この中学ではよく出題される面積比問題（桐光学園中学 ２０１０年）

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図のように、１辺が１０ｃｍの正方形ABCDの辺AB上に点EをBE＝７ｃｍ、辺DC上に点FをCF＝５ｃｍとなるようにとります。このとき、斜線部分の面積は何ｃ㎡ですか。

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イメージ解説図と解法例

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点が移動する旅人算（筑波大学附属駒場中学 2010年）

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平面上に点Ｏと点Ｐがあり、下の図１のように、Ｏを中心とする円と、Ｐを中心とする円があります。さらに、Ｐを中心とする円の周上に点Ｑがあります。

　　　　

Ｐは、Ｏを中心とする円の周上を時計回りに一定の速さで動き続け、Ｏのまわりを１周するのに９秒かかります。このとき、Ｐを中心とする円もＰと共に動きます。また、Ｑは、Ｐを中心とする円の周上を時計回りに一定の速さで動き続け、Ｐのまわりを１周するのに５秒かかります。

Ｐ，Ｑは、図１の位置から同時に動き始め、たとえば１秒後には下の図２のようになります。このとき、次の問に答えなさい。

　　　　

（１）動き始めてからＰがＯのまわりを１周するまでに、３点Ｏ，Ｐ，Ｑを結ぶと一直線になることは何回ありますか。ただし、動き始めたときは回数に含みません。

（２）点Ｒは、Ｐを中心とする円の周上を、Ｑと逆回りに一定の速さで動き続け、Ｐのまわりを１周するのに３秒かかります。Ｒは、 Ｑと同じ位置から、Ｑと同時に動き始めます。

（ア）３点Ｐ，Ｑ，Ｒ を結ぶと初めて一直線になるのは、動き始めてから何秒後ですか。動き始めたときは含みません。

（イ）動き始めてから2010秒後までに、４点Ｏ，Ｐ，Ｑ，Ｒを結ぶと一直線になることは何回ありますか。ただし、動き始めたときは回数に含みません。

図解による解法例

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数列の規則性を考える問題（学習院女子中等科 2013年）

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次のように規則的に整数が並んでいます。

１，２，４，５，６，８，９，１０，１２，１３，１４，１６，・・・

このとき、次の問に答えなさい。

（１） ２０１３ は何番目の整数ですか。

（２） はじめから１００番目の整数は何ですか。

（３） はじめから１００番目までの整数の和を求めなさい。

考え方と解法例

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かくれた規則性が見つかりますか？（渋谷教育学園幕張中学 ２０１３年）

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7と８をいくつかたしていろいろな整数を作ります。ただし、７だけをたしても、８だけをたしてもかまいません。

たとえば

　　　　　　７＋７＝１４
　　　　　　７＋８＝１５
　　　　　　８＋８＝１６
　      ７＋７＋８＝２２

などを作ることができます。

（１）２０以上３０以下の整数のなかで、７と８をどのようにたしても作ることができない整数をすべて答えなさい。

（２）７と８をどのようにたしても作ることができない整数のなかで、もっとも大きい整数はいくつですか。

規則性と解法例

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今年も出題された、頻出の有名な四面体（芝中学 2013年）

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下の図は、１辺が１２ｃｍの立方体で、点Ｐ，Ｑ はそれぞれ辺ＡＤ，ＣＤ のまん中の点です。

　　　　　　　

（１）３点 Ｅ，Ｐ，Ｑ を通る平面で この立方体を２つの立体に分けたとき、頂点Ｄ を含む立体の体積を求めなさい。

（２）三角すい Ｈ－ＰＱＤ の表面積を求めなさい。

四面体のイメージ図と解法例

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よく使われる題材の面積問題（大阪星光学院中学 ２０１０年改題）

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図のような１辺が１２ｃｍの正方形があります。点Cを中心とする半径１２ｃｍの円と直線ABで囲まれた面積は何ｃ㎡ですか。

参考イメージ図と解法例

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休みが入る旅人算（豊島岡女子学園中学 ２００８年）

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A地点に豊子さんが，Ｂ地点に花子さんがいます。Ａ地点とＢ地点の間の距離は５５５０ｍです。豊子さんはＢ地点に向かって，花子さんはＡ地点に向かって同時に歩き始めました。豊子さんは分速６０ｍの一定の速さで歩き続け，花子さんは分速９０ｍの一定の速さで４分歩いたあとに１分間休けいすることをくり返します。２人が出会うのは同時に歩き始めてから何分何秒後ですか。

