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2013年12月

2013年12月31日 (火)

円すいの性質を問う良問(函館ラ・サール中学 2011年)

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下の図1のような円すいがあります。図2はこの円すいの展開図です。この円すいの側面上に、点A から点B まで糸が最短になるように巻くと、糸の長さは25cm になりました。このとき、次の問に答えなさい。

  Pic_3133q

(1)底面の円の半径は何cmですか。

(2)糸上の点と、点Oを結んだ線のうち、一番短い線の長さは何cm ですか。

図解と解法例

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2013年12月29日 (日)

1~6までの数の魔方陣(桐蔭学園中学 2006年)

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Pic_0916q

上の図のAからFには、数字の1から6までのどれかが1つずつ入り、Aにはすでに「1」が入っています。

四角形B,C,F,D の4つの頂点に入る数の和、 

四角形C,E,D,A の4つの頂点に入る数の和、

四角形B,E,F,A の4つの頂点に入る数の和、

がそれぞれ等しいとき、E に入る数はいくつですか。

考え方と解法例

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2013年12月28日 (土)

直角三角形内の正方形(鎌倉学園中学 2013年)

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下の図のように、AB=5cm、BC=10cm、角ABC=90度の直角三角形ABC の内部に5つの正方形があります。

Pic_3624q

次の問に答えなさい。

(1) ①の正方形の1辺の長さを求めなさい。

(2) ②の正方形の面積を求めなさい。

(3) ⑤の正方形の1辺の長さを求めなさい。

考え方と解法例

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2013年12月27日 (金)

台形の周の長さは?(桐朋中学 2006年)

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下の図のように、長方形ABCDを面積の等しい3つの部分に分けました。BE、DF の長さはそれぞれ 3cm、8cmです。

このとき、次の問に答えなさい。

  Pic_3626q

(1)台形AEFDの周の長さは、台形EBCFの周の長さより何cm長いですか。

(2)CF の長さは何cmですか。

(3)GDの長さが4cmのとき、AGの長さは何cmですか。

考え方と解法例

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2013年12月26日 (木)

砂糖水の濃度比は?(海城中学 2013年)

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濃度の異なる砂糖水が入った3つの容器A,B,C があります。AとBの容器からそれぞれ100gずつ砂糖水を取り出して混ぜた砂糖水の濃度と、BとCの容器からそれぞれ100gずつ砂糖水を取り出して混ぜた砂糖水の濃度の比は 3 : 2 でした。Aの容器から200g、Bの容器から100gの砂糖水を取り出して混ぜた砂糖水の濃度と、Bの容器から200g、Cの容器から100gの砂糖水を取り出して混ぜた砂糖水の濃度の比は 4 : 3でした。また、Aから100g、Bから200g、Cから100gの砂糖水を取り出して混ぜた砂糖水の濃度は17.5%でした。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)A,B,C の容器の砂糖水の濃度の比を最も簡単な整数の比で表してください。

(2)Aの容器の砂糖水の濃度は何%ですか。

R4b4a004cs

考え方と解法例

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2013年12月25日 (水)

プールのニュートン算(奈良学園登美ヶ丘中学 2009年)

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プールに常に一定の割合で水道管から水を入れており、満水になった水は一定の割合であふれ出ています。この状態でプールの水をすべてくみ上げるには、ポンプ3台を使うと24時間かかり、ポンプ8台を使うと4時間かかります。このとき、次の問に答えなさい。ただし、どのポンプも一定時間に水をくみ上げる量は同じものとします。

(1)水を入れる割合はポンプ何台分ですか。

(2)この状態で、満水のプールの水をポンプ6台を使ってくみ上げると何時間かかりますか。

Ilm03_ab03029s

考え方と解法例

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2013年12月24日 (火)

食塩水問題をてんびん図で!(東大寺学園中学 2013年)

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濃度が 7%の食塩水ア を A g と 食塩水イ を B g 混ぜると、

濃度が 6%の食塩水ができました。

次に、ア を B g とイ を A g 混ぜると、

濃度が 5%の食塩水ができました。

このとき、食塩水イ の濃度を求めなさい。

Scl007s

てんびん図による解法例

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2013年12月23日 (月)

操作計算の規則性(豊島岡女子学園中学 2005年)

