時計算の応用問題（滝中学 2011年）

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０から５９までの目盛りで ６０等分されている時計があります。たとえば、時刻が午後１時０分のとき、下の図のように長針は０、短針は ５ を指し、どちらもちょうど目盛りを指しています。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）時刻が午後２時４８分のとき、長針と短針が作る小さい方の角度は何度ですか。

（２）長針も短針もちょうど目盛りを指している状態は、何分ごとに起こりますか。

（３）長針も短針もちょうど目盛りを指していて、その差が２目盛りとなっている時刻は、午後３時から午後６時まででは、何時何分のときですか。

考え方と解法例

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動く歩道の速さと長さ（徳島文理中学 2012年）

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入り口から最初の部屋まで【動く歩道】で移動するアトラクションがあります。じっと立ったままだと、この歩道に乗っている時間は１８秒です。文理君が、この歩道を１秒間に２歩のペースで歩いたとき、歩道に乗っている時間は１２秒でした。歩道の動く速さは一定で、文理君の１歩の幅は常に５０ｃｍ とします。

（１）文理君が普通の道をこのペースで歩くと、１２秒間で何ｍ 歩きますか。

（２）この【動く歩道】は、６秒間で何ｍ 動きますか。

（３）この【動く歩道】は、何ｍ ありますか。

（４）１秒間に ３歩のペースで歩くと、【動く歩道】に乗っている時間は何秒になりますか。

考え方と解法例

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正六角形の面積比（公文国際学園中等部 ２００９年）

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１辺が6ｃｍの正六角形があります。この正六角形の面積は、１辺が３ｃｍの正六角形の面積の何倍ですか。
また、図のように、１辺が6ｃｍの正六角形の中に、6ｃｍの辺のちょうど真ん中の点を結んで新しい正六角形をつくります。新しい正六角形の面積は、もとの正六角形の面積の何倍ですか。

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数え方の難しい的当てゲーム（桐光学園中学 2011年）

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的に球を当てると球の当たった的が落ちるゲームがあります。糸でつながっている的は、その上にある的に球が当たると上の的といっしょに落ちる仕掛けになっています。ただし、球は必ず１つの的に当たることとします。たとえば、下の図１では、すべての的を落とす方法は、Ａ，Ｂ の順に当てる方法と、Ｂに当てる方法の２通りがあります。このとき、次の問に答えなさい。

（１）図２では、すべての的を落とす方法は何通りありますか。

（２）図３では、すべての的を落とす方法は何通りありますか。

（３）図４では、すべての的を落とす方法は何通りありますか。

数え方と解法例

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三角すいを数える難問（海城中学 2011年）

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すべての辺の長さが１ｃｍの三角すいＡ があります。下の図１のように、すべての辺の長さが２ｃｍの三角すいから、Ａ と同じ形の立体を４つ切り取ってできる立体をＢ とします。

　

（１）立体Ｂ の体積は、三角すいＡ の体積の何倍ですか。

（２）三角すいＡ と立体Ｂ をすき間なく並べて、下の図２のようにすべての辺の長さが３ｃｍの三角すいを作りました。３段目（一番下の段）には三角すいＡ と立体Ｂ がそれぞれ何個ありますか。

　

（３）三角すいＡ と立体Ｂ をすき間なく並べて、下の図３のようにすべての辺の長さが ６ｃｍ の三角すいを作りました。図３の三角すいの中には、三角すいＡ と立体Ｂ がそれぞれ何個ありますか。

　

図解と解法例

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今年出題された仕事算の基本問題（吉祥女子中学 2013年）

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からの水そうがあります。この水そうを水でいっぱいにするのに、ポンプＡ を使って水を入れると５４分、ポンプＢ では３６分かかります。はじめにＡとＢの２個のポンプを使い、とちゅうでＢを止めたところ、全部で２５分かかりました。Ｂのポンプを使っていたのは何分何秒ですか。

考え方と解法例

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つるかめ算の応用問題？（早稲田実業学校中等部 ２００７年）

