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2014年1月

行き方は何通りあるか?(西大和学園中学 2014年)

図1のような道があります。
黒丸(●)の点から黒丸の点へは,「右上向き」「右向き」「右下向き」の3通りに,直進のみできます(図2)。ただし,黒丸のないところでは向きを変えられません。ここで,黒丸の点から黒丸の点を「1区間」と呼ぶことにします。
点Cと点Dが通れないとき,点Aから点Bまでを合計[4区間]で行く道順は全部で何通りあるでしょうか?

2

1

図解と答え

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今年、2014年の東大寺学園中学の問題から(東大寺学園中学 2014年)

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ある池のまわりの道を,A君は自転車で,B君は徒歩で,それぞれ一定の速さで回ります。A君は,午前9時にある地点Pを出発し,午前10時に池のまわりをちょうど5周回って地点Pを通過しました。B君は,午前9時4分に地点PをA君とは反対向きに出発しました。2人が3回目に出会ったのは午前9時30分でした。2人が最初に出会ったのは午前9時何分何秒でしたか。

Ilm13_ac06005s Lpsa2102cs

考え方と解法例

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今年、2014年の西大和学園中学の問題から(西大和学園中学 2014年)

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図のように長方形ABCDと三角形BCEがあり、DEとBCの交点を点Fとします。また、辺AB上にAG:GB=3:1となるような点Gをとり、点Gと点Fを結びます。FC=6cm、BE=3cmのとき、三角形AGFの面積は何c㎡になりすか。ただし、3点A、B、Eは一直線上にあります。 

1   

図解と解法例

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今年、2014年のラ・サール中学の問題から(ラ・サール中学 2014年)

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対角線の長さが10cmの正方形Aがあります。その1辺を半径とするおうぎ形Bと、対角線を半径とするおうぎ形Cを図のように作ります。

(ア)2つのおうぎ形の面積の比を求めなさい。

(イ)2つのおうぎ形の面積の差を求めなさい。

1

考え方と解法例

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今年、2014年の渋谷教育学園幕張中学の問題→場合の数(渋谷教育学園幕張中学 2014年)

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あるラーメン屋では下の表のようなセットメニューを販売しています。このラーメン屋では単品のメニューはなく、販売しているのは次の3つのセットだけです。

1

このとき、次の各問いに答えなさい。

(1)ある日、A、B、Cセットそれぞれの売り上げがあり、それらを合計すると、全部で7280円でした。この日、Aセットは何個売れましたか。

(2)このラーメン屋では毎週水曜日にセットメニュー500円セールを実施していて、BセットもCセットもすべてAセットと同じ500円となります。ある水曜日、開店前に8人の客が待っていました。8人の客のうち4人は500円玉だけ、他の4人は1000円札だけもっていました。このラーメン屋にはおつりに使う硬貨は1枚もなかったので、おつりが不足しないように500円玉と1000円札を1人ずつもらう順番をうまく工夫して販売しました。このとき、500円玉と1000円札をもらう順番は全部で何通りありますか。ただし、8人の客はそれぞれ1セットしか注文していません。

考え方と解法例

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今年、2014年の神戸女学院の立体問題から(神戸女学院中学部 2014年)

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1辺1cmのの立方体を下図のように、下から16個、9個、4個、1個と積み上げました。それぞれの立方体の頂点は、下の段の各立方体の面のまん中にあります。

(1)この立体の表面積を求めなさい。

(2)次に、白い5個の立方体を取り除き、新たな立体を作りました。この立体の表面積を求めなさい。ただし、立方体を取り除いても、立体はくずれないものとします。

Bandicam_20140124_080644437

図解と解法例

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今年、2014年の灘中学2日目→平均の規則性(灘中学 2014年)

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縦横に並んだ○の中に数を入れていきます。ただし、1つの○がその上下左右にある4つの○と短い線でつながっているとき、これら5つの○のうち中央にある○の中の数は、残りの4つの○の中の数の平均となるようにします。

例えば、

1

のとき、アには2と1/2、イには5、ウには11が入ります。

この規則にしたがって、次の(1)~(5)で、数の入っていない○の中に数を入れてください。

2

考え方と解法例

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今年、2014年の東大寺学園中の入試問題(東大寺学園中学 2014年)

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図の四角ABCDは1辺12cmの正方形で、点Pはその内部の点です。

三角形ABPの面積:三角形DAPの面積=3:4

三角形BCPの面積:三角形CDPの面積=1:3

のとき,三角形ABPの面積を求めなさい。

1

考え方と解法例

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今年、2014年の大阪星光学院中学の入試問題から(大阪星光学院中学 2014年)