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与えられた整数の各位の数字を、大きい順に並べかえた数と小さい順に並べかえた数の差を求める操作を考えます。例えば203 は各位の数字を小さい順に並べると、023 になりますが、これは 23 と考え、操作を1回行うと、

320-23=297

となります。また、719 にこの操作を2回行うと、

1回目 : 971-179=792

2回目 : 972-279=693

となります。このとき、次の問に答えなさい。

(1)1977 にこの操作を1回行ったとき、操作の後の数を答えなさい。

(2)ある 3ケタの数にこの操作を2回行いました。1回目の操作の後、3ケタの各位の数の和は 18、積が 162 になりました。このとき、2回目の操作の後の数を答えなさい。

(3)(2)の後、さらにこの操作を 2005回行いました。操作の後の数を答えなさい。

考え方と解法例

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2013年12月21日 (土)

回転体の体積差は?(本郷中学 2012年)

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Pic_3616q

上の図のような台形があります。この台形を、辺AD を軸にして回転させてできる立体P の体積は、辺BC を軸に回転させてできる立体Q の体積より何立法cm大きいですか。

考え方と解法例

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2013年12月20日 (金)

多くの中学で出題された図形問題(慶應義塾中等部 2001年、大妻中学 2007年、他)

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下の図アのような、半径6cm、中心角90度の扇形の円周上に、3等分する点A,Bがあります。このとき、図の色のついた部分の面積を求めなさい。

      Pic_0443_2

考え方と解法例

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2013年12月19日 (木)

時間内に全部解けるかな?(巣鴨中学 2012年)

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ある小学校では、学年における1クラスの人数とクラス数を【1クラス35人をこえないように、できるだけ少ないクラス数にする】と決めています。たとえば、学年の児童の人数が35人であれば1クラスですが、36人であれば2クラスになります。また、各クラスの人数の差が1人以下になるようにします。この小学校の6年生が4クラスあるとき、次の問に答えなさい。

(1)6年生の児童の人数は何人以上何人以下と考えられますか。

(2)6年生の男子の人数は4の倍数だったので、各クラスの男子の人数を同じにしました。また、6年生の女子の人数は男子の人数より5人少ない人数でした。男子の1クラスあたりの人数は、何人以上何人以下と考えられますか。

(3)(2)のとき、6年生の各クラス内で、次のように班分けをしました。

(ア) 1つの班の人数は4人または5人です。

(イ) 1つの班は、男子のみまたは女子のみです。

このとき、4つのクラスで男子4人の班と女子4人の班の合計は最大で何班できると考えられますか。

Pog007s

考え方と解法例

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2013年12月18日 (水)

基本的な角度問題です!(城北中学 2012年)

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下の図のように、AC=BC、角BAC=59°の二等辺三角形と、AB,AC の長さをそれぞれ1辺の長さとする正三角形ABD,ACE があります。角ADC=30°のとき、BE とCD が交わってできる、図の角アの大きさを求めなさい。

Pic_2955q

解法手順と答え

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2013年12月17日 (火)

立体図形の総合問題(桜蔭中学 2013年)

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Pic_3601q

上の図1のような台形柱があります。この立体の各面の形は正方形か長方形か台形です。このとき、次の問に答えなさい。

(1)この立体の体積と表面積を求めなさい。

(2)下の図2のように、面アの対角線の交点を中心とする半径5cmの円をA とします。そしてA の形の穴を面アと垂直に、この立体を突き抜けるようにあけます。このとき穴をあけた後の立体の体積を求めなさい。

 Pic_3602q

(3)(2)でできた立体について、下の図3のように面イを12等分 して、青い正方形をBとします。Bの形の穴を面イと垂直に立体を突き抜けるようにあけます。このとき、穴をあけた後の立体の表面積を求めなさい。

 Pic_3603q_2

計算と解答例

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2013年12月16日 (月)

回転体の表面積(吉祥女子中学 2011年)

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下の図1は同じ大きさの正方形を4枚ぴったり合わせたものです。これを直線L を軸として1回転させたときにできる立体の表面積を求めなさい。

     Pic_3092q

回転体と解法例

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2013年12月15日 (日)

「何曜日になるか」計算(攻玉社中学 2009年)

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1

上の図はある年の4月のカレンダーです。この表で例えば金曜日の日付を7で割ると3あまり、土曜日の日付を7で割ると4あまるので、この2つの曜日の日付の和は7で割り切れ、積は7で割ると5あまります。
また、火曜日の日付は7で割り切れ、日曜日の日付は7で割ると5あまるので、この関係を

