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2013年8月

時計算の応用問題(滝中学 2011年)

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0から59までの目盛りで 60等分されている時計があります。たとえば、時刻が午後1時0分のとき、下の図のように長針は0、短針は 5 を指し、どちらもちょうど目盛りを指しています。

このとき、次の問に答えなさい。

Pic_3543q

(1)時刻が午後2時48分のとき、長針と短針が作る小さい方の角度は何度ですか。

(2)長針も短針もちょうど目盛りを指している状態は、何分ごとに起こりますか。

(3)長針も短針もちょうど目盛りを指していて、その差が2目盛りとなっている時刻は、午後3時から午後6時まででは、何時何分のときですか。

考え方と解法例

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動く歩道の速さと長さ(徳島文理中学 2012年)

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入り口から最初の部屋まで【動く歩道】で移動するアトラクションがあります。じっと立ったままだと、この歩道に乗っている時間は18秒です。文理君が、この歩道を1秒間に2歩のペースで歩いたとき、歩道に乗っている時間は12秒でした。歩道の動く速さは一定で、文理君の1歩の幅は常に50cm とします。

(1)文理君が普通の道をこのペースで歩くと、12秒間で何m 歩きますか。

(2)この【動く歩道】は、6秒間で何m 動きますか。

(3)この【動く歩道】は、何m ありますか。

(4)1秒間に 3歩のペースで歩くと、【動く歩道】に乗っている時間は何秒になりますか。

Hodo

考え方と解法例

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正六角形の面積比(公文国際学園中等部 2009年)

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1辺が6cmの正六角形があります。この正六角形の面積は、1辺が3cmの正六角形の面積の何倍ですか。
また、図のように、1辺が6cmの正六角形の中に、6cmの辺のちょうど真ん中の点を結んで新しい正六角形をつくります。新しい正六角形の面積は、もとの正六角形の面積の何倍ですか。

1

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数え方の難しい的当てゲーム(桐光学園中学 2011年)

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的に球を当てると球の当たった的が落ちるゲームがあります。糸でつながっている的は、その上にある的に球が当たると上の的といっしょに落ちる仕掛けになっています。ただし、球は必ず1つの的に当たることとします。たとえば、下の図1では、すべての的を落とす方法は、A,B の順に当てる方法と、Bに当てる方法の2通りがあります。このとき、次の問に答えなさい。

Pic_3106q

(1)図2では、すべての的を落とす方法は何通りありますか。

(2)図3では、すべての的を落とす方法は何通りありますか。

(3)図4では、すべての的を落とす方法は何通りありますか。

数え方と解法例

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三角すいを数える難問(海城中学 2011年)

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すべての辺の長さが1cmの三角すいA があります。下の図1のように、すべての辺の長さが2cmの三角すいから、A と同じ形の立体を4つ切り取ってできる立体をB とします。

Pic_3537q  

(1)立体B の体積は、三角すいA の体積の何倍ですか。

(2)三角すいA と立体B をすき間なく並べて、下の図2のようにすべての辺の長さが3cmの三角すいを作りました。3段目(一番下の段)には三角すいA と立体B がそれぞれ何個ありますか。

 Pic_3538q

(3)三角すいA と立体B をすき間なく並べて、下の図3のようにすべての辺の長さが 6cm の三角すいを作りました。図3の三角すいの中には、三角すいA と立体B がそれぞれ何個ありますか。

 Pic_3539q

図解と解法例

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今年出題された仕事算の基本問題(吉祥女子中学 2013年)

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からの水そうがあります。この水そうを水でいっぱいにするのに、ポンプA を使って水を入れると54分、ポンプB では36分かかります。はじめにAとBの2個のポンプを使い、とちゅうでBを止めたところ、全部で25分かかりました。Bのポンプを使っていたのは何分何秒ですか。

Ilm05_cb10028s

考え方と解法例

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つるかめ算の応用問題?(早稲田実業学校中等部 2007年)

