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2013年10月

2013年10月31日 (木)

角度と面積は?(愛光中学 2010年)

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下の図において、角あ の大きさ=[ ア ]度、

 角い の大きさ+角う の大きさ=[ イ ]度、

 四角形ABCD の面積=[ ウ ]c㎡ です。

 ア、イ、ウに入る値を答えなさい。

Pic_2076q_2

図解と解法例

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2013年10月30日 (水)

頂点Aの軌跡は?(大阪女学院中学 2008年)

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半径6cmの円があり、その中に1辺の長さが6cmの正三角形ABCがあります。いま、下の図のように、2つの頂点B,Cが円周上に重なるように置いてから、正三角形を円の内部ですべることなく元の位置にもどるまで転がします。 

  Pic_1423q

このとき、頂点Aの動いた長さを求めなさい。

軌跡と解法例

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2013年10月29日 (火)

商品をいくつ買ったのか?(駒場東邦中学 2013年)

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350円の商品A、400円の商品B、490円の商品C をそれぞれ何個かずつ買ったところ、その合計金額が 7230円になりました。このとき、次の問に答えなさい。

(1)商品A を買った個数が 4個のとき、商品B,商品C を買った個数はそれぞれいくつですか?

(2)(1)の場合以外に、商品A,商品B,商品C を買った個数の組み合わせとして考えられるものを全てあげてください。

Ilm16_aa04033s

考え方と解法例

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2013年10月28日 (月)

穴のあいた立体の表面積(浦和明の星女子中学 2012年)

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立方体に,底面が正方形の四角柱の形をした穴をあけて,下の図のような立体を作りました。そして,この立体全体をペンキが入った容器に沈めて色を付けました。このとき,立体の色の付いた部分の面積を求めなさい。

1

計算と解答例

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2013年10月27日 (日)

展開図で立体を考える難問です(巣鴨中学 2010年)

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下の図は、ある立体の展開図で、直角二等辺三角形と、半円、長方形でできています。

  Pic_1914q

図において、

AB=AC=BD=CE=DF=GI=HJ=JK=2cm、

EG=FH=4cmです。

この立体について、次の問に答えなさい。

(1)この立体の体積は何立方cmですか。

(2)この立体をB,C,I,Kを通る面で切ったとき、点Fを含む方の立体の体積何立方cmですか。

(3)この立体をD,E,G,Jを通る面で切ったとき、点Fを含む方の立体の体積は何立方cmですか。

なお、角すいの体積は、底面積×高さ÷3で求められます。

切り口のイメージと解法例

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2013年10月26日 (土)

正9角形の角度(北嶺中学 2005年、学習院女子中等科 2010年)

9つの辺の長さがすべて3cmで、9つの角度がすべて等しい図1のような図形があります。

  Pic_1307q

(1)図1の角度Aの大きさを求めなさい。

(2)図2は、図1の図形の各頂点を中心として、半径3cmのおうぎ形を描いたものです。このとき、青い線の長さを求めなさい。

図解と解法例  

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2013年10月25日 (金)

取ったカードの推理(六甲中学 2010年)

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1から12までのカードが1枚ずつ、全部で12枚あります。A,B,C,D,E の5人が、1人2枚ずつカードを取り、2枚が残りました。それぞれが取ったカードに書かれた数の和は、A が 8、B が 22、C が 4、D が 18、E が 12でした。このとき、次の問に答えなさい。

(1)残った2枚のカードに書かれた数の和を答えなさい。

(2)A,E が取ったカードに書かれた数をそれぞれ答えなさい。

1_2

推理と解法例

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2013年10月24日 (木)

和差算入りの年齢算(東邦大学付属東邦中学 2011年)

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現在、太郎君の家族は太郎君、父、母、妹の4人で、4人の年令の和は104才です。そして、母と太郎君の年令の差は28才で、太郎君と母の年令の和は,妹と父の年令の和と同じです。3年後には、父の年令は太郎君の3倍になります。このとき,次の問いに答えなさい。

①現在、太郎君は何才ですか。

②現在、妹は何才ですか。

2202

考え方と解法例

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2013年10月23日 (水)

ニュートン算の基本問題(四天王寺中学 2010年)

