分数の操作計算問題（青山学院中等部 2013年）

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ある分数Ａがあります。
Ａの分母と分子を入れ替えた分数をBとして、次のような計算をしました。
ただしＢはＡより大きいものとします。

①ＡとＢを足したものをＣとする

②BからＡを引いたものをＤとする

③ＣとＤを足したものをＥとする

④ＣからＤを引いたものをＦとする

（１）EとFの積はいくつですか。

（２）Eが５のとき、Aはいくつですか。

計算と解法例

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１４％の食塩水は何ｇ できたか？（須磨学園中学 2011年）

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２０％の食塩水が１００ｇ あります。

これに１２％の食塩水と６％の食塩水をそれぞれ同じ重さずつ加えたところ、

１４％の食塩水ができました。１４％の食塩水は何ｇ できましたか。

考え方と解法例

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時計算の難問！（開成中学 2014年）

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ある世界では、１日が１０時間（午前５時間、午後５時間）、１時間が２５分、１分が２５秒に区切られていて、下の図のような時計を用いて時間を計っています。現在の時間は午後２時５分０秒で、時計の短針（黒）、長針（白）、秒針は正しい時刻を指しています。この時計はこれからも正確に動くものとして、次の問に答えなさい。

　

（１）これから時間が進んで最初に短針と長針が重なる時刻を求め、そのときの時計の３本の針を図に表しなさい。

（２）さらに時間が進んで最初に短針と長針がちょうど反対向きになる時刻を求め、そのときの時計の３本の針を図に表しなさい。

（３）現在（午後２時５分０秒）から、３本の針がすべて同じ向きになって重なる回数を数えます。ちょうど１００回目となるのは何日後で、午前、午後のどちらの何時何分何秒ですか。ただし、現在から２時間２０分後の午前０時から１日後が始まるものとします。

考え方と解法例

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三角形の高さは何ｃｍ？（渋谷教育学園渋谷中学 2014年）

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３辺の長さが５ｃｍ、１２ｃｍ、１３ｃｍの三角形は直角三角形になります。

下の図のアは何ｃｍになりますか。

考え方と解法例

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分数列の規則性は？（学習院中等科 ２０１４年）

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いま、次のように分数が並んでいます。

１/２、１/２、１/４、１/２、１/４、１/８、１/２、１/４、１/８、１/１６、・・・・・・・

（１）２７番目はいくつですか？

（１）１番目から２７番目までの和はいくつになりますか？

考え方と解法例

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テストの平均点（神戸女学院中学部 2014年）

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３５人のクラスで１０点満点のテストをしたところ、平均点が５．６点になりました。下の表はそのときの点数の分布を表したものです。４点、７点、９点を取った人数を求め、考えられるすべての場合を次の例のように答えなさい。

【例】　

４点、７点、９点を取った人数がそれぞれ１人、２人、３人　の場合　→　（１，２，３）

考え方と解法例

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並び方の場合の数は？（駒場東邦中学 2002年）

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出席番号が１番から８番までの男女４人ずつの計８人が左から右に１列にならんでいます。男子は全員が花を１本ずつ持ち、女子は花を持っていないものとします。

いま、この８人とは別のＫ君（花をもっていない）が、８人の横を次の作業をしながら、一番左の人から一番右の人のところまで歩いて行きます。

　①　男子からは花を受け取る

　②　女子には花を１本ずつ渡す

　③　渡す花がないときは、そのまま次の人のところに行く

８人がどのようにならんでも、男子だけ、女子だけを見ると、ならび方は、それぞれ必ず出席番号の小さい方から大きい方になっているものとします。男子をＡ、女子をＢと表すことにして、例えば、ＡＢＢＢＡＡＢＡ の順にならんでいるとすると、上の作業を終わったとき、Ｋ君は２本の花を持っていることになります。

　このとき、次の問に答えなさい。

（１）Ｋ君が作業を終えたとき、女子全員に花を渡すことができるならび方を、上の説明の中で、下線で示したように、Ａ，Ｂを使った方法で１つ書きなさい。

（２）Ｋ君が作業を終えたとき、女子全員に花を渡すことができるならび方は、全部で何通りですか。

考え方と解法例

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直角三角形と正方形（西大和学園中学 2013年）

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下の図のように、

ＡＢ＝５ｃｍ、ＢＣ＝４ｃｍ、ＣＡ＝３ｃｍ となる直角三角形ＡＢＣ があります。

さらに、図のように正方形ＡＣＤＥと正方形ＡＦＧＢがあります。

このとき、三角形ＡＥＦの面積を求めなさい。

　

