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2013年6月

この中学ではよく出題される面積比問題(桐光学園中学 2010年)

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図のように、1辺が10cmの正方形ABCDの辺AB上に点EをBE=7cm、辺DC上に点FをCF=5cmとなるようにとります。このとき、斜線部分の面積は何c㎡ですか。

1

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イメージ解説図と解法例

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点が移動する旅人算(筑波大学附属駒場中学 2010年)

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平面上に点Oと点Pがあり、下の図1のように、Oを中心とする円と、Pを中心とする円があります。さらに、Pを中心とする円の周上に点Qがあります。

    Pic_2705q

Pは、Oを中心とする円の周上を時計回りに一定の速さで動き続け、Oのまわりを1周するのに9秒かかります。このとき、Pを中心とする円もPと共に動きます。また、Qは、Pを中心とする円の周上を時計回りに一定の速さで動き続け、Pのまわりを1周するのに5秒かかります。

P,Qは、図1の位置から同時に動き始め、たとえば1秒後には下の図2のようになります。このとき、次の問に答えなさい。

    Pic_2706q

(1)動き始めてからPがOのまわりを1周するまでに、3点O,P,Qを結ぶと一直線になることは何回ありますか。ただし、動き始めたときは回数に含みません。

(2)点Rは、Pを中心とする円の周上を、Qと逆回りに一定の速さで動き続け、Pのまわりを1周するのに3秒かかります。Rは、 Qと同じ位置から、Qと同時に動き始めます。

(ア)3点P,Q,R を結ぶと初めて一直線になるのは、動き始めてから何秒後ですか。動き始めたときは含みません。

(イ)動き始めてから2010秒後までに、4点O,P,Q,Rを結ぶと一直線になることは何回ありますか。ただし、動き始めたときは回数に含みません。

図解による解法例

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数列の規則性を考える問題(学習院女子中等科 2013年)

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次のように規則的に整数が並んでいます。

1,2,4,5,6,8,9,10,12,13,14,16,・・・

このとき、次の問に答えなさい。

 

(1) 2013 は何番目の整数ですか。

(2) はじめから100番目の整数は何ですか。

(3) はじめから100番目までの整数の和を求めなさい。

考え方と解法例

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かくれた規則性が見つかりますか?(渋谷教育学園幕張中学 2013年)

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7と8をいくつかたしていろいろな整数を作ります。ただし、7だけをたしても、8だけをたしてもかまいません。

たとえば

      7+7=14
      7+8=15
      8+8=16
       7+7+8=22

などを作ることができます。

(1)20以上30以下の整数のなかで、7と8をどのようにたしても作ることができない整数をすべて答えなさい。

(2)7と8をどのようにたしても作ることができない整数のなかで、もっとも大きい整数はいくつですか。

規則性と解法例

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今年も出題された、頻出の有名な四面体(芝中学 2013年)

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下の図は、1辺が12cmの立方体で、点P,Q はそれぞれ辺AD,CD のまん中の点です。

       Pic_3477q

(1)3点 E,P,Q を通る平面で この立方体を2つの立体に分けたとき、頂点D を含む立体の体積を求めなさい。

(2)三角すい H-PQD の表面積を求めなさい。

四面体のイメージ図と解法例

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よく使われる題材の面積問題(大阪星光学院中学 2010年改題)

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図のような1辺が12cmの正方形があります。点Cを中心とする半径12cmの円と直線ABで囲まれた面積は何c㎡ですか。

1

参考イメージ図と解法例

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休みが入る旅人算(豊島岡女子学園中学 2008年)

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A地点に豊子さんが,B地点に花子さんがいます。A地点とB地点の間の距離は5550mです。豊子さんはB地点に向かって,花子さんはA地点に向かって同時に歩き始めました。豊子さんは分速60mの一定の速さで歩き続け,花子さんは分速90mの一定の速さで4分歩いたあとに1分間休けいすることをくり返します。2人が出会うのは同時に歩き始めてから何分何秒後ですか。

1

考え方と解法例

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色分け問題の基本(法政大学中学 2011年)

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赤、青黄、緑の4色の絵の具を使って、下の図を色分けします。

(1)4色すべてを使って色分けする方法は全部で何通りありますか?

