速さの比、時間の比（開成中学 ２０１３年）

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Ａ地点からＢ地点に向かって一定の速さで流れている川があります。この川のＡ地点からボールを流し、同時にＢ地点からＡ地点に向けて船が出発しました。船がＡ地点で折り返して、Ｂ地点まで一往復したところ、船がＢ地点に到着してから42秒後にボールもＢ地点に到着しました。
船がＢ地点からＡ地点まで行くのにかかった時間は、船がＡ地点からＢ地点まで行くのにかかった時間の２．２５倍でした。船の静水での速さは一定として以下の問いに答えなさい。

(１)ボールがＡ地点を出発してからＢ地点に到着するまでに何分何秒かかりましたか。

(２)船とボールが出発してから、

　　(ア)最初に出会うまでにかかった時間、

　　(イ)船がボールに追いつくまでにかかった時間、

をそれぞれ求めなさい。

考え方と解法例

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回転体の体積と表面積（桜蔭中学 ２０１２年）

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下の図で，三角形ＡＢＣはＡＢ＝２６ｃｍ，ＢＣ＝１０ｃｍ，ＣＡ＝２４ｃｍの直角三角形です。また，四角形ＡＣＤＥは長方形で，ＣＤ＝５ｃｍです。四角形ＡＢＤＥを，直線ＡＣのまわりに１回転してできる立体について，次の間いに答えなさい。

（１）体積を求めなさい。ただし，円すいの体積は

      （底面積）×（高さ）÷３で求めることができます。

（２）表面積を求めなさい。

回転体と解法例

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どんな増え方をするか？（須磨学園中学 2013年）

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下の図のように黒石と白石を一段ずつ交互に規則正しく並べていきます。このとき、次の問に答えなさい。

　　

（１）８段目まで並べたとき、石の個数は全部で何個になりますか。

（２）１０段目まで並べたとき、黒石と白石の個数の差は何個になりますか。

（３）黒石と白石の個数の差が ６６個 になるのは、何段目まで並べたときですか。

増え方の規則性と解法例

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２人が次に出会うのはいつか？（白百合学園中学 2012年）

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上の図のような長方形の土地ＡＢＣＤ、ＡＥＦＧ の周囲を、

桜子さんは Ａ → Ｂ → Ｃ → Ｄ → Ａ → Ｂ → Ｃ → ・・・

菊子さんは Ａ → Ｅ → Ｆ → Ｇ → Ａ → Ｅ → Ｆ → ・・・

の順で Ａ を同時に出発し、２人とも毎分４８ｍ の速さで歩き続けます。２人がＢで別れた後に初めて出会うのは歩き始めてから何秒後ですか。

考え方と解法例

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補助線をどこに引くか？（灘中学 2013年）

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下の図の直角三角形ＡＢＣ において、点Ｍは辺ＡＢ のまん中の点です。また、角アの大きさは１５度、ＡＣ と ＭＤ の長さはともに ５ｃｍ です。このとき、角イ の大きさと、ＢＤ の長さを求めなさい。

　

図解と解法例

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得点合計の組み合わせは？（早稲田中学 2006年）

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Ａ君、Ｂ君、Ｃ君の３人でゲームをしました。１回のゲームについて勝者が１人だけ決まったときは、その勝者の得点を３点とし、他の２人の得点を０点とします。それ以外の場合は引き分けとし、３人の得点をそれぞれ１点とします。ゲームを２０回したとき、次の問に答えなさい。

（１）Ａ君、Ｂ君の得点の合計がそれぞれ２９点、１４点でした。このときＣ君の得点の合計は何点ですか。

（２）Ａ君の得点の合計が３１点だった場合、Ｂ君の得点の合計は何通り考えられますか。

（３）引き分けが６回あり、得点の合計は３人とも異なり、多い順にＡ君、Ｂ君、Ｃ君となりました。Ａ君、Ｂ君、Ｃ君の得点の合計の組み合わせは何通り考えられますか。

考え方と解法例

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２人が出会った時刻は？（関西学院中学 2010年）

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太郎君は午前９時にＡ町を出発し、９ｋｍはなれたＢ町に午後１１時に着きました。途中１回休みましたが、休んだ後は休む前の１．５倍の速さで歩きました。次郎君は同じ日の午前９時にＢ町を出発してＡ町に向かいました。途中１回休みましたが、歩く早さは変えず、太郎君より１５分早くＡ町に着きました。休んだ後の２人の歩く速さと歩いた時間は同じでした。下のグラフは、その様子を表したものです。２人が出会った時刻は、何時何分何秒ですか。