図解と解法例

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黄色部分の割合は？（栄東中学 2005年）

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下の図のように、長方形の向かい合う辺それぞれの三等分点をとり、直線で結び、更に対角線を引いて、いくつかの図形に分けます。このとき、黄色部分の面積は、長方形全体の面積のどのような割合になりますか。

図解と解法例

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円の中心が移動した距離は？（本郷中学 2009年）

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図のように、半径５ｃｍの３つの円を１列に固定した図形があり、半径５ｃｍの円Ｃが、この図形の外側にふれながら周りをちょうど１周します。円Ｃの中心が動いた距離は何ｃｍですか。ただし、円周率は3.14とします。

図解と解法例

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計算をすばやく正確に！（浦和明の星女子中学 2014年）

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図の斜線の部分の面積の和を，円周率を3.14として計算し、

答えは四捨五入して、上から３けたのがい数で求めなさい。

計算と答え

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分数列の規則性は？（横須賀学院中学 2010年）

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次の【列１】のように、ある規則に従って分数が並んでいます

このとき、１/２００ より大きい分数は何個ありますか。

考え方と解法例

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対象性と角度（（筑波大学附属中学 2014年）

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下の図のように、角アと点Ａ があります。直線ＯＹについて、点Ａ と対称な点をＢ，直線ＯＸについて点Ｂ と対称な点をＥとします。また、直線ＯＸ について点Ａ と対称な点をＣ、直線ＯＹについて点Ｃ と対称な点をＦ とします。３点Ｅ，Ｏ，Ｆ が一直線上にあるとき、角アの大きさを求めなさい。

　　　　　　　

図解と解法例

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２つの数の組の数列の規則性は？（城北中学 ２００９年）

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２つの数の組が一定の決まりで並んでいます。

２つの数の和がはじめて２１になるのは何番目ですか？

規則性と解法例

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面白い問題ですが、これも食塩水と同じ濃度算！（田園調布学園中等部 ２０１４年）

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金製品の品質を表すのに「○○金」という表示が使われます。「２４金」の製品は１００％が金でできています。例えば「１８金」の製品は１８/２４が金でできているということになります。「１４金」の製品１２グラムと「９金」の製品３グラムをとかして混ぜたものを使うと、「何金」の製品ができますか。

考え方と解法例

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立体パズルの組み合わせは？（筑波大学附属中学 ２０１０年）

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下の図のように、４つの立方体を組み合わせた立体ア～エがあります。

これらア～エを組み合わせて直方体を作ります。この直方体を前方から見ると下の図のようになりました。

このとき、この直方体を後方から見ると、どのようになっていますか。解答欄にア～エの記号を書き入れなさい。

アニメーション解答

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海城中学、今年の計算問題から（２０１４年）

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計算してください。

計算の工夫と解法例

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積み木の表面積は？（雙葉中学 2014年）

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上の図１のような直方体の積み木を９個、図２のように、たて、横、交互に積み上げました。その後、図３のようにア → イ → ウ の順に積み木を引きぬいて積み上げました。

図３の立体の表面積は何ｃ㎡ですか。（床に接している下の部分も含みます）

考え方と解法例

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面積比と長さ比の基本問題（フェリス女学院中学 2014年）

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下の図のように、辺ＡＢの長さが８ｃｍ、辺ＢＣの長さが１２ｃｍの直角三角形ＡＢＣがあります。点Ｄは辺ＡＣ上にあります。直線ＡＤと直線ＤＣの長さの比は １ ： ３ です。点Ｅ は辺ＢＣ上にあります。四角形ＡＢＥＤと三角形ＤＥＣの面積の比は ９ ： ２３です。このとき、次の問に答えなさい。

　　　

（１）三角形ＤＥＣ の面積を求めなさい。

（２）直線ＢＥ の長さを求めなさい。

考え方と解法例

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今年も出題された定番の相似問題！（開智中学 ２０１４年）

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図のように、たて３ｃｍ、横４ｃｍの長方形の周上に、１ｃｍごとに点を打ちました。このとき、ＰＱの長さとＱＲの長さの比は何対何ですか。

図解と解法例

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サイコロゲーム問題 （洛星中学 2012年）

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３個のサイコロを同時に投げ、出た目の積を得点とするゲームをします。このゲームを３回行ったところ、２回目の得点は１回目の得点の半分、３回目の得点は２回目の得点の半分になり、３回の得点の合計は２１０点でした。このとき、次の問に答えなさい。

