とても面白い問題です！（青雲中学 2012年）

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１１，３０３，５７７５ などのように、

数字の並び方が左右対称になっている２ケタ以上の整数を

小さい方から順に、

１１，２２，３３，・・・，９９，１０１，１１１，・・・，

９９９，１００１，１１１１，・・・

と並べるとき、次の問に答えなさい。

（１）２ケタの数は何個現れますか。

（２）３ケタの数は何個現れますか。

（３）２１１２は何番目に現れますか。

（４）２４０番目に現れる数は何ですか。

数え方と解法例

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出題頻度の高い問題です（桐蔭学園中学 2009年）

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１辺６ｃｍの正方形に図のように線を引いたとき、

四角形ＪＫＬＭの面積を求めなさい。　

　　　　　

参考イメージ図と解法例

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今年の名作問題です（桜蔭中学 ２０１３年）

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下の図は，長方形の土地を幅３ｍの道(斜鉛部分)で５つの長方形の土地に分けたものです。あ、い、う、え、お　の部分の面積をそれぞれ　あ、い、う、え、お　とします。
あ：い：う：え：お＝１：２：３：４：５となるとき、え　の部分の面積を求めなさい。

考え方と解法例

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今年の入試問題の第１問は日暦算（麻布中学 ２０１３年）

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満月から次の満月まで ２９．５３日かかるものとします。ある【うるう年】の ９月３０日が満月であるとき、次の満月を１回目として、１００回目の満月となるのは何年後の何月何日ですか。ただし、【うるう年】は４年に１度、必ずあるものとします。

日暦計算と解答

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円周率が３より大きいことがわかる作図（逗子開成中学 ２００９年）

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円周の長さを，その円の直径の長さで割って得られる値を円周率と呼びます。下の２つの円はどちらも半径が１の円です。【図①】は円が正方形にぴったりと納まっている図で，この図から円周率は４未満であることが分かります。これにならって，円周率が３より大きいことが分かるような【図②】を解答用紙に完成させなさい。
ただし，図は描いた意図がはっきり分かるようにていねいに描きなさい。そうすれば，定規やコンパスは使っても使わなくても構いません。

解説と作図

関連問題

円周率とは何か（甲南中学　算数受験問題　2009年）

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デジタル数字の場合の数（巣鴨中学 2012年）

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下の図１のように、マッチ棒で ０から９ までの十種類の数字を作ることができます。たとえば 「８」 はマッチ棒をちょうど７本使って作ることができます。このとき次の問に答えなさい。ただし、答えが求められないときは 「なし」 と答えなさい。

　

（１）マッチ棒をちょうど１０本使って２ケタの整数は何種類作れますか。ただし、同じ数を２つ作ってもかまいません。

（２）マッチ棒をちょうど１０本使って３ケタの整数は何種類作れますか。ただし、同じ数を２つ作ってもかまいません。

（３）下の図２は、①、②、③にそれぞれマッチ棒をちょうど１０本ずつ使って作った計算式です。このとき、③に当てはまる最大の整数を求めなさい。ただし、①、②にはそれぞれ（１）で作った整数、③には（２）で作った整数が入ります。

　　

さがし方と解法例

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平面と立体の重なり（洛星中学 2013年）

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３つの正方形の紙を重ねたところ、下の図１のようになりました。ただし、図１の角はすべて直角です。

（１）正方形の紙が３枚とも重なっている部分の面積を求めなさい。

（２）正方形の紙が２枚以上重なっている部分の面積を求めなさい。

立方体を使って、下の図２のように地面に穴をあけます。穴をあけるときは立方体を図２のように地表まで地面にうめ、取り出すものとします。

（３）３種類の立方体を１つずつ順番に使って穴をあけたところ、できた穴を上から見ると図１のようになりました。この穴の容積を求めなさい。

イメージ図解と解法例

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底面積が違うのにどう比較するのか？（明治大学付属明治中学 ２０１１年）

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２つの円柱形の容器Ａ，Ｂがあり，Ａには高さ18cm，Ｂには高さ6cmまで水が入っています。Ａに入っている水の３/８をＢに移したところ，ＡとＢの水の高さは同じになりました。このとき，最初に入っていたＡとＢの水の量を最も簡単な整数の比で表すと，（ア）：（イ）です。

