立方体の切り口を考える（早稲田中学 ２０１０年）

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下の図は、１辺の長さが ６ｃｍ の立方体です。この立方体を３つの点 Ａ，Ｂ，Ｃ を通る平面で切断します。ＡＱ＝３ｃｍ、ＢＱ＝２ｃｍ、ＣＲ＝２ｃｍ のとき、次の問に答えなさい。

（１）切り口は何角形ですか。

（２）ア～ニは辺上の点で、たがいに１ｃｍずつ離れて並んでいます。切り口の多角形のＡ，Ｂ，Ｃ 以外の頂点をア～ニからすべて選びなさい。

（３）ＰＱ の延長と ＣＢ の延長が交わる点をＤ とします。切り口の多角形の面積は三角形ＡＤＢ の面積の何倍ですか。

（４）できた２つの立体のうち、点Ｒ を含む方の立体の体積を求めなさい。

図解と解法例

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重なっていない部分の面積は？（筑波大学附属中学 ２００５年）

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図のように半径４ｃｍの円が４つあります。斜線部分の面積は何ｃ㎡ですか？

図解と解法例

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自転車の速さは歩きの何倍か？（フェリス女学院中学 ２０１２年）

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花子さんは Ａ町から Ｂ町まで行きました。Ａ町を自転車に乗って出発し、６４分間乗りましたが、残りの道のりが全体の １/５ のところで自転車が故障しました。その後 ７２分間歩いて Ｂ町に着きました。花子さんが自転車に乗っていたときの速さは、歩いていたときの速さの何倍ですか。

考え方と解法例

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並んだカードの規則性は？（慶應義塾湘南藤沢中等部 2006年）

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１、２、３の数字が書かれたカードがたくさんあり、次のように規則的にならべていきます。

①　②　③　①　①　②　②　③　③　①　①　①　②　②　・・・

このとき、次の問に答えなさい。

（１）カードを２０枚ならべたとき、ならべたカードに書かれた数の合計はいくつですか。

（２）カードを１０８枚ならべたとき、ならべたカードに書かれた数の合計はいくつですか。

（３）ならべたカードに書かれた数の合計が３５３のとき、ならべたカードの枚数は何枚ですか。

規則性と解法例

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３人で千羽鶴を折ると・・・（雙葉中学 ２０１３年）

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千羽鶴をＡ，Ｂ，Ｃ の３人で折りました。３人が鶴を折る速さは常に一定で、１０分間にＡさんは５羽、Ｂさんは８羽、Ｃさんは１１羽です。最初は ３人で ４時間２０分折りました。その後は、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ａ，・・・ の順に交代で１人５０分ずつ休み、残りの２人で折り続けました。このとき、次の問に答えなさい。

（１）最初の４時間２０分で何羽折りましたか。

（２）最後に鶴を折り終わったのは、だれですか。また、それは折り始めてから何時間何分後ですか。

考え方と解法例

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ちょっと難しいカード配りの論理問題（東海中学 2011年）

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１１，１２，１３ の数字が書かれたカードが、それぞれ ４枚ずつあります。この１２枚のカードをＡ君、Ｂ君、Ｃ君の３人に ４枚ずつ配ります。持っている ４枚のカードに書かれた数字の和を得点① とし、得点① の約数の個数を得点② とします。初めに配ったとき、得点① は全員同じで、Ｂ君のカードは ４枚とも同じ数字でした。このとき、次の問に答えなさい。

（１）３人のカードを１枚ずつ集めて配り直したところ、Ａ君とＢ君の得点② の差が ７点でした。Ｃ君の得点② を求めなさい。

（２）（１）の配り直されたカードを元にもどし、３人のカードを２枚ずつ集めて配り直したところ、３人の得点① がすべて異なり得点② の最高点は ４点でした。３人の得点① を小さい順に書きなさい。

推理と解法例

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山上りと下りの時間と距離（芝中学 2010年）

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下の図１のように、Ｐ町からＱ町までの間に２つの峠があります。Ａ君はＰ町からＱ町へ、Ｂ君はＱ町からＰ町へ向かって同時に出発して歩いていきました。２人の歩く速さは等しく、上りは毎時２ｋｍ、下りは毎時４ｋｍで一定です。２人のかかった時間とＰ町からの道のりとの関係を下の図２で示しています。このとき、次の問に答えなさい。