(2)4色のうち、3色を使って色分けする方法は全部で何通りありますか? ただし、隣り合う場所は違う色とします。

1

場合の数と解答例

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いくつ三角形ができるか?(逗子開成中学 2010年)

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1

正六角形の各頂点を反時計回りに順に A,B,C,D,E,F とし、3本の対角線 AD,BE,CF が交わる点を G とします。これら計7つの点から 3つの点を選び、それらを結んでできる三角形について、次の問に答えなさい。ただし、三角形ABD のように、その辺上に4点目の G があっても構わないものとします。

(1)何種類の三角形ができますか。ただし、合同なものは1種類として数えます。

(2)全部で何個の三角形ができますか。ただし、三角形ABCと三角形ACB は1個として数え、三角形ABC と三角形BCDは2個として数えるものとします。

三角形の種類と個数

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流れるプールの流水算(滝中学 2010年)

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A、Bの2人は1周270mの流れるプールで泳ぎました。プールの流れの速さが毎分25mのとき、Aは流れに逆らって100mを2分で泳ぎました。次の問いに答えなきい。

(1)Aは、流れのない状態で100mを何分何秒で泳ぎますか。

(2)このプールの流れの速さが変わったとき、2人は同じ地点から同時lこ、Aは流れと同じ方向に、Bは流れと反対の方向に泳ぎました。Bは、流れのない状態では毎分60mの速さで泳ぎます。2人が出会ったとき、AはBよりも154m多く泳いでいました。このときプールの流れの速さは毎分何mですか。

1

考え方と解法例

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条件整理が難しい問題(桜蔭中学 2011年)

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赤いブロックと青いブロックがたくさんあり、このブロックを積み上げていきます。赤いブロックは高さ 6cm、重さ 7g で高さの調節ができます。赤いブロックの上に 20g 以上 40g未満のものをのせるときは高さを 5cm に、40g 以上のものをのせるときは高さを 3cm にします。青いブロックは4cm、重さ 4g で高さの調節はできません。このとき、次の問に答えなさい。

(1)ブロックを3個積み上げるとき、高さは何cm になりますか。考えられる高さをすべて答えなさい。

(2)ブロックを5個積み上げます。最も高さが高くなるのはどのような積み上げ方をしたときですか。

(3)ブロックを10個積み上げます。最も高さが高くなるように積み上げると、その高さは何cm になりますか。

Aka Ao

条件整理と解法例

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数字を入れ替える操作の規則性(灘中学 2013年)

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8ケタの整数 12345678 に下のような操作を 100回 続けて行ってできる整数はいくつですか。

 

【操作】

左から 1,2,3,4,5,6,7,8 番目の数字をそれぞれ、

左から2,4,6,8,1,3,5,7 番目に移す。

つまり、ABCDEFGH をEAFBGCHD にする。

1回目は、12345678 → 51627384

規則性と解法例

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勝敗表を作る問題(四天王寺中学 2009年)

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A,B,C,D,E,F の6人がテニスの試合を行いました。試合は総当たり戦(どの人も他のすべての人と1試合ずつ対戦すること)で、結果について次のことがわかっています。

Aは3勝2敗だった。

Bは5勝0敗だった。

Cは3勝2敗だった。

Fは2勝3敗だった。

EはCに勝った。

このことから、F はだれとだれに勝ちましたか。

Ilm13_ab03001s

勝敗表と解答例

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知っておきたい基本問題(慶應義塾中等部 2002年)

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下図のような円すいがあります。底面の円周上の点Aから糸を側面で一周させました。糸は最も短いとき何cm必要ですか。

Pic_1110q

イメージ図と解法例

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二酸化炭素の排出量(神戸女学院中等部 2008年)

