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2013年4月

とても面白い問題です!(青雲中学 2012年)

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11,303,5775 などのように、

数字の並び方が左右対称になっている2ケタ以上の整数を

小さい方から順に、

11,22,33,・・・,99,101,111,・・・,

999,1001,1111,・・・

と並べるとき、次の問に答えなさい。

(1)2ケタの数は何個現れますか。

(2)3ケタの数は何個現れますか。

(3)2112は何番目に現れますか。

(4)240番目に現れる数は何ですか。

数え方と解法例

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出題頻度の高い問題です(桐蔭学園中学 2009年)

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1辺6cmの正方形に図のように線を引いたとき、

四角形JKLMの面積を求めなさい。 

     Pic_0389

参考イメージ図と解法例

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今年の名作問題です(桜蔭中学 2013年)

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下の図は,長方形の土地を幅3mの道(斜鉛部分)で5つの長方形の土地に分けたものです。あ、い、う、え、お の部分の面積をそれぞれ あ、い、う、え、お とします。
あ:い:う:え:お
=1:2:3:4:5となるとき、え の部分の面積を求めなさい。

1_2

考え方と解法例

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今年の入試問題の第1問は日暦算(麻布中学 2013年)

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満月から次の満月まで 29.53日かかるものとします。ある【うるう年】の 9月30日が満月であるとき、次の満月を1回目として、100回目の満月となるのは何年後の何月何日ですか。ただし、【うるう年】は4年に1度、必ずあるものとします。

Mssc0108cs

日暦計算と解答

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円周率が3より大きいことがわかる作図(逗子開成中学 2009年)

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円周の長さを,その円の直径の長さで割って得られる値を円周率と呼びます。下の2つの円はどちらも半径が1の円です。【図①】は円が正方形にぴったりと納まっている図で,この図から円周率は4未満であることが分かります。これにならって,円周率が3より大きいことが分かるような【図②】を解答用紙に完成させなさい。
ただし,図は描いた意図がはっきり分かるようにていねいに描きなさい。そうすれば,定規やコンパスは使っても使わなくても構いません。

1

解説と作図

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関連問題

円周率とは何か(甲南中学 算数受験問題 2009年)

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デジタル数字の場合の数(巣鴨中学 2012年)

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下の図1のように、マッチ棒で 0から9 までの十種類の数字を作ることができます。たとえば 「8」 はマッチ棒をちょうど7本使って作ることができます。このとき次の問に答えなさい。ただし、答えが求められないときは 「なし」 と答えなさい。

 Pic_3026q

(1)マッチ棒をちょうど10本使って2ケタの整数は何種類作れますか。ただし、同じ数を2つ作ってもかまいません。

(2)マッチ棒をちょうど10本使って3ケタの整数は何種類作れますか。ただし、同じ数を2つ作ってもかまいません。

(3)下の図2は、①、②、③にそれぞれマッチ棒をちょうど10本ずつ使って作った計算式です。このとき、③に当てはまる最大の整数を求めなさい。ただし、①、②にはそれぞれ(1)で作った整数、③には(2)で作った整数が入ります。

  Pic_3027a

さがし方と解法例

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平面と立体の重なり(洛星中学 2013年)

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3つの正方形の紙を重ねたところ、下の図1のようになりました。ただし、図1の角はすべて直角です。

Pic_3388q

(1)正方形の紙が3枚とも重なっている部分の面積を求めなさい。

(2)正方形の紙が2枚以上重なっている部分の面積を求めなさい。

立方体を使って、下の図2のように地面に穴をあけます。穴をあけるときは立方体を図2のように地表まで地面にうめ、取り出すものとします。

Pic_3389q

(3)3種類の立方体を1つずつ順番に使って穴をあけたところ、できた穴を上から見ると図1のようになりました。この穴の容積を求めなさい。

イメージ図解と解法例

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底面積が違うのにどう比較するのか?(明治大学付属明治中学 2011年)

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2つの円柱形の容器A,Bがあり,Aには高さ18cm,Bには高さ6cmまで水が入っています。Aに入っている水の3/8をBに移したところ,AとBの水の高さは同じになりました。このとき,最初に入っていたAとBの水の量を最も簡単な整数の比で表すと,(ア):(イ)です。

