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2013年11月

2013年11月30日 (土)

速さの比、時間の比(開成中学 2013年)

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A地点からB地点に向かって一定の速さで流れている川があります。この川のA地点からボールを流し、同時にB地点からA地点に向けて船が出発しました。船がA地点で折り返して、B地点まで一往復したところ、船がB地点に到着してから42秒後にボールもB地点に到着しました。
船がB地点からA地点まで行くのにかかった時間は、船がA地点からB地点まで行くのにかかった時間の2.25倍でした。船の静水での速さは一定として以下の問いに答えなさい。

(1)ボールがA地点を出発してからB地点に到着するまでに何分何秒かかりましたか。

(2)船とボールが出発してから、

  (ア)最初に出会うまでにかかった時間、

  (イ)船がボールに追いつくまでにかかった時間、

をそれぞれ求めなさい。

Ilm20_aa08014s Ilm05_cb11014s

考え方と解法例

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2013年11月29日 (金)

回転体の体積と表面積(桜蔭中学 2012年)

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下の図で,三角形ABCはAB=26cm,BC=10cm,CA=24cmの直角三角形です。また,四角形ACDEは長方形で,CD=5cmです。四角形ABDEを,直線ACのまわりに1回転してできる立体について,次の間いに答えなさい。

(1)体積を求めなさい。ただし,円すいの体積は

      (底面積)×(高さ)÷3で求めることができます。

(2)表面積を求めなさい。

1

回転体と解法例

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2013年11月28日 (木)

どんな増え方をするか?(須磨学園中学 2013年)

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下の図のように黒石と白石を一段ずつ交互に規則正しく並べていきます。このとき、次の問に答えなさい。

  Pic_3598q

(1)8段目まで並べたとき、石の個数は全部で何個になりますか。

(2)10段目まで並べたとき、黒石と白石の個数の差は何個になりますか。

(3)黒石と白石の個数の差が 66個 になるのは、何段目まで並べたときですか。

増え方の規則性と解法例

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2013年11月27日 (水)

2人が次に出会うのはいつか?(白百合学園中学 2012年)

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Pic_3597q

上の図のような長方形の土地ABCD、AEFG の周囲を、

桜子さんは A → B → C → D → A → B → C → ・・・

菊子さんは A → E → F → G → A → E → F → ・・・

の順で A を同時に出発し、2人とも毎分48m の速さで歩き続けます。2人がBで別れた後に初めて出会うのは歩き始めてから何秒後ですか。

考え方と解法例

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2013年11月26日 (火)

補助線をどこに引くか?(灘中学 2013年)

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下の図の直角三角形ABC において、点Mは辺AB のまん中の点です。また、角アの大きさは15度、AC と MD の長さはともに 5cm です。このとき、角イ の大きさと、BD の長さを求めなさい。

 Pic_3592q_2

図解と解法例

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2013年11月25日 (月)

得点合計の組み合わせは?(早稲田中学 2006年)

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A君、B君、C君の3人でゲームをしました。1回のゲームについて勝者が1人だけ決まったときは、その勝者の得点を3点とし、他の2人の得点を0点とします。それ以外の場合は引き分けとし、3人の得点をそれぞれ1点とします。ゲームを20回したとき、次の問に答えなさい。

(1)A君、B君の得点の合計がそれぞれ29点、14点でした。このときC君の得点の合計は何点ですか。

(2)A君の得点の合計が31点だった場合、B君の得点の合計は何通り考えられますか。

(3)引き分けが6回あり、得点の合計は3人とも異なり、多い順にA君、B君、C君となりました。A君、B君、C君の得点の合計の組み合わせは何通り考えられますか。

2

考え方と解法例

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2013年11月24日 (日)

2人が出会った時刻は?(関西学院中学 2010年)

