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2013年3月

2013年3月31日 (日)

覚えておきたい白百合の三角形(1992年 白百合学園中学)

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三角形の3つの辺を3等分し,図のように直線をひきました。図の黄、緑、青の部分を合わせた面積と赤の面積の比をできるだけ簡単な整数の比で表しなさい。

1

参考イメージ図と解法例

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2013年3月30日 (土)

どんな立体になるでしょうか?(早稲田実業学校中等部 2008年)

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下の図は、ある立体の展開図で、3つの●は半円の中心を表し、点線は折り目を表しています。この立体の体積を求めなさい。

    Pic_2471q

組み立てた立体図形と体積の計算

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2013年3月29日 (金)

ガウス算の基本問題(晃華学園中学 2010年)

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次の計算をしてください。

1+2+3+・・・+9+10+3×1+3×2+3×3+・・・+3×9+3×10+5×1+5×2+5×3+・・・+5×9+5×10+・・・+17×1+17×2+17×3+・・・+17×9+17×10+19×1+19×2+19×3+・・・+19×9+19×10

計算方法と答え

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2013年3月28日 (木)

立方体の積み木に色を塗る(渋谷教育学園幕張中学 2012年)

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1辺の長さが1cmの立方体A が20個あります。この立方体A20個を、面と面がちょうど重なるように置いて、新しく立体B を作りこの立体B の表面に、底の面も含めて青色をぬります。下の図1は、作った立体B を真上から見た図で、図2は真正面から見た図です。

 Pic_2825q

ただし、図1と図2から考えられる立体B は、青色をぬった面積ができるだけ大きくなるように作りました。このとき、次の問に答えなさい。

(1)図1には、積み重ねられている立方体A の個数がいくつか書いてあります。図1に残りの数をすべて記入しなさい。

(2)積み上げた立体B を元の立方体A にもどしました。このとき20個の立方体A で色がぬられている面の個数を答えなさい。

イメージ参考図による解法例

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2013年3月27日 (水)

面積比、長さ比の基本問題(学習院中等科 2011年)

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下の図の三角形ABCで、点Pは辺BCを1:2に分ける点、点Rは辺ACを1:3に分ける点です。APとBRの交点をQとすると、QはAPの真ん中の点になりました。

三角形QBPの面積を18c㎡とすると、

(1)三角形RPCの面積は何c㎡ですか。

(2)BQ:QRを最も簡単な整数の比で答えなさい。

1

面積比のイメージ図と解法例

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2013年3月26日 (火)

時間と速さの問題のようですが・・・実はつるかめ算(武蔵中学 2013年)

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A市からB市を通ってC市まで自動車で走ります。A市からB市までは一般道路、B市からC市までは高速道路で、A市からC市まで合計の道のりは634kmです。一般道路を毎時40km、高速道路を毎時80kmで走り、8時間でC市に着く予定でしたが、高速道路を走っている途中から速さを毎時100kmに変えたため、7時間30分でC市に着きました。高速道路の道のりは何kmですか。また、毎時100kmで走った道のりは何kmですか。

Trp1012s

面積図で解く解法例

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2013年3月25日 (月)

よく出題される面積問題(城北中学 2012年)

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面積が40c㎡の正方形があります。図の辺の上の点は各辺を3等分した点です。このとき、図の斜線部分の面積は何c㎡ですか?

1

イメージ参考図と解法例

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2013年3月24日 (日)

今年出題された基本的知識を問う良問(フェリス女学院中学 2013年)

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下の図のように、1辺の長さが 3cm の正方形 9個と、直径 6cm の円があります。円の中心は1辺が 9cm の正方形の対角線が交わってできる点です。

 Pic_3351q

(1)太線の長さを求めなさい。

(2)色の付いた部分の面積を求めなさい。

イメージ図解と解法例

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2013年3月23日 (土)

今年も出題された頻出問題(慶應義塾中等部 2013年)

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図形AOBは、半径が10cmで、中心角が90°のおうぎ形です。おうぎ形AOBを点Aを中心に左に45°回転させたおうぎ形をAO'B'とし、AからBまでの曲線が通過した部分に色をつけました。色のついた部分の面積は何c㎡ですか。

1_2

イメージ参考図と解法例

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2013年3月22日 (金)

立体図形のイメージ問題(灘中学 2013年1日目より)

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立方体の形をした容器を傾けて固定し,水を注いだところ,図1のようになりました。さらに水を注ぐと図2のようになり,このときの水の体積は立方体の体積の11/14倍でした。図1の水の体積は立方体の体積の何倍ですか。

1

参考イメージ図による解法例

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2013年3月21日 (木)

図形の移動と重なり(横浜共立学園中学 2009年)

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下の図のように,直線L上にAB=ACの二等辺三角形と台形があります。図の位置から二等辺三角形が直線Lの上を矢印の方向に移動していきます。台形は動きません。

