図形並べの規則性は？（函館ラ・サール中学 2009年）

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たて１ｃｍ、横２ｃｍの長方形の紙を下の図のように規則的にならべていきます。このとき、次の問に答えなさい。

（１）６番目の図形の周囲の長さ（図の太線部分）を求めなさい。

（２）図形の周囲の長さが１５０ｃｍになるのは何番目の図形ですか。

規則性と解法２例

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ｎ進法の規則性問題（大阪星光学院中学 2013年）

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１，２，３，１０，１１，１２，１３，２０，２１，２２，２３，・・・

上の整数の列は、０，１，２，３ の４種類の数字を使って１以上の整数を作り、小さい順に並べたものです。ただし、同じ数字は何度も使ってよいものとします。このとき、次の問に答なさい。

（１）６４番目の整数を答えなさい。

（２）２０１３は何番目に出てきますか。

（３）１番目から２５番目までに出てくる整数をすべて足すといくつになりますか。

規則性と解法例

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操作計算の規則性は？（須磨学園中学 2011年）

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★から☆までの整数の各位の数字の和を（★，☆）と表します。

たとえば、

（１１，１４）＝（１＋１）＋（１＋２）＋（１＋３）＋（１＋４）＝１４

（１２３，１２５）＝（１＋２＋３）＋（１＋２＋４）＋（１＋２＋５）＝２１

となります。このとき、次の問に答えなさい。

（１）（１，５０）を求めなさい。

（２）（１，□）が１０００を超えるような□に入る整数のうち、最も小さい整数を答えなさい。

（３）（１００，９９９）を求めなさい。

考え方と解法例

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何回９で割り切れるか？（立教女学院中学 ２０１１年）

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Ａ＝１×２×３×４×・・・×９８×９９×１００とします。

この数Ａを９で割り，その商を再び９で割るというように，

割り切れなくなるまで９で割っていきます。

このとき何回割り算ができますか。

考え方と解法例

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じゃんけんゲームの場合の数（雙葉中学 2014年）

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Ａ，Ｂの２人が２５段の階段の一番下からスタートして、ジャンケンで勝った方だけが移動するゲームをしました。あいこは考えません。グーで勝つと３段、チョキは４段、パーは５段移動します。移動したら１回と数えます。３回目を終えたとき、Ａは下から９段目、Ｂは下から４段目にいました。６回目を終えたとき、下から１２段目で初めて２人は並びました。その後、Ａだけは一番上まで上っており始め、１２回目を終えたときに下から２３段目で、上ってきたＢと並びました。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）３回目を終えたとき、Ａはグー、チョキ、パーをそれぞれ何回出しましたか。

（２）４回目、５回目はＢが勝ち、６回目はＡが勝ちました。Ｂの４，５，６回目の出し方をすべて答えなさい。

（３）７回目から１２回目までは、Ａは３勝３敗でした。この６回でＡはグー、チョキ、パーをそれぞれ何回出しましたか。考えられる場合を全て答えなさい。

考え方と解法例

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水槽に水を入れていく問題（大宮開成中学 ２０１０年）

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下の図は，容器の底に円柱が固定されているようすを表しています。この容器の中へ一定の割合で水を入れていきます。３分後，円柱は水面より出ていましたが，６分後には完全に水の中に入っていました。水を入れ始めてから３分，６分，１１分の水面の高さを測ったら，10.5cm，18.5cm，28.5cmになりました。次の各問いに答えなさい。

（１）水面の高さが円柱の高さと等しくなるのは，水を入れ始めてから何分何秒後ですか。

（２）この容器の底面積が511ｃ㎡であるとき，円柱の体積は何立法ｃｍですか。

考え方と解法例

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シンプルな基本図形問題（芝浦工業大学中学 ２０１０年）

半径２ｃｍの円を図のように置いたとき、斜線部分の面積は何ｃ㎡になりますか。

図解と解法例

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時間をかけたくない小問（慶應中等部 ２０１４年）

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図のように、半径が１８ｃｍの半円を、まっすぐな線で２つの部分に分けました。色のついた部分の面積は何ｃ㎡ですか。

