行き方は何通りあるか？（西大和学園中学 ２０１４年）

図１のような道があります。
黒丸（●）の点から黒丸の点へは，「右上向き」「右向き」「右下向き」の３通りに，直進のみできます（図２）。ただし，黒丸のないところでは向きを変えられません。ここで，黒丸の点から黒丸の点を「１区間」と呼ぶことにします。
点Ｃと点Ｄが通れないとき，点Ａから点Ｂまでを合計［４区間］で行く道順は全部で何通りあるでしょうか？

図解と答え

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今年、２０１４年の東大寺学園中学の問題から（東大寺学園中学 ２０１４年）

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ある池のまわりの道を，Ａ君は自転車で，Ｂ君は徒歩で，それぞれ一定の速さで回ります。Ａ君は，午前９時にある地点Ｐを出発し，午前10時に池のまわりをちょうど５周回って地点Ｐを通過しました。Ｂ君は，午前９時４分に地点ＰをＡ君とは反対向きに出発しました。２人が３回目に出会ったのは午前９時30分でした。２人が最初に出会ったのは午前９時何分何秒でしたか。

考え方と解法例

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今年、２０１４年の西大和学園中学の問題から（西大和学園中学 ２０１４年）

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図のように長方形ＡＢＣＤと三角形ＢＣＥがあり、ＤＥとＢＣの交点を点Ｆとします｡また、辺ＡＢ上にＡＧ：ＧＢ＝３：１となるような点Ｇをとり、点Ｇと点Ｆを結びます。ＦＣ＝６ｃｍ、ＢＥ＝３ｃｍのとき、三角形ＡＧＦの面積は何ｃ㎡になりすか。ただし、３点Ａ、Ｂ、Ｅは一直線上にあります。　

　　

図解と解法例

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今年、２０１４年のラ・サール中学の問題から（ラ・サール中学 ２０１４年）

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対角線の長さが１０ｃｍの正方形Ａがあります。その１辺を半径とするおうぎ形Ｂと、対角線を半径とするおうぎ形Ｃを図のように作ります。

（ア）２つのおうぎ形の面積の比を求めなさい。

（イ）２つのおうぎ形の面積の差を求めなさい。

考え方と解法例

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今年、2014年の渋谷教育学園幕張中学の問題→場合の数（渋谷教育学園幕張中学 2014年）

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あるラーメン屋では下の表のようなセットメニューを販売しています。このラーメン屋では単品のメニューはなく、販売しているのは次の３つのセットだけです。

このとき、次の各問いに答えなさい。

（１）ある日、Ａ、Ｂ、Ｃセットそれぞれの売り上げがあり、それらを合計すると、全部で7280円でした。この日、Ａセットは何個売れましたか。

（２）このラーメン屋では毎週水曜日にセットメニュー500円セールを実施していて、ＢセットもＣセットもすべてＡセットと同じ500円となります。ある水曜日、開店前に８人の客が待っていました。８人の客のうち４人は500円玉だけ、他の４人は1000円札だけもっていました。このラーメン屋にはおつりに使う硬貨は１枚もなかったので、おつりが不足しないように500円玉と1000円札を１人ずつもらう順番をうまく工夫して販売しました。このとき、500円玉と1000円札をもらう順番は全部で何通りありますか。ただし、８人の客はそれぞれ１セットしか注文していません。

考え方と解法例

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今年、2014年の神戸女学院の立体問題から（神戸女学院中学部 2014年）

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1辺１ｃｍのの立方体を下図のように、下から１６個、９個、４個、１個と積み上げました。それぞれの立方体の頂点は、下の段の各立方体の面のまん中にあります。

（１）この立体の表面積を求めなさい。

（２）次に、白い５個の立方体を取り除き、新たな立体を作りました。この立体の表面積を求めなさい。ただし、立方体を取り除いても、立体はくずれないものとします。

図解と解法例

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今年、2014年の灘中学2日目→平均の規則性（灘中学 2014年）

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縦横に並んだ○の中に数を入れていきます。ただし、1つの○がその上下左右にある4つの○と短い線でつながっているとき、これら５つの○のうち中央にある○の中の数は、残りの4つの○の中の数の平均となるようにします。

例えば、

のとき、アには２と１/２、イには５、ウには１１が入ります。

この規則にしたがって、次の（１）～（５）で、数の入っていない○の中に数を入れてください。

考え方と解法例

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今年、2014年の東大寺学園中の入試問題（東大寺学園中学 2014年）

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図の四角ＡＢＣＤは1辺１２ｃｍの正方形で、点Ｐはその内部の点です。

三角形ＡＢＰの面積：三角形ＤＡＰの面積＝３：４

三角形ＢＣＰの面積：三角形ＣＤＰの面積＝１：３

のとき，三角形ＡＢＰの面積を求めなさい。

考え方と解法例

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今年、2014年の大阪星光学院中学の入試問題から（大阪星光学院中学 2014年）

