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2013年8月27日 (火)

三角すいを数える難問(海城中学 2011年)

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すべての辺の長さが1cmの三角すいA があります。下の図1のように、すべての辺の長さが2cmの三角すいから、A と同じ形の立体を4つ切り取ってできる立体をB とします。

Pic_3537q  

(1)立体B の体積は、三角すいA の体積の何倍ですか。

(2)三角すいA と立体B をすき間なく並べて、下の図2のようにすべての辺の長さが3cmの三角すいを作りました。3段目(一番下の段)には三角すいA と立体B がそれぞれ何個ありますか。

 Pic_3538q

(3)三角すいA と立体B をすき間なく並べて、下の図3のようにすべての辺の長さが 6cm の三角すいを作りました。図3の三角すいの中には、三角すいA と立体B がそれぞれ何個ありますか。

 Pic_3539q

図解と解法例

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コメント

 (3)ですが、、「三角すいA」と「辺の長さが 6cm の三角すい」は、相似比が1:6の立体であるため、体積比は1:6×6×6=1:216となります
 つまり、「辺の長さが 6cm の三角すい」を全て「三角すいA」でつくると、216個必要ということになります。
 「立体B」の個数は解答にあったとおり、1+3+6+10+15=35個なので、先述の体積比で考えると、(1)より35×4=140個分となるため、「三角すいA」の個数は、216-140=76個となります。
 というのはどうでしょう。。。

 実は、以前、立体模型を作って遊んでいた時に、偶然この問題の(1)の関係に気づいたことがありました。(正四面体と正八面体の体積比関係)
 灘中学の入試問題にもよく似た問題があったので、この関係は私が無知なだけで、結構一般的な事項なのかなぁ…。

 去年始めたブログ↓に出来事を載せていますので、よければご覧ください。。。(今は、、、飽きてしまったので全く更新しておりません…)

 http://utonium.exblog.jp/

コメントありがとうございます。さすがです!そのほうがエレガントな解法ですね。立体Bが立体Aの4倍なることを知っていたら受験には有利でしょうね。これと似た問題が多くの中学で出題されています。ブログ拝見しました。高度な内容ですね。更新されていないのですか・・・、残念です。
またよろしくお願いします。

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