（１）Ｐ町からＱ町までの道のりは、何ｋｍですか。

（２）峠から峠までの道のりは、何ｋｍですか。

図解による解法例

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ままこだて問題の規則性（武蔵中学 ２０１１年）

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[ １ ]、[ 2 ]、[ 3 ]、・・・、[ １76 ] の１７６枚のカードが、上からこの順になるように重ねてあります。一番上のカードを一番下に移し、見えたカードを一枚取り除きます。これをカードが最後の一枚になるまでくり返します。１回目は[ １ ] を一番下に移し、[ 2 ] を取り除きます。２回目は[ 3 ] を一番下に移し、[ 4 ] を取り除きます。このとき、次の問に答えなさい。

（１）偶数が書かれたカードが全部取り除かれるのは何回目ですか。

（２）１００回目に取り除かれるカードに書かれている数を答えなさい。

（３）最後の一枚のカードに書かれている数を答えなさい。

規則性と解法例

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正方形の辺を１辺とする正三角形（豊島岡女子学園中学 ２００７年）

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1辺の長さが4cmである正方形ABCDの外側に辺ABを１辺とする正三角形EABと辺BCを１辺とする正三角形FBCがあります。このとき，色のついた部分の面積は何ｃ㎡ですか。

図解と解法例

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３つの点の旅人算（開成中学 ２００７年）

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一定の速さで一つの円周をまわる３つの点Ａ，Ｂ，Ｃがあります。ＡとＢは同じ向きに，ＣはＡ，Ｂとは反対の向きに進みます。３つの点Ａ，Ｂ，Ｃが同じ地点から１時ちょうどに出発しました。ＡとＣは１時２分に，ＢとＣは１時７分に，出発後初めて出会いました。また，Ａは１時２分30秒に初めて元の地点に戻りました。

(1)Bが初めて元の地点に戻る時刻を求めなさい。

(2)AがＢに初めて追いつく時刻を求めなさい。

(３)Ａ，Ｂ， Ｃが初めて正三角形の３つの頂点となる時刻を求めなさい。

考え方と解法例

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５角形の内角（広島学院中学 2009年）

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下の図の角度（あ）と（い）の和を求めなさい。

Ｏは円の中心です。

図解と解法例

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正方形内を回転する正三角形の軌跡（海城中学 2010年）

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１辺の長さが３ｃｍの正三角形ＡＢＣが１辺の長さが９ｃｍの正方形ＰＱＲＳの内部にあり、頂点Ｂと頂点Ｐが重なっています。

　　

正三角形ＡＢＣが正方形ＰＱＲＳ内をすべることなく転がるとき、次の問に答えなさい。

（１）頂点Ａの動いたあとをコンパスを用いて図に描きなさい。

（２）正方形ＰＱＲＳの内部で、正三角形ＡＢＣと重ならない部分の周囲の長さを求めなさい。

軌跡と解法例

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直方体で立方体を作ると・・・（桜蔭中学 2005年）

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たて２．５ｃｍ、横１０/７ｃｍ、高さ２ｃｍの直方体があります。この直方体をすべて同じ向きにすき間なく並べて立方体を作りました。作ることができる立方体のうち、最も小さいものは１辺何ｃｍで、直方体を何個使って作ることができますか。

考え方と解法例

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ロボット対戦ゲーム（灘中学 ２００７年）

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Ｐ地点を出発し，Ｑ地点に積まれたボールをＰ地点まで運ぶことをくり返し，Ｐ地点まで運んだボールの個数を競うゲームに，ロボットＡ，Ｂが参加した。Ａは１度に３個ずつ運び，往復するのに15秒かかる。Ｂは１度に５個ずつ運び，往復するのに25秒かかる。ゲーム開始後Ｂはすぐ動き出したが，Ａは動き出すまでに10秒かかった。開始から420秒間のうち，Ａかリードしている時間は何秒間で，Ｂがリードしている時間は何秒間だろうか？

