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2013年9月

2013年9月30日 (月)

立方体の切り口を考える(早稲田中学 2010年)

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下の図は、1辺の長さが 6cm の立方体です。この立方体を3つの点 A,B,C を通る平面で切断します。AQ=3cm、BQ=2cm、CR=2cm のとき、次の問に答えなさい。

Pic_2972q

(1)切り口は何角形ですか。

(2)ア~ニは辺上の点で、たがいに1cmずつ離れて並んでいます。切り口の多角形のA,B,C 以外の頂点をア~ニからすべて選びなさい。

(3)PQ の延長と CB の延長が交わる点をD とします。切り口の多角形の面積は三角形ADB の面積の何倍ですか。

(4)できた2つの立体のうち、点R を含む方の立体の体積を求めなさい。

図解と解法例

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2013年9月29日 (日)

重なっていない部分の面積は?(筑波大学附属中学 2005年)

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図のように半径4cmの円が4つあります。斜線部分の面積は何c㎡ですか?

1

図解と解法例

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2013年9月28日 (土)

自転車の速さは歩きの何倍か?(フェリス女学院中学 2012年)

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花子さんは A町から B町まで行きました。A町を自転車に乗って出発し、64分間乗りましたが、残りの道のりが全体の 1/5 のところで自転車が故障しました。その後 72分間歩いて B町に着きました。花子さんが自転車に乗っていたときの速さは、歩いていたときの速さの何倍ですか。

Ilm13_aa08004s

考え方と解法例

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2013年9月27日 (金)

並んだカードの規則性は?(慶應義塾湘南藤沢中等部 2006年)

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1、2、3の数字が書かれたカードがたくさんあり、次のように規則的にならべていきます。

① ② ③ ① ① ② ② ③ ③ ① ① ① ② ② ・・・

このとき、次の問に答えなさい。

(1)カードを20枚ならべたとき、ならべたカードに書かれた数の合計はいくつですか。

(2)カードを108枚ならべたとき、ならべたカードに書かれた数の合計はいくつですか。

(3)ならべたカードに書かれた数の合計が353のとき、ならべたカードの枚数は何枚ですか。

規則性と解法例

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2013年9月26日 (木)

3人で千羽鶴を折ると・・・(雙葉中学 2013年)

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千羽鶴をA,B,C の3人で折りました。3人が鶴を折る速さは常に一定で、10分間にAさんは5羽、Bさんは8羽、Cさんは11羽です。最初は 3人で 4時間20分折りました。その後は、A,B,C,A,B,C,A,・・・ の順に交代で1人50分ずつ休み、残りの2人で折り続けました。このとき、次の問に答えなさい。

(1)最初の4時間20分で何羽折りましたか。

(2)最後に鶴を折り終わったのは、だれですか。また、それは折り始めてから何時間何分後ですか。

Ilm10_cg07005s

考え方と解法例

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2013年9月25日 (水)

ちょっと難しいカード配りの論理問題(東海中学 2011年)

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11,12,13 の数字が書かれたカードが、それぞれ 4枚ずつあります。この12枚のカードをA君、B君、C君の3人に 4枚ずつ配ります。持っている 4枚のカードに書かれた数字の和を得点① とし、得点① の約数の個数を得点② とします。初めに配ったとき、得点① は全員同じで、B君のカードは 4枚とも同じ数字でした。このとき、次の問に答えなさい。

(1)3人のカードを1枚ずつ集めて配り直したところ、A君とB君の得点② の差が 7点でした。C君の得点② を求めなさい。

(2)(1)の配り直されたカードを元にもどし、3人のカードを2枚ずつ集めて配り直したところ、3人の得点① がすべて異なり得点② の最高点は 4点でした。3人の得点① を小さい順に書きなさい。

11 12 13

推理と解法例

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2013年9月24日 (火)

山上りと下りの時間と距離(芝中学 2010年)

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下の図1のように、P町からQ町までの間に2つの峠があります。A君はP町からQ町へ、B君はQ町からP町へ向かって同時に出発して歩いていきました。2人の歩く速さは等しく、上りは毎時2km、下りは毎時4kmで一定です。2人のかかった時間とP町からの道のりとの関係を下の図2で示しています。このとき、次の問に答えなさい。