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太郎君は午前9時にA町を出発し、9kmはなれたB町に午後11時に着きました。途中1回休みましたが、休んだ後は休む前の1.5倍の速さで歩きました。次郎君は同じ日の午前9時にB町を出発してA町に向かいました。途中1回休みましたが、歩く早さは変えず、太郎君より15分早くA町に着きました。休んだ後の2人の歩く速さと歩いた時間は同じでした。下のグラフは、その様子を表したものです。2人が出会った時刻は、何時何分何秒ですか。

Pic_2202q

考え方と解法例

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2013年11月23日 (土)

n進法の規則性を見つける問題(海城中学 2013年)

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0,1,2 の3つの数字のみを使って数を作り、次のように小さい方から順に並べます。

1,2,10,11,12,20,21,22,100,101,102,・・・

このとき次の問に答えなさい。

(1)122番目の数は何ですか。

(2)2222 は初めから数えて何番目になりますか。

(3)記号 <+> は、

(m番目の数)<+>(n番目の数)=(m+n番目の数)

の計算を表すこととします。

たとえば、4番目の数は11、5番目の数は12、9番目の数は100 なので、11<+>12=100 となります。

このとき、次の計算をしなさい。

(ア) 11<+>22       

(イ) ( 2012 <+> 2102 ) <+> 2002

規則性と解法例

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2013年11月22日 (金)

2点間の最短ルートは?(大阪桐蔭中学 2006年)

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下の図のような底面の半径が5cmの円すいがあります。

      Pic_3475q

(1)この円すいの表面積を求めなさい。

(2)図のように、底面の円の上の点A から、頂点O と A のまん中の点Bまでひもを巻きつけます。ひもの長さが最も短くなるようにして、この円すいをOA で切り開いて作った展開図の扇形を、このひもが巻きついてできた線で切ってできる2つの図形のうち、点O を含む方の面積を求めなさい。

図解と解法例

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2013年11月20日 (水)

貯水池のニュートン算(慶應義塾湘南藤沢中等部 2012年)

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1500t (1t =1000kg)の水がたまっている貯水池があります。この貯水池には毎日一定の量の水が流入していることがわかっているので、毎日一定の量の水を放水して 30日間で貯水池を空にする計画を立てました。ところが大雨が降り、放水を始めてから最初の5日間は水の流入量が普段の1.4倍になってしまいました。そのため、天候が良くなり流入量が普段どおりに戻った6日目に計画を変えて、6日目から放水量を前日までの1.2倍にしたところ全部で 25日間かかって貯水池を空にすることができました。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)普段の1日あたりの水の流入量は何 t ですか。

(2)6日目以降の1日あたりの放水量は何 t ですか。

(3)当初の予定通り 30日間で貯水池を空にするには、6日目以降の放水量を1日あたり何 t にすればよかったですか。

401

考え方と解法例

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2013年11月19日 (火)

数字はどんな規則で並んでいるか?(市川中学 2012年)

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下の図1のように、ある規則に従って数が並んでいます。

  Pic_3585q

たとえば、2行目3列目の数は 8 です。このとき、次の問に答えなさい。

(1)8行目8列目の数はいくつになりますか。

(2)下の図2は、図1の一部で、4つの数 ア、イ、ウ、エ が並んでいて、ア、イ、ウ、エ の合計が351になるとき、ア、イ、ウ、エ のうち最も大きい数はいくつですか。例えば図1の太線で囲まれた数の合計は 35で、最も大きい数は 13 です。

          Pic_3586q

規則性と解法例

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2013年11月18日 (月)

小学生にもこんな問題が!(山手学院中学 2010年)

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119/75、115/73、111/71、・・・のように、順番に分母からは2を引いて、分子からは4を引いて分数を作ります。このとき、次の問に答えなさい。

(1)10番目の分数を答えなさい。

(2) 1に等しくなるのは何番目ですか。

(3)次に、119/75、123/77、127/79、・・・ のように、分母には順番に2を加え、分子には4を加えて分数を作ります。

「この分数は【 ア 】に近づいていきますが、【 ア 】より大きくなることはありません。」

【 ア 】にあてはまる整数はいくつですか。

考え方と解法例

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2013年11月17日 (日)