考え方と解法例

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長方形と重なった円（女子学院中学 ２００７年）

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下の図の長方形の中の青い色のついた部分の面積を求めなさい。Ａ，Ｂ はそれぞれの円の中心です。（答えは小数第２位を四捨五入）

　

図解と解法例

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歩く速さと自転車の速さ（麻布中学 2009年）

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Ａ君は歩くとき、最初の３ｋｍは時速４ｋｍで、そのあとは時速３ｋｍで歩きます。

（１）２時間経過したとき、Ａ君は何ｋｍ歩きましたか。

（２）Ａ君が出発してから２時間後、Ｂ君が同じ地点から自転車でＡ君を追いかけます。Ｂ君は最初の４ｋｍは時速１５ｋｍで、その後は時速１２ｋｍで進みます。Ｂ君は何分でＡ君に追いつきますか。

 

考え方と解法例

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はね返るボールの高さ（ラ・サール中学 2010年）

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落ちた高さの ８分の５ だけはね返るボールがあります。

下の図のようにボールがはね返ったとき、Ｘ を求めなさい。

　

図解による解法例

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図形を使った場合の数を考える問題（早稲田中学 ２００７年）

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下の図のような高さが ６ｃｍ の正三角形の内部の点Ｐ から辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ へ垂線を引き、その長さをそれぞれ ｘｃｍ、ｙｃｍ、ｚｃｍ とします。ｘ、ｙ、ｚ がすべて整数であるような点Ｐは三角形ＡＢＣ の内部に何個存在しますか。

　　　　

考え方と解法例

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円の通った跡の面積は？（桜蔭中学 ２００８年）

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下の図のように１辺の長さが4ｃｍの正方形５つでできた図形があります｡半径１ｃｍの円が辺から離れずに回転し，この図形の外側を１周します。このとき，円が通った部分の面積を求めなさい。

軌跡と解法例

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いくつ積み木が必要か？（吉祥女子中学 2013年）

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たて３ｃｍ、横４ｃｍ、高さ８ｃｍの直方体の積み木が 5000個あります。この積み木をすき間なく同じ向きに積み重ねて立方体を作ります。ただし、使わない積み木があってもよいものとします。このとき、次の問に答えなさい。

（１）最も小さい立方体を作ると、その立方体の１辺の長さは何ｃｍ になりますか。また、積み木は何個必要ですか。

（２）最も大きい立方体を作ると、その立方体の１辺の長さは何ｃｍ になりますか。また、積み木は何個必要ですか。

数え方と解法例

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折り紙の規則性を見つける！（（筑波大学附属駒場中学 2007年）

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正方形の紙に次のような操作を行います。

上の操作を１回と数え、操作を何回か続けて行います。操作を何回か続けて行ってできた正方形を下の図１のようにハサミで４つの同じ大きさの正方形に切り離してから、折られて重なっている紙は全て広げます。このとき、次の問に答えなさい。

（１）操作を１回行ってからハサミで切り離し、広げると、どのような紙ができますか。下の図２に元となる正方形が描かれています。切れ目を線で示しなさい。なお、正方形の各辺は４等分されています。

　　　　　　　　　　

（２）操作を何回か続けて行ってからハサミで切り離し、広げると面積の異なる紙が何枚かずつできますが、そのうち一番大きい紙が１０００枚以上ありました。操作を行った回数として考えられる最も小さい数を答えなさい。

（３）操作を何回か続けて行ってからハサミで切り離し、広げると一番大きい紙が１００００枚以上ありました。このとき２番目に大きい紙は何枚できていますか。考えられる枚数のうち、最も小さい数を答えなさい。

規則性と解法例

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ちょっと難しい仕事算（関西学院中学 2011年）

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ＡさんとＢ君が庭の草刈りをしました。Ａ君さんが５分、次にＢ君が６分、また次にＡさんが５分、次にＢ君が６分、というように交代で草刈りをします。草刈りを始めて、庭のちょうど半分の面積の草を刈るのに３９分かかり、すべてを刈り終わるのに１時間１６分かかりました。もし２人が初めから休まずに一緒に草を刈り続けるとするならば、庭の草をすべて刈り終えるのに何分かかるか求めなさい。