考え方と解法例

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ｎ進法の規則性を見つける問題（海城中学 2013年）

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０，１，２ の３つの数字のみを使って数を作り、次のように小さい方から順に並べます。

１，２，１０，１１，１２，２０，２１，２２，１００，１０１，１０２，・・・

このとき次の問に答えなさい。

（１）１２２番目の数は何ですか。

（２）２２２２ は初めから数えて何番目になりますか。

（３）記号 <＋>　は、

（ｍ番目の数）<＋>（ｎ番目の数）＝（ｍ＋ｎ番目の数）

の計算を表すこととします。

たとえば、４番目の数は１１、５番目の数は１２、９番目の数は１００ なので、１１<＋>１２＝１００　となります。

このとき、次の計算をしなさい。

（ア）　１１<＋>２２　　　　　　　

（イ）　（ ２０１２ <＋> ２１０２ ） <＋> ２００２

規則性と解法例

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２点間の最短ルートは？（大阪桐蔭中学 ２００６年）

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下の図のような底面の半径が５ｃｍの円すいがあります。

　　　　　　

（１）この円すいの表面積を求めなさい。

（２）図のように、底面の円の上の点Ａ から、頂点Ｏ と Ａ のまん中の点Ｂまでひもを巻きつけます。ひもの長さが最も短くなるようにして、この円すいをＯＡ で切り開いて作った展開図の扇形を、このひもが巻きついてできた線で切ってできる２つの図形のうち、点Ｏ を含む方の面積を求めなさい。

図解と解法例

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貯水池のニュートン算（慶應義塾湘南藤沢中等部 2012年）

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１５００ｔ （１ｔ ＝１０００ｋｇ）の水がたまっている貯水池があります。この貯水池には毎日一定の量の水が流入していることがわかっているので、毎日一定の量の水を放水して ３０日間で貯水池を空にする計画を立てました。ところが大雨が降り、放水を始めてから最初の５日間は水の流入量が普段の１．４倍になってしまいました。そのため、天候が良くなり流入量が普段どおりに戻った６日目に計画を変えて、６日目から放水量を前日までの１．２倍にしたところ全部で ２５日間かかって貯水池を空にすることができました。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）普段の１日あたりの水の流入量は何 ｔ ですか。

（２）６日目以降の１日あたりの放水量は何 ｔ ですか。

（３）当初の予定通り ３０日間で貯水池を空にするには、６日目以降の放水量を１日あたり何 ｔ にすればよかったですか。

考え方と解法例

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数字はどんな規則で並んでいるか？（市川中学 ２０１２年）

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下の図１のように、ある規則に従って数が並んでいます。

　　

たとえば、２行目３列目の数は ８ です。このとき、次の問に答えなさい。

（１）８行目８列目の数はいくつになりますか。

（２）下の図２は、図１の一部で、４つの数 ア、イ、ウ、エ が並んでいて、ア、イ、ウ、エ の合計が３５１になるとき、ア、イ、ウ、エ のうち最も大きい数はいくつですか。例えば図１の太線で囲まれた数の合計は ３５で、最も大きい数は １３ です。

　　　　　　　　　　

規則性と解法例

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小学生にもこんな問題が！（山手学院中学 2010年）

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１１９/７５、１１５/７３、１１１/７１、・・・のように、順番に分母からは２を引いて、分子からは４を引いて分数を作ります。このとき、次の問に答えなさい。