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下の図において、BD:DC=4:3、AD=4cmのとき、

ABの長さは何cmですか。

1

図解と解法例

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今年、2014年の灘中学1日目の問題から(灘中学 2014年)

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図の19個のOに1から19までの整数をひとつずつ入れて,ア列からソ列までのそれぞれについて,直線上に並んだ整数全部の和が列ごとにすべて38になるようにします。

例えば,ケ列では

11+1+7+19=38 です。

下の図に続けて整数を入れるとき,Aに入る整数とBに入る整数はいくつですか。

1

考え方と解法例

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速さの比と時間(愛光中学 2012年)

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A君はP地点を出発し、Q地点で折り返してP地点に戻ります。また、B君はQ地点を出発し、P地点で折り返してQ地点に戻ります。A君は8時00分にP地点を出発し、B君はA君より少し遅れてQ地点を出発しました。A君とB君は8時36分に初めてすれ違い、9時24分にP地点とQ地点のちょうどまん中で再びすれ違いました。A君とB君の速さはそれぞれ一定とします。このとき、次の問に答えなさい。

(1)A君がP地点にもどってきたのは何時何分ですか。

(2)A君とB君の速さの比をもっとも簡単な整数の比で表しなさい。

(3)B君がQ地点を出発したのは何時何分ですか。

9221

移動グラフと解法例

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相似形の活用(神戸女学院中学 2012年)

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下の図のように、1辺8cmの正方形の内部を線で区切ります。

Pic_3632q

次の問に答えなさい。

(1)赤い部分【ア】の面積を求めなさい。

(2)青い部分【イ】の面積を求めなさい。

(3)辺BC上に点Pをとり、直線APで青い部分【イ】の面積が2等分されるとき、PCの長さを求めなさい。

図解と解法例

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人数と時間の関係(吉祥女子中学 2009年)

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ある製品を作るには【第1段階】と【第2段階】の2つの工程が必要です。どちらの工程も、作業する人数が2倍、3倍、・・・ となると、かかる時間は、1/2倍、1/3倍、・・・ となります。第1段階を3人、第2段階を4人で行うと、全部で 9時間かかります。また、第1段階を6人、第2段階を5人で行うと、全部で6時間かかります。このとき、第1段階も第2段階も3人で行うと、何時間何分かかりますか。

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考え方と解法例

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今年、2014年の浦和明の星女子中学の図形問題

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下の図は、正方形を9個組み合わせて、1つの大きな長方形ABCDを作ったもので、辺BCは辺ABより10cm長くなっています。

(ア)「あ」の正方形の1辺の長さを求めなさい。

(イ)「い」の正方形の1辺の長さを求めなさい。

1

図解と解法例

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正三角形内の点の移動(芝中学 2012年)

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下の図のような正三角形ABC と、OA=OB=OC=12cmとなるような点Oがあります。いま、3点P,Q,R が点Oを同時に出発し、点PはOA間を、点QはOB間を、点RはOC間を、それぞれ毎秒1cm、2cm、3.5cm の速さで往復し続けます。このとき、次の問に答えなさい。

     Pic_3444q

(1)3点P,Q,R が点Oで最初に出会うのは出発してから何秒後ですか。

(2)3点P,Q,R を結んでできる三角形が最初に正三角形になるのは出発してから何秒後ですか。

考え方と解法例

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時計算を考える!(西大和学園中学 2010年)

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2つの時計A,Bがあり、それぞれの針は正確に一定の速さで動きます。

(1)時計A がちょうど7時を指しています。このあと、はじめて時計A の長針と短針のつくる角が直角になるのは、7時何分ですか。

(2)時計A がちょうど8時を指したときに、時計B をちょうど9時に合わせました。このあと、はじめて時計A と時計B それぞれの長針と短針の作る角の大きさが等しくなるとき、時計A は何時何分を指していますか。

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考え方と解法例

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受験者数は何人?(市川中学 2009年)

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A中学校とB中学校の入学試験において,

受験者数の比は4:5,

合格者数はそれぞれ1 0 0人と1 5 0人で,

不合格者数の比は5:6でした。

A中学校とB中学校の受験者数はそれぞれ何人でしたか。

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考え方と解法例

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1の位の場合の数(神戸海星女子学院中学 2013年)

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2ケタの同じ整数同士の掛け算をした結果の、

10×10、11×11、12×12、・・・、99×99

という 90個の整数があります。

(1)これら90個のうち、1の位の数が1または4になるものは何通りありますか。

(2)これら90個から異なる2個を選んだとき、和の1の位が5になるものは何通りありますか。

数え方と解法例

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3円が重なった図形(浦和明の星女子中学 2010年)