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一定の割合で水が流れこんでいるタンクがあります。このタンクが満水のとき、毎時5㎥ の割合で放水すると30時間で空になり、毎時8㎥ の割合で放水すると12時間で空になります。このとき

次の問に答えなさい。

(1)タンクに流れこんでいる水の量は毎時何㎥ ですか。

(2)このタンクが満水のときに、毎時7㎥ の割合で放水すると何時間でタンクが空になりますか。

1

考え方と解法例

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2013年10月22日 (火)

4つの数は?(桐朋中学 2008年)

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4つの整数があります。これらの整数から、2つずつ選んで和を作ると、6通りの和ができます。その6通りの和を大きい方から順に4つ並べると、

130,118,113,102

となります。このとき、次の問に答えなさい。

(1)もとの4つの整数のうち、2番目に大きい数と3番目に大きい数の差を答えなさい。

(2)もとの4つの整数を大きい順に答えなさい。

Lpsa1105csjpg

考え方と解法例

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2013年10月21日 (月)

勝敗表をうめる (大阪女学院中学 2011年)

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下の表1は、あるゲームの勝ち負けの表です。一番左のたての列の人が上の列の人とゲームをして、勝ったときは○、負けたときには×を書き入れます。表のア、イ、ウには、○×どちらが入りますか。また、E の人の勝ち数、負け数を答えなさい。

Pic_3183q

表のうめ方と解法例

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2013年10月19日 (土)

どうやって調べていきますか?(早稲田中学 2013年)

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1から15までの15個の整数をすべてかけたとき、

下4ケタは いくつですか。

○△□????

Ilm18_ab05016s

調べ方と解法例

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2013年10月18日 (金)

鏡に映った形はどれ?(桜蔭中学 2005年 理科)

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鏡を利用したおもちゃである万華鏡(まんげきょう)について考えてみます。万華鏡は、下の図のように3枚の細長い鏡を正三角形になるように組み合わせたものです。

Pic_1743q

紙片を入れた反対側から万華鏡をのぞくと、下の図のように正三角形がすきまなくならんで見えます。下の図の中心にある正三角形の中に見える紙片は実物です。そのまわりの正三角形の中には、くり返し鏡で反射した紙片が見えますが、実物の紙片しか描かれていません。

Pic_1742q

このとき、次の問に答えなさい。

(1)万華鏡をのぞいた上の図のあ、い、うの正三角形はどのように見えますか。次のア~カから正しいものを選んで記号で答えなさい。

Pic_1744q

(2)あ、い、うの位置の紙片は、それぞれ鏡に何回反射して見えたものですか。

考え方と解法例

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2013年10月17日 (木)

トラック競争の原理(筑波大学附属駒場中学 2001年)

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下の図のように、半円部分と50mの直線部分でできた走路があります。この走路は、第1コースが1周200mで、第2コースが1周206mになっています。

Pic_2756q

A君、B君、C君はこの走路を、図の矢印の向きに、それぞれ一定の速さで走ります。A君が100m走る間にB君が80m走るとき、次の問に答えなさい。

(1)A君が図のアの位置から第1コースを、B君がアより前方の位置から第2コースを、同時に走り始めたとき、B君がちょうど100m走ったところでA君に追いつかれました。B君が走り始めた位置はアより何 m 前方ですか。

(2)図のアの位置から、A君は第1コースを、B君は第2コースを、同時に走り始めて何周もまわると、A君はB君を何度も追いぬきます。2度目に追いぬくのは、A君が何周目を走っているときですか。

(3)図のアの位置から、A君は第1コースを、C君は第2コースを、同時に走り始めて、A君が1周する間にC君を追いぬくことがありました。C君が100m走る間にA君が何 m 走っているか考えるとき、そのキョリとして考えられるもののうち、メートルの単位で考えて、最も小さい整数を答えなさい。

考え方と解法例

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2013年10月16日 (水)

どんな規則で分数は並んでいるのか?(開智中学 2011年)

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次のように、1より小さく、もうこれ以上約分できない分数がある規則に従って並んでいます。

  Pic_2908q

 

(1)20番目の分数を答なさい。

(2)7/11 は初めから数えて何番目ですか。

(3)分子と分母の数の和が105である分数は何個出てきますか。

規則性と解法例

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2013年10月15日 (火)

おうぎ形が回転する旅人算 (海城中学 2007年)

