覚えておきたい白百合の三角形（1992年 白百合学園中学）

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三角形の3つの辺を3等分し，図のように直線をひきました。図の黄、緑、青の部分を合わせた面積と赤の面積の比をできるだけ簡単な整数の比で表しなさい。

参考イメージ図と解法例

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どんな立体になるでしょうか？（早稲田実業学校中等部 2008年）

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下の図は、ある立体の展開図で、３つの●は半円の中心を表し、点線は折り目を表しています。この立体の体積を求めなさい。

　　　　

組み立てた立体図形と体積の計算

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ガウス算の基本問題（晃華学園中学 ２０１０年）

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次の計算をしてください。

１＋２＋３＋・・・＋９＋１０＋３×１＋３×２＋３×３＋・・・＋３×９＋３×１０＋５×１＋５×２＋５×３＋・・・＋５×９＋５×１０＋・・・＋１７×１＋１７×２＋１７×３＋・・・＋１７×９＋１７×１０＋１９×１＋１９×２＋１９×３＋・・・＋１９×９＋１９×１０

計算方法と答え

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立方体の積み木に色を塗る（渋谷教育学園幕張中学 2012年）

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１辺の長さが１ｃｍの立方体Ａ が２０個あります。この立方体Ａ２０個を、面と面がちょうど重なるように置いて、新しく立体Ｂ を作りこの立体Ｂ の表面に、底の面も含めて青色をぬります。下の図１は、作った立体Ｂ を真上から見た図で、図２は真正面から見た図です。

　

ただし、図１と図２から考えられる立体Ｂ は、青色をぬった面積ができるだけ大きくなるように作りました。このとき、次の問に答えなさい。

（１）図１には、積み重ねられている立方体Ａ の個数がいくつか書いてあります。図１に残りの数をすべて記入しなさい。

（２）積み上げた立体Ｂ を元の立方体Ａ にもどしました。このとき２０個の立方体Ａ で色がぬられている面の個数を答えなさい。

イメージ参考図による解法例

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面積比、長さ比の基本問題（学習院中等科 ２０１１年）

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下の図の三角形ABCで、点Ｐは辺BCを１：２に分ける点、点Ｒは辺ACを１：３に分ける点です。APとBRの交点をＱとすると、ＱはAPの真ん中の点になりました。

三角形QBPの面積を18ｃ㎡とすると、

（１）三角形RPCの面積は何ｃ㎡ですか。

（２）BQ:QRを最も簡単な整数の比で答えなさい。

面積比のイメージ図と解法例

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時間と速さの問題のようですが・・・実はつるかめ算（武蔵中学 ２０１３年）

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Ａ市からＢ市を通ってＣ市まで自動車で走ります。Ａ市からＢ市までは一般道路、Ｂ市からＣ市までは高速道路で、Ａ市からC市まで合計の道のりは６３４ｋｍです。一般道路を毎時４０ｋｍ、高速道路を毎時８０ｋｍで走り、８時間でＣ市に着く予定でしたが、高速道路を走っている途中から速さを毎時１００ｋｍに変えたため、７時間３０分でＣ市に着きました。高速道路の道のりは何ｋｍですか。また、毎時１００ｋｍで走った道のりは何ｋｍですか。

面積図で解く解法例

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よく出題される面積問題（城北中学 ２０１２年）

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面積が４０ｃ㎡の正方形があります。図の辺の上の点は各辺を３等分した点です。このとき、図の斜線部分の面積は何ｃ㎡ですか？

イメージ参考図と解法例

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今年出題された基本的知識を問う良問（フェリス女学院中学 2013年）

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下の図のように、１辺の長さが ３ｃｍ の正方形 ９個と、直径 ６ｃｍ の円があります。円の中心は１辺が ９ｃｍ の正方形の対角線が交わってできる点です。

　

（１）太線の長さを求めなさい。

（２）色の付いた部分の面積を求めなさい。

イメージ図解と解法例

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今年も出題された頻出問題（慶應義塾中等部 ２０１３年）

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図形ＡＯＢは、半径が10cmで、中心角が90°のおうぎ形です。おうぎ形ＡＯＢを点Ａを中心に左に45°回転させたおうぎ形をAＯ'Ｂ'とし、ＡからＢまでの曲線が通過した部分に色をつけました。色のついた部分の面積は何ｃ㎡ですか。

イメージ参考図と解法例

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立体図形のイメージ問題（灘中学 ２０１３年１日目より）

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立方体の形をした容器を傾けて固定し，水を注いだところ，図１のようになりました。さらに水を注ぐと図２のようになり，このときの水の体積は立方体の体積の１１/１４倍でした。図１の水の体積は立方体の体積の何倍ですか。

参考イメージ図による解法例

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図形の移動と重なり（横浜共立学園中学 ２００９年）

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下の図のように，直線L上にAB＝ACの二等辺三角形と台形があります。図の位置から二等辺三角形が直線Lの上を矢印の方向に移動していきます。台形は動きません。