考え方と解法例

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色分け問題の基本（法政大学中学 ２０１１年）

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赤、青、黄、緑の４色の絵の具を使って、下の図を色分けします。

（１）４色すべてを使って色分けする方法は全部で何通りありますか？

（２）４色のうち、３色を使って色分けする方法は全部で何通りありますか？　ただし、隣り合う場所は違う色とします。

場合の数と解答例

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いくつ三角形ができるか？（逗子開成中学 2010年）

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正六角形の各頂点を反時計回りに順に Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ とし、３本の対角線 ＡＤ，ＢＥ，ＣＦ が交わる点を Ｇ とします。これら計７つの点から ３つの点を選び、それらを結んでできる三角形について、次の問に答えなさい。ただし、三角形ＡＢＤ のように、その辺上に４点目の Ｇ があっても構わないものとします。

（１）何種類の三角形ができますか。ただし、合同なものは１種類として数えます。

（２）全部で何個の三角形ができますか。ただし、三角形ＡＢＣと三角形ＡＣＢ は１個として数え、三角形ＡＢＣ と三角形ＢＣＤは２個として数えるものとします。

三角形の種類と個数

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流れるプールの流水算（滝中学 ２０１０年）

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Ａ、Ｂの２人は１周２７０ｍの流れるプールで泳ぎました。プールの流れの速さが毎分２５ｍのとき、Ａは流れに逆らって１００ｍを２分で泳ぎました。次の問いに答えなきい。

（１）Aは、流れのない状態で１００ｍを何分何秒で泳ぎますか｡

（２）このプールの流れの速さが変わったとき、２人は同じ地点から同時lこ、Ａは流れと同じ方向に、Bは流れと反対の方向に泳ぎました。Bは、流れのない状態では毎分６０ｍの速さで泳ぎます。２人が出会ったとき、AはBよりも１５４ｍ多く泳いでいました。このときプールの流れの速さは毎分何ｍですか。

考え方と解法例

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条件整理が難しい問題（桜蔭中学 2011年）

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赤いブロックと青いブロックがたくさんあり、このブロックを積み上げていきます。赤いブロックは高さ ６ｃｍ、重さ ７ｇ で高さの調節ができます。赤いブロックの上に ２０ｇ 以上 ４０ｇ未満のものをのせるときは高さを ５ｃｍ に、４０ｇ 以上のものをのせるときは高さを ３ｃｍ にします。青いブロックは４ｃｍ、重さ ４ｇ で高さの調節はできません。このとき、次の問に答えなさい。

（１）ブロックを３個積み上げるとき、高さは何ｃｍ になりますか。考えられる高さをすべて答えなさい。

（２）ブロックを５個積み上げます。最も高さが高くなるのはどのような積み上げ方をしたときですか。

（３）ブロックを１０個積み上げます。最も高さが高くなるように積み上げると、その高さは何ｃｍ になりますか。

条件整理と解法例

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数字を入れ替える操作の規則性（灘中学 2013年）

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８ケタの整数 １２３４５６７８ に下のような操作を １００回 続けて行ってできる整数はいくつですか。

【操作】

左から １，２，３，４，５，６，７，８ 番目の数字をそれぞれ、

左から２，４，６，８，１，３，５，７ 番目に移す。

つまり、ＡＢＣＤＥＦＧＨ をＥＡＦＢＧＣＨＤ にする。

１回目は、１２３４５６７８　→　５１６２７３８４

規則性と解法例

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勝敗表を作る問題（四天王寺中学 2009年）

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Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ の６人がテニスの試合を行いました。試合は総当たり戦（どの人も他のすべての人と１試合ずつ対戦すること）で、結果について次のことがわかっています。

Ａは３勝２敗だった。

Ｂは５勝０敗だった。

Ｃは３勝２敗だった。

Ｆは２勝３敗だった。

ＥはＣに勝った。

このことから、Ｆ はだれとだれに勝ちましたか。

勝敗表と解答例

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知っておきたい基本問題（慶應義塾中等部 2002年）

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下図のような円すいがあります。底面の円周上の点Ａから糸を側面で一周させました。糸は最も短いとき何ｃｍ必要ですか。