図解と解法例

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実業学校らしい問題（早稲田実業学校中等部 2008年）

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１辺の長さが１０ｃｍの正方形４枚でできている図１のようなタイルＡ と、１辺の長さが１０ｃｍの正方形５枚でできている図２のようなタイルＢがあります。タイルＡは１枚３００円、タイルＢは１枚４００円です。このとき、次の問に答えなさい。

　　　

（１）タイルＡ だけを使って作ることのできる長方形のなかで、面積の一番小さいもののうち、長い方の辺の長さを答えなさい。

（２） （１）で作った長方形のタイルをＣ、タイルＡ とタイルＢをそれぞれ２枚ずつ使って作った長方形のタイルをＤとし、ＣとＤを組み合わせて、たて１．２ｍ、横２．３ｍの長方形の床にすき間なくタイルをはりつけます。タイルＡ，Ｂがたくさんあるとき、かかる費用が一番安くなるのはＡ，Ｂそれぞれ何枚使うときですか。

（３） （２）のとき、Ａ，Ｂがそれぞれ５０枚ずつしかないとき、かかる費用が一番安くなるのは、いくらですか。　

考え方と解法例

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場合の数を数える解法２例（（神戸女学院中学 2012年）

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箱の中に１から７までの数字が書かれたカードが１枚ずつ入っています。この箱の中からカードを１枚ずつ順に取り出し、取り出したカードに書かれた数の和が３の倍数になったときに終了することにします。もし１枚目が３の倍数ならば、そこで終了です。ただし、取り出したカードは元にもどさないものとします。このとき次の問に答えなさい。

（１）２枚取り出して終了するようなカードの取り出し方は何通りありますか。

（２）３枚取り出して終了するようなカードの取り出し方は何通りありますか。

考え方と解法２例

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おうぎ形面積の基本問題（東海中学 ２０１０年）

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図１のように，１辺2cmの正方形の中に半径lcmの円がかかれています。図２のように，この模様を，正方形の頂点と円の中心が重なるように横に４個ならべたとき，色をつけた部分の面積を求めなさい。

イメージ図解と答え

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走った道のりの合計は？（（桐朋中学 ２００８年）

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ある道のりを，はじめ時速15kmの速さで，次に時速12kmの速さで，最後に時速9kmの速さで走ったら，５時間40分かかりました。時速15km，時速12km，時速9kmの速さで走った道のりの比は１：２：３でした。走った道のりの合計は何kmでしたか。

考え方と解法例

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シンプルですがちょっと考えてしまいます（東邦大学付属東邦中学 ２００７年）

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下の図の黄色部分の面積は何ｃ㎡ですか。

参考イメージ図と解法例

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面積図で解く過不足算の基本問題（慶應義塾湘南藤沢中等部 ２０１１年）

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りんごを箱につめるのに、１箱に５個ずつつめると４個余り、１箱に１２個ずつつめると、７個しか入らない箱が１箱と、空の箱が８個箱ができます。りんごの個数はいくつですか。

面積図による解法例

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多くの学校で出題された正６角形の分割問題（田園調布学園中等部 ２００９年）

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図のように正六角形ＡＢＣＤＥＦの頂点を結んで２つの正三角形をつくったところ、斜線部分の面積が10ｃ㎡でした。このとき次の問いに答えなさい。

（１）正三角形ＡＣＥの面積は何ｃ㎡ですか。

（２）正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積は何ｃ㎡ですか。

正六角形の分割イメージと答え

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グラフを描いてグラフを読む（筑波大学附属駒場中学 2003年）

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容量が１５０Ｌ の水そうＡ と１００Ｌ の水そうＢ があります。どちらの水そうにも、一定の速さで水を入れるポンプと、一定の速さで水を出すポンプがそれぞれついています。水を入れるポンプは、水そうが満水になると止まり、同時に水を出すポンプが動き出します。また、水を出すポンプは、水そうが空になると止まり、同時に水を入れるポンプが動き出します。このように、水を入れるポンプと水を出すポンプは交互に動きます。水そうが空のときにポンプを動かすと、Ａ は１０分で満水になり、さらに１０分で空になります。また、Ｂは２０分で満水になり、２０分で空になります。午前９時には、どちらの水そうにも水が７５Ｌ 入っていて、両方とも水を入れるポンプが動いていました。なお、午前９時５０分から午前１０時までは、両方の水そうの水を出すポンプは動きますが、水を入れるポンプは動きません。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）午前９時から午前１０時１０分までの、水そうＡ の時刻と水の量を表すグラフと、水そうＢ の時刻と水の量を表すグラフを下の図１に書きなさい。

