｂ→同じ商品を５個以上買うと、５個につき100円割り引きされる。

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買い物客は、少しでも安く買えるように、どちらの特典を利用するか考えながら買い物をします。このとき、次の問いに答えなさい。

（１）割引券を利用して価格が250円である商品を43個買う場合、お金はいくら必要ですか。

（２）ある商品を100個買ったとき、割引券の特典のどちらを利用しても支払う金額が同じになりました。この商品の価格はいくらですか。ただし、割引券を利用しなかった場合に支払うべき全額は10000円を超えていたとします。

（３）この商店には特売日があり、特売日には同じ商品を10個買うごとに、その商品がさらに1個もらえます。特売日にも割引券は利用できます。特売日に割引券を利用して価格が180円の商品を84個手に入れるためには、お金はいくら必要ですか。式を書いて求めなさい。

比較計算と答え

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基本的な問題です（駒場東邦中学 ２００９年）

下の図はたて６ｃｍ、横１０ｃｍの長方形です。

斜線部分の面積を求めなさい。

イメージ参考図と解法

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今年、２０１３年度の入試問題（浦和明の星女子中学 ２０１３年）

１辺の長さが24cmの正方形の紙を、図１のように同じ形をした４つの紙に切り分けました。これら４つの紙を、図２のように大きな正方形ができるようにおきかえたところ，斜線の部分のような１辺の長さが10cmの正方形のすきまができました。

①図２の[ア]にあてはまる数を答えなさい。

②図１の[イ]にあてはまる数を答えなさい。

図１　　　　　　　　　　　　　　　図２

考え方と答え

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正方形の回転（鎌倉女学院中学 2011年）

下の図は、正方形ＡＢＣＤを、頂点Ｃを中心として時計回りに１回転させたときに、頂点Ａ，Ｂが動いてできた円です。図の青い部分の面積が５０．２４ｃ㎡ のとき、次の問に答えなさい。

　　　

（１）正方形ＡＢＣＤ の１辺の長さは何ｃｍですか。

（２）頂点Ａ が動いてできた円の面積を求めなさい。

（３）正方形ＡＢＣＤ が９０°回転したとき、辺ＡＢが通過した部分の面積を求めなさい。

参考イメージ図と解法

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食塩水の濃度は？（灘中学 ２０１２年）

濃度が a ％の食塩水Ａ が入っているビーカーに、食塩水Ｂ を加えてよくかき混ぜると、濃度が c ％の食塩水Ｃ ができました。このとき、食塩水Ｃ は食塩水Ａ に比べて、全体の重さが８％増え、含まれている食塩の重さが２０％増えました。また、濃度については c = a ＋ 0.5 となりました。このとき次の問に答えなさい。

（１）食塩水Ｂ の濃度は食塩水Ａ の濃度の何倍ですか。

（２）食塩水Ｂ の濃度は何％ですか。

参考イメージ図と解法

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切り取られた部分は？（淑徳与野中学 ２００９年）

正方形の折り紙を下図のように折って、斜線部分を切り落とします。広げたときに、切り落とされた部分を黒く塗りなさい。

切り落とされた部分の図

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三角錐の体積は？（城北中学 ２０１２年）

図の様な長方形ABCDがあり，ＰとQはAB，DCの真ん中の点です。この長方形から三角形QDRと三角形QCSを切り取り五角形ARQSBを作ります。この五角形をPR，RS，SPで折って組み立てると三角すいが出来ました。このとき，出来た三角すいの体積は何立方ｃｍですか。
ただし，三角すいの体積は，(底面積）×（高さ）×１/３で求めることができます。

三角錐のイメージ図と解法

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和差算と流水算（公文国際学園中等部 ２０１０年）

ある川の上流のＡ地点から下流のＢ地点までは６kmです。太郎君の乗ったボートがＡ地点からＢ地点までを往復するのにかかる時間は4.5時間で、上りと下りにかかる時間の差は1.5時間です。上りにかかる時間は（　①　）時間です。また、太郎君の乗ったボートがＡ地点からＢ地点に向かって出発すると同時に、次郎君の乗ったボートがＢ地点からＡ地点|こ向かって出発すると、Ａ地点とＢ地点の真ん中で出会います。次細君の乗ったボートがＡ地点からＢ地点まで下るときのボートの速さは時速（　②　）kmです。

解法と答え

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どう計算しますか？（市川中学 ２０１２年）

図の正方形ABCDで、斜線部分の面積は何ｃ㎡ですか。

参考イメージ図と解法

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取ったカードの推理（神奈川大学附属中学 ２０１０年）

１から13までの整数をひとつずつ書いた13枚のカードがあります。A，B，C，Dの４人が，この中から１枚ずつ取り出したところ，（ア）～（ウ）であることがわかりました。

（ア）Ａが取ったカードの数は，Ｂが取ったカーﾄﾞの数の３倍である。

（イ）Ａが取ったカードの数と，Ｃが取ったカードの数の差は４である。

（ウ）Ｃが取ったカードの数は，Ａが取ったカードの数とＤが取ったカードの数の平均である。

このとき，４人が取ったカードの数の合計はいくつですか。考えられるすべての場合を答えなさい。

推論と答え

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透明になる立方体（立教新座中学 2011年）

下の図１は、スイッチの入れ方によって透明になったり、不透明になったりする１辺１０ｃｍの立方体の装置を表しています。この装置を図２のように、たて、横、高さ６個ずつすき間なく積み重ねて立体を作ります。

この立体を机の上に置き、それぞれの立方体のスイッチの入れ方でいろいろな立体を表すものとします。このとき、次の問に答えなさい。

（１）下の図３のような立体を表すとき、透明な立方体は最低何個ありますか。また、最大何個ありますか。ただし、どの側面から見ても図３のような見取り図になるものとします。

（２）下の図４のように、８個の立方体以外をすべて透明にして、１辺２０ｃｍの立方体を表すものとします。このとき、図２の立体の中における図４の立方体の位置は全部で何通りありますか。

　　　　　　　　　　　　　

（３）上から見て下の図５のように見えるとき、透明な立方体は最低何個ありますか。

　　　　　　

（４）どの方向から見ても図５のように見えるとき、透明な立方体は最低何個ありますか。

参考イメージ図と解き方

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速さの比を使う旅人算（開智中学 ２００９年）

弟は、家から駅までの片道を３０分で歩き、姉はその往復を４８分で歩きます。ある日、弟が家を出て駅に向かいましたが、その２０分後に忘れ物に気がついて、来た道を戻りました。家にいた姉は、弟が出発してから１５分後に弟の忘れ物に気がついて、その忘れ物を届けるために駅に向かい、その途中で、もどってくる弟と出会いました。

（１）弟と姉の速さの比は、何対何ですか。

（２）弟が忘れ物に気がついてから何分後に二人は出会いましたか。

考え方と答え

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長さと面積を求める（成蹊中学 ２０１１年）

図１のように、三角形ABCとABを直径とする半円が２点P、Qで交わっています。辺ACのうちAPの部分の長さは６ｃｍです。

（１）BとPを直線で結んだとき、BPの長さは何ｃｍですか？

（２）半円の面積は何ｃ㎡ですか？

（３）斜線部分の面積は何ｃ㎡ですか？

補助線の参考図と答え

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台形内の三角形の面積（女子学院中学 ２０１２年）

台形ABCDの対角線BD上に、点Eを、ADとECが平行になるようにとりました。三角形「あ」と三角形「い」の面積を求めなさい。

イメージ参考図と答え

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