数の性質の規則性は？（（学習院中等科 2012年）

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４ケタの整数があります。いま、この整数の千の位と十の位の数字を交換し、百の位と一の位の数字を交換した整数を考えます。ただし、交換してできた整数は４ケタの整数になるとは限りません。

たとえば、元の整数が １２０３ のとき、交換してできる整数は ３１２になると考えます。

元の整数と数字を交換してできる整数の和を考えるとき、次の問に答えなさい。

（１）この和は、常にある整数の倍数になります。この整数を答えなさい。

（２）この和が １５８５７ になりました。もとの整数として考えられる数の中で、最も大きい数を答えなさい。

（３）この和が ５ケタ の整数の中で最も小さい数になりました。元の整数として考えられる数の中で最も大きい数を答えなさい。

規則性と解法例

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消費税込みの値段（春日部共栄中学 ２０１１年）

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消費税率を10％とします。100円以下の値段のうち，消費税込みの値段としてありえない値段は全部で何通りありますか｡

ただし，消費税を加える前にＡ円であった値段は，

消費税込みでは，

１．１×Ａの小数点以下を切り捨てた値段とします。

考え方と解法例

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青山学院中等部、今年も折り紙角度問題（2014年）

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下の図１の三角形ＡＢＣ を頂点Ｂ が辺ＡＣ の上にくるように折ったところ、図２のようになりました。次に、頂点Ａ が辺ＤＢの上にくるように折ったところ、図３のようになりました。このとき、アの角度を求めなさい。

図解と解法例

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麻布中学、今年の問題から（図形の回転移動 ２０１４年）

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図１のような、たて３ｃｍ、横４ｃｍ、対角線５ｃｍの長方形を１辺の長さ ７ｃｍの正六角形に沿って、すべらないように転がします。図２の位置から矢印の方向に転がしていったところ、１周して元の位置にもどりました。このとき、点Ａ の描いた曲線で囲まれた図形から正六角形を除いた部分の面積を求めなさい。

図解と解法例

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これもよく出題される円と正三角形（白百合学園中学 ２０１４年）

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図のように直径が１２ｃｍの円と１辺の長さが１２ｃｍの正三角形があります。色のついた部分の面積は何ｃ㎡ですか。

図解と解法例

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海城中学、今年の問題から→相似形はどこに？（２０１４年）

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図のような平行四辺形があります。このとき、ＡＢの長さとＢＣの長さの比を最も簡単な整数の比で表してください。

図解と解法例

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今年の問題から→どう等積移動しますか？（頌栄女子学院中学 ２０１４年）

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下の図は半径１２ｃｍの円で、点Ａ～Ｆは円周を６等分する点です。色のついた部分の面積を求めなさい。

等積移動と答え

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本郷中学、今年の入試から→平面図形問題（２０１４年）

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２つの直角三角形があり、図のように重なっています。斜線部分の面積は何ｃ㎡ですか。

考え方と解法例

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慶應普通部、今年の問題から→展開図と立体（２０１４年）

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同じ大きさの正三角形を８枚あわせて、図１のような立体をつくりました。図２はこの立体の展開図です。

（1）図２の太線は、図１の立体のどの辺ですか。

（２）立体の８つの面に１から８の数字を１つずつ書き、サイコロのように向かい合う面の数字の和が等しくなるようにしました。図２のア～エの面に書かれている数字を答えなさい。

図解と解法例

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水の濃度は？食塩の濃度は？（吉祥女子中学 ２０１０年）

濃さがわからない食塩水６００gが容器Ａに入っています。そこに３００ｇの水を加えてよく混ぜました。次に、食塩４０gだけが入っている容器Ｂに容器Ａから６００gだけ移してよく混ぜたところ、１０％の食塩水ができました。容器Ａに最初に入っていた食塩水の濃さは何％ですか。

図解と解法例

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灘中学、今年の問題から→面積比と長さ比（２０１４年）

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上の図の四角形ＡＢＣＤ は、ＡＤ とＢＣ が平行な台形です。対角線ＡＣ と ＢＤ が交わる点をＥ とし、辺ＢＣ 上に点Ｆ をとります。三角形ＡＦＥ の面積が４２ｃ㎡、三角形ＤＥＣ の面積が１０８ｃ㎡ のとき、ＢＦ の長さとＦＣ の長さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

