点が動く範囲は？（公文国際学園中等部 2007年）

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平面上で長さ３ｃｍの直線を４本組み合わせて折れ線を作ります。両側の点をＡ，Ｂとし、つなぎ目の点をＰ，Ｑ，Ｒとします。このとき、直線ＡＰ、ＰＱ、ＱＲ、ＲＢは重なったり回転したり自由に動けます。円周率を３．１４として次の問に答えなさい。

　　　　

（１）点Ａを固定するとき、折れ線ＡＰＱが通過できる部分の面積を求めなさい。折れ線ＡＰＱは直線になることもあります。

（２）２点Ａ，Ｂを６ｃｍ離れたところで固定するとき、折れ線ＡＰＱＲＢのうち、直線ＲＢが通過できる部分の面積を求めなさい。

（３）２点Ａ，Ｂを６ｃｍ離れたところで固定するとき、点Ｑが通過できる部分の周の長さは何ｃｍですか。

（４）２点Ａ，Ｂを、ＡＢの長さが、面積が３６ｃ㎡の正方形の対角線の長さに等しくなるように固定すると点Ｑが通過できる部分の面積を求めなさい。

点の移動範囲と解法例

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計算間違いしやすい体積問題（駒場東邦中学 ２０１３年）

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１辺の長さが10cmの正方形を８個組み合わせた，図のような図形を，直線Lを軸としてそのまわりに180゜回転してできる立体の体積は何立法ｃｍですか。
ただし，円周率は3.14とします。

計算と解法例

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円錐の大きさ比べ（大妻中学 2012年）

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下の図のような直角二等辺三角形ＡＢＣ を直線Ｌ を軸として１回転させた立体をＰ，直線Ｍ を軸として１回転させた立体をＱ としたとき、Ｐ と Ｑ 、どちらの体積が 何ｃ㎥ 大きいですか。

　

計算の仕方と解答例

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数の書かれたカードの規則性は？（横浜雙葉中学 2012年）

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下の図のように、ある規則に従って数が書かれている Ｌ字型のカードがあります。ただし、１枚目だけは Ｌ字型ではありません。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）カードに書かれている最大の数が ８１ のとき、そのカードに書かれている数は全部で何個ありますか。

（２）１０枚目のカードに書かれている数の和を求めなさい。

（３）カードに書かれている数の和が １９６８３ となるのは何枚目のカードですか。

（４）１から ２０ までの整数の和は ２１０ です。このことを利用して１枚目から順に２０枚目までのカードに書かれている数を全て足したら、いくつになりますか。

規則性と解法例

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正三角形の回転移動（筑波大学附属中学 2012年）

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下の図のように、１辺が３ｃｍの正方形ＡＢＣＤの辺の上に１辺が２ｃｍの正三角形ＰＱＲが置かれています。正方形ＡＢＣＤの辺の上を矢印の向きに、正三角形ＰＱＲをすべらないように回しながら、正方形ＡＢＣＤの周りを動かします。正三角形ＰＱＲは、最初の位置に初めてもどってくるまでに何回転しますか。ただし、正三角形の頂点Ｐが再び真上にくるまでを１回転とします。

　　　　　

回転イメージ図と答え

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木の葉形面積を求める基本問題（早稲田実業学校中等部 ２００６年）

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下の図のように，１辺20cmの正方形ABCDの中に，辺BC，CDを直径とする２つの半円をかき，その交点をOとします。点Oを通る直線EFをひいたところ，黄色と緑の部分の面積が等しくなりました。円周率を3.14として，三角形OBFの面積を求めなさい。

参考イメージ図と解法例

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同時にランプがつくのは？（鴎友学園女子中学 ２００７年）

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黄、赤、青の３色のランプがあります。黄は２秒ごとに１回，赤は３秒ごとに１回，青は５秒ごとに１回ランプがつきます。３色が同時についてから，１分間に３色のうち２色だけが同時につくことは何回ありますか。

考え方と解法例

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点が移動して描く図形は？（麻布中学 ２００５年）

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一辺１ｃｍの正三角形が図１のようにしきつめられています。点Pがその辺上を，途中で同じ点，同じ辺は通らないように１秒間に１ｃｍの速さで動きます。Pがある三角形の頂点から出発して４秒後に初めてもとの頂点に戻るとき，Pが動いてできる図形は，例えば図２のようになります。このとき，次の問いに答えなさい。

