どんな立体でしょうか？（カリタス女子中学 2012年）

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下の図は、ある立体の展開図です。太線は、点Ｏを中心とした半円です。この立体の表面積を求めなさい。

　　

図解と解法例

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組み立てた容器の容積は？（灘中学 ２０１０年）

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下の図は、１辺の長さが６ｃｍの正三角形から、１辺の長さが１ｃｍのひし形３つを切り取って作られたものです。この図形を、AB、BC、CAを折り目として折り曲げ、UAとPA、QBとRB、SCとTCをそれぞれはりあわせて、ふたのない容器を作ります。この容器の容積は、どの面も長さが１ｃｍの正三角形でできた三角すいの体積の何倍ですか？

組み立てた容器と解法例

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折り紙の切り取り（鎌倉女学院中学 2010年）

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１辺の長さが２０ｃｍの正方形の紙を下の図１のように折り、ＡＣ を１：４ に分ける点とＢＣのまん中の点を結んだ線で切り、色の付いた部分を取り除きます。このとき、残った紙を広げたときの図形を図２から選びなさい。また、その面積を答えなさい。

図解と解法例

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折った部分の面積は？（青山学院中等部 ２００７年）

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直角三角形ABCを図のように２回折りました。斜線部分の面積は何ｃ㎡ですか。

図解による解法例

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長さの比と面積の比（桐朋中学 2011年）

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下の図で、四角形ＡＢＣＤ は長方形です。三角形ＡＱＰ と三角形ＢＲＱは合同で、三角形ＤＰＴ と三角形ＣＴＳ は合同な直角二等辺三角形です。また、点Ｘ，Ｙ がそれぞれＱＲ，ＰＴ上にあり、直線ＰＸ，ＸＹ は五角形ＰＱＲＳＴ の面積を３等分しています。このとき、次の問に答えなさい。

　　

（１）五角形ＰＱＲＳＴ の面積を求めなさい。

（２）ＱＸ とＸＲ の長さの比を求めなさい。

（３）ＰＹ と ＹＴ の長さの比を求めなさい。

図解と解法例

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速さの比と距離の比の関係は？（雙葉中学 ２０１３年）

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太郎と花子がＡ地点とＢ地点の間を往復します。太郎と花子の速さの比は５：４で、それぞれの速さはいつも変わりません。２人は同時にＡを出発し、Ｃ地点で初めて出会いました。ＡからＣまでと、ＣからＢまでの距離の比は何対何ですか？

 

考え方と解法例

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根気強さが試される、面白い問題（筑波大学附属駒場中学 2002年）

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ある数に対して、次のような操作を行います。

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その数が、

ア　：　１ケタのとき、その数に同じ数をかける

イ　：　２ケタのとき、

（十の位の数）×（十の位の数）

　　　　　　　　　＋（一の位の数）×（一の位の数）を計算する

ウ　：　３ケタのとき、

（百の位の数）×（百の位の数）

　　　　　　　　　＋（十の位の数）×（十の位の数）

　　　　　　　　　＋（一の位の数）×（一の位の数）を計算する

---------------------------------------------

上の操作を１回と数え、操作の結果できた数に対して、

この操作をくり返し行います。

たとえば、最初の数が「５」のとき、

１回目の操作　：　５×５＝２５

２回目の操作　：　２×２＋５×５＝２９

３回目の操作　：　２×２＋９×９＝８５

となります。このとき、次の問に答えなさい。

（１）最初の数が「４」のとき、１０回目の操作の結果を答えなさい。

（２）最初の数が「３」のとき、２００回目の操作の結果を答えなさい。

（３）最初の数が「２」から「９」までのいずれかの整数のとき、１回目から２００２回目までの操作の結果に出てくる２００２個の数の合計について考えます。この合計が最も小さくなるのは、最初の数がいくつのときですか。

規則性と解法例

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おうぎ形がころがる軌跡は？（淑徳与野中学 2009年）

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下の図のように、１辺が１８．２８ｃｍの正三角形アの外側の線に沿って、半径が６ｃｍ、中心角が６０°の扇形イをすべらないように時計回りに元の位置まで転がします。このとき、次の問に答えなさい。

　　　

（１）扇形が通る部分を正しく図示したものを、下の図Ａ～Ｄ から１つ選び、その図の扇形が通る部分に、長方形、正三角形、扇形に分割する線を引きなさい。

（２）扇形が通る部分の面積を求めなさい。ただし、１辺の長さが６ｃｍの正三角形の面積は、１５．５９ｃ㎡ とします。

おうぎ形の軌跡と解法例

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美しい角度問題です！（奈良学園中学 2011年）

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下の図は、辺の長さが同じ正五角形、正方形、正三角形からできています。赤線は、正三角形の頂点と正方形の頂点を結んでいます。図の中の角ア、イの大きさをそれぞれ求めなさい。

参考イメージ図と解法例

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足し算をしないで計算しましょう！（海城中学 ２０１２年）