図解と解法例

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実業学校らしい問題(早稲田実業学校中等部 2008年)

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1辺の長さが10cmの正方形4枚でできている図1のようなタイルA と、1辺の長さが10cmの正方形5枚でできている図2のようなタイルBがあります。タイルAは1枚300円、タイルBは1枚400円です。このとき、次の問に答えなさい。

   Pic_1472q

(1)タイルA だけを使って作ることのできる長方形のなかで、面積の一番小さいもののうち、長い方の辺の長さを答えなさい。

(2) (1)で作った長方形のタイルをC、タイルA とタイルBをそれぞれ2枚ずつ使って作った長方形のタイルをDとし、CとDを組み合わせて、たて1.2m、横2.3mの長方形の床にすき間なくタイルをはりつけます。タイルA,Bがたくさんあるとき、かかる費用が一番安くなるのはA,Bそれぞれ何枚使うときですか。

(3) (2)のとき、A,Bがそれぞれ50枚ずつしかないとき、かかる費用が一番安くなるのは、いくらですか。 

考え方と解法例

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場合の数を数える解法2例((神戸女学院中学 2012年)

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箱の中に1から7までの数字が書かれたカードが1枚ずつ入っています。この箱の中からカードを1枚ずつ順に取り出し、取り出したカードに書かれた数の和が3の倍数になったときに終了することにします。もし1枚目が3の倍数ならば、そこで終了です。ただし、取り出したカードは元にもどさないものとします。このとき次の問に答えなさい。

01 02 03 04 05 06 07

(1)2枚取り出して終了するようなカードの取り出し方は何通りありますか。

(2)3枚取り出して終了するようなカードの取り出し方は何通りありますか。

考え方と解法2例

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おうぎ形面積の基本問題(東海中学 2010年)

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図1のように,1辺2cmの正方形の中に半径lcmの円がかかれています。図2のように,この模様を,正方形の頂点と円の中心が重なるように横に4個ならべたとき,色をつけた部分の面積を求めなさい。

1

イメージ図解と答え

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走った道のりの合計は?((桐朋中学 2008年)

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ある道のりを,はじめ時速15kmの速さで,次に時速12kmの速さで,最後に時速9kmの速さで走ったら,5時間40分かかりました。時速15km,時速12km,時速9kmの速さで走った道のりの比は1:2:3でした。走った道のりの合計は何kmでしたか。

Chra059s

考え方と解法例

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シンプルですがちょっと考えてしまいます(東邦大学付属東邦中学 2007年)

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下の図の黄色部分の面積は何c㎡ですか。

1

参考イメージ図と解法例

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面積図で解く過不足算の基本問題(慶應義塾湘南藤沢中等部 2011年)

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りんごを箱につめるのに、1箱に5個ずつつめると4個余り、1箱に12個ずつつめると、7個しか入らない箱が1箱と、空の箱が8個箱ができます。りんごの個数はいくつですか。

Ilm23_ba02001s

面積図による解法例

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多くの学校で出題された正6角形の分割問題(田園調布学園中等部 2009年)

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図のように正六角形ABCDEFの頂点を結んで2つの正三角形をつくったところ、斜線部分の面積が10c㎡でした。このとき次の問いに答えなさい。

(1)正三角形ACEの面積は何c㎡ですか。

(2)正六角形ABCDEFの面積は何c㎡ですか。

1

正六角形の分割イメージと答え

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グラフを描いてグラフを読む(筑波大学附属駒場中学 2003年)

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容量が150L の水そうA と100L の水そうB があります。どちらの水そうにも、一定の速さで水を入れるポンプと、一定の速さで水を出すポンプがそれぞれついています。水を入れるポンプは、水そうが満水になると止まり、同時に水を出すポンプが動き出します。また、水を出すポンプは、水そうが空になると止まり、同時に水を入れるポンプが動き出します。このように、水を入れるポンプと水を出すポンプは交互に動きます。水そうが空のときにポンプを動かすと、A は10分で満水になり、さらに10分で空になります。また、Bは20分で満水になり、20分で空になります。午前9時には、どちらの水そうにも水が75L 入っていて、両方とも水を入れるポンプが動いていました。なお、午前9時50分から午前10時までは、両方の水そうの水を出すポンプは動きますが、水を入れるポンプは動きません。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)午前9時から午前10時10分までの、水そうA の時刻と水の量を表すグラフと、水そうB の時刻と水の量を表すグラフを下の図1に書きなさい。