（１） Ｐが図の頂点Oから出発して，5秒後に初めてもとの頂点Oに戻るとき，Ｐが動いてできる図形を一つ答のらんにかきなきい。

（２）Pが図の頂点Oから出発して５秒後に初めてもとの頂点Oに戻る動き方は何通りありますか。ただし，動いてできる図形が同じ場合でも逆まわりは異なる動き方とします。

（３）Ｐがある三角形の頂点から出発して６秒後に初めてもとの頂点に戻るとき，Ｐが動いてできる図形を考えます。それらをすべて下の答えのらんに一つずつかきなさい。ただし、移動や裏返しで重ね合わせることができる図形は同じものとします。また，答のらんはすべて使うとは限りません。

解説図と解答図例

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針の角度と時刻→時計算（海城中学 2011年）

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長針、短針、秒針のついた時計について、次の【ア】～【カ】にあてはまる数を求めなさい。ただし、秒の値のみ分数で答えなさい。

（１）７時から８時の間で、長針と短針の間の角の大きさが６０度になる時刻は、１回目が ７時【ア】分【イ】秒で、２回目が７時【ウ】分【エ】秒です。

（２）７時から８時の間で、短針と秒針の間の角の大きさが１２０度になる ２３回目 の時刻は、７時【オ】分【カ】秒です。

考え方と答え

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平均算を応用した数の推理（女子学院中学 2013年）

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下の図のような矢の的があります。Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ の６人が２回ずつ矢を射って、２回の合計を得点とします。６人の得点の平均は、小数第２位を四捨五入すると ８．２点で、Ａ，Ｃ，Ｆ の３人の得点の平均は、ちょうど１２点でした。また、Ｆの得点はＢの得点よりも４点多く、Ｅ とＦ だけが１回ずつ的を外しました。このとき、Ｄ，Ｅ の２人の得点の平均は何点ですか。

　　　　　

推理と解法手順

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光の反射する性質（須磨学園中学 2013年）

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角Ａ が５０°で、辺ＡＢ と辺ＡＣ の長さが等しい二等辺三角形があります。いま、下の図のように頂点Ｂを出た光が辺ＡＣ と辺ＡＢで反射して、辺ＢＣ 上の点Ｆ に届きました。このとき、角ＣＦＤ の大きさは１２０°でした。このとき、角アの大きさを求めなさい。ただし、反射とは、下の図の右側のように、角度が等しくなる性質があります。

イメージ参考図と解法２例

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図形の対称性をイメージで！（普連土学園中学 ２００９年）

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１辺が6ｃｍの正方形の２辺を３等分した点を，図のように直線で結びました。斜線部分の面積の和を求めなさい。

イメージ参考図と解法例

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図形移動の頻出問題です！（巣鴨中学 2011年）

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下の図は１辺の長さが８ｃｍの正方形ＡＢＣＤ の辺ＣＤ上に点Ｅ を ＣＥ＝６ｃｍ、ＢＥ＝１０ｃｍ となるように取った図です。三角形ＢＣＥ を頂点Ｂ を中心にして、反時計回りに ６０°回転したとき、辺ＣＥ の通過した部分の面積を求めなさい。

　　　　　　　　

回転イメージ図形と解法例

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面積比と長さの比（江戸川学園取手中学 ２０１０年）

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下の図は直角三角形ABCを５本の線によって面積が等しくなるように６つに分けたものです。（答えが整数にならないものは小数第２位を四捨五入）

（１）四角形DFGHの面積は何ｃ㎡ですか。

（２）GHの長さは何ｃｍですか。

（３）EFの長さは何ｃｍですか。

（４）点Eから辺BCまでの距離は何ｃｍですか。

イメージ参考図と解法例

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点の移動による図形の変化（豊島岡女子学園中学 2013年）

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下の図１のように、１辺が ６０ｃｍの正方形ＡＢＣＤ があり、対角線ＡＣ とＢＤ の交点を Ｏ とします。また、ＡＯ，ＢＯ，ＣＯ，ＤＯ のそれぞれのまん中の点をＥ，Ｆ，Ｇ，Ｈ とします。

　　　　　　　　