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次の計算をしなさい。

｛（ 2009＋2010＋2011 ）＋（ 2013＋2014＋2015 ）｝÷2012

計算の工夫と解法例

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基本的な良問です（慶應義塾中等部 ２０１２年）

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図のように、平行四辺形ABCDの辺BC上にBE：EC＝２：１となる点Eをとり、AEとBDの交点をFとします。四角形FECDの面積と平行四辺形ABCDの面積の比を、最も簡単な整数の比で表すと何対何ですか。

図解と解法例

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クイズの正解者は何人？（フェリス女学院中学 2006年）

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１０人がクイズに答えました。このクイズには４つの問題 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ があり、正解するとそれぞれ １点、１点、３点、５点 がもらえます。１０人の得点の平均は８．３点でした。全員が正解した問題はなく、正解した人が最も少なかったのは、問題 Ｃ でした。このとき、問題Ｃ，Ｄ を正解した人はそれぞれ何人か答えなさい。

考え方と解法例

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三角すいと四角すいの展開図（栄光学園中学 2012年）

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（１）４つの面が正三角形である三角すいの展開図として考えられるものをすべて挙げなさい。ただし、回転したり、ひっくり返したりして重なるものは、同じ展開図とみなします。

（２）下の図のように、底面が正方形で４つの側面がすべて正三角形である四角すいと、その展開図を考えます。

　

考えられる展開図は、上の図の例のほかに７つあります。それをすべて挙げなさい。ただし、回転したり、ひっくり返したりして重なるものは、同じ展開図とみなします。

解答の展開図はコチラ

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三角すいの道順の数（市川中学 2012年）

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下の図のように、すべての面が正三角形でできた三角すいＡＢＣＤ があり、各辺のちょうどまん中の点を、それぞれＥ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ ，Ｊ とします。

点Ｐ は点Ａ を出発し、三角すいＡＢＣＤ と正三角形ＥＦＧ の辺上を動き、１回の移動で必ずとなりの点に動きます。たとえば、点Ｂ のとなりの点は、Ｅ，Ｈ，Ｊ です。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）点Ｐ は、途中で同じ点を通ってはいけないものとして、ちょうど７回の移動で初めて点Ａ にもどる動き方は何通りありますか。

（２）点Ｐ は、同じ点を何回通ってもよいものとして、ちょうど４回の移動で点Ａ にいる動き方は何通りありますか。

道順の解法例

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ややこしい問題ですが、難しくはない！（大阪星光学院中学 2013年）

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次の文章の【　　　】にあてはまる数を入れ、

高いか安いかを選んでください。

「定価の１０％引きの１０％引き」の価格は、「定価の２０％引き」の

価格よりも、定価の 【　ア　】％ だけ 【　高い　・　安い　】。

また、「税込み価格から５％引き」の価格は、「税抜き価格」よりも

税抜き価格の 【　イ　】％ だけ 【　高い　・　安い　】。

ただし、消費税は５％とします。

計算と解答例

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色が塗られた部分の面積は？（浦和明の星女子中学 ２０１３年）

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図１は底面が半径３ｃｍの円で，高さが12cmの円柱であり，（ア）と（イ）を結んでできる直線は底面に垂直です。また，図２はABの長さが12cm，角Ｂが直角である三角形の形をした紙です。いま，この紙をＡ，Ｂがそれぞれ円柱の（ア），（イ）の部分に重なるようにして巻きつけたところ，３周して，Ｃがちょうど（イ）のところにきました。紙を巻きつけた状態で円柱全体に色をぬり，その後，この紙を円柱からはずしました。このとき，三角形の形をした紙の，色がついた部分の面積を求めなさい。ただし円周率は3,14とします。

イメージ図と解法例

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３目並べ、必ず勝つには？（海陽中等教育学校（特別給費） ２０１３年）

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あなたと海陽君が「３目並べ」をします｡「３目並べ」とは，図１の表の①～⑨の９か所に先攻が○，後攻が×を交互に入れていき，縦，横，斜めのいずれかに○が３つ連続して並べば先攻の勝ち，×が３つ連続して並べば後攻の勝ちとなるゲームのことです。

あなたが先攻で⑦をとり，海陽君が後攻で⑨をとりました（図２）
次にあなたは残りの７か所①～⑥，⑧のどこをとれば，その後に相手がどのようにとっても，あなたがうまくとれば必ず勝つことができますか。すべて選んで，①～⑥，⑧の記号で答えなさい。

必勝法と解答例

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読みかえて考える問題（頌栄女子学院中学 2013年）

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１１を加えると７で割り切れ、７を加えると１１で割り切れる数で、

５００に一番近い数を答えなさい。

（○＋１１）÷７＝□

（○＋７）÷１１＝△

５００に一番近い→○＝？？？

考え方の手順と答え

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計算力と注意力が求められる今年の問題（桜蔭中学 ２０１３年）