Pic_2113q

Pic_2114q

(1)P町からQ町までの道のりは、何kmですか。

(2)峠から峠までの道のりは、何kmですか。

図解による解法例

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2013年9月23日 (月)

ままこだて問題の規則性(武蔵中学 2011年)

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[ 1 ]、[ 2 ]、[ 3 ]、・・・、[ 176 ] の176枚のカードが、上からこの順になるように重ねてあります。一番上のカードを一番下に移し、見えたカードを一枚取り除きます。これをカードが最後の一枚になるまでくり返します。1回目は[ 1 ] を一番下に移し、[ 2 ] を取り除きます。2回目は[ 3 ] を一番下に移し、[ 4 ] を取り除きます。このとき、次の問に答えなさい。

(1)偶数が書かれたカードが全部取り除かれるのは何回目ですか。

(2)100回目に取り除かれるカードに書かれている数を答えなさい。

(3)最後の一枚のカードに書かれている数を答えなさい。

規則性と解法例

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2013年9月22日 (日)

正方形の辺を1辺とする正三角形(豊島岡女子学園中学 2007年)

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1辺の長さが4cmである正方形ABCDの外側に辺ABを1辺とする正三角形EABと辺BCを1辺とする正三角形FBCがあります。このとき,色のついた部分の面積は何c㎡ですか。

1

図解と解法例

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2013年9月21日 (土)

3つの点の旅人算(開成中学 2007年)

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一定の速さで一つの円周をまわる3つの点A,B,Cがあります。AとBは同じ向きに,CはA,Bとは反対の向きに進みます。3つの点A,B,Cが同じ地点から1時ちょうどに出発しました。AとCは1時2分に,BとCは1時7分に,出発後初めて出会いました。また,Aは1時2分30秒に初めて元の地点に戻りました。

(1)Bが初めて元の地点に戻る時刻を求めなさい。

(2)AがBに初めて追いつく時刻を求めなさい。

(3)A,B, Cが初めて正三角形の3つの頂点となる時刻を求めなさい。

1

考え方と解法例

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2013年9月20日 (金)

5角形の内角(広島学院中学 2009年)

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下の図の角度(あ)と(い)の和を求めなさい。

Oは円の中心です。

Pic_0997a

図解と解法例

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2013年9月19日 (木)

正方形内を回転する正三角形の軌跡(海城中学 2010年)

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1辺の長さが3cmの正三角形ABCが1辺の長さが9cmの正方形PQRSの内部にあり、頂点Bと頂点Pが重なっています。

  Pic_1294q

正三角形ABCが正方形PQRS内をすべることなく転がるとき、次の問に答えなさい。

(1)頂点Aの動いたあとをコンパスを用いて図に描きなさい。

(2)正方形PQRSの内部で、正三角形ABCと重ならない部分の周囲の長さを求めなさい。

軌跡と解法例

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2013年9月18日 (水)

直方体で立方体を作ると・・・(桜蔭中学 2005年)

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たて2.5cm、横10/7cm、高さ2cmの直方体があります。この直方体をすべて同じ向きにすき間なく並べて立方体を作りました。作ることができる立方体のうち、最も小さいものは1辺何cmで、直方体を何個使って作ることができますか。

Ripo1

考え方と解法例

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2013年9月17日 (火)

ロボット対戦ゲーム(灘中学 2007年)

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P地点を出発し,Q地点に積まれたボールをP地点まで運ぶことをくり返し,P地点まで運んだボールの個数を競うゲームに,ロボットA,Bが参加した。Aは1度に3個ずつ運び,往復するのに15秒かかる。Bは1度に5個ずつ運び,往復するのに25秒かかる。ゲーム開始後Bはすぐ動き出したが,Aは動き出すまでに10秒かかった。開始から420秒間のうち,Aかリードしている時間は何秒間で,Bがリードしている時間は何秒間だろうか?