考え方と解法例

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折った正五角形の角度（ラ・サール中学 ２０１４年）

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正五角形ＡＢＣＤＥを頂点Ｂが辺ＤＥ上にくるように折ったら、下図のようになりました。角度アを求めなさい。

図解と解法例

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注意力が求められる文章題（桜蔭中学 2014年）

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ゴンドラの数が６４台の観覧車があります。一周するのに２０分かかり、乗り降りは最も低い位置Ａで行います。ただしゴンドラは等間隔にあり、一周したら必ず乗客は交代します。朝、動かし始めてから、その日の最後の組が乗るまで、空のゴンドラはないとします。また、乗り降りの時間は考えないものとします。このとき、次の問に答えなさい。

　

（１）９０組目は何組目と入れかわりますか。

（２）９０組目が最も高い位置Ｂに着くのは、朝観覧車を動かし始めてから何分何秒後ですか。

（３）観覧車は、土・日・祝日は午前９時、平日は午前１０時３０分から動かし、午後５時４８分に止まったときには乗客は全員降りています。次の問に答えなさい。

（ア）土・日・祝日と平日では、それぞれ何組乗ることができますか。

（イ）２月１日（土）の午前９時に乗り始めた組から２万組目となるのは何月何日の何組目ですか。

考え方と解法例

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正五角形と正六角形の角度 （女子学院中学 2014年）

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下の図Ⅱのように、正六角形の中に正五角形があります。

角ア～角エの大きさを求めなさい。

　　

図解と解法例

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今年、２０１４年の渋谷教育学園幕張中学の入試問題から（正六角形と円）

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図１のように、１辺の長さか２０ｃｍの正六角形ＡＢＣＤＥＦの対角線ＡＤと対角線ＢＥか交わった点をＯとします。この正六角形がかかれた十分に大きい的に向かって矢を投げる的あてゲームをします。このゲームの得点は次のように決めます。

得点の決め方

矢を１度だけ投げ、７個の点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｏのうち、矢のあた
った占から２０ｃｍ以内にある点の個数がその人の得点となります。たとえば、このゲームで、図２の点Ｐに矢があたった場合は、点Ｐから２０ｃｍ以内に４個の点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｏが入るので、得点は４点となります。

（１）的に矢があたると、得点が３点以上となる的の部分の面積を求めなさい。

（２）的に矢があたると、得点が２点となる的の部分の面積を求めなさい。

図解と解法例

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今年、２０１４年の東大寺学園中学、１番（１）の計算問題

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□×２７×３７＋１１×１２×１３×１４＝４８０００

□に入る数は？

計算と答え

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簡単な解き方があったら教えてください！（慶應義塾中等部 2014年）

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下の図は、正方形ＡＢＣＤ と半円と、中心角が９０度の扇形を組み合わせたものです。半円と扇形の交点をＥとするとき、角ＣＥＤの大きさを求めなさい。

　　　　　

考え方と解法例

↑

大問７題中、３問目の（２）と最初のほうの図形問題なので、こんなに難しくなく、もっと短時間で解ける問題のように思えるのですが・・・

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みなさん、解法ヒントありがとうございました。

おかげでビックリ解答がわかりました。すごいですね・・・・

びっくり解法例

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近年の名作問題から（豊島岡女子学園中学 2010年）

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下の図のように、正三角形ＡＢＣ のそれぞれの辺を３等分する点をＤ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ とします。Ａ～Ｉ のうち、３点を結んで三角形を作るとき、次の問に答えなさい。ただし、３点を結んで三角形ができないような結び方は考えないものとします。

　　　　