正六角形の部分面積(早稲田実業学校中等部 2005年)

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下の正六角形の面積は216c㎡です。

は各辺を3等分する点です。

色部分の面積は何c㎡になりますか。

1

図解と解法例

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2013年11月16日 (土)

基本要素がたくさん詰まった面積問題(フェリス女学院中学 2006年)

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Pic_0999a_2

上の図は、3つの大きさの異なる正方形と1つの円を重ねたものです。それぞれの正方形の対角線の交点は円の中心と重なります。このとき次の問に答えなさい。

(1)青い正方形の面積を求めなさい。

(2)円の面積を求めなさい。

(3)緑の部分の面積を求めなさい。

図解と解法例

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2013年11月15日 (金)

操作計算の条件を満たす数は?(麻布中学 2012年)

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1以上の2つの整数に対し、それぞれの数をそれらの最大公約数で割った商の和を計算することを考えます。

たとえば

18 と 12 の最大公約数は 6 なので、

18÷6+12÷6 = 3+2 = 5

となります。

このことを【18,12】=5 と表すことにします。

このとき次の問に答えなさい。

(1)【 ア、イ 】=8 となるような ア、イ の組のうち、ア、イ の和が 16 となるようなものを4つ答えなさい。

(2)【 12、ウ 】=8 を満たす整数 ウ を2つ答えなさい。

(3)【 30、エ 】=9 を満たす整数 エ をすべて答えなさい。

考え方と解法例

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2013年11月13日 (水)

給水と排水の関係グラフを読む!(鎌倉女学院中学 2009年)

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下の図1のような容積が600L の直方体の形をした水そうがあります。水そうには給水管A と排水管B がついていて、次のように給水と排水がくり返されます。

① 水面の高さが30cm になると、Bが閉じて、同時にAが開く。

② 水面がある高さになると再びBが開き、満水になるとAだけ閉じる。

      Pic_2242q

A,B から出る水の量はそれぞれ一定で、その比は、9:5 です。下の図2は、ある時間帯の時刻と水面の高さの関係を表したものです。このとき、次の問に答えなさい。

Pic_2243q_2

(1)排水管B からは毎分何L の水が排水されますか。

(2)図2のグラフの□にあてはまる数を求めなさい。

(3)満水になってから、次に満水になるまで何分かかりますか。

グラフの読み方と解法例

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2013年11月12日 (火)

石の置き方は何通り?(ラ・サール中学 2013年)

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下の図1のように、正三角形の各頂点と各辺のまん中にそれぞれ黒石か白石を置きます。その際、回転して同じになるものは同じ置き方とみなします。たとえば、下の図1と図2は同じ置き方です。このとき、次の問に答えなさい。

  Pic_3276q

(1)黒石が2か所となる置き方は何通りですか。

(2)黒石が3か所となる置き方は何通りですか。

(3)置き方は全部で何通りですか。6か所すべてが同じ色でもかまいません。

図解と解法例

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2013年11月11日 (月)

円錐の側面積は? (世田谷学園中学 2011年)

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下の図は、3辺の長さが、3cm、4cm、5cmの直角三角形です。

       Pic_2295q

(1)BD の長さを求めなさい。

(2)AC を軸(じく)としてこの図形を1回転させたときにできる立体の表面積を小数第2位を四捨五入して答えなさい。

考え方と解法例

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2013年11月10日 (日)

規則性の計算問題(浅野中学 2005年)

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連続した奇数の和を求める方法を考えます。たとえば、1つの○、3つの×、5つの☆、7つの△を下の図1のようにカギ型に並べると、縦4つ、横4つの正方形状に並びます。このことを参考にして、次の問の【 B 】、【 C 】にあてはまる数をそれぞれ求めなさい。

         Pic_2611q

(ア) 1+3+5+・・・+49+51=【 B 】×【 B 】

(イ) 1+3+5+・・・+【 C 】=3600

規則性と解法例

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2013年11月 9日 (土)

