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2013年9月21日 (土)

3つの点の旅人算(開成中学 2007年)

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一定の速さで一つの円周をまわる3つの点A,B,Cがあります。AとBは同じ向きに,CはA,Bとは反対の向きに進みます。3つの点A,B,Cが同じ地点から1時ちょうどに出発しました。AとCは1時2分に,BとCは1時7分に,出発後初めて出会いました。また,Aは1時2分30秒に初めて元の地点に戻りました。

(1)Bが初めて元の地点に戻る時刻を求めなさい。

(2)AがBに初めて追いつく時刻を求めなさい。

(3)A,B, Cが初めて正三角形の3つの頂点となる時刻を求めなさい。

1

考え方と解法例

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コメント

すみません…
間違っているかもしれませんが、、、
そうだとしたらごめんなさい…

(3)の解答において、「AとBの差が10/3になるのは、10/3÷(5-10/7)=14/15分ごと、」とされておりますが、これだと3の倍数回目ごと((14/15)×3n分ごと)にAとBが重なってしまうのではないでしょうか?
同様に「BとCの差が10/3になるのは、10/3÷10/7=7/3分ごと、」という箇所も。
ですので、、答えがそれぞれの3の倍数回目に当たらないことを示す必要があるのでは…。
この問題においては、最小公倍数の場合は必ず3の倍数回目に当たらないという規則があるのかもしれませんが。。。(そこまで深く考えてないです…)

あと、、答えにおいて、最後にAとCが重ならないことを示す必要もあるのかなぁ。(AとCは2分ごとに重なるので明らかなのですが…)
こちらも、、、この問題においては、AとB及びBとCの距離の差がそれぞれ全体の1/3となれば、AとCは必ず重ならないという規則があるのかもしれませんが。。。(検証はしてないです…)

答えは合っていると思います。。。

いつもご指摘、ありがとうございます。
そうですね、たしかに重なる場合があって、
単純に最小公倍数を見つけるだけでは問題が解決しませんね。
ちょっと考えてみます。
どんな解法が適切なのでしょうか?
けっこう算数問題も奥が深いですね。

私の解法は、、、
AとBが出会うのは14/5秒ごとなので、AとBの距離が全体の1/3となるのは(14/5)×n±(14/15)秒後(nは1以上の整数)。
BとCが出会うのは7秒ごとなのでBとCの距離が全体の1/3となるのは7×m±(7/3)秒後(mは1以上の整数)。
次に位置関係を考えると、(14/5)×n+(14/15)秒後のABの関係は、AとBが出会ってからAが追い抜いた後となるため、ABの進行方向を+と考えると、B→Aの距離が全体の1/3となります。…①
逆に、(14/5)×n-(14/15)秒後のABの関係はAがBを追い抜く前となるため、A→Bの距離が全体の1/3となります。…②
よって、①の場合、AとCが重ならないためにはC→Bが全体の1/3とならなければならず、これは7×m+(7/3)秒後(③)であり、②の場合はB→Cが全体の1/3とならなければならないので7×m-(7/3)秒後(④)となります。
①=③より6×n-15×m=3 …⑤
②=④より15×m-6×n=3 …⑥
という2つの不定方程式がでてきて、n、mを最小にする組を求めるのですが、、、nに比べてmは小さくなると思われる(Aの速さだけが非常に速いので…)ので、mを1から始めると、⑤でm=1にするとn=3、⑥でm=1にするとn=2となります。(あっさり…)
それぞれmの値を③④にいれてやると、③=28/3、④=14/3となるので、③>④より答えは14/3分後としました。
ABの進行方向を+と考えると、Aから始めて、A→C→Bの位置関係で最初に正三角形になるのが28/3分後、A→B→Cの位置関係で最初に正三角形になるのが14/3分後となるということでしょうね。
途中で少し方程式ぽいのが出てきたり、式変形の段階での+と-の関係等、少し大人解きをしていると思われる箇所があるので、、、すっきりとはしませんが…。
よければ参考にしてください。。。

ぎゃぁーーー!
秒と分をごちゃ混ぜにしてました…
秒を全て分に置き換えていただくと、、、合っていると思います…
すみません…

ご丁寧に解法を記述していただき、ありがとうございます。参考にさせていただきました。ここまで考えられる小学生がいたらすごいと思いますが、開成中学受験生ならいるかもしれませんね。私も考えてみました。
AとCは2分で出会うので、1/3なら10/3÷(4+1)=2/3分で40秒、
次が80秒、次が重なって(120秒)、以下160秒、200秒、(240秒)、280秒、320秒、(360秒)・・・・(かっこ)のところが重なっています。
BとCは10/3÷(3/7+1)=7/3分なので、140秒ごとに1/3の位置関係になります。
重なっているところは(かっこ)にすると、
140秒、280秒、(420秒)、・・・・
同様にAとBは10/3÷(4-3/7)=14/15分で56秒ごとに1/3の位置関係なので、
また、重なっているところは(かっこ)にすると、
56秒、112秒、(168秒)、224秒、280秒、(336秒)、・・・
これでABCが最初に1/3の位置関係になるのは、
3点が重なっていない280秒後ということになります。
けっこう地道に調べていったほうがいいのかもしれません。
またよろしくお願いします。

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