　

（２）午前１０時をすぎてから、両方の水そうの水の量が初めて同じになる時刻を答えなさい。

（３）午前９時から午前１１時までの間で、両方の水そうの水の量の合計が最も少なくなる時刻をすべて答えなさい。

グラフの描画と読解

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パズルのような速さ問題（神奈川大学附属中学 ２０１１年）

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Aさん，Ｂさん，Ｃさんの３人は，学校を８時30分に出発して，次のような歩き方で10kmはなれた公園に向かいます。

Ａさんは，時速4.8kmで休みなく歩きます。

Ｂさんは，時速５ｋｍの速さで45分歩いて３分休みます。

Ｃさんは，時速６ｋｍの速さで30分歩いて８分休みます。

だれが，何時何分に，一番早く公園に着きますか。

時間計算と答え

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有名なヒポクラテスの三日月（横浜共立学園中学 ２００６年）

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下の図は直角三角形と，その３辺をそれぞれ直径とする３つの半円を組み合わせてできた図形です。色のついた部分の面積の和は何ｃ㎡ですか。（円周率は3.14とします）

解法のイメージアニメーション

答え

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これもよく出題される基本問題です（春日部共栄中学 ２００９年）

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次の図の四角形ＡＢＣＤは、１辺が１０ｃｍの正方形です。図の斜線部分のアの面積とイの面積が等しいとき、辺ＢＥの長さを求めなさい。

参考イメージ図と解法例

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数え方の規則性を見つける（清風南海中学 2009年）

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同じ大きさのご石と同じ長さの棒がたくさんあります。

これらを下の図のように規則的にならべていきます。

　　

このとき、次の問に答えなさい。

（１）図７では、ご石が何個使われていますか。

（２）図７では、棒は何本使われていますか。

（３）棒を８４０本使ったとき、何番目の図になりますか。

（４）使った棒とご石の数の差が２４００のときは、何番目の図ですか。

規則性と解法例

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立体の切り口、基本問題（海城中学 ２０１３年）

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円すい、三角すい、円柱、立方体の４つの立体があります。

これらの立体を、

ある平面で切断したときの切り口について調べました。

次の ①から④ の結果から、

Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ がどの立体であるか答えなさい。

① 立体Ｂは、切り口が円になるときがある。

② 立体Ａ，Ｂ，Ｄは、切り口が三角形になるときがある。

③ 立体Ａ，Ｃ，Ｄは、切り口が四角形になるときがある。

④ 立体Ａは、切り口が五角形になるときがある。

解答

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カードゲームの推理→数の性質（立教女学院中学 ２００９年）

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１、２、３、４、５、６、７、８、９の９枚のカードをAさん、Ｂさん、Ｃさん、Ｄさんの４人に２枚ずつ配布し、それぞれのカードの数字を当てるゲームをしました。Ａさん、Ｂさん、C.さん、Ｄさんの４人の発言は以下のようでした。

Ａ：私のカードは、２枚とも偶数でした。

Ｂ：私のカードは、大きい数を小さい数でわったとき、あまりが1になりました。

Ｃ：私のカードは、２枚を足したとき、２けたの偶数になり、大きい数から小さい数をひいたとき、小さい数と同じになりました。

Ｄ：私のカ－ドは、２枚をかけたとき、1けたの数になり、２枚を足したとき、２けたの数になりました。

このとき、次の□にあてはまる数や記号を入れてください。

（１）Aさんのカードは□と□です。

（２）２枚とも奇数であるのは□さんと□さんです。

（３）２枚のカードを足したときの数が最も大きかったのは□さんです。

（４）Dさんのカードは□と□です。

（５）あまった１枚のカードは□です。

数の性質からの推理と答え

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立体図形の切り口とイメージ（ラ・サール中学 2013年）

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下の図のような直方体があります。点Ｍは辺ＡＥ のまん中の点です。この直方体を、まず３点Ａ，Ｃ，Ｆ を通る平面で切り、切ってできる２つの立体のうち、点Ｂ を含む方を取り除きます。次に、残った立体を点Ｍを通り、底面ＥＦＧＨに平行な平面で切ります。このとき次の問に答えなさい。ただし、角すいの体積は、（底面積）×（高さ）÷３ です。