（１）３点Ｅ，Ｆ，Ｉ を結んでできる三角形の面積は正三角形ＡＢＣの面積の何倍ですか。

（２）３点を結んでできる三角形のうち、正三角形ＡＢＣ の面積の３分の１になるものは何通りありますか。

図解と解法例

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伝説の名作問題（武蔵中学 ２００５年）

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生徒40人のクラスで希望者に花の種を，みな同数になるように配ることにしました。はじめ，希望者に配ったところ種は全部なくなりました。ところが，あとで希望者が3人増えたので配り直したところ，種は18粒余り，あと1粒ずつは配れませんでした。このとき先生は，「あと3人分はないけれども2人分はあるぞ」と言いました。はじめの希望者は何人だったでしょうか。

考え方と解法例

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今年の入試問題から→つるかめ算入りの旅人算（２０１４年 ラ・サール中学）

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スタート地点から しばらく平地が続き、その後 上り坂となり、さらにその後、最初の平地の２倍の長さの平地がゴール地点まで続くコースがあります。このコースをＡは平地を毎分３００ｍ、上り坂を毎分２００ｍの速さで走り、Ｂは平地も上り坂も毎分２５０ｍの速さで走ったところ、どちらもゴールするのに１２分３０秒かかりました。このとき、次の問に答えなさい。

（１）Ａ とＢが同時に走りだすとしたら、２人が途中で並ぶのは走り出してから何分何秒後ですか。

（２）Ａが、上り坂１００ｍを走るときは、平地１００ｍを走るときよりも何秒多くかかりますか。

（３）このコースの上り坂の長さは何ｍですか。

考え方と解法例

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今年、２０１４年の洛星中学の入試問題から（図形の移動と重なり）

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下の図１のように、たての長さが ９ｃｍ、横の長さが １８ｃｍの長方形ＰＱＲＳ と、底辺の長さが ２２ｃｍで、高さが １１ｃｍの直角三角形ＡＢＣ があります。長方形ＰＱＲＳ は動かさないで、三角形ＡＢＣ を直線Ｌ にそって毎秒１ｃｍ の速さで右に移動させていきます。三角形ＡＢＣ と長方形ＰＱＲＳ が重なっている部分の面積が初めて長方形ＰＱＲＳ の面積の半分になるとき、次の問に答えなさい。

（１）長方形の辺ＰＱ よりも左にある三角形ＡＢＣ の部分の面積を求めなさい。

（２）点Ｃ が点Ｑ と重なってから何秒後ですか。

図解と解法例

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今年、２０１４年の麻布中学の問題から（食塩水の濃度）

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Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ の４つの容器があります。Ａには濃さ１２％の食塩水が８０ｇ、Ｂには濃さ４％の食塩水が１６０ｇ、Ｃには濃さ５％の食塩水が４０ｇ、それぞれ入っています。Ｄには何も入っていません。Ａ，Ｂ，Ｃ の食塩水をそれぞれ ２０ｇずつ何回か取り出して混ぜ、Ｄの容器に濃さ ６％の食塩水を作ります。できるだけたくさんの食塩水を作るには、それぞれから何回ずつ取り出して混ぜればよいですか。ただし、食塩水の濃さとは、食塩水の重さに対する食塩の重さの割合のことです。

 

考え方と解法例

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今年、２０１４年の開成中学の問題から（立体図形と投影図）

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図１のような立体を「三角すい」といい，その体積は，

（底面の三角形の面積）×（高さ）÷３

で求めることができます。

図２のような底面が正方形の直方体があります。辺ＡＥを３当分する点をＡに近い方から順にＰ，Ｑとします。図３は，この立体を真上から見た図と，真横から見た図です。この立体から，まず三角すいPEFHを切り落とし，さらに三角すいQABDのうち残っている部分を切り落としました。

（１）でき上がった立体を、真上から見た図と真横から見た図はどのようになりますか。図３にならって、解答欄の図に書き込みなさい。

（２）図の１目盛りは１ｃｍであるとします。でき上がった立体の体積を求めなさい。

図解と解法例

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今年、２０１４年の雙葉中学の入試問題から（面積と比例）

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下の図は正方形と円を組み合わせたものです。１番小さい円の半径は５ｃｍです。４つの円の中心は同じで、半径は５ｃｍずつ大きくなっています。赤、青、黄色の絵の具を表のような割合で混ぜて、むらさき、緑、オレンジを作り、