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半径の長さが等しく、中心角が120°と90°の2つのおうぎ形があり、点Oを中心として図の矢印の向きに回転します。それぞれのおうぎ形は、点A,Bが重なった状態から回りはじめ、120°のおうぎ形は40秒間で1回転、90°のおうぎ形は60秒間で1回転します。

Pic_0730q

(1)回りはじめてから5分間で点AとBが回りはじめた点以外の場所で重なるのは何回ありますか。

(2)2つのおうぎ形が重なっている部分のおうぎ形の中心角をa°とします。回りはじめてからの時間と  a の関係を示すグラフを描きなさい。

考え方と解法例

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2013年10月14日 (月)

等しい部分面積をどう利用する?(2012年 日本女子大学附属中学)

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図は長方形と1/4の円を組み合わせたものです。
AとBの部分の面積が等しいとき、長方形の横の長さは何cmですか。
ただし、円周率は3.14とします。

1_2 

考え方とこたえ

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2013年10月13日 (日)

中学入試にも出題されたフィボナッチ数列の規則性(大阪桐蔭中学 2010)

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次のように、1番目と2番目は共に1で、3番目よりあとは1つ前の整数と2つ前の整数との和になるという決まりにしたがって整数を並べていきます。

1,1,2,3,5,8,13,21,34,・・・

このとき、次の問に答えなさい。

(1)11番目の整数を答えなさい。

(2)6で割り切れる整数が2回目に出てくるのは何番目ですか。

(3)2010番目までに、6で割って5あまる整数は何個ありますか。

規則性と解法例

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2013年10月12日 (土)

的当てのつるかめ算((明星中学 2010年)

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3つの標的A,B,C を狙って矢を投げるゲームがあり、得点はAに当たると 8点、Bに当たると 3点、Cに当たると 1点、どの標的にも当たらなかったときは 0点です。兄と弟がこのゲームをそれぞれ 30回ずつ行ったところ、次のような結果となりました。

・ 兄は5回標的を外したが、Aに11回当て、総得点は106点

・ 弟はすべて標的に当て、Aに当てた回数はCに当てた回数の2/3倍で、総得点は106点

このとき、次の問に答えなさい。

(1)兄がB とCに当てた回数をそれぞれ求めなさい。

(2)弟がAに当てた回数を求めなさい。

Trgt008s

面積図と解法例

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2013年10月11日 (金)

相似な三角形は?合同な三角形は?(神戸女学院中学 2009年)

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1辺6cmの正方形ABCDがあります。ADを2等分する点をM,ABを2:1に分ける点をNとしたとき、図の色のついた部分の面積を求めなさい。 

 Pic_0344

図解と解法例 

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2013年10月10日 (木)

基本要素の積み上げ問題(聖光学院中学 2012年)

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下の図1のように半径10cm、中心角90度の扇形AOB があり、扇形の曲線AB を3等分した点を、Aに近い方からC,D とします。

このとき、次の問に答えなさい。

      Pic_3245q

(1)下の図2のように点A と点C を直線で結んだときにできる【 ア 】の部分の面積を求めなさい。

      Pic_3246q

(2)下の図3のように、OAの真ん中の点E と点D を結び、点Oと点C を直線で結んでできる【 イ 】の部分の面積と【 ウ 】の部分の面積を比べたとき、どちらの面積の方が大きいか、説明しなさい。

      Pic_3247q

(3)下の図4のように点A と点C を結んだ直線の延長上にAF=10cm となる点F をとり、点F と点D を結んだ直線の延長線とOB との交点をG とするとき、角BGD の大きさを求めなさい。

     Pic_3248q

図解と解法例

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2013年10月 9日 (水)

面積比、長さ比の基本問題(鎌倉学園中学 2007年)

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下の図のような正方形ABCDにおいて、辺BC を3等分する点を E とし、AC とDE の交点を F とします。このとき、BF : FE を最も簡単な整数の比で表しなさい。

     Pic_3260q

図解と解法例

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2013年10月 8日 (火)

素数と約数(中央大学附属横浜中学 2010年)

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整数 2010 について、次の問に答えなさい。

(1)2 や 3 のように、1 とその数自身以外に約数を持たない1以外の整数を素数といいます。2010 を素数だけのかけ算で表すと、何個の素数のかけ算になりますか。