 Pic_2700q

(2)午前10時をすぎてから、両方の水そうの水の量が初めて同じになる時刻を答えなさい。

(3)午前9時から午前11時までの間で、両方の水そうの水の量の合計が最も少なくなる時刻をすべて答えなさい。

グラフの描画と読解

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パズルのような速さ問題(神奈川大学附属中学 2011年)

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Aさん,Bさん,Cさんの3人は,学校を8時30分に出発して,次のような歩き方で10kmはなれた公園に向かいます。

Aさんは,時速4.8kmで休みなく歩きます。

Bさんは,時速5kmの速さで45分歩いて3分休みます。

Cさんは,時速6kmの速さで30分歩いて8分休みます。

だれが,何時何分に,一番早く公園に着きますか。

4141

時間計算と答え

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有名なヒポクラテスの三日月(横浜共立学園中学 2006年)

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下の図は直角三角形と,その3辺をそれぞれ直径とする3つの半円を組み合わせてできた図形です。色のついた部分の面積の和は何c㎡ですか。(円周率は3.14とします)

1_2

解法のイメージアニメーション

答え

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これもよく出題される基本問題です(春日部共栄中学 2009年)

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次の図の四角形ABCDは、1辺が10cmの正方形です。図の斜線部分のアの面積とイの面積が等しいとき、辺BEの長さを求めなさい。

1

参考イメージ図と解法例

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数え方の規則性を見つける(清風南海中学 2009年)

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同じ大きさのご石と同じ長さの棒がたくさんあります。

これらを下の図のように規則的にならべていきます。

  Pic_1864q

このとき、次の問に答えなさい。

(1)図7では、ご石が何個使われていますか。

(2)図7では、棒は何本使われていますか。

(3)棒を840本使ったとき、何番目の図になりますか。

(4)使った棒とご石の数の差が2400のときは、何番目の図ですか。

規則性と解法例

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立体の切り口、基本問題(海城中学 2013年)

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円すい、三角すい、円柱、立方体の4つの立体があります。

これらの立体を、

ある平面で切断したときの切り口について調べました。

次の ①から④ の結果から、

A,B,C,D がどの立体であるか答えなさい。

 

① 立体Bは、切り口が円になるときがある。

② 立体A,B,Dは、切り口が三角形になるときがある。

③ 立体A,C,Dは、切り口が四角形になるときがある。

④ 立体Aは、切り口が五角形になるときがある。

解答

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カードゲームの推理→数の性質(立教女学院中学 2009年)

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1、2、3、4、5、6、7、8、9の9枚のカードをAさん、Bさん、Cさん、Dさんの4人に2枚ずつ配布し、それぞれのカードの数字を当てるゲームをしました。Aさん、Bさん、C.さん、Dさんの4人の発言は以下のようでした。

A:私のカードは、2枚とも偶数でした。

B:私のカードは、大きい数を小さい数でわったとき、あまりが1になりました。

C:私のカードは、2枚を足したとき、2けたの偶数になり、大きい数から小さい数をひいたとき、小さい数と同じになりました。

D:私のカ-ドは、2枚をかけたとき、1けたの数になり、2枚を足したとき、2けたの数になりました。

このとき、次の□にあてはまる数や記号を入れてください。

(1)Aさんのカードは□と□です。

(2)2枚とも奇数であるのは□さんと□さんです。

(3)2枚のカードを足したときの数が最も大きかったのは□さんです。

(4)Dさんのカードは□と□です。

(5)あまった1枚のカードは□です。

数の性質からの推理と答え

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立体図形の切り口とイメージ(ラ・サール中学 2013年)

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下の図のような直方体があります。点Mは辺AE のまん中の点です。この直方体を、まず3点A,C,F を通る平面で切り、切ってできる2つの立体のうち、点B を含む方を取り除きます。次に、残った立体を点Mを通り、底面EFGHに平行な平面で切ります。このとき次の問に答えなさい。ただし、角すいの体積は、(底面積)×(高さ)÷3 です。