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下の図において、ＢＤ：ＤＣ＝４：３、ＡＤ＝４ｃｍのとき、

ＡＢの長さは何ｃｍですか。

図解と解法例

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今年、２０１４年の灘中学１日目の問題から（灘中学 ２０１４年）

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図の19個のＯに１から19までの整数をひとつずつ入れて，ア列からソ列までのそれぞれについて，直線上に並んだ整数全部の和が列ごとにすべて３８になるようにします。

例えば，ケ列では

11＋1＋7＋19＝38　です。

下の図に続けて整数を入れるとき，Ａに入る整数とＢに入る整数はいくつですか。

考え方と解法例

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速さの比と時間（愛光中学 2012年）

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Ａ君はＰ地点を出発し、Ｑ地点で折り返してＰ地点に戻ります。また、Ｂ君はＱ地点を出発し、Ｐ地点で折り返してＱ地点に戻ります。Ａ君は８時００分にＰ地点を出発し、Ｂ君はＡ君より少し遅れてＱ地点を出発しました。Ａ君とＢ君は８時３６分に初めてすれ違い、９時２４分にＰ地点とＱ地点のちょうどまん中で再びすれ違いました。Ａ君とＢ君の速さはそれぞれ一定とします。このとき、次の問に答えなさい。

（１）Ａ君がＰ地点にもどってきたのは何時何分ですか。

（２）Ａ君とＢ君の速さの比をもっとも簡単な整数の比で表しなさい。

（３）Ｂ君がＱ地点を出発したのは何時何分ですか。

移動グラフと解法例

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相似形の活用（神戸女学院中学 2012年）

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下の図のように、１辺８ｃｍの正方形の内部を線で区切ります。

次の問に答えなさい。

（１）赤い部分【ア】の面積を求めなさい。

（２）青い部分【イ】の面積を求めなさい。

（３）辺ＢＣ上に点Ｐをとり、直線ＡＰで青い部分【イ】の面積が２等分されるとき、ＰＣの長さを求めなさい。

図解と解法例

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人数と時間の関係（吉祥女子中学 2009年）

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ある製品を作るには【第１段階】と【第２段階】の２つの工程が必要です。どちらの工程も、作業する人数が２倍、３倍、・・・ となると、かかる時間は、１/２倍、１/３倍、・・・ となります。第１段階を３人、第２段階を４人で行うと、全部で ９時間かかります。また、第１段階を６人、第２段階を５人で行うと、全部で６時間かかります。このとき、第１段階も第２段階も３人で行うと、何時間何分かかりますか。

考え方と解法例

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今年、２０１４年の浦和明の星女子中学の図形問題

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下の図は、正方形を９個組み合わせて、１つの大きな長方形ABCDを作ったもので、辺BCは辺ABより10cm長くなっています。

（ア）「あ」の正方形の１辺の長さを求めなさい。

（イ）「い」の正方形の１辺の長さを求めなさい。

図解と解法例

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正三角形内の点の移動（芝中学 2012年）

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下の図のような正三角形ＡＢＣ と、ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝１２ｃｍとなるような点Ｏがあります。いま、３点Ｐ，Ｑ，Ｒ が点Ｏを同時に出発し、点ＰはＯＡ間を、点ＱはＯＢ間を、点ＲはＯＣ間を、それぞれ毎秒１ｃｍ、２ｃｍ、３．５ｃｍ の速さで往復し続けます。このとき、次の問に答えなさい。

　　　　　

（１）３点Ｐ，Ｑ，Ｒ が点Ｏで最初に出会うのは出発してから何秒後ですか。

（２）３点Ｐ，Ｑ，Ｒ を結んでできる三角形が最初に正三角形になるのは出発してから何秒後ですか。

考え方と解法例

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時計算を考える！（西大和学園中学 2010年）

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２つの時計Ａ，Ｂがあり、それぞれの針は正確に一定の速さで動きます。

（１）時計Ａ がちょうど７時を指しています。このあと、はじめて時計Ａ の長針と短針のつくる角が直角になるのは、７時何分ですか。

（２）時計Ａ がちょうど８時を指したときに、時計Ｂ をちょうど９時に合わせました。このあと、はじめて時計Ａ と時計Ｂ それぞれの長針と短針の作る角の大きさが等しくなるとき、時計Ａ は何時何分を指していますか。