図解と解法例

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市川中学、今年の図形問題から（２０１４年）

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図のように，長方形ABCDに６個の正方形①～⑥をすきまなくしきつめたとき，正方形④の１辺の長さが2cmとなりました。この長方形ABCDの面積を求めなさい。

図解と解法例

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正三角形と正方形の組み合わせ（大阪女学院中学 2009年）

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１辺６ｃｍの正三角形と正方形を図のように組み合わせました。

このとき、色のついた部分の面積を求めなさい。　　

　　　　　　

アニメーション図解と解法例

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開成中学、今年の最初の問題→約数と倍数（２０１４年）

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３つの整数ア、イ、ウがあります。アとイの最大公約数は２１、イとウの最大公約数は３５、アとウの最大公約数は９８です。アとイとウの合計は１０００以下です。

アとイとウはそれぞれいくつですか。

考え方と解法例

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小学生の方程式問題（鴎友学園女子中学 ２００９年）

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ＡさんとＢさんが，あるゲームを４回行いました。その各回の得点について，以下のことがわかっています。

・１回目は，ＡさんとＢさんの得点は同じ

・２回目は，１回目のそれぞれの得点より，Ａさんは120点多く，Ｂさんは400点少ない

・３回目は，ＡさんもＢさんもそれぞれ２回目の得点の1．25倍

・４回目は，３回目のそれぞれの得点より，Ａさんは40点多く，　Ｂさんは80点多い

・ＡさんとＢさんの４回目の得点をあわせると1920点

１回目のＡさんの得点は何点でしたか。

計算と解答例

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渋谷教育学園渋谷中学、今年の面積比問題から（２０１４年）

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大きさが異なる２つの正方形Ａ、Ｂを対角線と辺が重なるようにおくと、下の図のようになりました。アとイの長さの比が５：２であるとき、正方形Ａの面積は、正方形Ｂの面積の何倍になりますか。

図解と解法例

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武蔵中学、今年の第一問→やりとり算（２０１４年）

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太郎君の所持金は次郎君の所持金の２倍です。まず、太郎君が所持金の１/３より３２０円多い金額を次郎君にあげました。次に、次郎君がそのときの所持金の１/４の金額を太郎君にあげたところ、２人の所持金は等しくなりました。太郎君のはじめの所持金は何円ですか？

考え方と解法例

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小学生、問題の意味がわかるかな？（智辯学園和歌山中学 2012年）

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１から２０までの整数を２つずつ１０組に分けます。これら１０組の中で、最大公約数が１となる組の個数が最も少なくなるような分け方をしたとき、最大公約数が１となる組の個数は何組になりますか。

考え方と解法例

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今年の駒場東邦中学の入試問題から→長さ比と面積比（２０１４年）

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標準レベル

下の図において、三角形ABC、三角形BCD、三角形CDEはそれぞれ正三角形です。辺ＡＢの長さを１：３の比に分ける点Ｐを通り、三角形ABCの面積を２等分する直線をひき、辺BC、辺DEと交わった点をそれぞれＱ、Ｒとします。このとき、次の問いに答えなさい。

①BQとQCの長さの比を、最も簡単な整数の比で表しなさい。

②DRとREの長さの比を、最も簡単な整数の比で表しなさい。

③四角形BPRDと四角形PAERの面積の比を、最も簡単な整数の比で表しなさい。

図解と解法例

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これは面白い問題です！（西大和学園中学 2013年）

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標準レベル

光はまっすぐに進み、鏡に当たると、当たった角度と同じ角度ではね返ります。いま、下の図の点Ｐから、図のように出た光が鏡Ｑ，Ｒ に当たってはね返りながら進むとき、鏡Ｑ，Ｒに合計何回当たりますか。

考え方と解法例

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図形の移動と重なり（大阪星光学院中学 2014年）

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標準レベル

下の図において、三角形ＡＢＣ は固定されており、台形ＤＥＦＧは３点Ａ，Ｇ，Ｄ が一直線上になるような位置にあります。台形ＤＥＦＧ はこの状態から毎秒１ｃｍの速さで直線に沿って矢印の方向に動きます。このとき次の問に答えなさい。

　