イメージ図と解法例

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二酸化炭素の排出量（神戸女学院中等部 2008年）

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同じ量のエネルギーを作り出すとき、石炭を使うと二酸化炭素の排出（はいしゅつ）量が最も多く、それに対して石油は石炭の８割、天然ガスは石炭の５割５分です。現在日本の上記エネルギー源の割合は、石油５３％、石炭１７％、天然ガス１０％ですが、二酸化炭素の排出量を減らすため、この割合を１０年後には石油４２％、石炭１８％、天然ガス１５％にするという目標を立てています。もし現在この目標を達成したならば、上記のエネルギー源からの二酸化炭素の排出量は、全体として何％減らすことができますか。四捨五入して小数第１位まで答えなさい。

考え方と解法例

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旅人算を比で考える問題（麻布中学 ２００７年）

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ある池の周りをA君とB君は同じ方向に、Ｃ君は逆方向に、それぞれ一定の速さで回ります。Ａ君はＢ君を15分ごとに追いこし、Ｂ君はC君と２分ごとに出会います。Ｂ君が７分かかって走る距離をC君は８分で走ります。このとき、Ａ君とC君の速さの比を求めなさい。

考え方と解法例

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進む時計は何時何分？（頌栄女子学院中学 2011年）

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１時間に２分の割合でおくれる時計A と、１時間に５分の割合で進む時計B があります。午後３時にこの２つの時計を合わせました。この日、時計A が午後９時４６分を指しているとき、時計B は午後何時何分を指していますか。

考え方と解法例

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相似と合同な三角形はどこに？（武蔵中学 ２００７年）

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下図の四角形ＡＢＪＩ，ＣＤＫＪ，ＥＦＬＫ，ＧＨＩＬ，ＩＪＫＬは、

どれも１辺が１２ｃｍの正方形です。

（１）ＡＱの長さを求めなさい。

（２）ＰＴの長さを求めなさい。

（３）四角形ＰＲＳＧの面積を求めなさい。

イメージ図解と解法例

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計算の仕方が試される問題（雙葉中学 2013年）

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下の図は正方形と円を組み合わせたもので、正方形の１辺の長さは ３０ｃｍ、いちばん小さい２つの円は同じ大きさです。色をつけた部分の面積は、いちばん大きい円の面積の ７/１８倍です。このとき、次の問に答えなさい。

　　　

（１）色をつけた部分の面積を求めなさい。

（２）いちばん小さい円の半径は何ｃｍですか。

計算の仕方と解法例

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誰の家か推理する問題（早稲田中学 ２０１１年）

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地図上ア～コの場所にＡ、B、Ｃ、Ｄ、E、Ｆ、Ｇ、Ｈ、I、Jさんの家が１軒ずつあります。次のＡ～Ｇさんの言った事を参考にしてＣさんとHさん家が地図上ア～コのどの場所にあるか答えなさい。ただし、「となり」と「前」は次のように決めます。

図１で、Ｑの「となり」とはPまたはRを指し、 Rの「となり」とはQまたはSを指します。

図２で、Ｔの「前」とはＵまたはＷを指します。

Ａ：私の家のとなりにＧさんとJさんの家があります。
Ｂ：私の家の前こは公園があります。
C：私はBさんのとなりの家に住んでいます。
Ｄ：私の家は角にあります。
Ｅ：私の家は角にあって、となりにＢさんとＩさんの家があります。
Ｆ：私の家の隣は公園です。
Ｇ：私の家の前には家も公園もありません。

推理と解法例

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不思議な数の規則性（立教池袋中学 2012年）

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下のように、４を順番に何回かかけた数を求めて、その数の下２ケタの数を考えます。このとき、次の問に答えなさい。

　１番目　　　　　　　　　　　　　 ４×４＝　　　１６

　２番目　　　　　　　　　　　４×４×４＝　　　６４

　３番目　　　　　　　　 ４×４×４×４＝　　２５６

　４番目　　　　　　４×４×４×４×４＝　１０２４

　５番目　　　 ４×４×４×４×４×４＝　４０９６

　６番目　４×４×４×４×４×４×４＝１６３８４

（１） ３７番目の数の下２ケタの数はいくつですか

（２）１番目から５５番目までの数の下２ケタの数だけすべてたすと、いくつになりますか。

規則性と解法例

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速さと時間の関係を図解して解く！（女子学院中学 ２０１０年）