(金)+(土)=(火)、(金)×(土)=(日)のように表すことにします。

ただし、引き算については、引き算ができる日付の組み合わせのみ考えます。
次の□にあてはまるのは、何曜日ですか。

(1) (月)+(水)=(□)

(2) (金)-(日)=(□)

(3) (月)×(水)×(土)=(□)

(4) (木)×{(金)-(火)}-(水)×(日)=(□)

考え方と解法例

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2013年12月14日 (土)

マラソン競争の時間と距離(雙葉中学 2010年)

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太郎君と花子さんは 30.45kmのマラソン大会に出場しました。スタートから 4km進むごとに給水所があり、給水所を1回利用すると 40秒かかります。花子さんはすべての給水所を利用し、スタートからゴールまで分速145m で走りました。太郎君は、はじめは分速230m で走っていましたが、足が痛くなったので7分間休み、そこからは分速 78mで歩きました。太郎君は給水所を3回利用し、花子さんより 9分20秒遅れてゴールしました。このとき、次の問に答えなさい。

(1)花子さんはスタートからゴールまで何時間何分何秒かかりましたか。

(2)太郎君は何km歩きましたか。

Ilm19_aa01022s Ilm19_aa01016s_2 

考え方と解法例

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2013年12月13日 (金)

スマートな解法で!(早稲田中学 2008年)

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図は2つのおうぎ形を組み合わせたものです。Aのおうぎ形は半径が1cmで,面積が2c㎡です。Bのおうぎ形は半径が10cmです。Bのおうぎ形の面積は何c㎡ですか。ただし,円周率は3.14とします。

1

考え方と解法例

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2013年12月12日 (木)

平均算の応用問題(神戸女学院中学 2007年)

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あるクラスでの試験の平均点は63点でした。このうち最高点の人の点数を除いた平均点は62点、最低点の人の点数を除いた平均点は64.5点となりました。ただし、最高点と最低点の差は65点でした。  

(1)このクラスの人数を求めなさい。

(2)最高点の人の点数を求めなさい。

Ilm07_aa02003s

考え方と解法例

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2013年12月11日 (水)

面積比と長さ比(慶應義塾普通部 2010年)

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下の図1の三角形ABC があります。BD : DC = 1 : 3 で、AE : EC = 3 : 2 です。直線AF が四角形ABDE の面積を二等分するとき、DF : FE を求めなさい。

Pic_3606q

図解と解法例

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2013年12月10日 (火)

影の部分の面積合計は?(女子学院中学 2013年)

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図はOを中心とする円の一部です。影をつけた部分の面積の和は何c㎡ですか。円周率は3.14とします。

1

考え方と解法例

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2013年12月 9日 (月)

重なった立方体の切り口は?(久留米大学附設中学 2012年)

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下の図のように、1辺の長さが 6cmの立方体の上に、1辺の長さが 3cmの立方体を置きます。3点A,B,C を通る平面でこの立体を切ったとき、次のような立体の体積を求めなさい。ただし、点A,B,D は頂点、点C は辺の中点で、点A から点Dまで結ぶ辺は一直線になっています。

     Pic_3462q

(1)小さい方の立方体で、この平面より下側の部分

(2)大きい方の立方体で、この平面より下側の部分

図解と解法例

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2013年12月 8日 (日)

6以下になる場合の数は?(公文国際学園中等部 2009年)

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大、中、小のサイコロを1個ずつ、合計3個を同時に投げるとき、

出た目のかけ算の結果が6以下になるのは何通りありますか。

Sai SaiSai

数え方と解法例

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2013年12月 7日 (土)

男子と女子の人数は?(海城中学 2010年)

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ある中学校の1年生を男子6人で1班、女子8人で1班に分けると、男女で班の数が同じになり、1人も余りませんでした。また、男子7人で1班、女子9人で1班に分けると、男女で班の数が同じになり、男子は1人も余らず、女子は4人余りました。このとき、次の問に答えなさい。

(1)男子と女子の人数をそれぞれ求めなさい。

(2)男子と女子で1班の人数を同じにしたところ、女子の班の数が男子の班の数より2班多くなり、1人も余りませんでした。このとき、1班の人数は何人ですか。

Ilm22_bc04025s

考え方と解法例

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2013年12月 6日 (金)