考え方と解法例

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受験者数は何人？（市川中学 ２００９年）

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Ａ中学校とＢ中学校の入学試験において，

受験者数の比は４：５，

合格者数はそれぞれ１ ０ ０人と１ ５ ０人で，

不合格者数の比は５：６でした。

Ａ中学校とＢ中学校の受験者数はそれぞれ何人でしたか。

考え方と解法例

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１の位の場合の数（神戸海星女子学院中学 2013年）

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２ケタの同じ整数同士の掛け算をした結果の、

１０×１０、１１×１１、１２×１２、・・・、９９×９９

という ９０個の整数があります。

（１）これら９０個のうち、１の位の数が１または４になるものは何通りありますか。

（２）これら９０個から異なる２個を選んだとき、和の１の位が５になるものは何通りありますか。

数え方と解法例

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３円が重なった図形（浦和明の星女子中学 ２０１０年）

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図はＡＢ，ＡＣ，ＣＤをそれぞれ直径とする３つの半円を組み合わせたものです。この図で，ＢはＣＤの真ん中の点で、ＡＢとＣＤは垂直です。ＡＣの長さが８ｃｍであるとき、斜線を引いた部分の面積の和を求めなさい。ただし、円周率は3．14とします。

図解と解法例

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速さの比を考える旅人算（ラ・サール中学 2008年）

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ある人が ３．２ｋｍ離れた場所へ向かって歩きはじめました。４分の１だけ進んだところから速さを ５分の１減らして歩いたところ、予定より１０分おくれて着きました。このとき、次の問に答えなさい。

（１）速さを減らしたあとは、速さを減らす前と比べて、同じ距離を進むのにかかる時間は何倍になりますか。

（２）速さを減らしてから何分で着きましたか。

（３）はじめの速さは時速何ｋｍですか。

考え方と解法例

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今年、２０１４年に出題された問題（海陽中等教育学校 ２０１４年）

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公園の周囲にたくさんの白色の「くい」が立っていて，その本数は150本以上200本以下であることか分かっています。

今，１つの「くい」を選んで赤色にぬり，時計回りに９本ごとに「くい」を赤色にぬっていったところ，１周したところで，ちょうど最初の赤色にぬった「くい」に着きました。

次に赤色でない「くい」を１つ選んで青色にぬり，時計回りに6本ごとに「くい」を青色にぬっていったところ，同じく１周したところでちょうど最初に青色にぬった「くい」に着きました。また途中では，赤色の「くい」を青色にぬることはありませんでした。

さらに，赤色でも青色でもない「くい」を１つ選んで黄色にぬり，時計回りに12本ごとに「くい」を黄色にぬっていったところ，同じく１周したところでちょうど最初に黄色にぬった「くい」に着きました。また途中では，赤色の「くい」も青色の「くい」も黄色にぬることはありませんでした。

このとき公園の周囲にある最後まで色をぬられなかった白色の「くい」の本数を求めなさい。

考え方と解法例

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土地の面積は？（浅野中学 ２０１１年）

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図のような大きな正方形の土地に3mの幅の道路を作って、同じ４つの小さな正方形の土地に区分けしました。道路の面積が117㎡であるとき、もとの大きな正方形の土地の面積は何㎡ですか。

考え方と解法例

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カード選びの場合の数（四天王寺中学 2010年）

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上の図は、１辺１ｃｍの正方形を９枚ならべたもので、１６個の頂点には、１から１６までの番号がついています。

Ａの箱には、１から８までの数字が１つずつ書かれた８枚のカードが入っています。 Ｂの箱には、９から１６までの数字が１つずつ書かれた８枚のカードが入っています。

Ａの箱から１枚、Ｂの箱から２枚のカードを取り出し、カードに書かれた数字の頂点を結んで三角形を作ります。

たとえば、３，９，１４のカードを取り出した場合、カードに書かれた数字の和は２６で、三角形の面積は２ｃ㎡ となります。

１，９，１３のカードを取り出した場合は、三角形にならないので面積は考えません。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）三角形の面積が最も大きくなるカードの取り出し方は何通りありますか。

（２）取り出したカードに書かれた数字の和が「３５」になるカードの取り出し方のうち、面積が最小になるのは２通りあります。２通りのカードに書かれた数字を答えなさい。

（３）三角形ができないカードの取り出し方は何通りありますか。

（４）三角形ができるカードの取り出し方は何通りありますか。

図解と場合の数

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体積比は？（灘中学 ２０１３年 １日目）

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立方体の形をした容器を傾けて固定し，水を注いだところ，図１のようになりました。さらに水を注ぐと図２のようになり，このときの水の体積は立方体の体積の１１/１４でした。図１の水の体積は立方体の体積の何倍ですか｡

図解と解法例

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積み木の難問（桜蔭中学 2004年）

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1辺１ｃｍの立方体を１２５個積み上げた、1辺５ｃｍの　大きな立方体があり、この立方体の表面に色をつけました。

　　　　　　　

ここから、色の付いていない立方体と、１面にしか色の付いていない立方体をすべて取り除きました。

（１）残った立体をＡ，Ｂ，Ｃの頂点を通る平面で切断したとき、切断された２つの部分の体積比を求めなさい。

（２）取り除いた小さい立方体を、再び積み上げて、できるだけ大きい立方体を作り、色の付いた立方体の色の付いた面が表面に来るようにしました。このとき、できた立方体の色のついた部分と、色のついていない部分の比を求めなさい。

考え方と解法例

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