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１番から５番までの異なる番号のついた５個の箱があり，それぞれの箱には同じ重さのおもりが10個ずつ入っています。１番の箱からは１個，２番の箱からは２個，３番の箱からは３個，４番の箱からは４個，５番の箱からは５個のおもりを取り出して，合計15個の重さを量りました。次のそれぞれの場合について答えなさい。

①５個の箱のうち，４個の箱には１つ5gのおもりが10個ずつ入っていて，残りの１個の箱には１つ３ｇのおもりが10個入っていました。取り出した合計15個の重さが65gのとき，３ｇのおもりが入っていたのは何番の箱ですか。

②５個の箱のうち，３個の箱には１つ５ｇのおもりが10個ずつ入っていて，１個の箱には１つ３ｇのおもりが10個入っていて，残りの１個の箱には１つ８ｇのおもりが10個入っていました。取り出した合計15個の重さが81gのとき，３ｇのおもりが入っていたのは何番の箱ですか。

考え方と解法例

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点の移動と三角形の面積（江戸川学園取手中学 2011年）

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下の図のように、角Ａ、角Ｂ が直角の台形ＡＢＣＤ があります。この周の上を点Ｐ が Ｄ を出発し、毎秒２ｃｍの速さでＡ，Ｂ を通って Ｃ まで動きます。このとき、次の問に答えなさい。

　　　

（１）三角形ＰＣＤ の面積が台形ＡＢＣＤ の面積の半分となるのは点Ｐ が Ｄ を出発してから何秒後と何秒後ですか。

（２）（１）の状態になるときに、点Ｐ がいる地点を順にＳ，Ｔ とし、辺ＣＤ上に点Ｒ をとるとき、三角形ＲＳＴ の面積を求めなさい。

図解と解法例

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フラクタル図形の規則性（カリタス女子中学 2008年）

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下の図１のような長さ１ｃｍの辺を３等分して、真ん中を切り取ります。そして、切り取った辺と同じ長さの辺２本を図２のようにつなげます。この変形を【変形１回】と数えます。変形２回目は図２の４つのすべての辺に対して、この変形を行い、図３のようになります。変形３回目以降は同様に、すべての辺に対して１回目の変形を行います。

このとき、次の問に答なさい。

　　　　　　　　　

（１）変形を３回行ったあとの図について、すべての辺の長さの合計を求めなさい。

（２）すべての辺の長さの合計が３ｃｍより大きくなるのは変形を何回行ったあとですか。

規則性と解法例

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直角三角形は何種類？何個？（城北中学 2010年）

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下の図のように、同じ間かくで９個の点がならんでいます。この中から３個の点を選んで三角形を作ります。このとき、次の問に答えなさい。

　　　　　　