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同じ量のエネルギーを作り出すとき、石炭を使うと二酸化炭素の排出(はいしゅつ)量が最も多く、それに対して石油は石炭の8割、天然ガスは石炭の5割5分です。現在日本の上記エネルギー源の割合は、石油53%、石炭17%、天然ガス10%ですが、二酸化炭素の排出量を減らすため、この割合を10年後には石油42%、石炭18%、天然ガス15%にするという目標を立てています。もし現在この目標を達成したならば、上記のエネルギー源からの二酸化炭素の排出量は、全体として何%減らすことができますか。四捨五入して小数第1位まで答えなさい。

Cc007es

考え方と解法例

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旅人算を比で考える問題(麻布中学 2007年)

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ある池の周りをA君とB君は同じ方向に、C君は逆方向に、それぞれ一定の速さで回ります。A君はB君を15分ごとに追いこし、B君はC君と2分ごとに出会います。B君が7分かかって走る距離をC君は8分で走ります。このとき、A君とC君の速さの比を求めなさい。

2122

考え方と解法例

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進む時計は何時何分?(頌栄女子学院中学 2011年)

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1時間に2分の割合でおくれる時計A と、1時間に5分の割合で進む時計B があります。午後3時にこの2つの時計を合わせました。この日、時計A が午後9時46分を指しているとき、時計B は午後何時何分を指していますか。

Imagescatko8l9 Tokei

考え方と解法例

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相似と合同な三角形はどこに?(武蔵中学 2007年)

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下図の四角形ABJI,CDKJ,EFLK,GHIL,IJKLは、

どれも1辺が12cmの正方形です。

Pic_0474

(1)AQの長さを求めなさい。

(2)PTの長さを求めなさい。

(3)四角形PRSGの面積を求めなさい。

イメージ図解と解法例

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計算の仕方が試される問題(雙葉中学 2013年)

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下の図は正方形と円を組み合わせたもので、正方形の1辺の長さは 30cm、いちばん小さい2つの円は同じ大きさです。色をつけた部分の面積は、いちばん大きい円の面積の 7/18倍です。このとき、次の問に答えなさい。

   Pic_3305q

(1)色をつけた部分の面積を求めなさい。

(2)いちばん小さい円の半径は何cmですか。

計算の仕方と解法例

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誰の家か推理する問題(早稲田中学 2011年)

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地図上ア~コの場所にA、B、C、D、E、F、G、H、I、Jさんの家が1軒ずつあります。次のA~Gさんの言った事を参考にしてCさんとHさん家が地図上ア~コのどの場所にあるか答えなさい。ただし、「となり」と「前」は次のように決めます。1_3

図1で、Qの「となり」とはPまたはRを指し、 Rの「となり」とはQまたはSを指します。

図2で、Tの「前」とはUまたはWを指します。

A:私の家のとなりにGさんとJさんの家があります。
B:私の家の前こは公園があります。
C:私はBさんのとなりの家に住んでいます。
D:私の家は角にあります。
E:私の家は角にあって、となりにBさんとIさんの家があります。
F:私の家の隣は公園です。
G:私の家の前には家も公園もありません。

2

推理と解法例

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不思議な数の規則性(立教池袋中学 2012年)

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下のように、4を順番に何回かかけた数を求めて、その数の下2ケタの数を考えます。このとき、次の問に答えなさい。

 

 1番目              4×4=   16

 2番目           4×4×4=   64

 3番目         4×4×4×4=  256

 4番目      4×4×4×4×4= 1024

 5番目    4×4×4×4×4×4= 4096

 6番目 4×4×4×4×4×4×4=16384

 

(1) 37番目の数の下2ケタの数はいくつですか

(2)1番目から55番目までの数の下2ケタの数だけすべてたすと、いくつになりますか。

規則性と解法例

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速さと時間の関係を図解して解く!(女子学院中学 2010年)

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花子さんは、自転車に乗って分速320mでJ町からG町に向かった。バスはJ町とG町を往復している。花子さんは、バスがG町を出発してから5分後にJ町を出発し、花子さんが出発してから20分後にバスと出会った。バスはJ町に到着してから5分後に出発し、花子さんと出会ってから35分後に花子さんを追いぬいた。