（１）１０番目の分数を答えなさい。

（２） １に等しくなるのは何番目ですか。

（３）次に、１１９/７５、１２３/７７、１２７/７９、・・・ のように、分母には順番に２を加え、分子には４を加えて分数を作ります。

「この分数は【　ア　】に近づいていきますが、【　ア　】より大きくなることはありません。」

【　ア　】にあてはまる整数はいくつですか。

考え方と解法例

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正六角形の部分面積（早稲田実業学校中等部 ２００５年）

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下の正六角形の面積は２１６ｃ㎡です。

●は各辺を３等分する点です。

色部分の面積は何ｃ㎡になりますか。

図解と解法例

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基本要素がたくさん詰まった面積問題（フェリス女学院中学 2006年）

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上の図は、３つの大きさの異なる正方形と１つの円を重ねたものです。それぞれの正方形の対角線の交点は円の中心と重なります。このとき次の問に答えなさい。

（１）青い正方形の面積を求めなさい。

（２）円の面積を求めなさい。

（３）緑の部分の面積を求めなさい。

図解と解法例

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操作計算の条件を満たす数は？（麻布中学 ２０１２年）

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１以上の２つの整数に対し、それぞれの数をそれらの最大公約数で割った商の和を計算することを考えます。

たとえば

１８ と １２ の最大公約数は ６ なので、

１８÷６＋１２÷６ ＝ ３＋２ ＝ ５

となります。

このことを【１８，１２】＝５　と表すことにします。

このとき次の問に答えなさい。

（１）【　ア、イ　】＝８　となるような ア、イ の組のうち、ア、イ の和が １６ となるようなものを４つ答えなさい。

（２）【 １２、ウ 】＝８ を満たす整数 ウ を２つ答えなさい。

（３）【 ３０、エ 】＝９ を満たす整数 エ をすべて答えなさい。

考え方と解法例

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給水と排水の関係グラフを読む！（鎌倉女学院中学 2009年）

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下の図１のような容積が６００Ｌ の直方体の形をした水そうがあります。水そうには給水管Ａ と排水管Ｂ がついていて、次のように給水と排水がくり返されます。

①　水面の高さが３０ｃｍ になると、Ｂが閉じて、同時にＡが開く。

②　水面がある高さになると再びＢが開き、満水になるとＡだけ閉じる。

　　　　　　

Ａ，Ｂ から出る水の量はそれぞれ一定で、その比は、９：５ です。下の図２は、ある時間帯の時刻と水面の高さの関係を表したものです。このとき、次の問に答えなさい。

（１）排水管Ｂ からは毎分何Ｌ の水が排水されますか。

（２）図２のグラフの□にあてはまる数を求めなさい。

（３）満水になってから、次に満水になるまで何分かかりますか。

グラフの読み方と解法例

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石の置き方は何通り？（ラ・サール中学 2013年）

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下の図１のように、正三角形の各頂点と各辺のまん中にそれぞれ黒石か白石を置きます。その際、回転して同じになるものは同じ置き方とみなします。たとえば、下の図１と図２は同じ置き方です。このとき、次の問に答えなさい。

　　

（１）黒石が２か所となる置き方は何通りですか。

（２）黒石が３か所となる置き方は何通りですか。

（３）置き方は全部で何通りですか。６か所すべてが同じ色でもかまいません。

図解と解法例

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円錐の側面積は？ （世田谷学園中学 2011年）

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下の図は、３辺の長さが、３ｃｍ、４ｃｍ、５ｃｍの直角三角形です。

　　　　　　　

（１）ＢＤ の長さを求めなさい。

（２）ＡＣ を軸（じく）としてこの図形を１回転させたときにできる立体の表面積を小数第２位を四捨五入して答えなさい。

考え方と解法例

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規則性の計算問題（浅野中学 2005年）

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連続した奇数の和を求める方法を考えます。たとえば、１つの○、３つの×、５つの☆、７つの△を下の図１のようにカギ型に並べると、縦４つ、横４つの正方形状に並びます。このことを参考にして、次の問の【　Ｂ　】、【　Ｃ　】にあてはまる数をそれぞれ求めなさい。