Ilm18_be04009s Ilm18_be04012s

考え方と解法例

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2013年9月16日 (月)

長方形と重なった円(女子学院中学 2007年)

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下の図の長方形の中の青い色のついた部分の面積を求めなさい。A,B はそれぞれの円の中心です。(答えは小数第2位を四捨五入)

 Pic_3004q

図解と解法例

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2013年9月15日 (日)

歩く速さと自転車の速さ(麻布中学 2009年)

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A君は歩くとき、最初の3kmは時速4kmで、そのあとは時速3kmで歩きます。

(1)2時間経過したとき、A君は何km歩きましたか。

(2)A君が出発してから2時間後、B君が同じ地点から自転車でA君を追いかけます。B君は最初の4kmは時速15kmで、その後は時速12kmで進みます。B君は何分でA君に追いつきますか。

Ilm13_ac06005s Aruki 

考え方と解法例

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2013年9月14日 (土)

はね返るボールの高さ(ラ・サール中学 2010年) 

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落ちた高さの 8分の5 だけはね返るボールがあります。

下の図のようにボールがはね返ったとき、X を求めなさい。

 Pic_2464q

図解による解法例

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2013年9月13日 (金)

図形を使った場合の数を考える問題(早稲田中学 2007年)

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下の図のような高さが 6cm の正三角形の内部の点P から辺BC,CA,AB へ垂線を引き、その長さをそれぞれ xcm、ycm、zcm とします。x、y、z がすべて整数であるような点Pは三角形ABC の内部に何個存在しますか。

    Pic_3550q

考え方と解法例

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2013年9月12日 (木)

円の通った跡の面積は?(桜蔭中学 2008年)

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下の図のように1辺の長さが4cmの正方形5つでできた図形があります。半径1cmの円が辺から離れずに回転し,この図形の外側を1周します。このとき,円が通った部分の面積を求めなさい。

3

軌跡と解法例

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2013年9月11日 (水)

いくつ積み木が必要か?(吉祥女子中学 2013年)

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たて3cm、横4cm、高さ8cmの直方体の積み木が 5000個あります。この積み木をすき間なく同じ向きに積み重ねて立方体を作ります。ただし、使わない積み木があってもよいものとします。このとき、次の問に答えなさい。

(1)最も小さい立方体を作ると、その立方体の1辺の長さは何cm になりますか。また、積み木は何個必要ですか。

(2)最も大きい立方体を作ると、その立方体の1辺の長さは何cm になりますか。また、積み木は何個必要ですか。

Dsc_0016

数え方と解法例

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2013年9月10日 (火)

折り紙の規則性を見つける!((筑波大学附属駒場中学 2007年)

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正方形の紙に次のような操作を行います。

Pic_2732q

上の操作を1回と数え、操作を何回か続けて行います。操作を何回か続けて行ってできた正方形を下の図1のようにハサミで4つの同じ大きさの正方形に切り離してから、折られて重なっている紙は全て広げます。このとき、次の問に答えなさい。

Pic_2733q

(1)操作を1回行ってからハサミで切り離し、広げると、どのような紙ができますか。下の図2に元となる正方形が描かれています。切れ目を線で示しなさい。なお、正方形の各辺は4等分されています。

          Pic_2734q

(2)操作を何回か続けて行ってからハサミで切り離し、広げると面積の異なる紙が何枚かずつできますが、そのうち一番大きい紙が1000枚以上ありました。操作を行った回数として考えられる最も小さい数を答えなさい。

(3)操作を何回か続けて行ってからハサミで切り離し、広げると一番大きい紙が10000枚以上ありました。このとき2番目に大きい紙は何枚できていますか。考えられる枚数のうち、最も小さい数を答えなさい。

規則性と解法例

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2013年9月 9日 (月)

ちょっと難しい仕事算(関西学院中学 2011年)

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AさんとB君が庭の草刈りをしました。A君さんが5分、次にB君が6分、また次にAさんが5分、次にB君が6分、というように交代で草刈りをします。草刈りを始めて、庭のちょうど半分の面積の草を刈るのに39分かかり、すべてを刈り終わるのに1時間16分かかりました。もし2人が初めから休まずに一緒に草を刈り続けるとするならば、庭の草をすべて刈り終えるのに何分かかるか求めなさい。