2_2 Ilm03_ba08038s

(1)バスの時速は何kmですか。

(2)J町からG町までの道のりは何kmですか。

図解と解法例

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1/12になる分母の組み合わせ(開成中学 2010年)

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1

となる整数△と□の組をすべて求めなさい。

ただし、□は△以上であるとします。

考え方と解法例

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とても簡単な問題です!(灘中学 1998年 類題)

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Konoha0 

図の小さい円の直径は12cm、大きい円の直径は24cmで、

小さい円の共通の交点は大きい円の中心であり、

小さい円の中心は内側の正方形の辺上にあります。

このとき、色のついた部分の面積は何c㎡ですか。

参考イメージ図と解法例

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ペダルの回転数と比は?(立教新座中学 2009年)

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太郎君と花子さんは、自転車のペダルを止めることなく、1周500mのコースを走ります。太郎君がペダルを4回転させて進む距離を、花子さんはペダルを5回転させて進みます。また、太郎君がペダルを10回転させる間に、花子さんはペダルを11回転させます。このとき、次の問に答えなさい。

Ilm13_aa08012s

(1)太郎君と花子さんの速さの比を求めなさい。

(2)太郎君が6周走る間に、花子さんは何m走りますか。

(3)太郎君は1000mを1分28秒で走ります。このとき、花子さんは500mを何秒で走りますか。

(4)花子さんの自転車のペダルは1回転で6m進むものとします。いま、花子さんが144m進んでから、太郎君が花子さんを追いかけました。太郎君は花子さんに追いつくまでに、ペダルを何回転させましたか。

解説と解法例

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対角線の本数を考える!(フェリス女学院中学 2010年)

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図のように正十角形のある頂点から4番目ごとの頂点を対角線で結んでいき,もとの頂点にもどるまで続けると,対角線は全部で5本引けます。同じ約束で正十五角形のある頂点から6番目ごとに結んでいくと対角線は全部で何本引けますか。また、7番目ごとに結んでいくと対角線は全部で何本引けますか。

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本数の計算と解答イメージ図

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これは面白い問題です!(青山学院中等部 2012年)

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図1のような容器があります。この容器の上の部分は三角柱、下の部分は四角柱でできていて、全体の高さは55cmです。この容器に1.8Lの水を入れたところ水面は図1のアのところになって、底面からの高さは20cmでした。次に、この容器を逆さまにしたところ、水面は図2のイのところになりました。アとイのずれが7cmのとき、この容器の四角柱の部分の高さは何cmですか。

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考え方と解法例

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違ういすに座る座り方は何通り?(慶應義塾普通部 2007年)

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4人が4脚のいすに横一列で座っています。これから座り方を変えようとしていますが,4人とも今とは違ういすに座る座り方は何通りありますか。

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考え方と解答例

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3点の移動と出会い (世田谷学園中学 2006年)

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円周の長さが12cmの円があり、円周を12等分して、図のように、1~12の地点を作りました。

Pic_0864q      

A,B,Cがそれぞれ1,4,8の地点をスタートし、Aは毎秒8cm、Bは毎秒5cm、Cは毎秒1cmの速さで時計回りに移動します。このとき、次の問に答えなさい。

(1)A,B,Cが移動を始めて2回目に同時に同じ地点にくるのは何秒後で、どの地点か答えなさい。

(2)(1)の後、Aは反対方向(反時計回り)に毎秒2cmの速さで、B,Cは変わらず同じ向き、速さで移動すると、(1)から何秒後にA,B,Cは同時に同じ地点にきて、どの地点なのか答えなさい。

考え方と解法例

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渦巻き数字の規則性は?(栄東中学 2012年)

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下の図のような規則に従って、1から順に数字を並べます。このとき、1から上に5個、左に3個移動したところの数はいくつですか。

     Pic_3442q

規則性と解法例

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