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1番から5番までの異なる番号のついた5個の箱があり,それぞれの箱には同じ重さのおもりが10個ずつ入っています。1番の箱からは1個,2番の箱からは2個,3番の箱からは3個,4番の箱からは4個,5番の箱からは5個のおもりを取り出して,合計15個の重さを量りました。次のそれぞれの場合について答えなさい。

①5個の箱のうち,4個の箱には1つ5gのおもりが10個ずつ入っていて,残りの1個の箱には1つ3gのおもりが10個入っていました。取り出した合計15個の重さが65gのとき,3gのおもりが入っていたのは何番の箱ですか。

②5個の箱のうち,3個の箱には1つ5gのおもりが10個ずつ入っていて,1個の箱には1つ3gのおもりが10個入っていて,残りの1個の箱には1つ8gのおもりが10個入っていました。取り出した合計15個の重さが81gのとき,3gのおもりが入っていたのは何番の箱ですか。

1_3

考え方と解法例

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点の移動と三角形の面積(江戸川学園取手中学 2011年)

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下の図のように、角A、角B が直角の台形ABCD があります。この周の上を点P が D を出発し、毎秒2cmの速さでA,B を通って C まで動きます。このとき、次の問に答えなさい。

   Pic_3534q

(1)三角形PCD の面積が台形ABCD の面積の半分となるのは点P が D を出発してから何秒後と何秒後ですか。

(2)(1)の状態になるときに、点P がいる地点を順にS,T とし、辺CD上に点R をとるとき、三角形RST の面積を求めなさい。

図解と解法例

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フラクタル図形の規則性(カリタス女子中学 2008年)

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下の図1のような長さ1cmの辺を3等分して、真ん中を切り取ります。そして、切り取った辺と同じ長さの辺2本を図2のようにつなげます。この変形を【変形1回】と数えます。変形2回目は図2の4つのすべての辺に対して、この変形を行い、図3のようになります。変形3回目以降は同様に、すべての辺に対して1回目の変形を行います。

このとき、次の問に答なさい。

         Pic_3423q

(1)変形を3回行ったあとの図について、すべての辺の長さの合計を求めなさい。

(2)すべての辺の長さの合計が3cmより大きくなるのは変形を何回行ったあとですか。

規則性と解法例

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直角三角形は何種類?何個?(城北中学 2010年)

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下の図のように、同じ間かくで9個の点がならんでいます。この中から3個の点を選んで三角形を作ります。このとき、次の問に答えなさい。

      Pic_1640q_3

(1)大きさや形が違う直角三角形は何種類できますか。

(2)直角三角形は全部で何個できますか。

図解と解法例

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ちょっと変わった論理問題(大阪桐蔭中学 2010年) 

