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2013年7月

どんな立体でしょうか?(カリタス女子中学 2012年)

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下の図は、ある立体の展開図です。太線は、点Oを中心とした半円です。この立体の表面積を求めなさい。

  Pic_3519q_2

図解と解法例

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組み立てた容器の容積は?(灘中学 2010年)

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下の図は、1辺の長さが6cmの正三角形から、1辺の長さが1cmのひし形3つを切り取って作られたものです。この図形を、AB、BC、CAを折り目として折り曲げ、UAとPA、QBとRB、SCとTCをそれぞれはりあわせて、ふたのない容器を作ります。この容器の容積は、どの面も長さが1cmの正三角形でできた三角すいの体積の何倍ですか?

1

組み立てた容器と解法例

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折り紙の切り取り(鎌倉女学院中学 2010年)

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1辺の長さが20cmの正方形の紙を下の図1のように折り、AC を1:4 に分ける点とBCのまん中の点を結んだ線で切り、色の付いた部分を取り除きます。このとき、残った紙を広げたときの図形を図2から選びなさい。また、その面積を答えなさい。

Pic_3029q

図解と解法例

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折った部分の面積は?(青山学院中等部 2007年)

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直角三角形ABCを図のように2回折りました。斜線部分の面積は何c㎡ですか。

1

図解による解法例

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長さの比と面積の比(桐朋中学 2011年)

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下の図で、四角形ABCD は長方形です。三角形AQP と三角形BRQは合同で、三角形DPT と三角形CTS は合同な直角二等辺三角形です。また、点X,Y がそれぞれQR,PT上にあり、直線PX,XY は五角形PQRST の面積を3等分しています。このとき、次の問に答えなさい。

  Pic_3496q

(1)五角形PQRST の面積を求めなさい。

(2)QX とXR の長さの比を求めなさい。

(3)PY と YT の長さの比を求めなさい。

図解と解法例

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速さの比と距離の比の関係は?(雙葉中学 2013年)

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太郎と花子がA地点とB地点の間を往復します。太郎と花子の速さの比は5:4で、それぞれの速さはいつも変わりません。2人は同時にAを出発し、C地点で初めて出会いました。AからCまでと、CからBまでの距離の比は何対何ですか?

Ilm19_aa01016s  Ilm19_aa01022s

考え方と解法例

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根気強さが試される、面白い問題(筑波大学附属駒場中学 2002年)

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ある数に対して、次のような操作を行います。

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その数が、

ア : 1ケタのとき、その数に同じ数をかける

イ : 2ケタのとき、

(十の位の数)×(十の位の数)

         +(一の位の数)×(一の位の数)を計算する

ウ : 3ケタのとき、

(百の位の数)×(百の位の数)

         +(十の位の数)×(十の位の数)

         +(一の位の数)×(一の位の数)を計算する

---------------------------------------------

上の操作を1回と数え、操作の結果できた数に対して、

この操作をくり返し行います。

たとえば、最初の数が「5」のとき、

1回目の操作 : 5×5=25

2回目の操作 : 2×2+5×5=29

3回目の操作 : 2×2+9×9=85

となります。このとき、次の問に答えなさい。

(1)最初の数が「4」のとき、10回目の操作の結果を答えなさい。

(2)最初の数が「3」のとき、200回目の操作の結果を答えなさい。

(3)最初の数が「2」から「9」までのいずれかの整数のとき、1回目から2002回目までの操作の結果に出てくる2002個の数の合計について考えます。この合計が最も小さくなるのは、最初の数がいくつのときですか。

規則性と解法例

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おうぎ形がころがる軌跡は?(淑徳与野中学 2009年)

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下の図のように、1辺が18.28cmの正三角形アの外側の線に沿って、半径が6cm、中心角が60°の扇形イをすべらないように時計回りに元の位置まで転がします。このとき、次の問に答えなさい。

   Pic_3413q

(1)扇形が通る部分を正しく図示したものを、下の図A~D から1つ選び、その図の扇形が通る部分に、長方形、正三角形、扇形に分割する線を引きなさい。

Pic_3414q

(2)扇形が通る部分の面積を求めなさい。ただし、1辺の長さが6cmの正三角形の面積は、15.59c㎡ とします。

おうぎ形の軌跡と解法例

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美しい角度問題です!(奈良学園中学 2011年)

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下の図は、辺の長さが同じ正五角形、正方形、正三角形からできています。赤線は、正三角形の頂点と正方形の頂点を結んでいます。図の中の角ア、イの大きさをそれぞれ求めなさい。

  

Pic_3508q

参考イメージ図と解法例

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足し算をしないで計算しましょう!(海城中学 2012年)