（１）２つの図形が重なり始めるのは何秒後ですか。

（２）台形が動き始めてから８秒後の２つの図形の重なった部分の面積を求めなさい。

（３）点Ｆ が点Ｂと重なるのは、台形が動きだしてから何秒後ですか。また、このとき２つの図形の重なった部分の面積を求めなさい。

図解と解法例

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くり抜かれた立体の体積と表面積（城北中学 2011年）

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標準レベル

１辺６ｃｍの立方体があります。それぞれの面には、下の図２のように、２ｃｍごとに点線が引いてあります。この立方体の図で青い部分（正方形と直径２ｃｍの円）を反対側までくり抜きました。このとき、次の問に答えなさい。

　

（ア）この立体の体積を求めなさい。

（イ）この立体の表面積を求めなさい。

図解と解法例

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円と正方形の基本問題（白百合学園中学 ２００９年）

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基本レベル

下の図は正方形と円を組み合わせたものです。黒い部分と斜線部分の面積をそれぞれ求めなさい。円周率は３．１４とします。

考え方と解法例

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重さの組み合わせを考える問題（明星中学 2012年）

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標準レベル

上皿天びんがあり、１ｇ、３ｇ、６ｇ の分銅がたくさんあります。分銅を天びんの一方の皿に乗せて重さをはかります。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）１ｇ、６ｇ の分銅を１個ずつ、３ｇの分銅を２個を用意します。これら４個の分銅の中から１個以上を使ってはかれる重さは何種類ありますか。ただし、使わない分銅があってもよいものとします。

（２）どの分銅を何個用いてもよいものとして、１５ｇ のものをはかるとき、用いる分銅の組み合わせは何通りありますか。

考え方と解法例

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２０１４年の高槻中学入試問題から（作図しながら考える図形問題）

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（１）標準レベル（２）応用レベル（３）応用レベル

下の図の四角形ＡＢＣＤ は、ＡＤとＢＣが平行な台形です。

辺ＡＢ上に点Ｅ があり、四角形ＡＢＣＤ はＣＥ によって面積が二等分されます。また、辺ＢＣ上に点Ｆ があり、四角形ＡＢＣＤ はＤＦ によって面積が二等分されます。さらに、辺ＣＤ上に点Ｇ があり、四角形ＡＢＣＤ は ＢＧによって面積が二等分されます。このとき、次の問に答えなさい。

　　

（１）ＡＥ の長さと ＢＦ の長さを求めなさい。

（２）ＥＧ の長さを求めなさい。

（３）三角形ＥＦＧ の面積と四角形ＡＢＣＤ の面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

考え方と解法例

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今年、２０１４年に出題された、場合の数を考える問題（慶應義塾中等部）

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図のように，５つの点Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄ,Ｅのうちの３点と３つの点Ｆ,Ｇ,Ｈのいずれかを結ぶまっすぐな線を３本ひきます。ただし，１つの点と２つ以上の点を結ぶことはできません。このとき、次の問いに答えなさい。

（１）３本の線のひき方は全部で何通りありますか。

（２）結んだ３本の線のうち、少なくとも２本が交わるような線のひき方は全部で何通りありますか。

考え方と解法例

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今年、２０１４年に出題された相当算（女子学院中学）

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Ａ、Ｂ、Ｃの兄弟３人で、あるゲーム機を買うことにしました。

Ａはゲーム機の値段の１/２より５００円少ない金額を、Ｂは残りの３/４より３００円多い金額を払いました。Ｃは２人が払った残りの４/５しか払えなかったので、最後に残った３００円をＡが払いました。

ゲーム機の値段はいくらだったのでしょうか。

また、Ａ、Ｂ、Ｃ３人はそれぞれいくら支払ったのでしょうか。

考え方と解法例

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今年、２０１４年の麻布中学入試問題から（旅人算の応用問題）

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線路にそって自転車で時速12kmで走っているたかし君は，上り電車には６分40秒おきに追いぬかれ，下り電車とは２分48秒おきにすれ違います。上り電車と下り電車はすべて同じ速さです。また，上り電車と下り電車はそれぞれ等間隔で走っており，その間隔の比は上りと下りで５：３です。電車の速さは時速何kmですか。ただし，電車の長さは考えないものとします。

考え方と解法例

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正六角形と正方形（早稲田中学 ２００７年）

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図は正六角形と正方形を並べたものです。

角アの大きさは何度ですか。

図解と解法例

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