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次の文章を読み、【ア】~【ク】に入る数を求めなさい。

ただし、同じ記号の場所には同じ数が入ります。

友子さんのお父さんの会社で、新しい携帯電話が作られました。

この携帯電話がどのくらい丈夫かを調べるために、

お父さんは携帯電話をビルの窓から落として

壊れるか壊れないかを調べる実験をすることになりました。

たとえば、ビルの11階の窓から落とすと壊れるが、

10階の窓から落としても壊れないと分かれば

「この携帯電話はビルの10階の窓から落としても壊れません」

と宣伝することができます。

いま、実験で壊してもよい携帯電話は2台まで、

落とす実験は10回までできるとして、

1階から最も高い階までについて、

落として壊れるかどうかを1階きざみで調べていくことができる

最も効率の良い手順について考えてみます。

もし携帯電話が1台壊れて残り1台だけになってしまったら、

そのあとは下の階から順に調べていくしかなくなるので、

1回目は【 ア 】階から落とすことにします。

ここで携帯電話が壊れずにすめば、

【 ア 】階より上の階についても同じように考えて、

2回目は【 イ 】階から落とすことにします。

もしここで携帯電話が壊れたら、

残りの1台を使って、あと8回以下の実験で

【 ア 】階と【 イ 】階の間の階を下から順に調べ、

それでも壊れなければ同じように考えて

さらに上の階から落とすということをくり返していきます。

すると、1階から【 ウ 】階までの階について、

落として壊れるかどうかを

1階きざみで調べられることがわかります。

このやり方で実験したとき、

1台目の携帯電話が最初の実験から数えて4回目に壊れ、

2台目の携帯電話が最初の実験から数えて

6回目に壊れたとします。

すると、3回目には【 エ 】階、

4回目には【 オ 】階から落としたことになるので、

「この携帯電話はビルの【 カ 】階の窓から落としても

壊れません」と宣伝することができます。

さらに、実験で壊してよい携帯電話が3台までで、

落とす実験が7回までできるときについても同じように考えると、

1回目は【 キ 】階から落とせばよく、

最も高くて【 ク 】階までについて、落として壊れるかどうかを

1階きざみで調べていくことができることがわかります。

考え方と解法例

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玉が入っていない箱(浅野中学 2012年)

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1から10までの番号がついている箱があります。この10個の箱の中に、区別のつかない10個の玉を全部入れていきます。ただし、玉が入っていない箱があってもよいものとし、また、1つの箱に入れることのできる玉の個数は、1個か2個であるものとします。このとき、次の問に答えなさい。

(1)玉が入っていない箱が1番の箱だけであるような玉の入れ方は何通りありますか。

(2)玉が入っていない箱が1番と2番の2つの箱だけであるような玉の入れ方は何通りありますか。

(3)玉が入っていない箱がちょうど2つの箱だけであるような玉の入れ方は何通りありますか。

考え方と解法例

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六角形の中の三角形 (灘中学 2004年)

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Pic_0732q_2

上の図の六角形の向かい合った辺は3組とも平行で、3組それぞれについて、短い辺と長い辺の長さの比が1:3 となっています。色のついた部分の面積は、六角形の面積の何倍か答えなさい。

図解と解法例

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工夫しないととても難しい角度問題(横須賀学院中学 2011年)

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下の図のように、三角形ABCの内部に、ADの長さ=BDの長さとなるような点D があります。このとき角アの大きさを求めなさい。

Pic_2802q_2

 

工夫した解法例

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等積移動問題の名作!(四天王寺中学 2011年)

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半径 5cm の2つの円があります。下の図のように、円周を6等分する点を結びました。色のついた部分の面積の和を求めなさい。

Pic_3445q

図解と解法例

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条件を整理して推理する問題(麻布中学2002年)

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次の①~④が成り立つような5つの数の組をすべて求めなさい。

①5つの数はすべて異なる整数です。

②5つの数の平均は60です。

③大きい方の2つの数の和は、小さい方の3つの数の和に等しい。

④最大の数は、最小の数の5倍です。

条件整理と推理

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計算問題を2題(慶應義塾普通部 2012年)

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次の□にあてはまる数を答えなさい。

(1)94×97-63×17+□×80-31×97=12800

 

(2)

Pic_2932q

計算の工夫と答え

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じゃんけん勝負、何回勝った?(東大寺学園中学 2009年)

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A、Bの2人が初めにそれぞれ持ち点30点を持ってじゃんけんをします。勝つと持ち点に5点を加え、負けると持ち点から3点を引きます。10回じゃんけんをしたところ、あいこには一度もならず、Aの持ち点はBの持ち点より16点高くなりました。このとき、Aは10回中何回勝ちましたか。

2

考え方と解法例

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規則性のある植木算(弘学館中学 2010年)

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1辺が 2cm の正方形を下の図のように、1辺の長さが 1cm の正方形の部分が重なるようにはり合わせます。このとき、次の問に答えなさい。

(1)下の図1、図2のように、正方形を2枚はり合わせたときと、3枚はり合わせたときの図形の周の長さを求めなさい。

  Pic_3533q

(2)正方形を100枚はり合わせたときの周の長さを求めなさい。

(3)何枚かはり合わせたとき、周の長さが 1000cm となりました。このとき、何枚正方形をはり合わせましたか。

規則性と解法例

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連続した数の掛け算(洛南高校附属中学 2006年)