(2)2010 の約数は全部で何個ありますか。

(3)2010 にできるだけ小さい整数をかけて、17956 の倍数にするには、いくつをかければよいですか。

2010=□×△×・・・・・

約数の見つけ方と解法例

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2013年10月 7日 (月)

硬貨の組み合わせは?(白百合学園中学 2005年)

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ポケットの中に15枚の硬貨があります。それらの合計は、ちょうど980円です。500円、100円、50円、10円、5円、1円の6種類の硬貨がすべて混ざっているとき、それぞれの硬貨は何枚ずつありますか。考えられる場合をすべて答えなさい。

Okane

考え方と解法例

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2013年10月 5日 (土)

ボールの入れ方は何通り?(海城中学 2011年)

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赤、青、黄、緑のボールが1つずつあります。これらを1番から4番までの番号のついた4つの箱に入れて片付けます。どの箱も4個のボールを入れることができ、1個もボールが入らない箱があってもかまいません。このとき、次の問に答えなさい。

(1)ボールの入れ方は全部で何通りありますか。

(2)ボールを3個と1個にわけ、2つの箱に入れる入れ方は何通りありますか。

(3)ボールを2個ずつにわけ、2つの箱に入れる入れ方は何通りありますか。

   

考え方と解法例

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2013年10月 4日 (金)

直角二等辺三角形内の正方形(早稲田実業学校中等部 2009年)

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下の図の三角形ABCは角Bが90°の二等辺三角形で,四角形DEFGは正方形です。頂点Fから辺BCに垂直にひいた直線が辺BCと交わる点をH,辺GFを延ばした直線が辺BCと交わる点をIとするとき,次の①②に答えなさい。

①HIの長さを求めなさい。

②BC:CIを最も簡単な整数の比で表しなさい。

1

図解と解法例

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2013年10月 3日 (木)

方陣算のおもしろい変形問題(カリタス女子中学 2010年)

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下の図1は、大きな正方形のたてと横をそれぞれ 4つに区切って小さな正方形を作り、左上から順にうずまき状に数字を書いていったものです。

        Pic_3466q

下の図2は、同じように大きな正方形のたてと横をそれぞれ区切って小さな正方形を作り、左上から順にうずまき状に数字を書いていったものの一部を表したものです。

図2の一番下の段が、大きな正方形の中でも一番下の段になっている部分になっています。このとき、次の問に答えなさい。

        Pic_3467q

(1)図2のとき、大きな正方形のたてと横を何個に区切っていますか。

(2)図2のアはいくつですか。

推理と解法例

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2013年10月 2日 (水)

覚えておきたい正方形の切り取り(世田谷学園中学 2009年) 

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たて12cmの紙があります。この紙から、正方形を切り抜いていきます。たとえば、よこが39cmだったときは、1辺が12cmの正方形3個と、1辺3cmの正方形が4個切り取れます。

(1)よこの長さが44.5cmだったとき、何個の正方形ができますか。

(2)全部で4個の正方形が切り取れたとき、考えられるよこの長さをすべて答えなさい。

Pic_0132

個数の計算方法と解法例

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2013年10月 1日 (火)

理科の計算問題(麻布中学 2013年)

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火星は地球と同じように、太陽を中心とする円を描いて太陽の周りを回っている天体(惑星)です。地球と火星が太陽の周りを回る向きは同じです。地球と太陽のキョリは 1.5億km あり、火星と太陽のキョリは、地球と太陽のキョリの 1.5倍です。また、地球は1年かけて太陽の周りを1周し、火星は 1.9年かけて太陽の周りを1周します。このとき、次の問に答えなさい。ただし、円周率は 3.1として計算しなさい。

1

(1)地球が太陽の周りを回る速さは秒速何kmですか。1年は0.31億秒として計算し、答えが整数にならないときは小数第1位を四捨五入しなさい。

(2)地球と火星が最も近づいたときのキョリは何億kmですか。答えは小数第2位まで求めなさい。

(3)2012年の8月にアメリカは火星探査機キュリオシティを火星に送り届けることに成功しました。探査機と通信するための電波は、光と同じ秒速 30万km(秒速0.003億km)で伝わります。地球と火星が最も近づいたとき、通信(往復)に何秒かかりますか。

計算と解答例

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