点Ｐ と点Ｑは頂点Ａを同時に出発し、点Ｐ は辺ＡＢ と辺ＢＣの上を通って頂点Ｃ まで進み、点Ｑ は辺ＡＤ の上を通って頂点Ｄ まで進みます。点Ｐ の速さは毎秒４ｃｍ、点Ｑの速さは毎秒２ｃｍです。下の図２のように点Ｐ と点Ｑ を結ぶとき、次の問に答えなさい。

　　　　　　　

（１）直線ＰＱが点Ｅ を通るのは出発してから何秒後ですか。

（２）直線ＰＱが正方形ＥＦＧＨ の面積を２等分するのは出発してから何秒後ですか。

（３）３つの点 Ａ，Ｐ，Ｑ を結んで三角形ＡＰＱ を作ります。この三角形ＡＰＱ と正方形ＥＦＧＨ の重なった部分が下の図３のように、六角形となる場合があります。重なった部分がはじめて六角形になるのは、出発して何秒を超えたときですか。

　　　　　　　　

図解による解法例

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その年の数を使った問題は頻出！（武蔵中学 ２０１１年）

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２０１１を割ると１余る整数はいくつありますか？

そのうち小さいほうから７番目の数はいくつですか？

解法例と答え

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角度問題の定石とは？（鎌倉学園中学 2013年）

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下の図のように、平行な２直線と２個の正六角形があります。

図の角アの大きさを求めなさい。

　

解法の定石と答え

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タイル模様の面積と場合の数（明星中学 ２０１１年）

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下の図１、図２のような１辺の長さが４ｃｍの正方形のタイルが何枚もあります。図１のタイルには正方形の対角線が１本、太線で引かれており、図２のタイルには円周を４等分したものが太線で引かれています。このタイルを次のルールに従って並べます。

【ルール】

図１、図２のタイルを合わせて４枚使い、たてに２枚、横に２枚並べます。このとき、図１、図２のタイルを何枚ずつ使ってもよく、また、タイルを自由に回転させてもよいが、それぞれのタイルの　●印 同士が必ずつながるように並べます。

下の図３は、上の【ルール】に従って並べた例です。

　　

（１）上の図３の太線で囲まれてできる色のついた部分の面積を求めなさい。

（２）この【ルール】に従ってタイルを並べ、タイルの太線で囲まれてできる図形のうち、最も面積が大きい図形と、最も面積が小さい図形の面積の差を求めなさい。

（３）この【ルール】に従ってタイルを並べ、タイルの太線で囲まれてできる図形の面積は、全部で何通りありますか。

参考イメージ図と解法例

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ひもが届く頂点はいくつ？（洗足学園中学 ２０１０年）

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図は，１辺の長さが２ｃｍの正五角形12個でつくられた立体を机において，上から見たものです｡長さ６ｃｍのひもの一方の端をこの立体の頂点Ａに固定し，このひもをすべて辺に沿わせるとき，ひものもう一方の端が届く頂点は何個考えられますか。ただし，ひもをたるませたり重ねたりすることはできません。

数え方と解法例

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三角形の面積比、長さ比（（愛光中学 2012年）

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下の図のような図形ＡＢＣＤ があります。この図形をＡＣ で折り曲げると、点Ｂと点Ｄが重なります。また、ＢＣを延長すると辺ＡＤ 上の点Ｅ で交わります。ＡＢの長さが８ｃｍ、ＡＥの長さが５ｃｍ のとき、次の問に答なさい。

　　　　　　　

（１）ＢＣ とＣＥ の長さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

（２）三角形ＡＢＤ と三角形ＡＢＣ の面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

参考イメージ図と解法例

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円弧はどう動くか？（東大寺学園中学 ２０１０年）

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次の（ア）～（エ）にあてはまる数を求めなさい。

（１）図１のように半径が３ｃｍの円と、AB＝４ｃｍ、BC＝１ｃｍである長方形ABCDがあります。また、円の太線の部分は円周の１/４を表しています。図１の円の中心が長方形の辺の上をA→B→Cと動いたとき、円の太線の通る部分は、図２の斜線部分のようになります。このとき、斜線部分の面積は（ア）ｃ㎡です。ただし、円は動くときに回転しないものとします。

（２）図３のように半径が３ｃｍの円と、EF＝２ｃｍ、FG＝１ｃｍである長方形EFGHがあります。また、円の太線の部分は円周の１/４を表しています。図３の円の中心が長方形の辺の上をE→F→Gと動いたとき、円の太線の部分が通る部分の面積は（イ）ｃ㎡です。また、円の中心が長方形の辺の上をE→F→G→H→Eと動いたとき、円の太線の部分が通る部分の面積は（ウ）ｃ㎡であり、円の太線の部分が２回通る部分の面積は（エ）ｃ㎡です。ただし、円は動くときに回転しないものとします。