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次の計算をしなさい。

{( 2009+2010+2011 )+( 2013+2014+2015 )}÷2012

Bo3

計算の工夫と解法例

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基本的な良問です(慶應義塾中等部 2012年)

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図のように、平行四辺形ABCDの辺BC上にBE:EC=2:1となる点Eをとり、AEとBDの交点をFとします。四角形FECDの面積と平行四辺形ABCDの面積の比を、最も簡単な整数の比で表すと何対何ですか。

1

図解と解法例

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クイズの正解者は何人?(フェリス女学院中学 2006年)

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10人がクイズに答えました。このクイズには4つの問題 A,B,C,D があり、正解するとそれぞれ 1点、1点、3点、5点 がもらえます。10人の得点の平均は8.3点でした。全員が正解した問題はなく、正解した人が最も少なかったのは、問題 C でした。このとき、問題C,D を正解した人はそれぞれ何人か答えなさい。

Hiva0117cs

考え方と解法例

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三角すいと四角すいの展開図(栄光学園中学 2012年)

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(1)4つの面が正三角形である三角すいの展開図として考えられるものをすべて挙げなさい。ただし、回転したり、ひっくり返したりして重なるものは、同じ展開図とみなします。

(2)下の図のように、底面が正方形で4つの側面がすべて正三角形である四角すいと、その展開図を考えます。

 Pic_3044q

考えられる展開図は、上の図の例のほかに7つあります。それをすべて挙げなさい。ただし、回転したり、ひっくり返したりして重なるものは、同じ展開図とみなします。

解答の展開図はコチラ

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三角すいの道順の数(市川中学 2012年)

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下の図のように、すべての面が正三角形でできた三角すいABCD があり、各辺のちょうどまん中の点を、それぞれE,F,G,H,I ,J とします。

Pic_3048q

点P は点A を出発し、三角すいABCD と正三角形EFG の辺上を動き、1回の移動で必ずとなりの点に動きます。たとえば、点B のとなりの点は、E,H,J です。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)点P は、途中で同じ点を通ってはいけないものとして、ちょうど7回の移動で初めて点A にもどる動き方は何通りありますか。

(2)点P は、同じ点を何回通ってもよいものとして、ちょうど4回の移動で点A にいる動き方は何通りありますか。

道順の解法例

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ややこしい問題ですが、難しくはない!(大阪星光学院中学 2013年)

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次の文章の【   】にあてはまる数を入れ、

高いか安いかを選んでください。

「定価の10%引きの10%引き」の価格は、「定価の20%引き」の

価格よりも、定価の 【 ア 】% だけ 【 高い ・ 安い 】。

また、「税込み価格から5%引き」の価格は、「税抜き価格」よりも

税抜き価格の 【 イ 】% だけ 【 高い ・ 安い 】。

ただし、消費税は5%とします。

計算と解答例

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色が塗られた部分の面積は?(浦和明の星女子中学 2013年)

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図1は底面が半径3cmの円で,高さが12cmの円柱であり,(ア)と(イ)を結んでできる直線は底面に垂直です。また,図2はABの長さが12cm,角Bが直角である三角形の形をした紙です。いま,この紙をA,Bがそれぞれ円柱の(ア),(イ)の部分に重なるようにして巻きつけたところ,3周して,Cがちょうど(イ)のところにきました。紙を巻きつけた状態で円柱全体に色をぬり,その後,この紙を円柱からはずしました。このとき,三角形の形をした紙の,色がついた部分の面積を求めなさい。ただし円周率は3,14とします。

1

イメージ図と解法例

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3目並べ、必ず勝つには?(海陽中等教育学校(特別給費) 2013年)

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あなたと海陽君が「3目並べ」をします。「3目並べ」とは,図1の表の①~⑨の9か所に先攻が○,後攻が×を交互に入れていき,縦,横,斜めのいずれかに○が3つ連続して並べば先攻の勝ち,×が3つ連続して並べば後攻の勝ちとなるゲームのことです。

1_2

あなたが先攻で⑦をとり,海陽君が後攻で⑨をとりました(図2)
次にあなたは残りの7か所①~⑥,⑧のどこをとれば,その後に相手がどのようにとっても,あなたがうまくとれば必ず勝つことができますか。すべて選んで,①~⑥,⑧の記号で答えなさい。

必勝法と解答例

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読みかえて考える問題(頌栄女子学院中学 2013年)

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11を加えると7で割り切れ、7を加えると11で割り切れる数で、

500に一番近い数を答えなさい。

(○+11)÷7=□

(○+7)÷11=△

500に一番近い→○=???