大きなバケツと小さなバケツ(浦和明の星女子中学 2013年)

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直方体の形をした水そう A,Bがあり、この2つは形も大きさも同じです。Aには 40cmの高さまで水が入っていて、Bは空になっています。また、これらの水そうに入っている水の量を調節するための大きなバケツと小さなバケツがあります。AとBに入っている水の量を同じにするために、大きなバケツを使ってAからBへ 6回水を移したところ、A の水面の高さがB の水面の高さより 3.2cm低くなってしまいました。そこで、小さなバケツを使ってBからAに1回だけ水を移したところ、Aの水面の高さはBの水面の高さより 2.4cm高くなりました。このとき、次の問に答えなさい。

(1) (大きなバケツに入る水の量)と(小さなバケツに入る水の量)の比を、最も簡単な整数の比で答えなさい。

(2) Aに40cmの高さまで水が入っている状態から、大きなバケツと小さなバケツを使ってAからBへ何回か水を移し、AとBに入っている水の量をちょうど同じにするためには、それぞれのバケツで何回ずつ水を移せばよいですか。

Hse2074s Hse2074s

考え方と解法例

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2013年12月 5日 (木)

速さの比は?(大阪星光学院中学 2013年)

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X,Y,Z の3人が直線コースで競走をしました。Xがスタートした後にYがスタートし、その時間差の 2/3 の後に Z がスタートしました。コースの途中のA地点で 3人が横一線に並びました。A地点から204m先のB地点はコースの中間地点です。Z がB地点の先 36mを通過したとき、XはB地点の手前24mを通過しました。X がB地点を通過したのは、YがB地点を通過してから 6秒後でした。Z は自分が出発してから 90秒後にゴールに着きました。3人の速さはそれぞれ一定であったとして次の問に答えなさい。

(1)X と Z の速さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

(2)X と Y の速さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

(3)コースの全長は何mですか。

4141

グラフによる解法例

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2013年12月 4日 (水)

和と差から個数を考える!(学習院中等科 2010年)

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3つの品物A,B,C の1つあたりの値段は、それぞれ194円、85円、70円 です。このとき、次の問に答えなさい。

(1)A,B,C を合わせて16個買ったところ、代金が1676円でした。それぞれ何個買ったか求めなさい。ただし、どの品物も必ず1個は買うものとします。

(2)A,B,C を合わせていくつか買ったところ、代金が2000円でした。A,B,C をそれぞれ何個買ったか求めなさい。ただし、どの品物も必ず1個は買うものとします。

Ilm16_aa04003s

考え方と解法例

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2013年12月 3日 (火)

三角形の面積比は?(世田谷学園中学 2007年)

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下図において、AE:EC=7:6、BC:CF=4:3 です。

   Pic_0408

このとき、次の問に答えなさい。

(1)AD:DBを最も簡単な整数比で表すと、何対何ですか。

(2)三角形ABCの面積:三角形BDFの面積を最も簡単な整数比で表すと、何対何ですか。

参考図解と解法例

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2013年12月 2日 (月)

列車AとBの通過算(甲陽学院中学 2009年)

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平行にならぶ2本の線路上を、それぞれ列車A と列車Bが走っています。列車A が1215mの鉄橋を渡り始めてから渡り終わるまで80秒かかりました。また、2430mのトンネルに列車が入り終わってから、出始めるまでに、列車Aは2分25秒、列車Bは45秒かかりました。列車Bは列車Aを追いこすとき、追いこし始めてから追いこし終わるまでに10秒かかります。このとき、次の問に答えなさい。

(ア)列車Aの全長と速度(秒速)を答えなさい。

(イ)列車Bの全長と速度(秒速)を答えなさい。

Tuka

考え方と解法例

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2013年12月 1日 (日)

定価はいくらか?(桐朋中学 2006年)

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ある店で 2種類の商品A,Bを買いました。昨日は、Aは定価の1割引きで、Bは定価で売られていたので、Aを6個とBを1個買い、288円支払いました。今日は、Aは定価で、Bは定価より 30円安く売られていたので、Aを2個とBを2個買い、340円支払いました。商品A と商品B の定価をそれぞれ答えなさい。

Ilm16_aa04033s

考え方と解法例

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