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図はAB,AC,CDをそれぞれ直径とする3つの半円を組み合わせたものです。この図で,BはCDの真ん中の点で、ABとCDは垂直です。ACの長さが8cmであるとき、斜線を引いた部分の面積の和を求めなさい。ただし、円周率は3.14とします。

1

図解と解法例

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速さの比を考える旅人算(ラ・サール中学 2008年)

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ある人が 3.2km離れた場所へ向かって歩きはじめました。4分の1だけ進んだところから速さを 5分の1減らして歩いたところ、予定より10分おくれて着きました。このとき、次の問に答えなさい。

(1)速さを減らしたあとは、速さを減らす前と比べて、同じ距離を進むのにかかる時間は何倍になりますか。

(2)速さを減らしてから何分で着きましたか。

(3)はじめの速さは時速何kmですか。

Ilm19_aa01006s

考え方と解法例

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今年、2014年に出題された問題(海陽中等教育学校 2014年)

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公園の周囲にたくさんの白色の「くい」が立っていて,その本数は150本以上200本以下であることか分かっています。

今,1つの「くい」を選んで赤色にぬり,時計回りに9本ごとに「くい」を赤色にぬっていったところ,1周したところで,ちょうど最初の赤色にぬった「くい」に着きました。

次に赤色でない「くい」を1つ選んで青色にぬり,時計回りに6本ごとに「くい」を青色にぬっていったところ,同じく1周したところでちょうど最初に青色にぬった「くい」に着きました。また途中では,赤色の「くい」を青色にぬることはありませんでした。

さらに,赤色でも青色でもない「くい」を1つ選んで黄色にぬり,時計回りに12本ごとに「くい」を黄色にぬっていったところ,同じく1周したところでちょうど最初に黄色にぬった「くい」に着きました。また途中では,赤色の「くい」も青色の「くい」も黄色にぬることはありませんでした。

このとき公園の周囲にある最後まで色をぬられなかった白色の「くい」の本数を求めなさい。

Ilm13_bb13006s_2

考え方と解法例

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土地の面積は?(浅野中学 2011年)

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図のような大きな正方形の土地に3mの幅の道路を作って、同じ4つの小さな正方形の土地に区分けしました。道路の面積が117㎡であるとき、もとの大きな正方形の土地の面積は何㎡ですか。

1

考え方と解法例

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カード選びの場合の数(四天王寺中学 2010年)

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Pic_1600q

上の図は、1辺1cmの正方形を9枚ならべたもので、16個の頂点には、1から16までの番号がついています。

Aの箱には、1から8までの数字が1つずつ書かれた8枚のカードが入っています。 Bの箱には、9から16までの数字が1つずつ書かれた8枚のカードが入っています。

Aの箱から1枚、Bの箱から2枚のカードを取り出し、カードに書かれた数字の頂点を結んで三角形を作ります。

たとえば、3,9,14のカードを取り出した場合、カードに書かれた数字の和は26で、三角形の面積は2c㎡ となります。

1,9,13のカードを取り出した場合は、三角形にならないので面積は考えません。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)三角形の面積が最も大きくなるカードの取り出し方は何通りありますか。

(2)取り出したカードに書かれた数字の和が「35」になるカードの取り出し方のうち、面積が最小になるのは2通りあります。2通りのカードに書かれた数字を答えなさい。

(3)三角形ができないカードの取り出し方は何通りありますか。

(4)三角形ができるカードの取り出し方は何通りありますか。

図解と場合の数

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体積比は?(灘中学 2013年 1日目)

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立方体の形をした容器を傾けて固定し,水を注いだところ,図1のようになりました。さらに水を注ぐと図2のようになり,このときの水の体積は立方体の体積の11/14でした。図1の水の体積は立方体の体積の何倍ですか。

1_2

図解と解法例

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積み木の難問(桜蔭中学 2004年)

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1辺1cmの立方体を125個積み上げた、1辺5cmの 大きな立方体があり、この立方体の表面に色をつけました。

       Pic_0019

ここから、色の付いていない立方体と、1面にしか色の付いていない立方体をすべて取り除きました。

(1)残った立体をA,B,Cの頂点を通る平面で切断したとき、切断された2つの部分の体積比を求めなさい。

(2)取り除いた小さい立方体を、再び積み上げて、できるだけ大きい立方体を作り、色の付いた立方体の色の付いた面が表面に来るようにしました。このとき、できた立方体の色のついた部分と、色のついていない部分の比を求めなさい。

考え方と解法例

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