タイル模様の面積と場合の数(明星中学 2011年)
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下の図1、図2のような1辺の長さが4cmの正方形のタイルが何枚もあります。図1のタイルには正方形の対角線が1本、太線で引かれており、図2のタイルには円周を4等分したものが太線で引かれています。このタイルを次のルールに従って並べます。
【ルール】
図1、図2のタイルを合わせて4枚使い、たてに2枚、横に2枚並べます。このとき、図1、図2のタイルを何枚ずつ使ってもよく、また、タイルを自由に回転させてもよいが、それぞれのタイルの ●印 同士が必ずつながるように並べます。
下の図3は、上の【ルール】に従って並べた例です。
(1)上の図3の太線で囲まれてできる色のついた部分の面積を求めなさい。
(2)この【ルール】に従ってタイルを並べ、タイルの太線で囲まれてできる図形のうち、最も面積が大きい図形と、最も面積が小さい図形の面積の差を求めなさい。
(3)この【ルール】に従ってタイルを並べ、タイルの太線で囲まれてできる図形の面積は、全部で何通りありますか。
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コメント
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(3)の回答ですが、これですと、膨らんだものと凹んだものが同時にある場合が抜けてしまうと思いますが、、、
投稿: momo | 2013年5月11日 (土) 10時25分
あと、対角線上に同じ物が来る形も抜けてしまいますね。
もう一方の対角線に違うものが来る時です。
投稿: momo | 2013年5月11日 (土) 10時55分
ご指摘ありがとうございます。確かに抜けている面積がありそうですね。①3つが膨らんで1つが凹んでいるもの、②2つが膨らんで、1つが対角線、1つが凹んでいるもの。③2つが膨らんで、残り2つが凹んでいるもの、④1つが膨らんで、1つが凹んで、2つが対角線のもの、⑤1つが膨らんで、2つが凹んで、1つが対角線のもの、⑥1つが膨らんで、残り3つが凹んでいるもの、の合計6つが抜けていて、9+6=15通りになるようですが、いかがでしょうか?このうち、面積が等しくなってしまうものがあるのでしょうか?ちょっと時間をかけて、確認してみます。解答はそれから訂正しようと思います。
投稿: 管理人 | 2013年5月11日 (土) 14時03分
面積を確認しましたが、①は解答9個の右上と同じ、②は中段左と同じ、③④は中段真ん中と同じ、⑤は中段右と同じ、⑥は左下と同じになります。
したがって、面積の数は解答のように9通りのようです。
確かに形は違っていて、形の種類となると15通りほどあるようですが・・・
投稿: 管理人 | 2013年5月11日 (土) 14時23分
うお~っと、すいませんでした。
問題をよく読んでいませんでした、、、
大変申し訳ありませんでした。
投稿: momo | 2013年5月11日 (土) 19時12分