（１）二等辺三角形が図の位置から７ｃｍ移動したとき，二等辺三角形と台形の重なった部分の面積は何ｃ㎡ですか。

（２）二等辺三角形と台形の重なった部分の面積が二等辺三角形の面積の１/４になるのは，二等辺三角形が図の位置から何cm（①）移動したときと何cm（②）移動したときですか。

移動後のイメージ図と解法例

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周期性の重なりを求める（江戸川学園取手中学 ２０１１年）

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下の図のように箱に入った植物があります。箱には２重の扉があり，扉①は４分閉じて90秒開きます。扉②は７分閉じて45秒開きます。９時ちょうどに２つの扉か同時に開いたとすると，10時までの１時間に植物がライトの光を浴びた時間を求めなさい。ただし扉が開いたり，閉じたりする時間は考えないとします。

時間計算と解法例

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立方体の積み木の投影図（鴎友学園女子中学 ２００９年）

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１辺が１ｃｍの立方体を何個か積み重ねて、立体を作りました。図はその立体を上から、正面から、右側から見たところです。

（１）使った立方体が最も多い場合は何個ですか？

（２）使った立方体が最も少ない場合は何個ですか？

（１）最も多い場合のアニメーション

（２）最も少ない場合のアニメーション

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角度と相似と長さの基本問題（洛星中学 ２０１０年）

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図のようなAB＝AC＝10cm，BC＝6cmである二等辺三角形があります。辺AB上に点DをAD＝3cmとなるようにとり，図のように折ったところ，ACとDEが平行になりました。このときの点Bの行き先をFとします。

(1)ECの長さを求めなさい。

(2)GFの長さを求めなさい。

(3)AGの長さを求めなさい。

参考イメージ図と解法例

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直角三角形の合同条件（（市川中学 2010年）

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正方形ＡＢＣＤ があり、下の図のように辺ＡＢ，ＢＣ上に、（あ）と（い）の角度が等しくなるように点Ｅ，点Ｆ をとります。また、辺ＢＣの延長上に点Ｇ をとると、ＤＧ＝１３ｃｍになりました。ＤＥ＝１３ｃｍ、ＡＥ＝５ｃｍ のとき、ＦＣ の長さを求めなさい。

　

イメージ参考図と解法例

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使い方をマスターしたいてんびん図(洗足学園中学 2011年）

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４％の食塩水10gに６％と10％の食塩水を加えて，７％の食塩水を100g作りました。このとき，６％の食塩水は何ｇ加えましたか。なお，この問題は解答までの考え方を表す式や文章・図などを書きなさい。

てんびん図による解法例

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知っておきたい立体の体積の計算方法（芝中学 2012年）

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下の図１は１辺が ９ｃｍ の立方体です。

　　

下の図２は、この立方体をある平面で切り取った残りの立体をＡ，Ｂ，Ｃ の方向から見た図です。この切り取った残りの立体の体積を求めなさい。

　　　　　

立体のイメージ図と解法例

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くりぬかれた立体の空間イメージ（金蘭千里中学 2010年）

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下の図１の立体は、１辺の長さが３ｃｍの立方体に、１辺の長さが１ｃｍの正方形の形をした穴をあけたものです。どの面も下の図２のような穴があいていて、その穴はそれぞれ反対側の面までまっすぐくり抜かれています。このとき、次の問に答えなさい。

　　　　　　

（１）図１の立体の体積を求めなさい。

（２）図１の立体の表面積を求めなさい。

（３）図１の立体を３つの頂点Ａ，Ｂ，Ｃ を通る平面で切断してできる２つの立体のうち、頂点Ｄ を含む立体の体積を求めなさい。

空間イメージと解法例

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優勝する場合の数は？（慶應義塾普通部 2012年）

Ａ とＢ の２チームが対戦し、先に４回勝った方が優勝となる野球の試合があります。

（１）　引き分けが無い場合で、６回試合をしてＡ が優勝するときの勝ち負けを表すと、例えば下の表のようになります。

　

この例以外に、６回目の試合でＡ の優勝が決まるのは何通りありますか。

（２）　引き分けがある場合で、６回目の試合で優勝が決まるのは何通りありますか。

　

場合の数の数え方と解法例

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今年出題された数列問題（渋谷教育学園幕張中学 ２０１３年）

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1からはじめて、2ずつたした数を並べ、次のような数の列Ａを作ります。

A→1、3、5、7、9、１１・・・

また、１からはじめて、３ずつたした数を並べ、次のような数の列Ｂを作ります。

B→1、4、7、10、13、16、・・・

このＡとＢに並んでいる数を小さい順に左から並べて、次のような新しい数の列Ｃを作ります。ただし、ＡとＢに共通な数は1つだけ並べます。

Ｃ→１、 ３ 、４ 、５ 、７ 、９、・・・

下の文章のア～ウにあてはまる数または記号を書きなさい。

数の列Cの最初から100番目の数は[ア]で、もとの数の列[イ]の最初から[ウ]番目の数です。　

数列の規則性と解法例

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方眼紙の中の花の面積（東洋英和女学院中学 ２００９年）

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下図の方眼紙は１マス２ｃｍで、曲線はすべて円の１/４になっているものを組み合わせています。色のついた部分の面積は合計何ｃ㎡ですか。円周率は３．１４とします。