（１）大きさや形が違う直角三角形は何種類できますか。

（２）直角三角形は全部で何個できますか。

図解と解法例

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ちょっと変わった論理問題（大阪桐蔭中学 2010年）

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次の文章を読み、【ア】～【ク】に入る数を求めなさい。

ただし、同じ記号の場所には同じ数が入ります。

友子さんのお父さんの会社で、新しい携帯電話が作られました。

この携帯電話がどのくらい丈夫かを調べるために、

お父さんは携帯電話をビルの窓から落として

壊れるか壊れないかを調べる実験をすることになりました。

たとえば、ビルの１１階の窓から落とすと壊れるが、

１０階の窓から落としても壊れないと分かれば

「この携帯電話はビルの１０階の窓から落としても壊れません」

と宣伝することができます。

いま、実験で壊してもよい携帯電話は２台まで、

落とす実験は１０回までできるとして、

１階から最も高い階までについて、

落として壊れるかどうかを１階きざみで調べていくことができる

最も効率の良い手順について考えてみます。

もし携帯電話が１台壊れて残り１台だけになってしまったら、

そのあとは下の階から順に調べていくしかなくなるので、

１回目は【　ア　】階から落とすことにします。

ここで携帯電話が壊れずにすめば、

【　ア　】階より上の階についても同じように考えて、

２回目は【　イ　】階から落とすことにします。

もしここで携帯電話が壊れたら、

残りの１台を使って、あと８回以下の実験で

【　ア　】階と【　イ　】階の間の階を下から順に調べ、

それでも壊れなければ同じように考えて

さらに上の階から落とすということをくり返していきます。

すると、１階から【　ウ　】階までの階について、

落として壊れるかどうかを

１階きざみで調べられることがわかります。

このやり方で実験したとき、

１台目の携帯電話が最初の実験から数えて４回目に壊れ、

２台目の携帯電話が最初の実験から数えて

６回目に壊れたとします。

すると、３回目には【　エ　】階、

４回目には【　オ　】階から落としたことになるので、

「この携帯電話はビルの【　カ　】階の窓から落としても

壊れません」と宣伝することができます。

さらに、実験で壊してよい携帯電話が３台までで、

落とす実験が７回までできるときについても同じように考えると、

１回目は【　キ　】階から落とせばよく、

最も高くて【　ク　】階までについて、落として壊れるかどうかを

１階きざみで調べていくことができることがわかります。

考え方と解法例

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玉が入っていない箱（浅野中学 2012年）

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１から１０までの番号がついている箱があります。この１０個の箱の中に、区別のつかない１０個の玉を全部入れていきます。ただし、玉が入っていない箱があってもよいものとし、また、１つの箱に入れることのできる玉の個数は、１個か２個であるものとします。このとき、次の問に答えなさい。

（１）玉が入っていない箱が１番の箱だけであるような玉の入れ方は何通りありますか。

（２）玉が入っていない箱が１番と２番の２つの箱だけであるような玉の入れ方は何通りありますか。

（３）玉が入っていない箱がちょうど２つの箱だけであるような玉の入れ方は何通りありますか。

考え方と解法例

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六角形の中の三角形 （灘中学 2004年）

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上の図の六角形の向かい合った辺は３組とも平行で、３組それぞれについて、短い辺と長い辺の長さの比が１：３ となっています。色のついた部分の面積は、六角形の面積の何倍か答えなさい。

図解と解法例

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工夫しないととても難しい角度問題（横須賀学院中学 2011年）

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下の図のように、三角形ＡＢＣの内部に、ＡＤの長さ＝ＢＤの長さとなるような点Ｄ があります。このとき角アの大きさを求めなさい。

工夫した解法例

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等積移動問題の名作！（四天王寺中学 2011年）

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半径 ５ｃｍ の２つの円があります。下の図のように、円周を６等分する点を結びました。色のついた部分の面積の和を求めなさい。

図解と解法例

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条件を整理して推理する問題（麻布中学２００２年）

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次の①～④が成り立つような５つの数の組をすべて求めなさい。

①５つの数はすべて異なる整数です。

②５つの数の平均は６０です。

③大きい方の２つの数の和は、小さい方の３つの数の和に等しい。

④最大の数は、最小の数の５倍です。

条件整理と推理

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計算問題を２題（慶應義塾普通部 2012年）

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次の□にあてはまる数を答えなさい。

（１）９４×９７－６３×１７＋□×８０－３１×９７＝１２８００

（２）

計算の工夫と答え

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じゃんけん勝負、何回勝った？（東大寺学園中学 2009年）

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Ａ、Ｂの２人が初めにそれぞれ持ち点３０点を持ってじゃんけんをします。勝つと持ち点に５点を加え、負けると持ち点から３点を引きます。１０回じゃんけんをしたところ、あいこには一度もならず、Ａの持ち点はＢの持ち点より１６点高くなりました。このとき、Ａは１０回中何回勝ちましたか。

考え方と解法例

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規則性のある植木算（弘学館中学 2010年）

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１辺が ２ｃｍ の正方形を下の図のように、１辺の長さが １ｃｍ の正方形の部分が重なるようにはり合わせます。このとき、次の問に答えなさい。

（１）下の図１、図２のように、正方形を２枚はり合わせたときと、３枚はり合わせたときの図形の周の長さを求めなさい。

　　

（２）正方形を１００枚はり合わせたときの周の長さを求めなさい。

（３）何枚かはり合わせたとき、周の長さが １０００ｃｍ となりました。このとき、何枚正方形をはり合わせましたか。

規則性と解法例

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連続した数の掛け算（洛南高校附属中学 2006年）

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数字の２，３，５だけを使って

できる４けたの整数を小さいものから並べた数の列　

２２２２，２２２３，・・・，５５５５ について考えます。

（１）全部で何個ありますか。

（２）５０番目の数は何ですか。

（３）８の倍数は何個ありますか。

（４）全部の数をかけると、１の位から０が何個連続して並びますか。

考え方と解法例

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時間のかかりそうな計算ですが・・・（函館ラ・サール中学 2012年 ）