半円の回転移動(横浜共立学園中学 2013年)

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半径4cmの半円が直線L 上を下の図のアの位置からウの位置まで、すべらずに1回転します。このとき、次の問に答えなさい。

Pic_3579q

(1)半円が図のイの位置からウの位置まで転がる間に半円の曲線部分が通ってできる図形の周りの長さは何cmですか。また、その面積は何c㎡ ですか。

(2)半円が図のアの位置からウの位置まで転がるとき、半円の中心が通ってできる線の長さは何cmですか。

図解と解法例

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2013年11月 8日 (金)

角度の和は?(暁星中学 2013年)

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下の図のような全てのマスが正方形の方眼紙に線を引き、

角ア、イを作りました。ア+イ の大きさを答えなさい。

   

Pic_3565q_2

作図と解法例

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2013年11月 7日 (木)

歩数と速さの重要な基本問題(芝中学 2013年)

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A君が4歩進む間にB君は5歩進み、A君が9歩で進む道のりをB君は10歩で進みます。このとき、A君とB君の進む速さの比を最も簡単な整数の比で答えなさい。

720

考え方と解法例

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2013年11月 6日 (水)

100円と50円を10円に(豊島岡女子学園中学 2013年)

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100円玉と50円玉を10円玉に両替えすることを考えます。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)100円玉と50円玉が合わせて15枚あり、すべて10円玉に両替したところ、合わせて95枚になりました。このとき100円玉は何枚ありましたか。

(2)100円玉と50円玉が何枚かずつあり、100円玉のうち【 ア 】枚を10円玉に、50円玉のうち【 イ 】枚を10円玉に両替したところ、合わせて87枚増えました。このとき、【 ア 】にあてはまる数の中で一番大きい数はいくつですか。

Ilm20_aa14017s Ilm20_aa14016s Ilm20_aa14015s

考え方と解法例

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2013年11月 5日 (火)

カードゲームの場合の数((立教新座中学 2012年)

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1,2,3,4,5 の数字が書かれている 5枚のカードをよく混ぜて1枚引き、そのカードを元に戻します。これをくり返し、同じ数字のカードが出たら終了とし、それまでに出たカードの数字の合計を得点とします。たとえば、【1】、【2】、【1】の順でカードを引いた場合、3回で終了し、得点は 4点です。このとき、次の問に答えなさい。

(1)最大何回までカードを引くことができますか。また、最高点は何点ですか。

(2)4回で終了したとき、得点が8点になるカードの引き方は何通りありますか。

(3)得点が 8点で終了するカードの引き方は何通りありますか。

Play072s

考え方と解法例

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2013年11月 4日 (月)

木の葉形面積の移動(白陵中学 2003年)

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図のように、1辺が4cmの正方形が6個と、その中に円があります。色のついた部分の面積を求めなさい。

Pic_0326

図解と解法例

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2013年11月 2日 (土)

長方形のたてと横の長さは?(東邦大学付属東邦中学 2006年)

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たてと横の長さがそれぞれ等しい同じ大きさの2つの長方形があります。その長方形は横の長さの方がたての長さより大きいとします。図1のように,2つの長方形の横をぴったり合わせてできる図形の周(太線部分)の長さは23cmです。図2のように2つの長方形のたてと横を合わせてできる図形の周(太禄部分)の長さは31cmです。

このとき,次の問いに答えなさい。

(1)この長方形のたてと横の長さの和は何cmですか。

(2)この長方形のたてと横の長さはそれぞれ何cmですか。

1_2 

考え方と解法例

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2013年11月 1日 (金)

いくつボールを持っている?(慶應義塾中等部 2013年)

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A君、B君、C君、D君の4人がそれぞれ何個かボールを持っています。A君とB君の持っているボールの数の比は2:3です。C君はA君の2と1/3倍のボールを持っています。D君はA君より2個多くボールを持っています。4人の持っているボールの数の合計が107個のとき、C君の持っているボールの数は何個ですか。

Ilm11_bc07010s

考え方と解法例

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