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花子さんは、自転車に乗って分速３２０ｍでＪ町からＧ町に向かった。バスはＪ町とＧ町を往復している。花子さんは、バスがＧ町を出発してから５分後にＪ町を出発し、花子さんが出発してから２０分後にバスと出会った。バスはＪ町に到着してから５分後に出発し、花子さんと出会ってから３５分後に花子さんを追いぬいた。

（１）バスの時速は何kｍですか。

（２）Ｊ町からＧ町までの道のりは何kmですか。

図解と解法例

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１/１２になる分母の組み合わせ（開成中学 ２０１０年）

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となる整数△と□の組をすべて求めなさい。

ただし、□は△以上であるとします。

考え方と解法例

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とても簡単な問題です！（灘中学 1998年 類題）

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図の小さい円の直径は１２ｃｍ、大きい円の直径は２４ｃｍで、

小さい円の共通の交点は大きい円の中心であり、

小さい円の中心は内側の正方形の辺上にあります。

このとき、色のついた部分の面積は何ｃ㎡ですか。

参考イメージ図と解法例

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ペダルの回転数と比は？（立教新座中学 2009年）

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太郎君と花子さんは、自転車のペダルを止めることなく、１周５００ｍのコースを走ります。太郎君がペダルを４回転させて進む距離を、花子さんはペダルを５回転させて進みます。また、太郎君がペダルを１０回転させる間に、花子さんはペダルを１１回転させます。このとき、次の問に答えなさい。

（１）太郎君と花子さんの速さの比を求めなさい。

（２）太郎君が６周走る間に、花子さんは何ｍ走りますか。

（３）太郎君は１０００ｍを１分２８秒で走ります。このとき、花子さんは５００ｍを何秒で走りますか。

（４）花子さんの自転車のペダルは１回転で６ｍ進むものとします。いま、花子さんが１４４ｍ進んでから、太郎君が花子さんを追いかけました。太郎君は花子さんに追いつくまでに、ペダルを何回転させましたか。

解説と解法例

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対角線の本数を考える！（フェリス女学院中学 ２０１０年）

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図のように正十角形のある頂点から４番目ごとの頂点を対角線で結んでいき，もとの頂点にもどるまで続けると，対角線は全部で５本引けます。同じ約束で正十五角形のある頂点から６番目ごとに結んでいくと対角線は全部で何本引けますか。また、７番目ごとに結んでいくと対角線は全部で何本引けますか。

本数の計算と解答イメージ図

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これは面白い問題です！（青山学院中等部 ２０１２年）

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図１のような容器があります。この容器の上の部分は三角柱、下の部分は四角柱でできていて、全体の高さは55cmです。この容器に１.8Lの水を入れたところ水面は図１のアのところになって、底面からの高さは20cmでした。次に、この容器を逆さまにしたところ、水面は図２のイのところになりました。アとイのずれが７ｃｍのとき、この容器の四角柱の部分の高さは何ｃｍですか。

考え方と解法例

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違ういすに座る座り方は何通り？（慶應義塾普通部 ２００７年）

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４人が４脚のいすに横一列で座っています。これから座り方を変えようとしていますが，４人とも今とは違ういすに座る座り方は何通りありますか。

考え方と解答例

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３点の移動と出会い （世田谷学園中学 2006年）

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円周の長さが１２ｃｍの円があり、円周を１２等分して、図のように、１～１２の地点を作りました。

　　　　　

Ａ，Ｂ，Ｃがそれぞれ１，４，８の地点をスタートし、Ａは毎秒８ｃｍ、Ｂは毎秒５ｃｍ、Ｃは毎秒１ｃｍの速さで時計回りに移動します。このとき、次の問に答えなさい。

（１）Ａ，Ｂ，Ｃが移動を始めて２回目に同時に同じ地点にくるのは何秒後で、どの地点か答えなさい。

（２）（１）の後、Ａは反対方向（反時計回り）に毎秒２ｃｍの速さで、Ｂ，Ｃは変わらず同じ向き、速さで移動すると、（１）から何秒後にＡ，Ｂ，Ｃは同時に同じ地点にきて、どの地点なのか答えなさい。

考え方と解法例

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渦巻き数字の規則性は？（栄東中学 2012年）

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下の図のような規則に従って、１から順に数字を並べます。このとき、１から上に５個、左に３個移動したところの数はいくつですか。

　　　　　

規則性と解法例

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