三角すいを数える難問（海城中学　2011年）: どう解く？中学受験算数

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すべての辺の長さが１ｃｍの三角すいＡがあります。下の図１のように、すべての辺の長さが２ｃｍの三角すいから、Ａと同じ形の立体を４つ切り取ってできる立体をＢとします。

Pic_3537q 　

（１）立体Ｂの体積は、三角すいＡの体積の何倍ですか。

（２）三角すいＡと立体Ｂをすき間なく並べて、下の図２のようにすべての辺の長さが３ｃｍの三角すいを作りました。３段目（一番下の段）には三角すいＡと立体Ｂがそれぞれ何個ありますか。

　 Pic_3538q

（３）三角すいＡと立体Ｂをすき間なく並べて、下の図３のようにすべての辺の長さが６ｃｍの三角すいを作りました。図３の三角すいの中には、三角すいＡと立体Ｂがそれぞれ何個ありますか。

　 Pic_3539q

図解と解法例

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　（３）ですが、、「三角すいＡ」と「辺の長さが６ｃｍの三角すい」は、相似比が１：６の立体であるため、体積比は１：６×６×６＝１：２１６となります
　つまり、「辺の長さが６ｃｍの三角すい」を全て「三角すいＡ」でつくると、２１６個必要ということになります。
　「立体Ｂ」の個数は解答にあったとおり、１＋３＋６＋１０＋１５＝３５個なので、先述の体積比で考えると、（１）より３５×４＝１４０個分となるため、「三角すいＡ」の個数は、２１６－１４０＝７６個となります。
　というのはどうでしょう。。。

　実は、以前、立体模型を作って遊んでいた時に、偶然この問題の（１）の関係に気づいたことがありました。（正四面体と正八面体の体積比関係）
　灘中学の入試問題にもよく似た問題があったので、この関係は私が無知なだけで、結構一般的な事項なのかなぁ…。

　去年始めたブログ↓に出来事を載せていますので、よければご覧ください。。。（今は、、、飽きてしまったので全く更新しておりません…）

　http://utonium.exblog.jp/

投稿: こうへい | 2013年8月27日 (火) 18時54分

コメントありがとうございます。さすがです！そのほうがエレガントな解法ですね。立体Ｂが立体Ａの４倍なることを知っていたら受験には有利でしょうね。これと似た問題が多くの中学で出題されています。ブログ拝見しました。高度な内容ですね。更新されていないのですか・・・、残念です。
またよろしくお願いします。

投稿: 管理人 | 2013年8月28日 (水) 07時16分

どう解く？中学受験算数

中学受験算数問題のイメージ解法

2013年8月27日 (火)