図形移動イメージと解法例

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グラフで考える流水算（ラ・サール中学 ２０１３年）

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川沿いにＡ港があり、Ａ港から２４ｋｍ下流にＢ港があります。ＡＢ間を船ＰとＱが往復します。船ＰとＱは静水時の速さは同じです。船ＰはＡ港を出発し、Ｂ港に着いてから４０分後にＡ港に向かって出発します。また、船ＱはＢ港を出発し、Ａ港に着いてから、やはり４０分後にＢ港に向かって出発します。午前９時に船Ｐ，ＱがそれぞれＡ港、Ｂ港を出発してＡＢ間を往復するとき、２度目にすれ違ったのは正午で、Ａ港から ９ｋｍのところでした。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）１度目にすれ違ったのは、Ａ港から何ｋｍのところですか。

（２）船が川を上る速さと下る速さの比を最も簡単な整数の比で答えなさい。

（３）船が川を上る速さは時速何ｋｍですか。

グラフと解法例

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長さ、長さ比、面積（洛南高校附属中学 2011年）

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下の図のように、面積が１６ｃ㎡ の正方形ＡＢＣＤの各辺上に４点Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ をとります。三角形ＡＢＰ，三角形ＣＱＰ，三角形ＤＲＱ，三角形ＡＳＲ の面積はすべて ２ｃ㎡ で、ＡＰとＲＳの交点をＴとします。

このとき、次の問に答えなさい。

　　　　　　　　

（１）ＡＳの長さを求めなさい。

（２）（ＡＴの長さ）　：　（ＴＰの長さ）　を最も簡単な整数の比で表しなさい。

（３）（ＲＴの長さ）　：　（ＴＳの長さ）　を最も簡単な整数の比で表しなさい。

（４）四角形ＰＱＲＴ の面積を求めなさい。

考え方と解法例

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規則性をみつけて計算式を作る問題（慶應義塾湘南藤沢中等部 ２００７年）

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図のように１ｍ間かくの平行な線があり，線には番号がついています。いま，Ｋ君が①の線からスタートして

①→②→①→②→③→②→①→②→③→④→③→②→①→・・・

という順番で，おのおのの線を１回ずつふみながら，線と垂直な方向に歩いていきます。

このとき、

（１）スタートしてから，はじめて⑥の線をふんで①の線にもどってきたとき，Ｋ君の歩いた道のりは何ｍですか。

（２）スタートしてから70m歩いたとき，Ｋ君は何番の線をふんでいますか。

（３）スタートしてから５回目に⑩の線をふんだとき，Ｋ君の歩いた道のりは何ｍですか。

規則性と解法例

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N進法の基本問題（学習院女子中等科 ２０１２年）

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５個並んだマスに黒色をぬって整数を表すことにします。黒色をぬる場所によって、

とします。このようにすると、

と表せます。

では、

（１） はいくつを表しますか。

（２）このぬり方で１３を表してください。

（３）このぬり方で、０からいくつまでの整数をを表すことができますか。

（４）同じように並んだマスを用いて、０から１２９の整数を表すには、最低いくつのマスを並べる必要がありますか。

ぬり方の規則性と解答例

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連休中の計算パズル問題です！（巣鴨中学 2011年）

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「４」のカードが４枚と、「＋」、「－」、「×」、「÷」、「 （ 」、「 ）」 のカードがたくさんあります。

これらのカードをならべて計算式を作ります。

ただし、「４」のカードは必ず４枚使うものとします。

たとえば、答えが ０ になる計算式には次のようなものがあります。

　４　＋　４　－　４　－　４　＝　０

　４　×　４　－　４　×　４　＝　０

　４　４　－　４　４　＝　０

　（　４　－　４　）　×　４　÷　４　＝　０

（１）答えが ７ になる計算式を１つ書いてください。

（２）答えが １０になる計算式を１つ書いてください。

（３）答えが １，２，３，４，５，６，８，９ になる計算式を、それぞれ１つずつ書いてください。

ただし、求める計算式がない場合は、「 なし 」 と書いてください。

ない場合はあるか？→解答例

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