Sli066s

考え方と解答例

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2013年9月 8日 (日)

面積比を求める問題(慶應義塾中等部 2010年)

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図のように,三角形ABCの中に,ぞれぞれAP:PQ=2:1,BQ:QR=3:1,CR:RP=3:2になるような点P,Q,Rをとります。三角形ABCの面積が441c㎡のとき,三角形PQRの面積は,何c㎡になりますか。

1

面積比の参考図と解答例

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2013年9月 7日 (土)

正方形と半円の組み合わせ(共立女子中学 2007年)

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Pic_1143q

上図のように、正方形と半円を組み合わせた図形があります。正方形の1辺の長さと半円の直径の長さは等しく、三角形Aの面積が12c㎡、三角形Bの面積が3c㎡、三角形Cの面積が6c㎡ のとき、緑色の部分の面積を求めなさい。円周率は3.14とします。

図解と解法例

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2013年9月 6日 (金)

フラクタル図形の規則性(神戸女学院中学 2008年)

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面積が20c㎡の正三角形①があります。①の3辺の中点をそれぞれ結び、②のように黒い正三角形を作ります。②の白い3個の正三角形に、同様に中点を結んで③のようにします。この作業を繰り返したとき、次の問いに答えなさい。 

(1)⑥番目には、白い正三角形と黒い正三角形は何個になるか答えなさい。

(2)③番目の白い正三角形の部分の面積は、②番目のときの何倍になっているか答えなさい。

(3)白い正三角形の部分の面積が5c㎡より小さくなるのは何番目か答えなさい。

Pic_0147_2

規則性と解法例

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2013年9月 5日 (木)

正六角形の部分面積(中央大学附属横浜中学 2010年)

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下の図の正六角形の面積は60c㎡です。

AGとGBの長さの比が1:3のとき、斜線部分の面積は何c㎡ですか。

1

図解と解法例

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2013年9月 4日 (水)

正三角形の回転移動(灘中学 2013年)

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下の図のように、1辺の長さが 3cmの正三角形 7個を並べます。色のついた三角形が、その他の三角形でできる図形の周囲に沿って、矢印の向きに回転しながらすべることなくひとまわりし、初めてもとの三角形の位置に戻るまで移動します。このとき頂点A が動いた距離は何cmですか。ただし、頂点A は元の位置に戻るとは限りません。

     Pic_3544q

回転した軌跡と解法例

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2013年9月 3日 (火)

点の移動と図形変化(女子学院中学 2009年)

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下の図は、長方形ABCD と直角三角形DCE を組み合わせた図形です。点アは、頂点A を出発して毎秒2cm の速さで辺ADを往復します。点イは、頂点B を出発して毎秒3cm の速さで辺BE を往復します。点ア、点イは同時に出発し、点ア と点イを結んでできる直線を、直線アイ と呼ぶことにします。このとき次の問に答えなさい。

   Pic_3515q

(1)直線アイ が辺AB と初めて平行になるのは、出発してから何秒後ですか。ただし、直線アイ と辺AB がぴったり重なる場合は除きます。

(2)直線アイが四角形ABED を1つの三角形 と 1つの四角形に分けるのは、出発してから2分後までに何回ありますか。

(3)長方形ABCD の対角線AC と対角線BD が交わる点をFとします。直線アイ が点F を1回目に通るのと、2回目に通るのは、それぞれ出発してから何秒後ですか。

図解と解法例

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2013年9月 2日 (月)

べん図を使うと解きやすい問題(開成中学 2005年)

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40人の生徒に対して、問題A,B の2題によるテストを行いました。得点は、2題とも正解ならば10点、A,B のどちらか1題だけが正解ならば5点、どちらも不正解ならば0点としました。その結果について、次のことがわかっています。

(ア)40人の平均点は、ちょうど6点でした。

(イ)得点が0点と5点の生徒は、合わせて30人いました。

(ウ)問題A が正解だった生徒の人数は、問題B が正解だった生徒の人数の2倍でした。

このとき、問題A が正解で、問題B が不正解だった生徒は何人か求めなさい。

Ilm07_aa02003s

考え方と解法例

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