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数字の2,3,5だけを使って

できる4けたの整数を小さいものから並べた数の列 

2222,2223,・・・,5555 について考えます。

(1)全部で何個ありますか。

(2)50番目の数は何ですか。

(3)8の倍数は何個ありますか。

(4)全部の数をかけると、1の位から0が何個連続して並びますか。

考え方と解法例

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時間のかかりそうな計算ですが・・・(函館ラ・サール中学 2012年 )

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次の計算をしてください。

1

502

計算の工夫と答え

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かわいらしい面積問題(東洋英和女学院中学部 2013年)

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下の図の色のついた部分の面積を求めなさい。ただし、曲線は円か半円か円の4分の1で、方眼の1目盛りは 2cm です。

Pic_3529q

図解と解法例

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すぐ、計算式が浮かびますか?(頌栄女子学院中学 2009年)

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下の図は半径6cmの円ですが、斜線部の面積合計は何c㎡になりますか?

1

図解と解法例

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よく出題される立方体の切り口(自修館中等教育学校 2010年)

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1辺が 6cm の立方体があります。この立方体の各辺のまん中の点を下の図のように結んで、立方体の頂点をふくむ 8個の三角すいを切り取ります。このとき、残った立体について、次の問に答えなさい。

Pic_3526q

(1)この立体の面の数を答えなさい。

(2)この立体の体積を答えなさい。

(3)この立体を、図の3点ア、イ、ウ を通る平面で切ったとき、切り口の形を答えなさい。

図解による解法例

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ちょっと難しい虫食い算(灘中学 2013年)

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2ケタの整数 AB があります。間に 0 を入れて 3ケタの整数 A0B を作ると、この数は AB で割り切れます。また、両端と間に数字 C を入れて5ケタの整数 CACBC を作ると、この数も AB で割り切れます。このとき、5ケタの整数 CACBC を答えなさい。ただし、A,B,C はすべて異なる数字で、どれも 0 ではないものとします。

Subt006s

考え方と解法例

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計算力が試される図形問題(渋谷教育学園渋谷中学 2012年)

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下の図は1辺が2.6cmの正三角形を組み合わせた後、周囲を曲線で囲んだものです。曲線は円周の一部を組み合わせたものであり、その中心はすべて正三角形の頂点で、その半径は正三角形の1辺と同じまたは2倍になっています。斜線部の面積は何c㎡ですか。円周率は3.14とします。

1

解法例と計算

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ガソリン消費量と距離、時間(愛光中学 2012年)

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毎時60kmで走るとガソリン1L で20km進み、毎時40kmで走るとガソリン1L で30km進む自動車があります。この自動車にガソリン30L を入れて、AB間を毎時60kmで走ったときに残ったガソリンの量と、AB間を毎時40kmで走ったときに残ったガソリンの量の比は、3 : 8でした。このとき、次の問に答えなさい。

(1)AB間の距離は何kmですか。

(2)この自動車にガソリン22L を入れて、A から毎時60kmで走り始め、とちゅうで毎時40kmに変えてB まで走ります。もっとも早くB に着くように走ると、何時間何分で着きますか。

Trp1012s

考え方と解法例

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パズルのような虫食い算!(本郷中学 2009年)

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次の式の5つの□には、すべて同じ整数があてはまります。

その整数はいくつですか。

 

□×□×{(□-1)×(□+1)-□}=2009

考え方と解法例

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木の葉形面積の変形版(白百合学園中学 2003年)

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下図のように、正方形の各頂点を中心にして、同じ長さの半径で線を引いたとき、図の色のついた部分は、正方形の面積の何%に相当するか答えなさい。 

Pic_0423

図解と解答例

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複雑な立体のようですが・・・(立教池袋中学 2011年)

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下の図は、直方体から円柱の半分を1個くりぬき、くりぬいた立体と同じ大きさの立体を3個付け加えたものです。

 Pic_2250q

(1)この立体の体積を求めなさい。

(2)この立体の表面積を求めなさい。

計算と解答例

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