計算しやすいイメージ図と答え

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速さと時間と道のり（桐朋中学 ２０１２年）

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Ａ君とＢ君は，それぞれＰ地点から12kmはなれたＱ地点に行きました。Ａ君は７時にＰ地点を出発し，時速6kmの速さで歩き，途中のＲ地点で10分間休み，Ｒ地点からは時速4kmの速さでＱ地点まで歩きました。Ｂ君は8時にＰ地点を出発し，時速18kmの速さで自転車でＱ地点まで行きました。Ｂ君がＱ地点に到着してから50分後にＡ君はＱ地点に到着しました。

（１）Ｐ地点からＲ地点までの道のりは何kmですか。答えだけでなく，途中の考え方を示す式や図などもかきなさい。

（２）Ｂ君がＡ君を追いこした時刻を求めなさい。

参考イメージ図と解法例

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３つに分けられた正方形（筑波大学附属中学 ２０１２年）

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下の図のように，正方形ABCDを３つの図形に分けたとき，面積はそれぞれ，緑色が230c㎡，黄色が230c㎡，三角形BHCが69c㎡でした。
EGとBHが平行，FGとCHが平行であるとき，AEの長さは何cmになりますか。

参考イメージ図と解法例

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はね返る点の動き（久留米大学附設中学 2012年）

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下の図アのように１辺の長さが５ｃｍの正三角形があります。点Ｐは頂点Ａから出発し、最初に辺ＢＣのＢから２ｃｍの点ではね返り、その後も正三角形の辺ではね返り続けて、頂点のどれかに到達すると止まります。このとき、次の問に答えなさい。

　　　　　　

（１）点Ｐが３回目にはね返る点は辺ＡＣ上のＡから何ｃｍのところですか。

（２）点Ｐは正三角形の辺に何回はね返り、どの頂点で止まりますか。

考え方のイメージ図と解法例

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一筆書きの書き方は何通りあるか（フェリス女学院中学 2005年）

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線からエンピツを離さずに、同じ線を１回しか通らないで形を描くことを一筆書きといいます。たとえば、下の図１を点Ａ から始めて一筆書きする仕方は、左回りと右回りの２通りあります。

【ア】 図２を点Ｂから始めて一筆書きする仕方は何通りですか。

【イ】 図３を点Ｃから始めて一筆書きする仕方は何通りですか。

一筆書きの書き方と解法例

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今年、２０１３年に出題された展開図の難問（栄光学園中学 2013年）

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いくつかの立方体でできた立体の展開図について考えます。折り目となるところは細線 ― で、切れ目となるところは太線― で表すと、下の図１の立体の展開図は、図２のようになります。

　　　　　　

（１）下の図３、図５の立体の展開図を、それぞれ図４、図６の細線 ― の一部を太線 ― に変えて完成させなさい。

　　　　　　

　　　　　　

（２）下の図７の立体の展開図を、図８の点線の一部を細線 ― や太線 ― に変えて完成させなさい。

　　　　　　

展開図イメージと解法例

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だんご３兄弟の作り方は？→場合の数の基本問題（須磨学園中学 ２０１０年）

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ピンク，白，緑の３個のだんごをくしにさして図のような３色だんごをつくります。それぞれのだんごには，あんこを入れたり入れなかったりすることができます。このときだんごは全部で何通り作ることができますか。ただし，ささっているだんごの順番がちがえばちがうものとします。

場合の数の計算と答え

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計算の基本的な性質（公文国際学園中等部 ２０１１年）

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ある３けたの整数があります。この３けたの整数ABCの一の位の数と百の位の数を入れ替えて、もう１つの３けたの整数CBAをつくります。

（１）もとの整数の一の位の数が６とわかっているとき、２つの整数の差を求めると、495になりました。もとの整数の百の位の数はいくつですか。

（２）２つの整数ABCとCBAをかけたら、答えの一の位の数字が５になりました。AとCの組み合わせは何通り考えられますか。

（３）２つの整数をかけたら､下の計算のように答えが115245になりました｡十の位の数Bはいくつですか。

計算の性質と解法例

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今年、２０１３年の問題→相似と面積比（開成中学 ２０１３年）

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下の図のように、１辺の長さが ２ｃｍ の正方形ＡＢＣＤ があり、点Ｅ，Ｆはそれぞれ辺ＡＢ，ＢＣ を２等分する点です。直線ＤＦと直線ＡＦ の交点をＧ，直線ＢＤ と直線ＡＦ の交点をＨ とするとき次の面積を求めなさい。

　　　　

（１）三角形ＨＢＦ の面積

（２）四角形ＧＥＢＨ の面積

参考イメージ図と解法例

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