(1)二等辺三角形が図の位置から7cm移動したとき,二等辺三角形と台形の重なった部分の面積は何c㎡ですか。

(2)二等辺三角形と台形の重なった部分の面積が二等辺三角形の面積の1/4になるのは,二等辺三角形が図の位置から何cm(①)移動したときと何cm(②)移動したときですか。

1_2

移動後のイメージ図と解法例

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2013年3月20日 (水)

周期性の重なりを求める(江戸川学園取手中学 2011年)

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下の図のように箱に入った植物があります。箱には2重の扉があり,扉①は4分閉じて90秒開きます。扉②は7分閉じて45秒開きます。9時ちょうどに2つの扉か同時に開いたとすると,10時までの1時間に植物がライトの光を浴びた時間を求めなさい。ただし扉が開いたり,閉じたりする時間は考えないとします。

1

時間計算と解法例

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2013年3月19日 (火)

立方体の積み木の投影図(鴎友学園女子中学 2009年)

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1辺が1cmの立方体を何個か積み重ねて、立体を作りました。図はその立体を上から、正面から、右側から見たところです。

1

(1)使った立方体が最も多い場合は何個ですか?

(2)使った立方体が最も少ない場合は何個ですか?

(1)最も多い場合のアニメーション

(2)最も少ない場合のアニメーション

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2013年3月18日 (月)

角度と相似と長さの基本問題(洛星中学 2010年)

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図のようなAB=AC=10cm,BC=6cmである二等辺三角形があります。辺AB上に点DをAD=3cmとなるようにとり,図のように折ったところ,ACとDEが平行になりました。このときの点Bの行き先をFとします。

(1)ECの長さを求めなさい。

(2)GFの長さを求めなさい。

(3)AGの長さを求めなさい。

1

参考イメージ図と解法例

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2013年3月17日 (日)

直角三角形の合同条件((市川中学 2010年)

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正方形ABCD があり、下の図のように辺AB,BC上に、(あ)と(い)の角度が等しくなるように点E,点F をとります。また、辺BCの延長上に点G をとると、DG=13cmになりました。DE=13cm、AE=5cm のとき、FC の長さを求めなさい。

 Pic_2289q

イメージ参考図と解法例

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2013年3月14日 (木)

使い方をマスターしたいてんびん図(洗足学園中学 2011年)

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4%の食塩水10gに6%と10%の食塩水を加えて,7%の食塩水を100g作りました。このとき,6%の食塩水は何g加えましたか。なお,この問題は解答までの考え方を表す式や文章・図などを書きなさい。

0 0

てんびん図による解法例

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2013年3月13日 (水)

知っておきたい立体の体積の計算方法(芝中学 2012年)

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下の図1は1辺が 9cm の立方体です。

  Pic_3062q

下の図2は、この立方体をある平面で切り取った残りの立体をA,B,C の方向から見た図です。この切り取った残りの立体の体積を求めなさい。

      Pic_3063q

立体のイメージ図と解法例

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2013年3月12日 (火)

くりぬかれた立体の空間イメージ(金蘭千里中学 2010年)

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下の図1の立体は、1辺の長さが3cmの立方体に、1辺の長さが1cmの正方形の形をした穴をあけたものです。どの面も下の図2のような穴があいていて、その穴はそれぞれ反対側の面までまっすぐくり抜かれています。このとき、次の問に答えなさい。

      Pic_2599q

(1)図1の立体の体積を求めなさい。

(2)図1の立体の表面積を求めなさい。

(3)図1の立体を3つの頂点A,B,C を通る平面で切断してできる2つの立体のうち、頂点D を含む立体の体積を求めなさい。

空間イメージと解法例

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2013年3月11日 (月)

優勝する場合の数は?(慶應義塾普通部 2012年)

A とB の2チームが対戦し、先に4回勝った方が優勝となる野球の試合があります。

(1) 引き分けが無い場合で、6回試合をしてA が優勝するときの勝ち負けを表すと、例えば下の表のようになります。

 Pic_3217q

この例以外に、6回目の試合でA の優勝が決まるのは何通りありますか。

(2) 引き分けがある場合で、6回目の試合で優勝が決まるのは何通りありますか。

Ilm2007_01_0630s  

場合の数の数え方と解法例

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2013年3月10日 (日)

今年出題された数列問題(渋谷教育学園幕張中学 2013年)

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1からはじめて、2ずつたした数を並べ、次のような数の列Aを作ります。

A→1、3、5、7、9、11・・・

また、1からはじめて、3ずつたした数を並べ、次のような数の列Bを作ります。

B→1、4、7、10、13、16、・・・

このAとBに並んでいる数を小さい順に左から並べて、次のような新しい数の列Cを作ります。ただし、AとBに共通な数は1つだけ並べます。

C→1、 3 、4 、5 、7 、9、・・・

下の文章のア~ウにあてはまる数または記号を書きなさい。

数の列Cの最初から100番目の数は[ア]で、もとの数の列[イ]の最初から[ウ]番目の数です。 

数列の規則性と解法例

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2013年3月 9日 (土)