　　

（１）点Ｅ を含む方の立体の体積を求めなさい。

（２）点Ｄ を含む方の立体について、

　（ア）辺の数と面の数は、それぞれいくつですか。

　（イ）体積を求めなさい。

切断イメージと解法例

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ボール取りの論理問題（公文国際学園中等部 ２００９年）

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Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの５人が、50個あったボールを全員が１人１回ずつ次のようにとりました。

Ａは、１番目に７個とりました。

Ｂは、自分の順番になったときに、残っていたうちの１/２をとりました。

Ｄは、はじめにあった個数の１/１０をとりました。

Ｅは、自分の順番になったときに、残っていたうちの２/３をとりました。

この５人がある順番でボールをとったところ、すべてなくなりました。

２番目には誰が、何個とりましたか。

推理と解法例

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立てた棒の影から長さを計算する（田園調布学園中等部 ２０１１年）

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図のような５段の階段があります。各段はそれぞれ、高さ20cm、奥行き30㎝とします。はじめにＡに２ｍの棒を立てたところ、日がさし、棒の影の先端がちょうどＢにかかりました。棒を階段から遠ざけていくとき、次の問いに答えなさい。ただし、棒は地面に対して垂直に立てるものとします。

（１）棒の影がちょうど階段にかからなくなりました。これはＡから何cm遠ざけたときですか。

（２）棒の影の先端がちょうどＣにかかりました。これはＡから何ｃｍ遠ざけたときですか。

図解と解法例

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第１０回算数オリンピック、ファイナルより→難問に挑戦！

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長方形ABCDがあり、図のようにこの長方形の外側に点Eをとり、各頂点と直線で結び、ADとEBの交わる点をFとします。

△黄が１８ｃ㎡、四角形緑が５０ｃ㎡、△水色が８ｃ㎡のとき、△灰色は何ｃ㎡ですか。

参考イメージ図と解法例

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ちょっと変わった通過算です。（吉祥女子中学 2012年）

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生徒が一列に並んで歩いています。先頭の生徒から一番後ろの生徒までの長さは １００ｍ です。先生が、その列の先頭から一番後ろまで走ったところ、２０秒かかりました。そのあと、一番後ろから先頭まで走ったところ、４０秒かかりました。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）先生の走る速さは、毎分何ｍですか。

（２）この列が、長さ８０ｍの橋を渡り始めてから、渡り終わるまでにかかる時間は何分何秒ですか。

考え方と解法例

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毎年どこかの中学で出題される定番問題（慶應義塾中等部 ２０１３年）

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図のような１辺が３ｃｍの正方形ABCDがあります。

点P、Q、R、Sはそれぞれ正方形の辺の上にある点で、

AP＝BQ＝CR＝DS＝１ｃｍです。

色のついた部分の面積は何ｃ㎡ですか？

覚えておきたいイメージと答え

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数の並びの規則性問題（高槻中学 2013年）

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正五角形を下の図１のように１番目、２番目、・・・ と１列に並べます。次に、ある規則にしたがって各頂点に数を配置します。このとき、次の問に答えなさい。

（１）１０１番目の正五角形で、下の図２の＜ア＞の頂点に配置されている数を答えなさい。

　　　　　　　　　　　　　

（２）９９７ という数は、何番目の正五角形に配置されていますか。また、その位置は、下の図３のＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ のうちどこにありますか。記号を答えなさい。

　　　　　　　　　　　　　

（３）各五角形に配置されている数の平均を考えます。たとえば、１番目の正五角形に配置されている数の平均は、

（１＋２＋３＋４＋５）÷５＝３ なので、３ になります。

平均が初めて ２０１３ 以上になるのは何番目の正五角形からか答えなさい。

規則性と解法例

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正三角形の半分の直角三角形（世田谷学園中学 2009年）

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正三角形の半分の直角三角形ＯＡＢがあり、ＯＡの長さは１０ｃｍです。辺ＯＢを斜辺として、三角形ＯＡＢと相似な直角三角形ＯＢＣを並べます。さらに相似な直角三角形ＯＣＤを並べ、この作業をくり返します。このとき、次の問に答えなさい。

（１）ＯＣの長さを求めなさい。

（２）三角形ＯＡＢを１番目としたとき、９番目の直角三角形の辺のうち、最も短い辺の長さを求めなさい。

図解による解法例

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