考え方の手順と答え

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計算力と注意力が求められる今年の問題(桜蔭中学 2013年)

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ある製品を、Aさんは1日に25個、Bさんは1日に30個作ります。また、Aさんは5日続けて働いて1日休み、Bさんは4日続けて働いて1日休みます。この2人が4月1日(火曜日)に働き始めたとすると、この製品が合計10000個できるのは、何月何日の何曜日ですか?

1_2

計算と答え

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今年、2013年出題の立体図形の難問(麻布中学 2013年)

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下の図1のような立体を三角すいといい、その体積は、

底面積 × 高さ ÷ 3 

で求められます。

        Pic_3311q

(1)下の図2において、三角すいABCD、三角すいABQR、三角すいPBQR の体積の比をできるだけ簡単な整数の比で表しなさい。

 Pic_3312q

(2)下の図3の三角形EFG の形をした紙を使って、2つの三角すいを作ります。図4の点線を折り目として、頂点 E,F,G を一致させるように折って作った三角すいの体積を【ア】c㎥、図5のように 4つの三角形に切り離し、同じ長さの辺を重ね合わせて作った三角すいの体積を【イ】c㎥ とします。【ア】と【イ】の体積の比をできるだけ簡単な整数の比で表しなさい。

      

Pic_3313q_2

考え方と解法例

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公立中高一貫校適性検査より(千葉市立稲毛高校附属中学 2011年)

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1

ABCDの4種類のおもりがあります。その4種類のおもりをてんびんにのせたところ,図1のような組合せでつり合っています。図をよく見て,あとの問いに答えなさい。

2

(問1)図1のつり合う組合せから考えると,Aの重さはDの重さの何倍ですか。

(問2)図2のように,ある物体Xの重さを量るために,てんびんの片方にX,もう片方におもりAを置いたら,Aの方が重いことがわかりました。このあと,Xの重さを量るとあるおもり3個でつり合うことがわかりました。このときXとつり合うおもり3個として考えられる組合せを例にならって,すべて書いてください。
(例)おもりB2個とおもりC1個でつり合うと考えたときは

→(C,B,B)と書きます。

ただし,(C,B,B)と(B,C,B)と(B,B,C)は同じものとします。

解答までの解説

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パズルのような等積移動(東洋英和女学院中学部 2008年)

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下の図は直角二等辺三角形と円の一部からできています。影になった部分の面積合計は何c㎡ですか。円周率は3.14とします。

1

等積移動イメージと解法例

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分数を作る数字の規則性は?(巣鴨中学 2013年)

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ある規則に従って帯分数が、下のように左から並んでいます。

     Pic_3486q

このとき、次の問に答えなさい。

(1)7番目の帯分数を答えなさい。

(2)並んでいるすべての帯分数を仮分数にしたとき、10番目の分数の分子の数を答えなさい。

(3)(2)のとき、仮分数の分子が 2549 になる分数は何番目ですか。

規則性と解法例

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長さの比、角の二等分線の定理 (浅野中学 2013年)

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下の図1のような三角形ABC があります。角A の二等分線と辺BC との交点をD とし、また、頂点C を通り AD に平行な直線を引き、この直線が辺BA の延長と交わる点を E とします。

このとき、次の問に答なさい。

  Pic_3487q

(1)(BDの長さ):(DCの長さ)を最も簡単な整数の比で表しなさい。

(2)下の図2のように AD 上に点F を角ABF と角DBF の大きさが等しくなるようにとります。

  Pic_3488q

(DF の長さ):(FA の長さ)を最も簡単な整数の比で表しなさい。

(3)(三角形ABF の面積) : (三角形BCFの面積) : (三角形CAFの面積)を最も簡単な整数の比で表しなさい。

考え方と解法例

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台形をニ等分する直線(女子学院中学 2013年)

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Pic_3338q

  

図のような台形ABCD があります。

(1)頂点A を通る直線を引いて台形の面積を半分に分けます。直線が辺BC と交わる点をE とするとき、BE の長さ何cmですか。

(2)頂点B を通る直線を引いて台形の面積を半分に分けます。直線が辺CD と交わる点をF とするとき、CF の長さは何cmですか。

考え方と解法例

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重なった円と正三角形(ラ・サール中学 2008年)

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三角形ABCは正三角形です。円は3つとも半径が3cmです。

斜線部分の周の長さと、面積をそれぞれ求めなさい。

ただし、円周率は3.14とします。

1

イメージ図と解法例

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地道に計算して答えを見つける問題も(横浜共立学園中学 2013年)

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100 を 1 以上 99 以下の 99種類の整数で割ったとき、

商は全部で何通りできますか。

ただし、商は整数のものだけを考えるものとします。

100÷(1~99)=○←何通り?

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計算と解法例

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