  Pic_3374q

(1)点E を含む方の立体の体積を求めなさい。

(2)点D を含む方の立体について、

 (ア)辺の数と面の数は、それぞれいくつですか。

 (イ)体積を求めなさい。

切断イメージと解法例

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ボール取りの論理問題(公文国際学園中等部 2009年)

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A、B、C、D、Eの5人が、50個あったボールを全員が1人1回ずつ次のようにとりました。

Aは、1番目に7個とりました。

Bは、自分の順番になったときに、残っていたうちの1/2をとりました。

Dは、はじめにあった個数の1/10をとりました。

Eは、自分の順番になったときに、残っていたうちの2/3をとりました。

この5人がある順番でボールをとったところ、すべてなくなりました。

2番目には誰が、何個とりましたか。

推理と解法例

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立てた棒の影から長さを計算する(田園調布学園中等部 2011年)

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図のような5段の階段があります。各段はそれぞれ、高さ20cm、奥行き30㎝とします。はじめにAに2mの棒を立てたところ、日がさし、棒の影の先端がちょうどBにかかりました。棒を階段から遠ざけていくとき、次の問いに答えなさい。ただし、棒は地面に対して垂直に立てるものとします。

(1)棒の影がちょうど階段にかからなくなりました。これはAから何cm遠ざけたときですか。

(2)棒の影の先端がちょうどCにかかりました。これはAから何cm遠ざけたときですか。

1

図解と解法例

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第10回算数オリンピック、ファイナルより→難問に挑戦!

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長方形ABCDがあり、図のようにこの長方形の外側に点Eをとり、各頂点と直線で結び、ADとEBの交わる点をFとします。

△黄が18c㎡、四角形緑が50c㎡、△水色が8c㎡のとき、△灰色は何c㎡ですか。

1

参考イメージ図と解法例

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ちょっと変わった通過算です。(吉祥女子中学 2012年)

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生徒が一列に並んで歩いています。先頭の生徒から一番後ろの生徒までの長さは 100m です。先生が、その列の先頭から一番後ろまで走ったところ、20秒かかりました。そのあと、一番後ろから先頭まで走ったところ、40秒かかりました。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)先生の走る速さは、毎分何mですか。

(2)この列が、長さ80mの橋を渡り始めてから、渡り終わるまでにかかる時間は何分何秒ですか。

44

考え方と解法例

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毎年どこかの中学で出題される定番問題(慶應義塾中等部 2013年)

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図のような1辺が3cmの正方形ABCDがあります。

点P、Q、R、Sはそれぞれ正方形の辺の上にある点で、

AP=BQ=CR=DS=1cmです。

色のついた部分の面積は何c㎡ですか?

1

覚えておきたいイメージと答え

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数の並びの規則性問題(高槻中学 2013年)

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正五角形を下の図1のように1番目、2番目、・・・ と1列に並べます。次に、ある規則にしたがって各頂点に数を配置します。このとき、次の問に答えなさい。

Pic_3365q

(1)101番目の正五角形で、下の図2の<ア>の頂点に配置されている数を答えなさい。

             Pic_3366q

(2)997 という数は、何番目の正五角形に配置されていますか。また、その位置は、下の図3のA,B,C,D,E のうちどこにありますか。記号を答えなさい。

             Pic_3367q

(3)各五角形に配置されている数の平均を考えます。たとえば、1番目の正五角形に配置されている数の平均は、

(1+2+3+4+5)÷5=3 なので、3 になります。

平均が初めて 2013 以上になるのは何番目の正五角形からか答えなさい。

規則性と解法例

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正三角形の半分の直角三角形(世田谷学園中学 2009年)

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Pic_1124q

正三角形の半分の直角三角形OABがあり、OAの長さは10cmです。辺OBを斜辺として、三角形OABと相似な直角三角形OBCを並べます。さらに相似な直角三角形OCDを並べ、この作業をくり返します。このとき、次の問に答えなさい。

(1)OCの長さを求めなさい。

(2)三角形OABを1番目としたとき、9番目の直角三角形の辺のうち、最も短い辺の長さを求めなさい。

図解による解法例

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