　　　　　　　　　

（ア） １＋３＋５＋・・・＋４９＋５１＝【　Ｂ　】×【　Ｂ　】

（イ） １＋３＋５＋・・・＋【　Ｃ　】＝３６００

規則性と解法例

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半円の回転移動（横浜共立学園中学 2013年）

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半径４ｃｍの半円が直線Ｌ 上を下の図のアの位置からウの位置まで、すべらずに１回転します。このとき、次の問に答えなさい。

（１）半円が図のイの位置からウの位置まで転がる間に半円の曲線部分が通ってできる図形の周りの長さは何ｃｍですか。また、その面積は何ｃ㎡ ですか。

（２）半円が図のアの位置からウの位置まで転がるとき、半円の中心が通ってできる線の長さは何ｃｍですか。

図解と解法例

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角度の和は？（暁星中学 2013年）

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下の図のような全てのマスが正方形の方眼紙に線を引き、

角ア、イを作りました。ア＋イ の大きさを答えなさい。

作図と解法例

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歩数と速さの重要な基本問題（芝中学 ２０１３年）

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A君が４歩進む間にB君は５歩進み、A君が９歩で進む道のりをB君は１０歩で進みます。このとき、A君とB君の進む速さの比を最も簡単な整数の比で答えなさい。

考え方と解法例

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１００円と５０円を１０円に（豊島岡女子学園中学 2013年）

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１００円玉と５０円玉を１０円玉に両替えすることを考えます。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）１００円玉と５０円玉が合わせて１５枚あり、すべて１０円玉に両替したところ、合わせて９５枚になりました。このとき１００円玉は何枚ありましたか。

（２）１００円玉と５０円玉が何枚かずつあり、１００円玉のうち【　ア　】枚を１０円玉に、５０円玉のうち【　イ　】枚を１０円玉に両替したところ、合わせて８７枚増えました。このとき、【　ア　】にあてはまる数の中で一番大きい数はいくつですか。

考え方と解法例

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カードゲームの場合の数（（立教新座中学 2012年）

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１，２，３，４，５ の数字が書かれている ５枚のカードをよく混ぜて１枚引き、そのカードを元に戻します。これをくり返し、同じ数字のカードが出たら終了とし、それまでに出たカードの数字の合計を得点とします。たとえば、【１】、【２】、【１】の順でカードを引いた場合、３回で終了し、得点は ４点です。このとき、次の問に答えなさい。

（１）最大何回までカードを引くことができますか。また、最高点は何点ですか。

（２）４回で終了したとき、得点が８点になるカードの引き方は何通りありますか。

（３）得点が ８点で終了するカードの引き方は何通りありますか。

考え方と解法例

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木の葉形面積の移動（白陵中学 2003年）

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図のように、１辺が４ｃｍの正方形が６個と、その中に円があります。色のついた部分の面積を求めなさい。

図解と解法例

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長方形のたてと横の長さは？（東邦大学付属東邦中学 ２００６年）

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たてと横の長さがそれぞれ等しい同じ大きさの２つの長方形があります。その長方形は横の長さの方がたての長さより大きいとします｡図１のように,２つの長方形の横をぴったり合わせてできる図形の周（太線部分）の長さは23cmです｡図２のように２つの長方形のたてと横を合わせてできる図形の周（太禄部分）の長さは31cmです。

このとき，次の問いに答えなさい。

(1)この長方形のたてと横の長さの和は何ｃｍですか。

(2)この長方形のたてと横の長さはそれぞれ何ｃｍですか。

 

考え方と解法例

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いくつボールを持っている？（慶應義塾中等部 ２０１３年）

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Ａ君、Ｂ君、Ｃ君、Ｄ君の４人がそれぞれ何個かボールを持っています。Ａ君とＢ君の持っているボールの数の比は２：３です。Ｃ君はＡ君の２と１/３倍のボールを持っています。Ｄ君はＡ君より２個多くボールを持っています。４人の持っているボールの数の合計が107個のとき、Ｃ君の持っているボールの数は何個ですか。

考え方と解法例

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