方眼紙の中の花の面積(東洋英和女学院中学 2009年)

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下図の方眼紙は1マス2cmで、曲線はすべて円の1/4になっているものを組み合わせています。色のついた部分の面積は合計何c㎡ですか。円周率は3.14とします。

1

計算しやすいイメージ図と答え

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2013年3月 8日 (金)

速さと時間と道のり(桐朋中学 2012年)

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A君とB君は,それぞれP地点から12kmはなれたQ地点に行きました。A君は7時にP地点を出発し,時速6kmの速さで歩き,途中のR地点で10分間休み,R地点からは時速4kmの速さでQ地点まで歩きました。B君は8時にP地点を出発し,時速18kmの速さで自転車でQ地点まで行きました。B君がQ地点に到着してから50分後にA君はQ地点に到着しました。

(1)P地点からR地点までの道のりは何kmですか。答えだけでなく,途中の考え方を示す式や図などもかきなさい。

(2)B君がA君を追いこした時刻を求めなさい。

Ilm13_ac06005s_2 1

参考イメージ図と解法例

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2013年3月 7日 (木)

3つに分けられた正方形(筑波大学附属中学 2012年)

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下の図のように,正方形ABCDを3つの図形に分けたとき,面積はそれぞれ,緑色が230c㎡,黄色が230c㎡,三角形BHCが69c㎡でした。
EGとBHが平行,FGとCHが平行であるとき,AEの長さは何cmになりますか。

1

参考イメージ図と解法例

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2013年3月 6日 (水)

はね返る点の動き(久留米大学附設中学 2012年) 

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下の図アのように1辺の長さが5cmの正三角形があります。点Pは頂点Aから出発し、最初に辺BCのBから2cmの点ではね返り、その後も正三角形の辺ではね返り続けて、頂点のどれかに到達すると止まります。このとき、次の問に答えなさい。

      Pic_3222q

(1)点Pが3回目にはね返る点は辺AC上のAから何cmのところですか。

(2)点Pは正三角形の辺に何回はね返り、どの頂点で止まりますか。

考え方のイメージ図と解法例

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2013年3月 5日 (火)

一筆書きの書き方は何通りあるか(フェリス女学院中学 2005年)

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線からエンピツを離さずに、同じ線を1回しか通らないで形を描くことを一筆書きといいます。たとえば、下の図1を点A から始めて一筆書きする仕方は、左回りと右回りの2通りあります。

【ア】 図2を点Bから始めて一筆書きする仕方は何通りですか。

【イ】 図3を点Cから始めて一筆書きする仕方は何通りですか。

Pic_11601q_2

一筆書きの書き方と解法例

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2013年3月 4日 (月)

今年、2013年に出題された展開図の難問(栄光学園中学 2013年)

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いくつかの立方体でできた立体の展開図について考えます。折り目となるところは細線 ― で、切れ目となるところは太線 で表すと、下の図1の立体の展開図は、図2のようになります。

      Pic_3290q

(1)下の図3、図5の立体の展開図を、それぞれ図4、図6の細線 ― の一部を太線 に変えて完成させなさい。

      Pic_3291q

      Pic_3292q_2

(2)下の図7の立体の展開図を、図8の点線の一部を細線 ― や太線 に変えて完成させなさい。

      Pic_3293q

展開図イメージと解法例

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2013年3月 3日 (日)

だんご3兄弟の作り方は?→場合の数の基本問題(須磨学園中学 2010年)

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ピンク,白,緑の3個のだんごをくしにさして図のような3色だんごをつくります。それぞれのだんごには,あんこを入れたり入れなかったりすることができます。このときだんごは全部で何通り作ることができますか。ただし,ささっているだんごの順番がちがえばちがうものとします

1_2

場合の数の計算と答え

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2013年3月 2日 (土)

計算の基本的な性質(公文国際学園中等部 2011年)

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ある3けたの整数があります。この3けたの整数ABCの一の位の数と百の位の数を入れ替えて、もう1つの3けたの整数CBAをつくります。

(1)もとの整数の一の位の数が6とわかっているとき、2つの整数の差を求めると、495になりました。もとの整数の百の位の数はいくつですか。

(2)2つの整数ABCとCBAをかけたら、答えの一の位の数字が5になりました。AとCの組み合わせは何通り考えられますか。

(3)2つの整数をかけたら、下の計算のように答えが115245になりました。十の位の数Bはいくつですか。

1

計算の性質と解法例

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2013年3月 1日 (金)

今年、2013年の問題→相似と面積比(開成中学 2013年)

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下の図のように、1辺の長さが 2cm の正方形ABCD があり、点E,Fはそれぞれ辺AB,BC を2等分する点です。直線DFと直線AF の交点をG,直線BD と直線AF の交点をH とするとき次の面積を求めなさい。

    Pic_3306q

(1)三角形HBF の面積

(2)四角形GEBH の面積

参考イメージ図と解法例

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