の部分をむらさき、

の部分は緑、

の部分はオレンジでぬりました。

どの絵の具も１ｇでぬれる面積は同じです。円周率は３．１４です。

（１）むらさきでぬった部分の面積は何ｃ㎡ですか。

（２）赤の絵の具は８．２ｇ使いました。黄色の絵の具は何ｇ使いましたか。小数第２位を切り上げて、小数第１位まで答えましょう。

考え方と解法例

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今年、２０１４年の慶應中等部の平面図形問題

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周りの長さが２６ｃｍで、最も長い辺の長さが１２ｃｍの同じ直角三角形８つを、図のように並べました。色のついた部分の面積は何ｃ㎡ですか。

考え方と解法例

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今年、２０１４年の女子学院中学の入試問題から（等積図形の考え方）

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図のように、１辺が１１ｃｍの正方形を２本の直線で４つの部分に分けたら、四角形ＡＢＣＤと三角形ＣＥＦの面積が等しくなりました。辺ＡＢの長さは何ｃｍですか？

 

図解と解法例

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今年、２０１４年の桜蔭中学の入試問題から（長方形の回転移動）

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図のようなＡＢ＝６ｃｍ，ＢＣ＝８ｃｍ，ＡＣ＝１０ｃｍの長方形ＡＢＣＤがあります。この長方形を，直線ＰＱ上を矢印の方向にすべることなく一回転させるとき，次の問いに答えなさい。

(1)頂点Ｂがえがく曲線の長さを求めなさい。

(2)頂点Ｂがえがく曲線と直線ＰＱとで囲まれた図形の面積を求めなさい。

軌跡の図解と解法例

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今年、2014年の筑波大学附属駒場中学の1番の問題から（数列の規則性）

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次のように４けたの数が並んでいます。

　　　　　１番目の数　１１１１

　　　　　２番目の数　５４３２

　　　　　３番目の数　９７５３

　　　　　４番目の数　３０７４

これらの数の一の位は，

１から１ずつ増えていく数1,2,3,4，…の一の位の数です。

十の位は，

１から２ずつ増えていく数1,3,5,7，…の一の位の数です。

百の位は，

１から３ずつ増えていく数1,4,7,10，…の一の位の数です。

千の位は，

１から４ずつ増えていく数1,5,9,13，…の一の位の数です。

（ｱ）100番目の数を答えなさい。

（ｲ）１番目から100番目までの数のうち，６の倍数は何個ありますか。

規則性と解法例

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今年、2014年の麻布中学、第１問（計算方法の場合の数）

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決められた何種類かの整数を足し合わせて１つの整数を作る方法を考えます。

例えば，１，２，３のみを用いて５を作る方法は，

３＋２，３＋１＋１，２＋２＋１，２＋１＋１＋１，１＋１＋１＋１＋１

の５通り考えられます。ただし,足す順序が異なるだけのものは同じ方法とします。

２，３，５のみを用いて３０を作る方法は全部で何通りありますか。

考え方と解法例

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今年、2014年の開成中学の問題から（おうぎ形の角度と面積）

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図は、三角形ＡＢＣと半径が9cmの円の一部と半径が3cmの円の一部を組み合わせた図形です。ＰからＱまでの曲線の長さはＱからＲまでの曲線の長さの５倍です。このとき，図の「あ」の角の大きさは[エ]゜，「い」の角の大きさは[オ]゜，斜線部分の面積は[カ]ｃ㎡です。

考え方と解法例

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今年、２０１４年の灘中学→平面図形問題より（灘中学 ２０１４年）

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下の図で点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅは正五角形の頂点で，ＡＣの長さは5cmです。また，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅを中心とする円の半径はすべて１cmです。図の太線のように，５個の円にたるまないように糸をかけます。必要な糸の長さは何ｃｍですか。ただし，糸の太さは考えないものとします。

図解と解法例

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スマートホンアプリ「立方体の切り口はどんな形？」（ネット環境でのＦｌａｓｈアニメーション）

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