（１）１回目、２回目、３回目の得点はそれぞれ何点ですか。

（２）３回とも必ず出ている目があります。その目を答えなさい。

（３）３回のゲームの中で、１回も出ていない可能性のある目をすべて答えなさい。

考え方と解法例

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今年はこんな問題が！→面積比（慶應義塾湘南藤沢中等部 ２０１４年）

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面積が２４ｃ㎡の三角形ＡＢＣの各辺を、図のように、辺ＡＢをＢの方向に、辺ＢＣをＣの方向に、辺ＣＡをＡの方向に、それぞれ２倍になるようにのばした点をそれぞれＤ、Ｅ、Ｆとします。このとき、三角形ＤＥＦの面積を求めなさい。

図解と解法例

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魔方陣 （筑波大学附属中学 ２０１４年）

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下の図のマスの中には０～８の数が１つずつ入ります。たてと横の合計がすべて等しくなるように、空らんをうめてください。

考え方と解法例

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グラフを図形にしてみると・・・（芝中学 2012年）

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Ａ君は図書館にいます。父は自動車で、図書館に５時に着くように行くことになっていましたが、Ａ君が４時２０分に家に向かって歩き始めてしまいました。途中で家からきた父の自動車に出会い、乗りこむのに１分かかりましたが、５時に車で図書館を出発するよりも７分早く家に着きました。下の図は、Ａ君と自動車の動きを示したものです。自動車の速度は常に一定です。

Ａ君が父の自動車に出会ったのは何時何分ですか。

図解と解法例

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食塩水の濃度は？その量は？（洛南高校附属中学 2014年）

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次の【　ア　】、【　イ　】に当てはまる数を答えなさい。

濃度が【　ア　】％の食塩水が【　イ　】ｇ あります。

この食塩水を Ａ とします。

Ａ に２０ｇの食塩を加え、よくかき混ぜた場合、

食塩水の濃度は（【　ア　】＋９）％ となります。

Ａ に２０ｇの水を加え、よくかき混ぜた場合、

食塩水の濃度は（【　ア　】－１）％ となります。

考え方と解法例

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江戸時代の算術書より（清真学園中学 ２０１２年）

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次の問題は江戸時代の算術書にある問題です。

ある人が橋を渡っていると，下の河原から話し声が聞こえてきた。どうやら盗人（ぬすっと，注1）が，盗んできた反物（たんもの，注2）の分け方を相談しているらしい。
「ひとり５反ずつ分けると３反余るが，６反ずつにすると５反たりない。どうしたものだろうか｡」
さて，盗人は何人で，反物は何反あるのだろうか。

注１：どろぼろのこと。

注２：ここでいう反物とは着物を作る布のことで、

　　　　　　　　　　　　　　　1反〔たん〕，２反，……と数える。

この問題を次のように考えて解きました。（　）に当てはまる式または数を答えなさい。

まず，反物をひとり５反ずつ全員に配ります。つぎに，余った反物をひとり１反ずつ配ると，配られた人は（ア）人で，配られなかった人は（イ）人です。
したがって，盗人の人数を求める式は（ウ）で，人数は（エ）人です。
反物が何反あるのかを求める式は（オ）で，反物は（カ）反あります。

考え方とこたえ

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側面積の比は？（栄東中学東大選抜 ２００６年）

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図のような体積の等しい２つの円柱Ａ、Ｂがあり、高さの比は１６：９です。このときＡ、Ｂの側面積の比を求めなさい。

 

考え方と解法例

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時計算の応用問題→今年の問題から（神戸女学院中学部 ２014年）

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円周上に１時間で１周する点Ａ と、５時間で１周する点Ｂ があります。下の図のように、円周を５等分する点を①、②、③、④、⑤とし、円の中心を点Ｏとします。はじめ、点Ａ，Ｂは、①から同時に時計回りに出発し、再び点Ａ，Ｂが同時に①にくるまで回り続けます。このとき、次の問に答えなさい。

　

（１）点Ｂは１分間に点Ｏを中心として何度回転しますか。

（２）いま、点Ｂが②と③の間にあり、点Ａが④と⑤の間にあります。２つの点がしばらく動き続けると、ＡとＢの位置が入れかわります。入れかわるまでにかかる時間を求めなさい。

（３）（２）で入れかわった位置に点Ａ，Ｂがくるのは、スタートから何時間何分後ですか。

考え方と解法例

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