考え方と解答例

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面積比を求める問題（慶應義塾中等部 ２０１０年）

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図のように，三角形ABCの中に，ぞれぞれＡＰ：ＰＱ＝２：１，ＢＱ：ＱＲ＝３：１，ＣＲ：ＲＰ＝３：２になるような点Ｐ，Ｑ，Ｒをとります。三角形ABCの面積が441ｃ㎡のとき，三角形PQRの面積は，何ｃ㎡になりますか。

面積比の参考図と解答例

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正方形と半円の組み合わせ（共立女子中学 2007年）

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上図のように、正方形と半円を組み合わせた図形があります。正方形の１辺の長さと半円の直径の長さは等しく、三角形Ａの面積が１２ｃ㎡、三角形Ｂの面積が３ｃ㎡、三角形Ｃの面積が６ｃ㎡ のとき、緑色の部分の面積を求めなさい。円周率は３．１４とします。

図解と解法例

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フラクタル図形の規則性（神戸女学院中学 2008年）

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面積が２０ｃ㎡の正三角形①があります。①の３辺の中点をそれぞれ結び、②のように黒い正三角形を作ります。②の白い３個の正三角形に、同様に中点を結んで③のようにします。この作業を繰り返したとき、次の問いに答えなさい。　

（１）⑥番目には、白い正三角形と黒い正三角形は何個になるか答えなさい。

（２）③番目の白い正三角形の部分の面積は、②番目のときの何倍になっているか答えなさい。

（３）白い正三角形の部分の面積が５ｃ㎡より小さくなるのは何番目か答えなさい。

規則性と解法例

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正六角形の部分面積（中央大学附属横浜中学 ２０１０年）

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下の図の正六角形の面積は６０ｃ㎡です。

ＡＧとＧＢの長さの比が１：３のとき、斜線部分の面積は何ｃ㎡ですか。

図解と解法例

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正三角形の回転移動（灘中学 ２０１３年）

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下の図のように、１辺の長さが ３ｃｍの正三角形 ７個を並べます。色のついた三角形が、その他の三角形でできる図形の周囲に沿って、矢印の向きに回転しながらすべることなくひとまわりし、初めてもとの三角形の位置に戻るまで移動します。このとき頂点Ａ が動いた距離は何ｃｍですか。ただし、頂点Ａ は元の位置に戻るとは限りません。

　　　　　

回転した軌跡と解法例

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点の移動と図形変化（女子学院中学 2009年）

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下の図は、長方形ＡＢＣＤ と直角三角形ＤＣＥ を組み合わせた図形です。点アは、頂点Ａ を出発して毎秒２ｃｍ の速さで辺ＡＤを往復します。点イは、頂点Ｂ を出発して毎秒３ｃｍ の速さで辺ＢＥ を往復します。点ア、点イは同時に出発し、点ア と点イを結んでできる直線を、直線アイ と呼ぶことにします。このとき次の問に答えなさい。

　　　

（１）直線アイ が辺ＡＢ と初めて平行になるのは、出発してから何秒後ですか。ただし、直線アイ と辺ＡＢ がぴったり重なる場合は除きます。

（２）直線アイが四角形ＡＢＥＤ を１つの三角形 と １つの四角形に分けるのは、出発してから２分後までに何回ありますか。

（３）長方形ＡＢＣＤ の対角線ＡＣ と対角線ＢＤ が交わる点をＦとします。直線アイ が点Ｆ を１回目に通るのと、２回目に通るのは、それぞれ出発してから何秒後ですか。

図解と解法例

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べん図を使うと解きやすい問題（開成中学 2005年）

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４０人の生徒に対して、問題Ａ，Ｂ の２題によるテストを行いました。得点は、２題とも正解ならば１０点、Ａ，Ｂ のどちらか１題だけが正解ならば５点、どちらも不正解ならば０点としました。その結果について、次のことがわかっています。

（ア）４０人の平均点は、ちょうど６点でした。

（イ）得点が０点と５点の生徒は、合わせて３０人いました。

（ウ）問題Ａ が正解だった生徒の人数は、問題Ｂ が正解だった生徒の人数の２倍でした。

このとき、問題Ａ が正解で、問題Ｂ が不正解だった生徒は何人か求めなさい。

考え方と解法例

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