３つの点の旅人算（開成中学　２００７年）: どう解く？中学受験算数

（３）の解答において、「AとBの差が１０/３になるのは、１０/３÷（５－１０/７）＝１４/１５分ごと、」とされておりますが、これだと３の倍数回目ごと（（14/15)×3n分ごと）にＡとＢが重なってしまうのではないでしょうか？
同様に「BとCの差が１０/３になるのは、１０/３÷１０/７＝７/３分ごと、」という箇所も。
ですので、、答えがそれぞれの３の倍数回目に当たらないことを示す必要があるのでは…。
この問題においては、最小公倍数の場合は必ず３の倍数回目に当たらないという規則があるのかもしれませんが。。。（そこまで深く考えてないです…）

あと、、答えにおいて、最後にＡとＣが重ならないことを示す必要もあるのかなぁ。（ＡとＣは２分ごとに重なるので明らかなのですが…）
こちらも、、、この問題においては、ＡとＢ及びＢとＣの距離の差がそれぞれ全体の1/3となれば、ＡとＣは必ず重ならないという規則があるのかもしれませんが。。。（検証はしてないです…）

答えは合っていると思います。。。

投稿: こうへい | 2013年9月21日 (土) 22時35分

いつもご指摘、ありがとうございます。
そうですね、たしかに重なる場合があって、
単純に最小公倍数を見つけるだけでは問題が解決しませんね。
ちょっと考えてみます。
どんな解法が適切なのでしょうか？
けっこう算数問題も奥が深いですね。

投稿: 管理人 | 2013年9月23日 (月) 22時13分

私の解法は、、、
ＡとＢが出会うのは14/5秒ごとなので、ＡとＢの距離が全体の1/3となるのは(14/5)×n±(14/15)秒後(nは1以上の整数)。
ＢとＣが出会うのは7秒ごとなのでＢとＣの距離が全体の1/3となるのは7×m±(7/3)秒後(mは1以上の整数)。
次に位置関係を考えると、(14/5)×n＋(14/15)秒後のＡＢの関係は、ＡとＢが出会ってからＡが追い抜いた後となるため、ＡＢの進行方向を＋と考えると、Ｂ→Ａの距離が全体の1/3となります。…①
逆に、(14/5)×n－(14/15)秒後のＡＢの関係はＡがＢを追い抜く前となるため、Ａ→Ｂの距離が全体の1/3となります。…②
よって、①の場合、ＡとＣが重ならないためにはＣ→Ｂが全体の1/3とならなければならず、これは7×m＋(7/3)秒後（③）であり、②の場合はＢ→Ｃが全体の1/3とならなければならないので7×m－(7/3)秒後（④）となります。
①＝③より6×n－15×m＝3　…⑤
②＝④より15×m－6×n＝3　…⑥
という２つの不定方程式がでてきて、n、mを最小にする組を求めるのですが、、、nに比べてmは小さくなると思われる（Ａの速さだけが非常に速いので…）ので、mを1から始めると、⑤でm=1にするとn=3、⑥でm=1にするとn=2となります。(あっさり…）
それぞれmの値を③④にいれてやると、③＝28/3、④＝14/3となるので、③＞④より答えは14/3分後としました。
ＡＢの進行方向を＋と考えると、Ａから始めて、Ａ→Ｃ→Ｂの位置関係で最初に正三角形になるのが28/3分後、Ａ→Ｂ→Ｃの位置関係で最初に正三角形になるのが14/3分後となるということでしょうね。
途中で少し方程式ぽいのが出てきたり、式変形の段階での＋と－の関係等、少し大人解きをしていると思われる箇所があるので、、、すっきりとはしませんが…。
よければ参考にしてください。。。

投稿: こうへい | 2013年9月24日 (火) 22時23分

ぎゃぁーーー！
秒と分をごちゃ混ぜにしてました…
秒を全て分に置き換えていただくと、、、合っていると思います…
すみません…

投稿: こうへい | 2013年9月24日 (火) 22時29分

ご丁寧に解法を記述していただき、ありがとうございます。参考にさせていただきました。ここまで考えられる小学生がいたらすごいと思いますが、開成中学受験生ならいるかもしれませんね。私も考えてみました。
AとCは２分で出会うので、１/３なら１０/３÷（４＋１）＝２/３分で４０秒、
次が８０秒、次が重なって（１２０秒）、以下１６０秒、２００秒、（２４０秒）、２８０秒、３２０秒、（３６０秒）・・・・（かっこ）のところが重なっています。
BとCは１０/３÷（３/７＋１）＝７/３分なので、１４０秒ごとに１/３の位置関係になります。
重なっているところは（かっこ）にすると、
１４０秒、２８０秒、（４２０秒）、・・・・
同様にAとBは１０/３÷（４－３/７）＝１４/１５分で５６秒ごとに１/３の位置関係なので、
また、重なっているところは（かっこ）にすると、
５６秒、１１２秒、（１６８秒）、２２４秒、２８０秒、（３３６秒）、・・・
これでABCが最初に１/３の位置関係になるのは、
３点が重なっていない２８０秒後ということになります。
けっこう地道に調べていったほうがいいのかもしれません。
またよろしくお願いします。

投稿: 管理人 | 2013年9月26日 (木) 13時18分

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