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ある製品を、Aさんは１日に２５個、Bさんは１日に３０個作ります。また、Aさんは５日続けて働いて１日休み、Bさんは４日続けて働いて１日休みます。この２人が４月１日（火曜日）に働き始めたとすると、この製品が合計１００００個できるのは、何月何日の何曜日ですか？

計算と答え

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今年、２０１３年出題の立体図形の難問（麻布中学 ２０１３年）

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下の図１のような立体を三角すいといい、その体積は、

底面積　×　高さ　÷　３　

で求められます。

　　　　　　　　

（１）下の図２において、三角すいＡＢＣＤ、三角すいＡＢＱＲ、三角すいＰＢＱＲ の体積の比をできるだけ簡単な整数の比で表しなさい。

　

（２）下の図３の三角形ＥＦＧ の形をした紙を使って、２つの三角すいを作ります。図４の点線を折り目として、頂点 Ｅ，Ｆ，Ｇ を一致させるように折って作った三角すいの体積を【ア】ｃ㎥、図５のように ４つの三角形に切り離し、同じ長さの辺を重ね合わせて作った三角すいの体積を【イ】ｃ㎥ とします。【ア】と【イ】の体積の比をできるだけ簡単な整数の比で表しなさい。

考え方と解法例

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公立中高一貫校適性検査より（千葉市立稲毛高校附属中学 ２０１１年）

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ＡＢＣＤの４種類のおもりがあります｡その４種類のおもりをてんびんにのせたところ，図１のような組合せでつり合っています。図をよく見て，あとの問いに答えなさい。

（問１）図１のつり合う組合せから考えると，Ａの重さはＤの重さの何倍ですか。

（問２）図２のように，ある物体Ｘの重さを量るために，てんびんの片方にＸ，もう片方におもりＡを置いたら，Ａの方が重いことがわかりました。このあと，Ｘの重さを量るとあるおもり３個でつり合うことがわかりました。このときＸとつり合うおもり３個として考えられる組合せを例にならって，すべて書いてください。
(例)おもりB２個とおもりC１個でつり合うと考えたときは

→(C，Ｂ，Ｂ)と書きます。

ただし，(C，Ｂ，Ｂ)と(Ｂ，C，Ｂ)と(Ｂ，Ｂ，C)は同じものとします。

解答までの解説

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パズルのような等積移動（東洋英和女学院中学部 ２００８年）

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下の図は直角二等辺三角形と円の一部からできています。影になった部分の面積合計は何ｃ㎡ですか。円周率は３．１４とします。

等積移動イメージと解法例

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分数を作る数字の規則性は？（巣鴨中学 2013年）

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ある規則に従って帯分数が、下のように左から並んでいます。

　　　　　

このとき、次の問に答えなさい。

（１）７番目の帯分数を答えなさい。

（２）並んでいるすべての帯分数を仮分数にしたとき、１０番目の分数の分子の数を答えなさい。

（３）（２）のとき、仮分数の分子が ２５４９ になる分数は何番目ですか。

規則性と解法例

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長さの比、角の二等分線の定理 （浅野中学 2013年）

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下の図１のような三角形ＡＢＣ があります。角Ａ の二等分線と辺ＢＣ との交点をＤ とし、また、頂点Ｃ を通り ＡＤ に平行な直線を引き、この直線が辺ＢＡ の延長と交わる点を Ｅ とします。

このとき、次の問に答なさい。

　　

（１）（ＢＤの長さ）：（ＤＣの長さ）を最も簡単な整数の比で表しなさい。

（２）下の図２のように ＡＤ 上に点Ｆ を角ＡＢＦ と角ＤＢＦ の大きさが等しくなるようにとります。

　　

（ＤＦ の長さ）：（ＦＡ の長さ）を最も簡単な整数の比で表しなさい。

（３）（三角形ＡＢＦ の面積）　：　（三角形ＢＣＦの面積）　：　（三角形ＣＡＦの面積）を最も簡単な整数の比で表しなさい。

考え方と解法例

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台形をニ等分する直線（女子学院中学 ２０１３年）

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図のような台形ＡＢＣＤ があります。

（１）頂点Ａ を通る直線を引いて台形の面積を半分に分けます。直線が辺ＢＣ と交わる点をＥ とするとき、ＢＥ の長さ何ｃｍですか。

（２）頂点Ｂ を通る直線を引いて台形の面積を半分に分けます。直線が辺ＣＤ と交わる点をＦ とするとき、ＣＦ の長さは何ｃｍですか。

考え方と解法例

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重なった円と正三角形（ラ・サール中学 ２００８年）

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三角形ABCは正三角形です。円は３つとも半径が３ｃｍです。

斜線部分の周の長さと、面積をそれぞれ求めなさい。

ただし、円周率は３．１４とします。

イメージ図と解法例

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地道に計算して答えを見つける問題も（横浜共立学園中学 2013年）

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１００ を １ 以上 ９９ 以下の ９９種類の整数で割ったとき、

商は全部で何通りできますか。

ただし、商は整数のものだけを考えるものとします。

１００÷（１～９９）＝○←何通り？

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計算と解法例

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