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次の計算をしてください。

計算の工夫と答え

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かわいらしい面積問題（東洋英和女学院中学部 2013年）

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下の図の色のついた部分の面積を求めなさい。ただし、曲線は円か半円か円の４分の１で、方眼の１目盛りは ２ｃｍ です。

図解と解法例

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すぐ、計算式が浮かびますか？（頌栄女子学院中学 ２００９年）

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下の図は半径６ｃｍの円ですが、斜線部の面積合計は何ｃ㎡になりますか？

図解と解法例

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よく出題される立方体の切り口（自修館中等教育学校 2010年)

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１辺が ６ｃｍ の立方体があります。この立方体の各辺のまん中の点を下の図のように結んで、立方体の頂点をふくむ ８個の三角すいを切り取ります。このとき、残った立体について、次の問に答えなさい。

（１）この立体の面の数を答えなさい。

（２）この立体の体積を答えなさい。

（３）この立体を、図の３点ア、イ、ウ を通る平面で切ったとき、切り口の形を答えなさい。

図解による解法例

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ちょっと難しい虫食い算（灘中学 2013年）

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２ケタの整数 ＡＢ があります。間に ０ を入れて ３ケタの整数 Ａ０Ｂ を作ると、この数は ＡＢ で割り切れます。また、両端と間に数字 Ｃ を入れて５ケタの整数 ＣＡＣＢＣ を作ると、この数も ＡＢ で割り切れます。このとき、５ケタの整数 ＣＡＣＢＣ を答えなさい。ただし、Ａ，Ｂ，Ｃ はすべて異なる数字で、どれも ０ ではないものとします。

考え方と解法例

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計算力が試される図形問題（渋谷教育学園渋谷中学 ２０１２年）

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下の図は１辺が２．６ｃｍの正三角形を組み合わせた後、周囲を曲線で囲んだものです。曲線は円周の一部を組み合わせたものであり、その中心はすべて正三角形の頂点で、その半径は正三角形の１辺と同じまたは２倍になっています。斜線部の面積は何ｃ㎡ですか。円周率は３．１４とします。

解法例と計算

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ガソリン消費量と距離、時間（愛光中学 2012年）

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毎時６０ｋｍで走るとガソリン１Ｌ で２０ｋｍ進み、毎時４０ｋｍで走るとガソリン１Ｌ で３０ｋｍ進む自動車があります。この自動車にガソリン３０Ｌ を入れて、ＡＢ間を毎時６０ｋｍで走ったときに残ったガソリンの量と、ＡＢ間を毎時４０ｋｍで走ったときに残ったガソリンの量の比は、３ ： ８でした。このとき、次の問に答えなさい。

（１）ＡＢ間の距離は何ｋｍですか。

（２）この自動車にガソリン２２Ｌ を入れて、Ａ から毎時６０ｋｍで走り始め、とちゅうで毎時４０ｋｍに変えてＢ まで走ります。もっとも早くＢ に着くように走ると、何時間何分で着きますか。

考え方と解法例

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パズルのような虫食い算！（本郷中学 ２００９年）

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次の式の５つの□には、すべて同じ整数があてはまります。

その整数はいくつですか。

□×□×｛（□－１）×（□＋１）－□｝＝２００９

考え方と解法例

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木の葉形面積の変形版（白百合学園中学 2003年）

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下図のように、正方形の各頂点を中心にして、同じ長さの半径で線を引いたとき、図の色のついた部分は、正方形の面積の何％に相当するか答えなさい。　

図解と解答例

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複雑な立体のようですが・・・（立教池袋中学 2011年）

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下の図は、直方体から円柱の半分を１個くりぬき、くりぬいた立体と同じ大きさの立体を３個付け加えたものです。

　

（１）この立体の体積を求めなさい。

（２）この立体の表面積を求めなさい。

計算と解答例

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